沪教版七年级数学下册解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题在数学中，分式是一种表达形式，由分子和分母组成，中间有一个分割线。
在解决数学问题时，我们经常会遇到需要化简分式的情况。
本文将介绍一些常用的分式化简技巧，以帮助读者更好地解决问题。
一、约分法约分法是最基本的分式化简技巧之一。
当分子和分母有公因子时，可以约去它们的公因子，从而化简分式。
下面以一个例子来说明这个技巧。
例子：将分式$\frac{12}{18}$化简。
解析：12和18都可以被2整除，因此它们的公因子是2。
我们可以将分子和分母都除以2，得到$\frac{6}{9}$。
接着，6和9都可以被3整除，所以它们的公因子是3。
将分子和分母都除以3，最终得到化简后的分式$\frac{2}{3}$。
二、分子因式分解法当分子可以因式分解时，我们可以将分子分解后进行化简。
下面以一个例子来展示这个技巧。
例子：将分式$\frac{x^2-4}{x^2-2x}$化简。
解析：首先，我们可以因式分解分子的二次多项式$x^2-4$，得到$(x-2)(x+2)$。
对于分母$x^2-2x$，我们可以提取公因子$x$，得到$x(x-2)$。
因此，将分子分母带入分式，得到$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$。
可以看出，分子和分母都含有因式$(x-2)$，我们可以约去这个因式，最终化简得到$\frac{x+2}{x}$。
三、通分法通分法是化简带有分子和分母的分式的常用技巧。
这种情况通常发生在两个或多个分式相加或相减的时候。
下面以一个例子来说明通分法的使用。
例子：将分式$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}$化简。
解析：首先，将两个分式通分，得到$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}=\frac{1}{x}+\frac{x^2}{x}$。
接下来，我们需要将分子化为相同的形式。
因此，将分子$x^2$化为$\frac{x^2}{x}$。
最后，我们可以将这两个分式合并，并进行化简，得到$\frac{1+x^2}{x}$。
沪科版七年级数学下第九章分式运算技巧汇编-最新教学文档
分式运算技巧分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分法例1 计算2111111x x x ++++- 分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的．解：原式=221212x x ++-=414x- 评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。
二、整体通分法例2 计算112+-+a a a 分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=11111)1)(1(1222+=++-=++--+a a a a a a a a a 评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相 加，使得问题的解法更简便．三、分裂整数法例3. 计算：34452312-----+++-++x x x x x x x x 分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分. 31412111)311()411()211()111(3134********:-+--+-+=-----+++-++=-------++++-+++=x x x x x x x x x x x x x x x x 原式解 评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
四、裂项相消法例4 计算)3)(2(1)2)(1(111--+--+-x x x x x 分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.解：原式=2131112111---+---+-x x x x x =31-x 评注：本题若采用通分相加的方法，将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关 系，再逆用公式)1(1111+=+-a a a a ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
谈谈分式化简的几个小技巧
数学篇初中数学中“分式的化简”是非常重要的知识点，其运算的综合性和技巧性较强.如果化简运算方法选取不当，不仅会使解题过程变得复杂，而且错误率高.下面介绍三种分式化简的常用技巧：通分约分、因式分解、提取公因式.同学们需注意的是，有时候要综合运用这三种技巧，才能实现快速解题的目标.首先，巧借“通分约分”化简分式.此技巧适合包含多个简单分式的题型，分式之间往往通过“+”“-”这两个符号连接.此时，可以尝试“通分”同化分母，再根据具体情况结合部分相同项进行“约分”，从而达到简化分式的目的.其次，妙用“因式分解”化简分式.有的时候，分式化简的式子往往比较复杂，直接求解比较困难.利用“因式分解”可以寻找部分共同项，然后利用乘除法抵消部分或全部共同项，以达到化简分式的目的.在抵消“共同项”时，一定要注意整个式子的“+”“-”符号，以防出错.此方法适合局部可以因式分解的复杂分式，通过局部的因式分解，可以简化分式形式.第三，灵活“提取公因式”化简分式.在化简分式的过程中，首先看多项式的各项是否有公因式，若有公因式，则把它提取出来.及时灵活地提取公因式，可以大大简化计算过程.需要注意的是，提取的公因式应尽量单独放在最前面，而且保持独立性，以便为后续的“约分”或“消项”做准备.例1化简（1x +1-1x -1）÷2x 2-1.分析：先计算（1x +1-1x -1），采用“通分”处理可得-2(x +1)(x -1)，再结合后面的2x 2-1计算最终结果.解：（1x +1-1x -1）÷2x 2-1=-2（x +1）（x -1）÷2x 2-1=-2x 2-1÷2x 2-1=-1.评注：该题比较简单，采用“通分”可以整合（1x +1-1x -1），再利用“约分”去掉共同项1x 2-1即可得出最后结果.变式：化简（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2.分析：该题同例1，利用“通分”处理（x +1x -x x -1），得到-1x (x -1)，结合后面的1（x -1）2，利用“约分”抵消1(x -1)项，最后算出结果即可.解：（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2=[(x +1)(x -1)-x 2x (x -1)]÷1（x -1）2=-1x (x -1)÷1（x -1）2=-1x (x -1)∙(x -1)2=1-x x .评注：先计算括号里的内容，利用“通分”处理（x +1x -x x -1）得到-1x (x -1)，整个式子就变得简单了.“通分约分”可以简化部分分式.例2化简（xy -x 2）÷x -yxy.分析：解答这道题，可以先把题目中(xy -x 2)因式分解为x （y -x ），这样，与后面的x -yxy 有共同项（x -y ），再通过“约分”抵消，得到结果.解：（xy -x 2）÷x -y xy =x （y -x ）÷x -yxy =x （y -x ）×xyx -y=-x 2y .谈谈分式化简的几个小技巧新疆阿勒泰地区福海县初级中学李红艳解法荟萃32数学篇评注：通过“因式分解”（xy -x 2），找到共同项(x -y )，再利用乘除法全部或部分“约去”共同项，从而简化分式，得出结果.变式：化简2x -64-4x +x2÷(x +3)∙x 2+x -63-x .分析：可以先“因式分解”寻找共同项，尝试消项.2x -64-4x +x2因式分解为2(x -3)(x -2)2，x 2+x -63-x因式分解为(x +3)(x -2)3-x ，最后综合求解即可.解：2x -64-4x +x2÷（x +3）∙x 2+x -63-x =2(x -3)(x -2)2÷（x +3）∙（x +3）(x -2)3-x =2(x -3)(x -2)2∙1x +3∙（x +3）(x -2)3-x =-2x -2.评注：此题式子比较复杂，但是利用“因式分解”可以找出很多共同项，综合所有项后，发现很多可以抵消的项，从而大大简化了原式.但在抵消“共同项”或“近似共同项”时，一定要注意“+”“-”号，避免出错.例3化简(y +1y 2-4y +3-y -2y 2-6y +9)÷y -5y -1.分析：题目式子比较复杂，先对扩号内部式子的分母进行“因式分解”，得到y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2，此时观察发现可以“提取公因式”1y -3，得到1y -3（y +1y -1-y -2y -3）.然后再运用“通分”处理（y +1y -1-y -2y -3）得y -5(y -1)(y -3)，最后综合计算1y -3∙y -5(y -1)(y -3)÷y -5y -1，得出结果1(y -3)2.=[y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2]÷y -5y -1=1y -3（y +1y -1-y -2y -3）∙y -1y -5=1y -3∙(y +1)(y -3)-(y -2)(y -1)(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1y -3∙y -5(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1(y -3)2.评注：此题两个分式的分母经过因式分解以后有公因式可提取，分解因式并提取公因式后为1y -3（y +1y -1-y -2y -3），然后再计算最后答案.变式：化简(x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4)÷x -4x +2.分析：对（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）分母进行因式分解可得（x -2x (x +2)-x -1(x +2)2）,然后提取公因式1x +2可得1x +2∙（x -2x -x -1x +2）.再通分（x -2x -x -1x +2）可得x -4x （x +2）.最后求1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2得1x （x +2）.解：（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）÷x -4x +2=éëêùûúx -2x (x +2)-x -1(x +2)2÷x -4x +2=1x +2∙（x -2x -x -1x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）∙x +2x -4=1x （x +2）.评注：此题的解题关键是综合“因式分解”与“通分约分”，在处理过程中应及时、灵活提取公因式，从而化简分式.分式化简问题虽然复杂难解，但是有规律可循，有技巧可取.只要同学们仔细观察，善于综合运用“通分约分”“因式分解”“提取解法荟萃。
分式化简的方法和步骤
分式化简的方法和步骤
首先，我们来看一般的分式化简步骤：
1. 因式分解，如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试对其
进行因式分解，将分子和分母分别写成不可约的因式相乘的形式。
2. 约分，将分子和分母中的公因式约去，使分式的值保持不变。
3. 化简，对于含有根式、指数、对数等的分式，可以尝试化简
这些部分，使分式更加简洁。
其次，我们来看具体的化简方法：
1. 因式分解，对于多项式的因式分解，可以运用公式、分组、
换元等方法，将多项式分解为不可约的因式相乘的形式。
例如，对
于分式 (x^2-1)/(x^2-4)，我们可以将分子和分母都进行因式分解，然后约分得到最简分式。
2. 约分，约分是化简分式的重要步骤，通过找到分子和分母的
公因式，将其约去，使分式的值保持不变。
例如，对于分式
6x^2/9x，我们可以约去分子和分母中的公因式3和x，得到最简分式2x/3。
3. 化简，对于含有根式、指数、对数等的分式，可以尝试化简这些部分，使分式更加简洁。
例如，对于分式(2√3+√6)/(√2)，我们可以利用根式的性质进行化简，将根式部分合并或者有理化等操作，得到最简分式。
最后，需要注意的是，在化简分式的过程中，我们需要遵循数学运算的基本规则，如乘法法则、除法法则、加法法则、减法法则等，确保化简的过程和结果是准确的。
总的来说，分式化简是数学中的基本操作，通过因式分解、约分和化简等步骤，可以将复杂的分式表达式简化为最简形式，使其更易于理解和计算。
希望以上介绍能够帮助你更好地理解分式化简的方法和步骤。
分式化简的解题思路及方法
分式化简的解题思路及方法分式化简是代数学习中常见的问题，正确化简分式可以简化计算过程，提高求解效率。
本文将介绍分式化简的解题思路及方法，帮助读者更好地掌握这一技能。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《分式化简的解题思路及方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《分式化简的解题思路及方法》篇1一、分式化简的解题思路分式化简的解题思路主要包括以下几个方面:1. 熟悉分式的基本形式：分式通常写成 $frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是代数式。
要化简分式，需要先将其转化为这种基本形式。
2. 确定公因式：在分式中，如果有公共的因子，可以先提出来，这样可以简化分式的形式。
3. 利用分式性质：分式具有一些特殊的性质，如分子分母同乘以一个数或一个代数式，分式的值不变。
利用这些性质，可以对分式进行化简。
4. 运用运算法则：分式的化简也需要运用代数运算法则，如合并同类项、分配律、结合律等。
二、分式化简的方法分式化简的方法主要有以下几种:1. 提取公因式法：这种方法是指在分式中提取公共的因子，将分式化简为最简形式。
例如，将 $frac{2x+4y}{x+2y}$ 化简为$frac{2(x+2y)}{x+2y}$，再进一步化简为 $2$。
2. 拆分分式法：这种方法是指将分式拆分成两个或多个分式，以便更好地提取公因式或运用运算法则。
例如，将$frac{x+y}{x-y}$ 拆分成 $frac{x+y}{x-y} cdot frac{x+y}{x+y} = frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}$。
3. 合并同类项法：这种方法是指将分式中的同类项合并在一起，从而简化分式的形式。
例如，将 $frac{3x+2y}{x+y}$ 化简为$frac{3x+2y}{x+y} cdot frac{x+y}{x+y} =frac{3x^2+2xy+2xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2} =frac{3x^2+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$。
初中数学分式化解求值解题技巧大全
化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-.2、倒数法例2 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 ∴原式=13. 3、平方法例3已知12x x +=，则221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得4、设参数法例4已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c +-+-的值. 解：设235a b ck ===，则2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5已知,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b ck b c a===，则∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式=1.a b ca b c+-=-+5、整体代换法例6 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
解：因为a a b ba b 2222++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1由a b +<0 故有a b +=-1所以a b a b a ba a b b a b33221313+-=+-+-()()评注：本题应先对已知条件a a b ba b 2222++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。
分式化简求值
分式化简求值分式化简求值是数学中一个非常重要的概念，它涉及到分数的加减法、乘除法以及约分等运算。
在解决一些数学问题时，我们需要先将分式进行化简，然后再求其值。
下面将就分式化简求值的原理、方法、注意事项以及例题进行详细阐述。
一、分式化简的原理分式化简的原理很简单，就是通过约分、通分等手段，将分式转化为一个标准形式，便于我们进行后续的运算或比较。
其中，约分是通过分子、分母的公约数来简化分式，通分则是将分母不同的几个分式化为相同的分母，从而便于比较。
二、分式化简的方法1. 约分 约分是将分式化为最简形式的一种方法，其基本思路是找到分子和分母的最大公约数，将其约去。
例如，将6a 12a 12a6a 约分成a 2a 2aa 。
2. 通分 通分是将几个分式化为相同分母的一种方法，其基本思路是找到几个分式的最简公分母，将其乘上适当的倍数。
例如，将2a 3b 3b2a 和4b 5c 5c4b 通分为10ab 15bc 15bc10ab 和6bc 15bc 15bc6bc 。
3. 分解因式 分解因式是将一个多项式化为几个整式的积的形式，从而便于我们进行分式的运算。
例如，将x 2−4x2−4分解因式为(x +2)(x −2)(x+2)(x−2)。
4. 分子、分母的变形 有时候，我们需要通过改变分子或分母的形式来简化分式。
例如，将x+y x−y x−yx+y 变形为x+y x−y =x 2−y 2x−y =x +y x−yx+y=x−yx2−y2=x+y 。
三、分式化简的注意事项1.分式化简时要注意不能改变原式的值，即化简后的结果应该是最简形式。
2. 在进行通分时，要选择好公分母，尽量避免出现复杂的多项式或根式。
3.在进行约分时，要注意分子、分母的公约数是否互质，如果互质则可以直接约去，否则需要通过其他方法进行化简。
4.在进行分子、分母的变形时，要注意变形后的形式是否比原式更加简洁，如果更加复杂则不建议使用。
四、例题解析【例1】化简下列分式： (1)6x9y 9y6x； (2)8b23a3a8b2； (3)x2−y2x−yx−yx2−y2；(4)x 2−4x−2x−2x2−4。
知识卡片-分式的化简求值
分式的化简求值能量储备分式的化简求值主要利用分式的基本性质、通分、约分等.通关宝典★ 基础方法点方法点1：整体代入.方法1：将求值式变形，使其含有条件式，再将条件式整体代入求解；方法2：将条件式变形，再将变形后的式子代入求值式.注意体会“整体代入”方法的应用.例：若实数a ，b 满足a b ＋b a ＝2，求a 2＋ab ＋b 2a 2＋4ab ＋b 2的值. 解：方法1：由a b ＋b a＝2知ab ≠0， ∴ a 2＋ab ＋b 2a 2＋4ab ＋b 2＝a b ＋1＋b a a b ＋4＋b a ＝⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ＋1⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ＋4＝2＋12＋4＝12. 方法2：由a b ＋b a＝2知a ≠0，b ≠0且a 2＋b 2＝2ab ， ∴ a 2＋ab ＋b 2a 2＋4ab ＋b 2＝（a 2＋b 2）＋ab （a 2＋b 2）＋4ab ＝2ab ＋ab 2ab ＋4ab ＝12. 方法点2：参数法解决这种分式求值问题时，常用参数法，即将分式中的所有字母都用同一个参数表示，再计算待求式的值.例：已知a 2＝b 3＝c 4≠0，求a+b+c a−2b+3c 的值.分析：可设a 2＝b 3＝c 4＝k （k ≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，再代入所求的分式，利用分式的基本性质即可求值.解：设a 2＝b 3＝c 4＝k （k ≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k .所以a+b+c a−2b+3c ＝2k+3k+4k 2k−2×3k+3×4k =9k 8k ＝98. 蓄势待发考前攻略分式的化简求值，常与其他知识综合起来考查，题型多样，难度中等．完胜关卡。
分式化简的方法和步骤
分式化简的方法和步骤分式化简是数学中的重要内容之一，它在代数运算中有着广泛的应用。
分式化简的方法和步骤相对较为简单，但需要严谨的逻辑思维和基本的代数知识。
在本文中，我将详细介绍分式化简的方法和步骤，以便读者能够更好地掌握这一重要的数学技能。
一、分式的定义和基本性质在开始介绍分式化简的方法和步骤之前，我们先来回顾一下分式的定义和基本性质。
分式是指两个整数或者代数式的比值，通常表示为a/b的形式，其中a和b分别为分子和分母，b不能为0。
分式有着以下基本性质：1. 分式的分子和分母都可以约分；2. 分式的分子和分母可以是整数，也可以是代数式；3. 分式可以进行加减乘除等运算；4. 分式也可以与整数进行运算。
了解了分式的基本定义和性质，我们可以进入下面介绍分式化简的方法和步骤。
二、分式化简的方法和步骤1. 因式分解法分式化简的方法之一是使用因式分解法。
当分式中的分子和分母有公因式时，可以通过因式分解来进行化简。
具体步骤如下：（1）对分子和分母进行因式分解；（2）将因式分解后的分式进行约分；（3）将约分后的分式化简为最简形式。
举例说明：化简分式7x^2y / 14xy^3。
首先对分子和分母进行因式分解，得到7x^2y = 7x * x * y，14xy^3 = 7 * 2 * x * y * y * y。
然后进行约分，得到7x^2y / 14xy^3 = (7x * x * y) / (7 * 2 * x * y * y * y) = x / (2y^2)。
2. 公约数法分式化简的方法之二是使用公约数法。
当分式中的分子和分母有公约数时，可以通过寻找它们的公约数进行化简。
具体步骤如下：（1）找到分子和分母的公约数；（2）用公约数分别约分分子和分母；（3）将约分后的分式化简为最简形式。
举例说明：化简分式12x^2y^3 / 18xy。
首先找到分子和分母的公约数，即6。
然后用6分别约分分子和分母，得到12x^2y^3 / 18xy = (2x^2y^3) / (3xy) = 2xy^2。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式之一，它涉及到有理数的运算和表示。
在分式运算中，有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地进行运算。
以下是一些常见的分式运算技巧和方法。
1.分式化简：分式化简是分式运算的基础技巧。
化简分式可以使运算更加简便。
化简分式的方法包括因式分解、约分等。
例如，对于分式$\frac{12}{18}$，可以化简为$\frac{2}{3}$，使得运算更加简单。
2.公约数与公倍数：在分式运算中，找到分子和分母的公约数或公倍数可以帮助我们进行约分和通分。
例如，对于分式$\frac{6}{15}$，我们可以同时约分分子和分母的公约数2，得到$\frac{3}{5}$。
又如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，我们可以找到它们的最小公倍数12，通分得到$\frac{3}{12}$和$\frac{2}{12}$。
3.分数的乘法和除法：在分式的乘法中，我们可以直接将分子相乘，分母相乘。
例如，对于分式$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$的乘法运算，可以直接得到$\frac{8}{15}$。
在分式的除法中，我们可以将除法转换为乘法，即将除数的倒数乘以被除数，例如，$\frac{2}{3}$除以$\frac{4}{5}$等价于$\frac{2}{3}*\frac{5}{4}=\frac{10}{12}$，然后再化简得到$\frac{5}{6}$。
4.分数的加法和减法：在分式的加法和减法中，我们需要找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减。
例如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{3}$的加法运算，我们需要将它们通分为$\frac{3}{12}$和$\frac{8}{12}$，然后再相加得到$\frac{11}{12}$。
对于减法运算，也是类似的步骤，例如，$\frac{2}{3}$减去$\frac{1}{4}$等价于$\frac{8}{12}$减去$\frac{3}{12}$，得到$\frac{5}{12}$。
简单实用的初中数学解题技巧掌握分式与整式的化简方法
简单实用的初中数学解题技巧掌握分式与整式的化简方法在初中数学中，学习解题技巧对于理解和掌握数学知识至关重要。
其中，分式与整式的化简方法是我们在解决数学问题时常用的技巧之一。
本文将介绍一些简单实用的初中数学解题技巧，着重讲解分式与整式的化简方法。
一、分式的化简方法1. 分子分母的公因式提取法当分式的分子和分母中存在公因式时，可以通过公因式提取的方法将分式化简为最简形式。
具体步骤如下：（1）对分子和分母进行因式分解；（2）将分子和分母中的公因式提取出来；（3）去掉分子和分母中的公因式，得到最简形式。
举个例子来说明这个方法。
假设我们要将分式 $\frac{2x^2 +4x}{6x}$ 化简为最简形式。
首先，我们对分子和分母进行因式分解，可以得到：$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$；$6x = 2 \cdot 3 \cdot x$。
接下来，我们提取分子和分母中的公因式，得到：$\frac{2x^2 + 4x}{6x} = \frac{2x \cdot (x + 2)}{2 \cdot 3 \cdot x}$。
最后，我们去掉分子和分母中的公因式，得到最简形式 $\frac{x + 2}{3}$。
2. 分式的通分法当分式的分母不同，无法直接进行计算时，可以通过通分的方法将分式化简为最简形式。
通分的具体步骤如下：（1）找到分式中的最小公倍数（简称最小公倍数）作为新的分母；（2）根据最小公倍数，对分数进行扩展，使得分母相同；（3）将扩展后的分子作为新的分子，保持分母不变。
例如，我们要将 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$ 化简为最简形式。
首先，我们寻找到分母 4 和 6 的最小公倍数为 12。
接下来，根据最小公倍数将分数进行扩展，可以得到：$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12}$。
上海七年级数学分式知识点
上海七年级数学分式知识点分式是数学中的重要知识点，它在数学中的应用非常广泛，并且在我们日常生活中也经常用到。
作为上海七年级学生，我们应该掌握分式的基本概念、计算方法和应用。
本文将围绕上海七年级数学分式知识点，进行详细的论述。
一、分式的基本概念分式是指由分子和分母构成的数学表达式，通常表示为$\frac{a}{b}$（其中a和b为整数，且b不等于0）。
其中，a称为分子，b称为分母。
分式具有除法运算的性质，我们可以将分式的计算方式看作分子除以分母的结果。
二、分式的化简化简是分式中常见的操作之一，其中包括约分、通分、分子分母提公因数等基本技巧。
在分式的化简过程中，我们需要保证操作的正确性，以保证最终得到的结果是正确的。
1. 约分约分是分式化简的重要步骤之一，它是指将分子与分母的公因数全部约去，使得分子和分母中不含有相同的因数。
例如，将$\frac{10}{20}$化简为$\frac{1}{2}$，我们可以发现分子和分母都有公共因子10，那么我们可以将分子和分母同时除以10，得到最简分式$\frac{1}{2}$。
2. 通分通分是指将两个分母不同的分式化成相同分母的形式，以便进行加减运算。
例如，将$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$的通分为$\frac{5}{15}$和$\frac{6}{15}$，那么它们就可以进行加减运算。
通分的原则是将分母相乘，并同时将分子乘以相应的分母倍数，使得分式的分母相同。
3. 分子分母提公因数分子分母提公因数也是分式化简中经常使用的技巧之一。
对于分式$\frac{ab}{cd}$，我们可以将分子和分母分别进行因数分解，然后将相同的因数约掉，得到最简分数形式。
例如，将$\frac{15}{20}$化简为$\frac{3}{4}$，我们可以先将15和20分别分解为$3\times5$和$2^2\times5$，然后将分子和分母同时约掉因子5，得到最简分式$\frac{3}{4}$。
上海 7年级数学 分式的加减乘除
上海 7年级数学 分式的加减乘除一、同分母的分式加减 复习提问1．计算：5152231321++）；（）（2.同分母分数的加减法法则是什么？（同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。
）3.同分母的分式加减法法则式子表示：cba cbc a ±=±4.例题分析例1 计算：2222223223yx yx y x y x y x y x --+-+--+ 分析：此题是将同分母（x 2-y 2）的分式相加减，只要分母（x 2-y 2）不变，把分子(x+3y)、(x+2y)、(2x-3y)相加减即可。
初学时应将分子看成整体来处理。
解：2222223223yx yx y x y x y x y x --+-+--+ y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y x +=-+-=--=--+--+=--++-+=2))(()(2223223)32()2()3(222222注意：1.分数线有括号作用，分子相加减时，要加括号。
2.计算结果必须是最简分式或整式。
例2 计算：mn mn m n m n n m ---+-+22 提问：这是同分母吗？如何把它化为同分母？ 解：m n m n m n m n n m ---+-+22=m n mm n n m n n m m n m m n n m n n m -----+=----+-+222)(2 1222)2(=--=---+=---+=mn mn m n m n n m m n m n n m提问：可以化为（m-n ）吗？（解题时要注意符号） 小结1. 同分母的分式加减法法则。
2.“把分子相加减”是指分子的整体。
3.有些题的表面不是同分母，但稍加变形即可。
如：例2、练习中第3题第2小题。
二、异分母加减1、与异分母分数的加减法法则类似，异分母分式的加减法法则是：异分母分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 的加减法法则进行计算。
沪科版七年级数学下册复习资料-解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧
解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入1．已知1a －1b ＝13，则ab 6a －6b的值为( ) A .12 B ．－12C ．2D ．－2 2．若a 2＋b 2＝3ab ，求分式⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b 的值．◆类型二 巧妙变形，构造代入3．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1的值是( ) A .12 B ．2 C .13D ．3 4．★若x －1x ＝4，则x 4＋x 2＋1x 2＝________． 5．★★已知a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b)的值．◆类型三 参数辅助，多元归一6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．7．已知a ＋b a －b ＝32，求分式a 2－b 2ab 的值．◆类型四 打破常规，倒数代入8．★已知x x 2＋x ＋1＝13，求x 22x 4－3x 2＋2的值．9．★★已知ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc的值．参考答案与解析1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6（a －b ）＝－3（a －b ）6（a －b ）＝－12. 2．解：⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2（a －b ）2＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12. 4．19 解析：已知等式两边同时平方得⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，则x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c＋1b )－1＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b)(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k （2k ）2＋（3k ）2＋（4k ）2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629. 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得⎩⎨⎧a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x ＝2.所以x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2＝4－2＝2.所以2x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2＝1.9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c＝16.。
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解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入
1．已知1a －1b ＝13，则ab 6a －6b
的值为( ) A .12 B ．－12
C ．2
D ．－2 2．若a 2＋b 2＝3ab ，求分式⎝⎛⎭⎫1＋2b 2
a 2－
b 2⎝⎛⎭
⎫1＋2b a －b 的值．
◆类型二 巧妙变形，构造代入
3．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1
的值是( ) A .12 B ．2 C .13
D ．3 4．★若x －1x ＝4，则x 4＋x 2＋1x 2
＝________． 5．★★已知a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b
)的值．
◆类型三 参数辅助，多元归一
6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．
7．已知a ＋b a －b ＝32
，求分式a 2－b 2ab 的值．
◆类型四 打破常规，倒数代入
8．★已知x x 2＋x ＋1＝13，求x 2
2x 4－3x 2＋2
的值．
9．★★已知ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc
的值．
参考答案与解析
1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6（a －b ）＝－3（a －b ）6（a －b ）
＝－12
. 2．解：⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2（a －b ）2
＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab
＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12
. 4．19 解析：已知等式两边同时平方得⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，则x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2
＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c
＋1b )－1＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b
)(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k （2k ）2＋（3k ）2＋（4k ）2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629
. 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得⎩
⎨⎧a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13
，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x ＝2.所以x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2＝4－2＝2.所以2x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2
＝1.
9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c
＝16
.
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。
3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。
所以，乐观地面对人生吧！。