中考必会几何模型：手拉手模型

∴∠BAD＝∠CAE．
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC﹐ BAD CAE﹐ AD AE﹐
图②、图③同理可证．
（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，
始终存在一对全等三角形．
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF 度数．
答案： （1）证明：∠ABC＝90°．
在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，
E
FC
A
3
Wang
CF AE﹐
AB
CB﹐
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
∴BE＝BF．
（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°．
∴∠CAE＝30°．
HE
F G
（5）△EGB≌△CFB；
A
B
C
（6）连接 GF，GF∥AC；
（7）连接 HB，HB 平分∠AHC．
证明：（1）∠ABE＝120°，∠CBD＝120°，
在△ABE 和△DBC 中，
BA BD﹐ ABE DBC﹐ BE BC﹐
∴△ABE≌△DBC．
（2）∵△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC．
∴ 1 ×AE×BN＝ 1 ×CD×BM．
2
2
∵AE＝CD，
HE M
N
∴BM＝BN．
∵点 B 在∠AHC 的平分线上．
A
∴HB 平分∠AHC．
B
C
图②
跟踪练习：
1． 在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE
＝CF．
B
（1）求证：BE＝BF；
BE 和 AD 的中点． 求证：△CPM 是等边三角形．
B C
D P
答案：
A
E
证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE．
∴∠ACB＝∠ECD＝60°．
∴∠BCE＝∠ACD．
∴△BCE≌△ACD．
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD．
又∵点 P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点，
∴BP＝AM．
在△BCP 和△ACM 中，
BC AC﹐ CBE CAD﹐ BP AM ﹐
∴△BCP≌△ACM．
∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM．
∴∠PCM＝∠ACB＝60°．
∴△CPM 是等边三角形．
4． 将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 按图①方式放置，∠A＝90°，AD 边与 AB 边重合， AB＝2AD＝4．将△ADE 绕 A 点逆时针方向旋转一个角度 （0°＜ ＜180°），BD 的延 长线交 CE 于 P．
∴∠DAG＝∠DCE．
∵∠COH＝∠AOD，
∴∠CHA＝∠ADC＝90°．
∴AG 与 CE 之间的夹角是 90°．
例 2 如图，在直线 AB 的同一侧作△ABD 和△BCE，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，
连接 AE、CD，二者交点为 H． D
求证：（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE＝DQ； （3）∠DHA＝60°； （4）△AGB≌△DFB；
D
由（4）得，△AGB≌△DFB． ∴BG＝BF． 又∵∠5＝60°， ∴△BGF 是等边三角形． ∴∠3＝60°． ∴∠3＝∠4． ∴GF∥AC．
1 A
2
HE
F G 35
4
B
C百度文库
图①
（7）如图②所示，过点 B 作 BM⊥DC 于 M，过点 B 作 BN⊥AE 于点 N．
∵△ABE≌△DBC， D
∴S△ABE＝S△DBC．
又∵∠OAB＋∠OBA＝∠ODH＋∠OHD，
∴∠AHD＝∠ABD＝60°．
（3）过 B 作 AH、DC 的垂线，垂足分别为点 M、N．
∵△ABE≌△DBC，
4
Wang
∴S△ABE＝S△DBC．
即 1 AE·BM＝ 1 CD·BN．
2
2
又∵AE＝CD，
∴BM＝BN．
∴HB 平分∠AHC．
3．在线段 AE 同侧作等边△ABC 和等边△CDE（∠ACE＜120°），点 P 与点 M 分别是线段
D H C
E
答案：
A
B
（1）∵∠ABE＝∠ABD－∠EBD，∠DBC＝∠EBC－∠EBD，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC．
在△ABE 和△DBC 中，
AB DB﹐ ABE DBC﹐ BE BC﹐
∴△ABE≌△DBC．
∴AE＝DC．
（2）∵△ABE≌△DBC ，
∴∠EAB＝∠CDB．
Wang
模型 手拉手 A E
D
手拉手模型
AE D
E
A
D
B
C
B
C
B
C
如图，△图A①BC 是等腰三角形、△AD图E②是等腰三角形，AB＝AC图，③AD＝AE，∠BAC＝∠
DAE＝ ．
结论：连接 BD、CE，则有△BAD≌△CAE．
模型分析
如图①，
∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC． ∵∠BAC＝∠DAE＝ ，
∴CP＝CE－PE＝ 2 3 2 ．
6
角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例 1 如图，△ADC 与△EDG 都为等腰直角三角形，连接 AG、CE，相交于点 H，问：
（1）AG 与 CE 是否相等？
C
（2）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？
∴∠BAE＝45°－30°＝15°．
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°．
∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°．
2．如图，△ABD 与△BCE 都为等边三角形，连接 AE 与 CD，延长 AE 交 CD 于点 H．
求证：（1）AE＝DC； （2）∠AHD＝60°； （3）连接 HB，HB 平分∠AHC．
O HG
解答：
A
D
1
E
Wang
（1）AG＝CE．理由如下：
∵∠ADG＝∠ADC＋∠CDG，∠CDE＝∠GDE＋∠CDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE．
在△ADG 和△CDE 中，
AD CD﹐ ADG CDE﹐ DG DE﹐
∴△ADE≌△CDE．
∴AG＝CE．
（2）∵△ADG≌△CDE，
（3）△ABE≌△DBC，
∴∠1＝∠2．
∴∠DGH＝∠AGB．
∴∠DHA＝∠4＝60°．
2
Wang
（4）∵∠5＝180°－∠4－∠CBE＝60°，
∴∠4＝∠5．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠1＝∠2．
又∵AB＝DB，
∴△AGB≌△DFB（ASA）．
（5）同（4）可证△EGB≌△CFB（ASA）．
（6）如图①所示，连接 GF．
（1）如图②，求明：BD＝CE，BD⊥CE；
5
Wang
（2）如图③，在旋转的过程中，当 AD⊥BD 时，求 CP 长．
B B
B
D
C
E
A
图①
D
C
A
P E
图②
D
C
A
P
E
图③
答案： （1）∵等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． ∵∠DAB＝90°－∠CAD，∠CAE＝90°－∠CAD， ∴∠DAB＝∠CAE． ∴△ABD≌△ACE． ∴BD＝CE． ∴∠DBA＝∠ECA． ∴∠CPB＝∠CAB．（8 字模型） ∴BD⊥CE． （2）由（1）得 BP⊥CE． 又∵AD⊥BD，∠DAE＝90°，AD＝AE， ∴四边形 ADPE 为正方形． ∴AD＝PE＝2． ∴∠ADB＝90°，AD＝2，AB＝4， ∴BD＝CE＝ 2 3 ．