知识讲解 二项式定理(理)(提高)110
高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）
高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）每个人都可以通过不断学习、积累知识来提高自己的竞争力和创造力。
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下面就让小编给大家带来高中数学二项式定理知识点总结，希望大家喜欢!高中数学二项式定理知识点总结篇1空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
高中数学二项式定理知识点总结篇21、求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(2)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(3)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数，则f(x)0恒成立。
二项式定理知识归纳与总结
二项式定理重点、难点解析：1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律：二项式定理:*222110,)(N n b C b a C b a C b aC a C b a nn nrrn r nn nn nnnn∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+---,),,2,1,0(n r C r n⋅⋅⋅=叫二项式系数（0≤r≤n ）.通项用1+r T 表示，为展开式的第r+1项，且1+r T ＝rrn r nb aC -, 注意项的系数和二项式系数的区别.2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. ①②),,2,1,0(n r Cr n⋅⋅⋅=先增后减.n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为2nn C ；n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为.③nn rn nnnnC C C C C +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+210)11(.即各二项式系数的和为n2.131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n nn n n C C C C 3．二项式从左到右使用为展开，从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +，然后依据条件先确定r 的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项例1 （2006山东卷）已知(x x 12-)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是（）(A )－1(B)1(C)－45(D)452. 求有理项例2 已知*41(),2n x n N x+∈的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
3. 求幂指数为整数的项求幂指数为整数的项例3（2006年湖北卷）在2431()xx-的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（的幂的指数是整数的项共有（ ）A．3项B．4项C．5项D．6项4. 求系数最大的项求系数最大的项例4 已知*41(),2nx n Nx+∈的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
数学二项式定理知识点
数学二项式定理知识点
二项式定理是李斯特等人发现的最实用的定理之一，主要用于描述一些具有概率性质的问题，它根据事件A、B分别发生n次和m次，它们同时发生r次的概率之间的一种关系。
事件A、B可以表示投掷一次骰子、投掷两次骰子，扔掷一次硬币、扔掷两次硬币等不确定的事件。
二项式定理可以说明：事件A、B发生r次的概率可以表示为：
其中nCr表示从n个无序的不同元素中任取r个元素，并且按顺序排列起来所组成组合的个数。
特别的，当n=1时，二项式定理可以用下式表示：pA+pB=1，其中pA、pB分别代表对应事件发生的概率。
例如，投掷一次硬币的事件A和B分别是“正面”和“反面”发生的概率，则pA+pB=1，其中pA=pB=0.5。
二项式定理是概率统计中的重要定理，它的特点是可以解决一次(或多次)不确定事件发生次数的问题，即多次试验的随机变量(如抛硬币)。
在实际应用中，它也可以用来处理一次事件内容有n种可能情况，其中r种发生情况出现的概率，以及多个事件发生概率的关系等问题。
二项式定理可以也可以用来解决医学、金融等实际问题，例如药物副作用、金融期权等。
在医学上，它可用来表示某种药物给患者发作的概率reg=pA*pB*...，这就是某种长期服用的药物发作的情况；在金融上，它可以用来研究一定期限内可以购买某种期权的概率，即根据资本金额，在期限内获利的概率，即reg=pA*pB*...，可以表示投资者在某段期间获取获利的概率。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结二项式定理是高中数学中的重要知识点，它是代数中的一个基本定理，也是数学中的一个重要定理。
二项式定理在数学中有着广泛的应用，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际问题中也有着重要的应用价值。
本文将对高中数学二项式定理的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识点。
一、二项式定理的基本概念。
二项式定理是指对于任意实数a、b和非负整数n，都有以下公式成立：\((a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1} b^1 + C_n^2a^{n-2} b^2 + ... +C_n^na^0 b^n\)。
其中，\(C_n^k\)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数，它的计算公式是：\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
二项式定理的基本概念就是利用组合数的性质，将二项式展开成多项式的形式，从而方便进行计算和运用。
二、二项式定理的应用。
1. 多项式展开。
二项式定理可以方便地将一个二项式展开成多项式的形式，从而简化计算。
例如，对于(a+b)²和(a+b)³，可以利用二项式定理将其展开成多项式的形式，从而方便进行计算。
2. 组合数的计算。
二项式定理中的组合数\(C_n^k\)在实际问题中有着重要的应用，例如在概率论、统计学等领域中，经常需要计算从n个不同元素中取出k个元素的组合数，而二项式定理提供了一种方便快捷的计算方法。
3. 概率计算。
二项式定理在概率计算中有着重要的应用，例如在二项分布中，就涉及到了二项式定理的应用。
通过二项式定理，可以方便地计算出在n次独立重复试验中成功次数为k的概率。
三、二项式定理的推广。
除了普通的二项式定理外，还有二项式定理的推广形式，如多项式定理、负指数幂的二项式定理等。
这些推广形式在数学理论和实际问题中都有着重要的应用价值，可以进一步丰富和拓展二项式定理的应用领域。
知识讲解二项式定理(理)(基础)110
知识讲解二项式定理(理)(基础)110-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二项式定理【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。
式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr n T C a b -+=，其中的系数r n C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n n nn n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈) ②122(1)1n r rn nn n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。
要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C a b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。
知识讲解 二项式定理(理)(基础)110
二项式定理【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。
式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。
要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理的陈述：对于任意正整数nnn和非负整数kkk，二项式(a+b)n(a+b)^n(a+b)n的展开式中的第k+1k+1k+1项可以表示为Tk+1=Cnk⋅an−k⋅bkT_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdotb^kTk+1=Cnk⋅an−k⋅bk其中CnkC_n^kCnk表示从nnn个不同项中选取kkk个的组合数，即Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk=k!(n−k)!n!2. 二项式展开的通项公式：二项式(a+b)n(a+b)^n(a+b)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr⋅an−r⋅br,r=0,1,2,…,nT_{r+1} = C_n^r \cdot a^{n-r} \cdot b^r, \quad r=0,1,2,\ldots,nTr+1=Cnr⋅an−r⋅br,r=0,1,2,…,n3. 二项式系数的性质：* 对称性：$C_n^k = C_n^{n-k}$* 最大值：当$n$为偶数时，二项式系数在$k = \frac{n}{2}$时取得最大值；当$n$为奇数时，二项式系数在$k = \frac{n-1}{2}$和$k = \frac{n+1}{2}$时取得最大值。
* 帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）：二项式系数可以排列成一个三角形，称为帕斯卡三角形，每一行的数字是上一行相邻两个数字的和。
二项式定理的应用：二项式定理广泛应用于代数、组合数学、概率论和统计学等领域。
它常被用于计算二项式幂的展开式、求解组合问题、推导数列的通项公式等。
通过掌握二项式定理的知识点，可以更好地理解和应用二项式展开的相关概念和方法。
二项式定理公式解析
二项式定理公式解析二项式定理啊，这可是数学里一个相当重要的知识点！咱们先来说说啥是二项式定理。
想象一下，你有两个袋子，一个袋子里装着苹果，一个袋子里装着香蕉。
现在你要从这两个袋子里选水果，选的方式有很多种，比如只选苹果、只选香蕉、或者苹果香蕉都选。
这选水果的不同组合方式就有点像二项式定理里的展开项。
二项式定理的公式是：$(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1}b^1+ C(n,2)a^{n-2}b^2 + \cdots + C(n,n)a^0 b^n$ 。
这里面的$C(n,k)$ 叫做组合数，表示从$n$个元素中选出$k$个元素的组合数。
咱就拿个简单的例子来说，比如$(x + 1)^2$ 。
按照二项式定理展开，那就是$C(2,0)x^2 1^0 + C(2,1)x^1 1^1 + C(2,2)x^0 1^2$ ，算一下，$C(2,0)=1$ ，$C(2,1)=2$ ，$C(2,2)=1$ ，所以展开就是$x^2 + 2x + 1$ 。
再比如说，有一次我去菜市场买菜，想买西红柿和鸡蛋。
西红柿 3块钱一斤，鸡蛋 5 块钱一斤。
我准备买$ (西红柿 + 鸡蛋)^3$ 。
哈哈，开个玩笑，其实就是按照二项式定理来算一下，如果我买3 斤的组合，有多少种价格的可能性。
展开之后就是$西红柿^3 + 3\times 西红柿^2\times 鸡蛋 + 3\times 西红柿\times 鸡蛋^2 + 鸡蛋^3$ 。
这就相当于有4 种不同的价格组合。
在实际生活中，二项式定理也有不少用处呢。
比如计算概率问题，像抛硬币，正面朝上和反面朝上的概率计算，就可能用到二项式定理。
还有在工程学、物理学等领域，也常常能看到它的身影。
总之，二项式定理虽然看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，就能把它拿下！别被它一开始的样子唬住，其实它就像个纸老虎，一戳就破！所以啊，同学们，好好掌握二项式定理，以后碰到相关的问题，就能轻松应对啦！。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的定义二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的整数次幂可以被展开为一系列项的和。
这个定理可以表示为：\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)其中，\( a \) 和 \( b \) 是任意实数或复数，\( n \) 是非负整数，\( \binom{n}{k} \) 是组合数，表示从 \( n \) 个不同元素中取出\( k \) 个元素的组合数。
二、组合数的计算组合数 \( \binom{n}{k} \) 可以通过以下公式计算：\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)其中，\( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘，即 \( n \) 乘以所有小于\( n \) 的正整数的乘积。
三、二项式展开式的通项公式二项式定理中的第 \( k+1 \) 项（从 0 开始计数）可以表示为：\( T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)这个公式用于直接计算二项式展开式中的特定项。
四、二项式定理的性质1. 二项式定理适用于所有实数和复数的二项式。
2. 当 \( a = b = 1 \) 时，二项式定理可以用来计算 \( 2^n \)。
3. 二项式定理中的项数总是等于指数 \( n+1 \)。
4. 当 \( n \) 为奇数时，展开式中的中间项的系数是最大的。
五、二项式定理的应用1. 计算概率论中的概率组合问题。
2. 解决物理学中的组合问题，如碰撞问题。
3. 在代数中，用于简化多项式的乘法和开方运算。
4. 在几何学中，用于计算多边形的对称性质。
六、特殊情形1. 当 \( n = 0 \) 时，二项式定理简化为 \( (a + b)^0 = 1 \)。
2. 当 \( a = 1 \) 时，二项式定理可以用来计算 \( (1 + b)^n \)的值。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理重点讲解
重点讲解1．二项式定理（1）二项式定理※这个公式表示的定理叫做二项式定理．（2）二项式系数、二项式的通项在※式中它的右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：（3）二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．（4）几点注意①通项是的展开式的第项，这里②二项式的项和的展开式的第项有是区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把－b看成b代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设，则得公式．在解题时要经常用到．2．二项式系数的性质（1）杨辉三角形《九章算术》杨辉对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算…………………1 1………………1 2 1……………1 3 3 1…………1 4 6 4 1………1 5 10 10 5 1……1 6 15 20 15 6 1……表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著出《详解九章算法》一书里就已出现，反映了我国古代数学发展的成就，显示了我国古代劳动人民的智慧和才能．如下图叫杨辉三角，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数．参看动画演示：杨辉三角（2）二项式系数的性质前面介绍了二项式系数，利用“杨辉三角”可以帮助我们观察二项式系数的性质．下面再从函数角度入手，研究一下二项式系数．展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是r为自变量的函数，其定义域是：．当时，的图象为下图．这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如…），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．当n是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为③二项式系数的和为，即．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即．。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、二项式的定义：二项式是指两个数的和或差，可以用如下形式表示：(a+b)^n或(a-b)^n其中，a和b是常数，n是正整数，n称为指数。
二、二项式的展开：1.二项式定理（加法形式）：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-2)a^2b^(n-2)+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。
2.二项式定理（减法形式）：(a-b)^n=C(n,0)a^nb^0-C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2-...+(-1)^(n-2)C(n,n-2)a^2b^(n-2)-(-1)^(n-1)C(n,n-1)a^1b^(n-1)+(-1)^nC(n,n)a^0b^n注意，在减法形式的展开中，减号和负号交替出现。
三、二项式的性质：1.二项式展开的项数为n+1个；2.二项式展开的项之和为2^n；3.二项式展开式中各项的指数和为n；4.二项式展开式中各项的系数为C(n,k)。
四、二项式系数的计算：使用组合数的性质可以计算二项系数：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，!表示阶乘。
五、二项式定理的应用：另外，二项式展开还可以用于解决数学中的各种问题，如排列组合、概率论、代数等等。
在组合数学中，二项式系数有很多应用，例如计算排列数、二项式系数的性质等。
六、帕斯卡三角形与二项式系数：帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一种数列，其性质如下：1.三角形的第n行有n+1个数；2.三角形的边界数都是1；3.三角形的每个数等于它上方两个数之和；4.三角形的第n行第k个数等于C(n,k)。
通过帕斯卡三角形可以方便地计算二项系数，也可以获得二项式展开的各项系数。
综上所述，二项式定理是数学中的重要概念，它描述了二项式的展开形式，可以方便地计算逐项系数和整个展开式。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、二项式系数在介绍二项式定理之前，我们首先要了解二项式系数。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，它表示了从n个不同元素中取出k个元素的所有可能组合的数量。
二项式系数通常用符号表示，其计算公式如下：\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]其中，n表示元素的总数，k表示需要取出的元素的数量，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1。
二项式系数的计算公式是非常基础和重要的，它在组合数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
二项式系数也可以用Pascal三角形来进行计算，Pascal三角形是一个由数字排列成的三角形，每个数字等于它上方两个数字的和。
Pascal三角形的第n行第k列的数字就是二项式系数\(\binom{n}{k}\)。
二、二项式定理的公式二项式定理是代数中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]其中，\(a\)、\(b\)表示实数或复数，\(n\)表示非负整数。
公式中的\(\sum\)表示求和，\(\binom{n}{k}\)表示二项式系数。
公式右边的表达式表示了一个二项式的\(n\)次幂展开式，其中\(a^{n-k}\)和\(b^k\)表示了\(a\)和\(b\)的幂次，\(\binom{n}{k}\)表示了展开式中每一项的系数。
二项式定理的公式是非常重要的，它在代数、组合数学和概率论等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对一个二项式的幂展开式进行求和或分析，二项式定理提供了一个非常方便的方法来进行这些计算。
三、二项式定理的应用二项式定理在代数、组合数学和概率论等领域都有着广泛的应用，下面我们将分别介绍一些常见的应用。
1. 代数在代数中，二项式定理可以用来求解多项式的幂展开式。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。
n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。
n4n34C。
13D.n43例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结
二项式定理是一个关于排列组合计算的定理。
它是已知整数n和k，该定理对应于n个不同对象从中挑选k个对象，排列组合共有
$ C_{n}^{k}\\$种情况。
主要包括：
一、定义：
二项式定理定义为：令$ C_{n}^{k}\\$表示从n个不同的元素中取出k
个元素的所有可能组合，则有
$$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
二、特点：
（1）二项式有逆元素：$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
（2）$C_{n}^{k}$是一个单调函数，即$k\gt n-k$时，$C_{n}^{k}$是一个单增函数，反之$C_{n}^{k}$是一个单减函数。
（3）$C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1$
三、应用：
二项式定理应用主要是赋予概率分布、抽样、计算机科学以及计算复
杂性等，它们在统计学上大量应用，其特点是一次可以抽取多个，也可以不抽取，以及抽取的元素之间的顺序无所谓，这都可以用二项式定理来解决；并且它也可以应用在记忆过程，以及各类技术中。
二项式定理知识点总结资料精选全文
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二项式定理知识点总结资料
二项式定理（Binomial Theorem）是一个数学定理，可以用来求解幂次方程。
它可以表示成以下形式：（a + b）^n = Σ_(k=0)^nC_n^ka^(n-k)b^k
其中，C_n^k表示组合数（Combinatorial Number），即从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式定理的应用包括但不限于：
1. 快速计算多项式的值：可以使用二项式定理快速计算多项式的值，如：
(x+y)^7=x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y ^5+7xy^6+y^7；
2. 求解极值问题：在求解极值问题时，二项式定理可以用来求解函数的极值；
3. 计算组合数：可以用二项式定理来计算组合数，如：C_n^k = n!/(k!*(n-k)!)；
4. 计算排列数：可以用二项式定理来计算排列数，如：P_n^k = n!/(n-k)!
5. 求解方程：可以用二项式定理来求解方程，如：F(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1。
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二项式定理【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。
式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。
要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。
要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导。
在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。
n b a )(+展开式中的二项式系数,当n 依次取1,2,3,…时,如下表所示:1)(b a +………………………………………1 1 2)(b a +……………………………………1 2 1 3)(b a +…………………………………1 3 3 14)(b a +………………………………1 4 6 4 1 5)(b a +……………………………1 5 10 10 5 1 6)(b a +…………………………1 6 15 20 15 6 1…… …… ……上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。
用组合的思想方法理解(a+b)n 的展开式中n r r a b -的系数rn C 的意义：为了得到(a+b)n 展开式中n r r a b -的系数，可以考虑在()()()na b a b a b +++这n 个括号中取r 个b ，则这种取法种数为r n C ，即为n r r a b -的系数．2.()na b +的展开式中各项的二项式系数0n C 、1n C 、2n C …nn C 具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即rn n r n C C -=； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2n n C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数21-n n C ，21+n n C 相等，且最大.③各二项式系数之和为2n，即012342nn n n n nn n C C C C C C ++++++=；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C 。
要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项r r n r nb a C -的二项式系数是组合数rn C ，展开式的系数是单项式r r n r n b a C -的系数，二者不一定相等。
如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r r r n T C a b -+=-，在这里对应项的二项式系数都是rn C ，但项的系数是(1)r rn C -，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．3.()na b c ++展开式中p q ra b c 的系数求法（,,0p q r ≥的整数且p q r n ++=）rq q r n q r n r n r r n r n n n c b aC C c b a C c b a c b a ----=+=++=++)(])[()( 如：10)(c b a ++展开式中含523c b a 的系数为!5!2!3!105527310⨯⨯=C C C要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
要点四：二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a ，b ，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a 、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++(1) 令x=0，则0(0)na fb ==(2)令x=1，则012(1)()n n a a a a f a b ++++==+(3)令x=－1，则0123(1)(1)()n n n a a a a a f a b -+-+-=-=-+(4)024(1)(-1)2f f a a a ++++=(5)135(1)-(-1)2f f a a a +++=3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：98322--+n n 能被64整除（*N n ∈）4.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①nx x n +>+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++>+；（0>x ） 如：求证：n n)11(2+< 5.进行近似计算：求数的n 次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。
当||x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①nx x n+≈+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+； 如：求605.1的近似值，使结果精确到0.01； 【典型例题】类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数例1. 求52322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式的展开式．【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号．【解析】（1）解法一：52322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2305142332555522223333(2)(2)(2)(2)2222C x C x C x C x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4545552233(2)22C x C x x ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52471018013540524332120832x x x x x x =-+-+-解法二：5352103(43)2232x x x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 0351342332332343455555555101[(4)(4)(3)(4)(3)(4)(3)(4)(3)(3)]32C x C x C x C x C x C x =+-+-+-+-+- 1512963101(10243840576043201620243)32x x x x x x=-+-+- 52471018013540524332120832x x x x x x =-+-+-。
【总结升华】 记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简捷． 举一反三：【变式】求6⎛⎝的二项式的展开式．【答案】先将原式化简。
再展开．66631(21)x x ⎛==- ⎝061524334256666666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)]C x C x C x C x C x C x C x=-+-+-+ 31x =654321(6419224016060121)3x x x x x x x =-+-+-+ 例2．试求：（1）(x 3－22x )5的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x1)6的展开式中的常数项；【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数n ，然后再求展开式中含x 的项．因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式．【解析】（1）T r ＋1＝r r r rr rx C xx C 51552535)2()2()(---=-依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2rC 5＝40为所求x 5的系数（2）T r ＋1＝rC 6(2x 2)6-r r x)1(-＝(－1)r ·26-r ·rrx C 3126-依题意12－3r ＝0，解得r ＝4 故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项．【总结升华】1.利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的r 是多少；2. 注意系数与二项式系数的区别；3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。
举一反三：【变式1】求291()x x-的展开式中3x 的二项式系数及3x 的系数.【答案】126，126-；通项291831991()()(1)rr r r r r r T C x C x x--+=⋅-=-⋅⋅，∵1833r -=，∴5r =，故展开式中3x 的二项式系数为5499126C C ==， 3x 的系数为559(1)126C -⋅=-.【变式2】求153)1(xx -的展开式中的第4项.【答案】52455x -；15531533336241515((1)455T C C x x -=⋅=-⋅⋅=-。