2016数理金融之风险测度理论要点

南京理工大学

课程考核论文

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目录

第一章引言 (3)

1.1 研究背景 (3)

1.2 研究现状 (3)

1.3 本文工作 (3)

第二章一致性风险测度理论 (5)

2.1 风险 (5)

2.2 可接受集 (5)

2.3 风险测度 (6)

2.4 一致风险测度的表示定理 (7)

2.5 小结 (7)

第三章凸性风险测度 (8)

3.1凸性风险测度 (8)

3.2 可接受集合 (8)

3.3 小结 (9)

第四章 VaR方法 (10)

4.1 VaR定义 (10)

4.2 VaR的局限性 (10)

4.2.1 尾部风险测量的不充分性 (10)

4.2.2 不满足一致性公理 (11)

4.3 小结 (11)

第五章几种常见的风险测度方法 (12)

5.1基本概念 (12)

5.2 尾部条件期望（TCE） (12)

5.3 最差条件期望（WCE） (13)

5.4 条件VaR（CVaR） (13)

5.5 小结 (13)

第六章总结 (14)

第一章引言

1.1 研究背景

随着我国金融市场的不断发展，新型金融衍生工具的不断涌现，特别是金融市场即将对外全面开放，金融风险的管理与防范越来越引起人们的重视。美国经济学家Markowitz于1952年首次提出投资组合选择理论，为现代投资组合奠定了基础，开创了以数理方法研究金融问题的先河。Markowitz在论文“Portfolio Selection”中提出了均值-方差模型，把方差作为度量风险的工具。数十年来，无数学者致力于均值-方差模型的理论拓展与应用研究，极大的丰富和发展了Markowitz组合选择理论。

1.2 研究现状

1952年Markowitz发表的Portfolio Selection，首次定量得分析了投资组合中的风险与收益之间的内在联系，不幸的是，Markowitz模型现已经视为模型的解决方案，很多金融风险不能用方差来描述，随后Artzner等提出了一致性风险测度的概念，认为好的风险测度应同时满足单调、齐次、平移不变和次可加这四条公理。Rockafeller和Uryasev在1999年提出了CVaR，实质上反映了超额损失的平均水平，较之VaR更能体现整体投资组合的潜在风险。2002年，Follmer和Schied 给出了凸风险度量的概念，它是在一般的样本空间下来考虑的，是对一致性风险度量表示定理的一种推广。

1.3 本文工作

本文首先介绍了一致性风险测度的理论，以此为基础进一步研究了凸性风险测度。接下来分析了VaR方法，包括定义，性质，并主要指出了其理论上和逻辑

上的缺陷。最后介绍几种常用的风险测度方法以及之间的关联和区别。

第二章 一致性风险测度理论

2.1 风险

所谓风险，是指未来结果的不确定性或波动性给金融资产持有人带来的损失，本文要讨论的风险，只和未来的资产有关系，我们认为，风险并不依赖于你的初始资产，而是决定于市场中的一些不确定因素，这些不确定因素导致了你的资产的将来的价值，所以我们用一个与未来有联系的“数”来表示风险。

2.2 可接受集

假设期末T 时刻所有可能的状态的集合是有限集，记为Ω。用Ω上的随机变量X 表示初始头寸的未来净值，其值用证劵价格及互换率来表示。状态Ω的指示函数为{}ω1。称Ω上所有实值函数的集合为风险集合，记为X 。记X 中非负元素的集合为+L ，其相反数的集合为-L 。

本文考虑满足以下4条公理的可接受集。

公理1：可接受集A 包含+L 。

公理2：可接受集A 与--L 不相交，其中，

(){}0|<Ω∈∀=--ωωX X L ，

公理3：可接受集A 是凸的。

公理4：可接受集A 是正齐次锥。

公理1,2表明，非负的最终净值不需要加入额外的资金，而严格负的最终净值则必须追加资金后才能成为可接受头寸。公理3反映了部分监管者的风险厌恶。

2.3 风险测度

为了描述风险的可接受与否，我们定义了可接受的未来净值，这样，在给定参考投资工具后，可以通过描述所持有的头寸价值与可接受头寸的距离定义风险测度。

定义2.3.1 称由X 到R 的映射为风险测度。

对于风险X 的测度ρ，当()X ρ为正时，资金()X ρ可解释为加入到风 险头寸X 中使之成为“可接受头寸”的资金的最小值；当()X ρ为负 时，资金()X ρ-可以从头寸中取出，或者作为红利返还。

定义 2.3.2 设A 是可接受集，对于给定的总收益率为r 的参考投资工具，定义 (){}X ∈∈+⋅=X A X X A ，r m |m i n f r ,ρ，称()X A r ,ρ为与可接受A 相

伴随的风险测度。

定义 2.3.3 设ρ为风险测度，定义(){}0|≤X ∈=X X A ρρ，称ρA 为与风险测度ρ 相伴随的可接受集。

定义2.3.4 对于一风险度量ρ，如果它满足下面的四条公理：

公理M 单调性：如果对于所有X ∈Y X ,，且Y X ≤,有()()X Y ρρ≤， 则称风险测度ρ满足单调性。

公理T 平移不变性：如果对所有的X ∈X ，及所有实数α，有：

()()αραρ-=⋅+X X r ，则称风险测度ρ满足平移不变性。 公理S 次可加性：如果对于所有X ∈21,X X 有：()()()2121X X X X ρρρ+≤+， 则称风险测度ρ满足次可加性。

公理PH 正齐次性：如果对于所有0≥λ，和所有X ∈X ，有()()X X λρλρ=， 则称风险测度ρ满足正齐次性。