单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质：
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面.
u族直线.
方程组(4),(4`)实际上是（3）式中当参数u0 和 u时的两种极限情形.
x a
z c
u
1
y b
x a
z c
1 u
1
y b
(3)
我们是 u族直线 家族成员
x a
z c
0,
1
y b
0;
x a
z c
0,
1
y b
0.
（4） （4）/
现在来证明由这 u族直线可以构成曲面(1)，从
因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.
而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线， 称为u族直母线
同样可以证明由直线
x a
z c
v (1
y ), b
x
a
z c
1 (1 v
y) b
（6）
(其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与
(6)中当v0和v的情形)
x a
z c
0,
1
y b
0,
（7）
y b
2u,
u
(
x a
y) b
z,
(4.7-3)
与
x a
y b
2v,
v
(
x a
y b
)
z.
（4.7-4）
分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y2 2z a2 b2
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点.
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。
为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
w
(
x a
z) c
u (1
y ), b
u
(
x a
z) c
w (1
y ), b
（4.7-1）
其中 u, w不同时为零。当u0,w0时，各式除以
w,(4.71)式子就化为(3)；当 u 0时便化成(4)；
当 w0时便化成(4`).
x a
z c
u
1
y b
(3)
x a
z c
1 u
1
y b
而v族直母线写成
t (
x a
z c
)
v (1
y b
),
v (
x a
z c
)
t (1
y b
),
其中 v, t 不同时为零.
对于双曲抛物面
（4.7-2）
x2 y2 2z, a2 b2
同样地可以证明它也有两族直母线
它们பைடு நூலகம்方程分别是
x a
x
a
z c
1 u
1
y b
由(5)便得
x0 z0 11y0, a c u b
所以点 在u直线上.
x0z0 x0z0 1y0 1y0 . （5） a ca c b b
如果 x0 z0 0 那么由(5)知必有 1 y0 0
ac
b
所以点 (x0, y0,z0)也在u直线上.
这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.
§ 4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由 一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.
而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线. 柱 面与锥面都是直纹曲面.
单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗?
下面我们来证明: 这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成.
因而它们都是直纹曲面.
0,
1
y b
0.
（4）/
也就是说
x a
z c
u
1
y b
x a
z c
1 u
1
y b
(3)
与
(4)与(4)/仍 然表示直线
x a
z c
0,
1
y b
0;
x a
z c
0,
1
y b
0.
（4） （4）/
合起来与单叶双曲面(1)的方程等价.
把(3),(4),(4`)合起来组成的一族直线叫做单叶双曲面的
x0z0 x0z0 1y0 1y0 . （5） a ca c b b
显然 1 y 0 与1 y 0 不能同时为零. ?????
b
b
因此不失一般性， 假设 1 y0 0
如果
b
x0 z0 0 那么取 u 的值使得
a
c
x0 z0 u1y0 , a c b
x a
z c
u
1
y b
xz xz 1y 1y . （2）
a ca c b b
x z 1 y
a c 1 y
b. x z
(2)/
b ac
x a
z c
u
1
y b
(3)
x a
z c
1 u
1
y b
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
x a
1
z c y b
0 0;
,
（4）
与
x a
z c
y2 b2
cz22
1,
（1）
反过来，设 (x0, y0,z0)是曲面(1)上的点.
下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上. 只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u.
(x0, y0,z0)是曲面(1)上的点. 所以满足单叶双曲面方程
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1,
即
x a 0z c 0 x a 0z c 0 1y b 0 1y b 0 .（5）
（2）
改写为:
x z 1 y
a c b.
(2)/
1 y x z
b ac
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
对于给定的u, (3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x a
z c
u
1
y b
x a
z c
1 u
1
y b
直线 (3) 不等价!
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
(1)
与
x a
z c
0,
1
y b
0
(7)/
合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直
母线.称它为单叶双曲面(1)的v族直母线.
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两族直母线
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的.
推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线 中各有一条直母线通过这点.
我们虽然很弯 曲, 但是我们都
由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
x2 y2 z2 1, a2 b2 c2 其中 a,b, c 为正常数，
（1）
把（1）改写为
或者
x2 z2
y2
a2 c2 1b2 ,
xzxz1y1y. a ca c b b
(2)与(1)等价吗?
等价!
（2）
xzxz1y1y. a ca c b b
而它是单叶双曲面(1)的一族直母线。
首先容易知道，u族直线中任何一条直线上的点
都在曲面(1)上.
x a
z c
u
1
y b
x
a
z c
1 u
1
y b
这是因为
x a
z c
0,
1
y b
0;
x a
z c
0,
1
y b
0.
u族直线满足于 xzxz1y1y. a ca c b b
满足于
x2 a2