对张正友标定的理解
张正友标定算法原理详解
张正友标定算法原理详解
张正友标定算法是一种多摄像机标定的有效方法，它使用了一个具有内部参考点的3D物体来检测至少6个相互独立的2D-3D配准，从而确定每个摄像机之间的关系。
该算法的优点在于它能够利用棋盘格子上的多个点，从而使得标定更加可靠。
张正友标定算法主要分为三步：
(1)首先获取所有摄像机的内参和外参，这些参数表示每个摄像机的视角和位置，包括焦距、畸变参数和旋转参数等信息。
(2)计算每个摄像机的平面坐标系，这些平面坐标系将求解的不同摄像机之间的关系。
(3)把实际的物体点映射到每个摄像机的平面坐标系中，并计算所有摄像机之间的关系。
最后，张正友标定算法可以得出每个摄像机的位置和姿态，从而实现多摄像机视角的标定。
张正友相机标定算法
说了
n
m
^ 2 || mij m( A, Ri, ti, Mj ) ||
i 1 j 1
用的是Levenberg-Marquardt迭代算法拟合的，具体就不
即：
（11）
Vb 0
（12）
张的相机内参求解
V是2 6矩阵，也就是说每张照片可以建立两个 方程组，6个未知数。则需要6个方程就可以解出， 所以至少需要3张照片就可以解出来未知数，b矩 阵的解出，相机内参矩阵K就确定了，从而每张 图片的(R,t)也可以确定。
参数优化
根据已经求解出的参数，我们将每张图像的控制 点根据参数重新投影到三维空间，最小化与真实 值的差异，就是建立非线性最小化模型：
vij
vij T b
（9） （10）
T [hi1hj1, hi1hj 2 hi 2hj1, hi 2hj 2, hi 3hj1 hi1hj 3, hi 3hj 2 hi 2hj 3, hi3hj 3]
张的相机内参求解
根据内参限制条件(4)和（5）式：
T v12 b 0 (v11 v 22)T
（6）
我们可知B矩证是一个对称矩阵，所以可以写成 一个6维向量形式：
T b [ B11, B12, B 22, B13, B 23, B33] （7）
张的相机内参求解
我们把H矩阵的列向量表示为：
T hi [ hi1, hi 2, hi 3]
根据（8）式将（4）式改写成：
（8）
hi T B hjFra bibliotek过事先做好的棋盘获取。所以每张图片可以计算出一个
单应性举证H。
张算法的内参限制
我们把单应性矩阵H写成3 3 的3个列向量形式，则H也 可写成：
张正友标定法matlab代码
张正友标定法是相机标定中常用的一种方法，通过该方法可以实现相机内外参数的标定。
在使用张正友标定法进行相机标定时，需要编写相应的matlab代码来实现算法。
下面将介绍如何使用matlab实现张正友标定法，并给出相应的matlab代码。
1. 准备标定板图像首先需要准备一组包含标定板的图像，标定板上应具有特定的特征点，例如棋盘格。
这些图像将用于计算相机的内外参数。
2. 读取标定板图像使用matlab的imread函数读取准备好的标定板图像，将图像存储为一个cell数组。
```matlabimages = cell(1,N);for i = 1:Nfilename = ['image',num2str(i),'.jpg'];images{i} = imread(filename);end```3. 提取标定板角点利用matlab的detectCheckerboardPoints函数提取标定板图像中的角点坐标，将提取的角点保存到一个cell数组中。
```matlabimagePoints = cell(1, N);for i = 1:NI = images{i};[imagePoints{i}, boardSize] = detectCheckerboardPoints(I); end```4. 标定相机参数使用matlab的estimateCameraParameters函数对提取的角点进行相机参数标定，得到相机的内外参数。
```matlab[cameraParams, imagesUsed, estimationErrors] = estimateCameraParameters(imagePoints, worldPoints,'EstimateSkew', true, 'EstimateTangentialDistortion', true);```5. 查看标定结果可以利用标定得到的相机参数对新的图像进行矫正，并查看标定结果的精度。
张正友标定法
小组成员：张文豪 张智宇 陈宇
一、张正友标定法简介
目 二、张正友标定法数学原理 录 三、张正友标定法程序实现
四、标定实验及结果
张正友标定法 简介
像机标定：
建立摄像机图像像素位置与场景点位置 之间的关系，其途径是根据摄像机模型， 由已知特征点的图像坐标求解摄像机的 模型参数。
➢ 张正友标定法是张正友教授于1998年 在名为“A Flexible New Technique for Camera Calibration”一文中提 出的单平面棋盘格的摄像机标定方法。
➢ 透视投影
像平面 光心
f z
x=RX +
r01 r11
r02 r12
X Y
Tx Ty
z r20 r21 r22 Z Tz
[R,T]矩阵被称为外参数
光轴
K=
x f
y
0
1 0
K1K2
0 0 xc
f
0
yc
0 1 zc
u 1/ dx
v
B
K
T
K
1
B21
B22
B23
B31 B32 B33
b [B11, B12 , B22 , B13, B23, B33 ]
化简 hiT Bhj VijTb 得：
Vij [hi1hj1, hi1hj2 hi2hj1, hi2hj2 , hi3hj1 hi1hj3 , hi3hj2 hi2hj3 , hi3hj3 ]T
0
1 0
0 1/ dy
0
u0 x
v0
y
1 1
K矩阵被称为内参数
K1 K2
➢ 单应性映射
摄像机标定张正友教材
~ ~ sm HM
上式中包含XY 两个方程；H为3乘3矩阵，包 含一个齐次坐标与8个未知数，要求出H，至 少需要8个方程，也就是说，一幅图片至少需 要已知的4个点才能求出H。
求解内置参数矩阵A
r1 r2 1
1
A 1h1 A 1h2
T T 1 h1 A A h2 0
T T 1 T T 1 h1 A A h1 h2 A A h2
精度高，过程复杂，需要高精度已知信息。 2.主动视觉摄像机标定方法 已知摄像机的某些运动信息。可线性求解，鲁棒性高， 但大多数场合不能得到摄像机运动信息。 3.摄像机自标定方法 靠多幅图像之间的关系进行标定，灵活性强，非线性 标定， 鲁棒性不高。
2 成像变换与摄像机模型、参数
• 图像数字化
O1在 u , v 中的坐标为 u 0 , v0 象素在轴上的物理尺寸为 dx, dy
基于三个非共线点在特殊运动下的摄像机标定
• 我们知道至少三点可以确定一个平面，而张正友的标定方 法正是基于两个平面的匹配，所以三个非共线点的标定方 法理论是可行的。 该方法步骤： • 1 旋转3个非共线点 • 2 得到中心点O与o坐标 • 3 根据约束条件建立方程 • 4 求解内参矩阵K • 5 求解外参[R，t] 图像的成像模式：
(v11 v22 )T b 0
T
vij b
T
h A A h2 0
T T 1 h1T AT A1h1 h2 A A h2
v12T b 0 (v11 v 22)T
Vb 0
• Ｂ矩阵的解出，相机内参矩阵A也就求解出，从而每张图像的 R，t也迎刃而解
6.通过求最小参数值，优化所有的参数
相机标定原理张正友法
相机标定原理张正友法
相机标定是指通过对相机的内部参数和外部参数进行精确测量
和计算，建立相机模型的过程。
其中，张正友法就是一种常用的相机标定方法，主要原理是利用一些已知的3D空间点和它们在2D图像中的对应点，通过最小二乘法求解相机的内外参数。
在具体实现中，首先需要采集一组已知的3D空间点和它们在2D 图像中的对应点。
然后，通过对这些点进行处理，计算出相机的内部参数，包括焦距、畸变系数等。
接着，利用已知的3D空间点和它们在2D图像中的对应点，求解相机的旋转矩阵和平移向量，即相机的外部参数。
最后，将求得的内部参数和外部参数结合起来，建立相机模型，从而可以用于图像的校正、三维重建等应用。
需要注意的是，张正友法还可以通过多次采集不同位置的图像，并利用薄板法进行标定，提高标定结果的精度。
- 1 -。
张正友标定法
内外参数求解 令：
B11 B K T K 1 B21 B31 B12 B22 B32 B13 B23 B33
b [B11, B12 , B22 , B13 , B23 , B33 ]
化简
hiT Bhj VijT b
得：
Vij [hi1hj1, hi1hj 2 hi 2hj1, hi 2hj 2 , hi3hj1 hi1hj 3 , hi 3hj 2 hi 2hj 3 , hi 3hj 3 ]T
透视投影
像平面 光心 光轴
K = K1K2
x f y 0 1 0 0 f 0 0 xc y 0 c 1 zc
K1
0 u0 x u 1/ dx v 0 1/ dy v0 y 0 1 1 0 1
K2
f
z
K矩阵被称为内参数
单应性映射
X u X Y K [ r r r t ] K [ r r t ]Y s v 1 2 3 1 2 0 1 1 1
单应性(homography)： 在计算机视觉中被定义 为一个平面到另一个平面的 投影映射。
内参解算
畸变矫正
V12 (V V )T b 0 11 22
由于摄像机有5个未知内参数，所 以当所摄取得的图象数目大于等 于3时，就可以线性唯一求解出K。
内参数
v0 ( B12 B13 B11 B23 ) / ( B11 B12 B12 2 ) 2 B33 [ B13 v0 ( B12 B13 B11 B23 )] / B11 / B 11 2 ) B11 / ( B11 B12 B12 2 B / 12 2 u0 v0 / B13 /
相机几何标定方法
相机几何标定方法
1. 嘿，你知道吗？相机几何标定方法之一就是张正友标定法哦！就好像给相机戴上了一副超级精准的眼镜，让它能看清这个世界的每一个角落。
比如你想拍一个小小的玩具，通过张正友标定法，就能让玩具的每个细节都清晰呈现，是不是很神奇呀？
2. 哇塞，还有棋盘格标定法呢！这就像是相机的秘密武器呀。
想象一下，把那棋盘格放在那里，相机就能通过它找到自己的定位，然后拍出超棒的照片。
就像你根据地图找到宝藏一样，棋盘格就是相机的宝藏地图，酷不酷？
3. 嘿呀，直接线性变换标定法也很厉害呢！它就如同给相机安装了一个精准的导航系统，能够指引相机拍出最完美的画面。
比如你拍一座大楼，它能让相机准确找到最佳角度，把大楼的雄伟展现得淋漓尽致，这可太牛啦！
4. 还有自标定法哦！这简直就是相机的自我探索之旅呀。
它不用借助其他外在的东西，自己就能慢慢摸索出怎么来标定。
就好像一个勇敢的探险家，自己在未知的领域探索出正确的道路，是不是很了不起？
5. 哇哦，圆形标定法也是有意思得很呢！相机通过识别那些圆圆的东西来校准自己，就好比我们通过认路牌找到目的地一样。
你想想看，当相机通过这些圆形准确找到拍摄的方向，多有意思呀！
6. 最后呀，Bundle 调整标定法也不能落下呀！它就像是一个神奇的魔术棒，能让相机的标定效果达到最佳。
就如同一场精彩的魔术表演，最后呈现出令人惊叹的效果，你能不期待吗？
在我看来呀，这些相机几何标定方法都各有各的神奇之处，它们能让相机变得更强大，为我们拍出更多精彩的照片！。
相机标定实验报告
相机标定一、实验原理相机标定就是求解相机的内参数以及畸变参数的过程。
相机的标定主要有两种：传统的摄像头标定方法和摄像头自标定方法，典型的有：（1）Tsai（传统的标定方法）；（2）张正友（介于传统和自标定之间）。
1999年，微软研究院的张正友提出了基于移动平面模板的相机标定方法。
此方法是介于传统标定方法和自标定方法之间的一种方法，传统标定方法虽然精度高设备有较高的要求，其操作过程也比较繁琐，自标定方法的精度不高，张正友标定算法克服了这两者的缺点同时又兼备二者的优点，因此对办公、家庭的场合使用的桌面视觉系统(DVS)很适合。
张正友标定方法由于简单、效果好而得到广泛使用。
张正友标定法的标定步骤：1、打印一张模板并贴在一个平面上；2、从不同角度拍摄若干张模板图像；3、检测出图像中的特征点；4、求出摄像机的外参数（单应性矩阵）和内参数（最大似然估计）；5、求出畸变系数；6、优化求精。
张正友标定方法的主要思想是：1、相机内参矩阵其中，q 的坐标系是默认的OpenCV 的像素坐标系，Q 的坐标系是标定板坐标系，Z 轴为0，原点在标定板的某个内角点上（标定板上角点的坐标均为[*,*,0]的形式），在OpenCV 3.0中使用的是（[i ∗Squres_Size ，j ∗Square_Size ，0]的形式）。
其中fx 和fy 表示相机x 轴和y 轴的焦距，s 表示成像平面x 轴和y 轴的不正交性。
2、基础公式对于不同位置的棋盘格到相机的成像，可以使用下面的公式进行表示：其中，[R|t]表示棋盘格坐标系相对于相机坐标系的位姿。
把矩阵R 和M ~写开，如下式所示：进行化简得：其中[u v 1]是已知量，[X Y 1]也是已知量，A 和[r1 r2 t]是未知量。
其中H=A[r1 r2 t]又叫做单应性矩阵，可以使用下面的3中所述的方法求解。
3、单应矩阵求解这里使用的方法基于最大似然准则：假设提取的m 存在均值为0，噪声协方差矩阵为的高斯白噪声。
张正友相机标定法
这里，矩阵H就是从世界坐标系到图像坐标系的3×3大小的单应性矩阵。 对H再次进行变形，假设h1,h2,h3是H的列向量，有：
H h1 h2 h3 Ar1 r2 t
r1
1
A1h1
r2
1
A1h2
r12 r22 r32 1 r1 • r2 r2 • r3 r3 • r1 0
r1T r2 0
枕形畸变
桶形畸变
线性畸变
1 针孔模型和透视投影
针孔模型：1/f=1/u+1/v 透视投影：中心投影法将形体投射到投影面上
坐标系
• 世界坐标系（Xw Yw Zw） 用户定义的空间三维坐标系，用来描述三维空间中的物体和相机之间的坐标位置，满足右手法 则
• 摄像机坐标系（Xc Yc Zc） 以相机的光心作为原点，Zc轴与光轴重合，并垂直于成像平面，且取摄影方向为正方向，Xc、 Yc轴与图像物理坐标系的x,y轴平行，且OcO为摄像机的焦距f
x0 y0
齐次坐标
x cos
y
sin
1 0
sin c os
0
x0 x'
y0
y'
0 1
r12 r22 1 r1 • r2 0
1 坐标变换
引申到三维空间，第一个阶段：我们依旧从旋转和平移两个步骤 来推算从世界坐标系到相机坐标系的坐标变换，
1 0
0
R ot( x,
)
v0 (B12B13 B11B23 ) /(B11B22 B122 )
B33
[B132
v0 (B12 B13
B11B23 )]/
B11
fu
fv
/ B11 B11 /(B11B22 B122 )
SLAM入门之视觉里程计（6）：相机标定张正友经典标定法详解
SLAM ⼊门之视觉⾥程计（6）：相机标定张正友经典标定法详解想要从⼆维图像中获取到场景的三维信息，相机的内参数是必须的，在SLAM 中，相机通常是提前标定好的。
张正友于1998年在论⽂："A Flexible New Technique fro Camera Calibration"提出了基于单平⾯棋盘格的相机标定⽅法。
该⽅法介于传统的标定⽅法和⾃标定⽅法之间，使⽤简单实⽤性强，有以下优点：不需要额外的器材，⼀张打印的棋盘格即可。
标定简单，相机和标定板可以任意放置。
标定的精度⾼。
相机的内参数设P =(X ,Y ,Z )为场景中的⼀点，在针孔相机模型中，其要经过以下⼏个变换，最终变为⼆维图像上的像点p =(µ,ν):1. 将P 从世界坐标系通过刚体变换(旋转和平移)变换到相机坐标系，这个变换过程使⽤的是相机间的相对位姿，也就是相机的外参数。
2. 从相机坐标系，通过透视投影变换到相机的成像平⾯上的像点p =(x ,y )。
3. 将像点p 从成像坐标系，通过缩放和平移变换到像素坐标系上点p =(µ,ν)。
相机将场景中的三维点变换为图像中的⼆维点，也就是各个坐标系变换的组合，可将上⾯的变换过程整理为矩阵相乘的形式：s µν1=α0c x 0βc y1f 0000f 0001R t 0T1X Y Z1=f x 0c x 00f yc y 001Rt 0T1X Y Z1将矩阵K 称为相机的内参数,K =f x0c x 0f yc y 001其中，α,β表⽰图像上单位距离上像素的个数，则f x =αf ,f y =βf 将相机的焦距f 变换为在x,y ⽅向上像素度量表⽰。
另外，为了不失⼀般性，可以在相机的内参矩阵上添加⼀个扭曲参数γ，该参数⽤来表⽰像素坐标系两个坐标轴的扭曲。
则内参数K 变为K =f xγc x 0f yc y 01对于⼤多数标准相机来说，可将扭曲参数γ设为0. Multiple View Geometry in Computer Vision张⽒标定法在上⼀篇博⽂，介绍的单应矩阵表⽰两个平⾯间的映射。
张氏标定法
张氏标定法张正友针对径向畸变问题提出了一个新的求解摄像机内外参数的方法，即张氏标定法，该方法是介于传统标定和自标定之间的一种方法，它只需要摄像机对某个标定板从不同方向拍摄多幅图片，通过标定板上每个特征点和其像平面的像点间的对应关系，即每一幅图像的单应矩阵来进行摄像机的标定，由于该方法模板制作容易，使用方便，成本低，鲁棒性好，准确率高，因此得到了较为广泛的应用【49】。
该算法也属于两步法，摄像机和模板可以自由的移动，不需要知道运动参数。
本文即采用张氏摄像机标定的方法。
（1） 单应矩阵H 的计算由前面所述内容可知，根据摄像机针孔成像模型，可以得到下面的等式：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11][1321W W W W W W Z Y X t r r r A Z Y X t R A v u s 现在世界坐标系平面置于标定模板所在的平面，即0=W Z 。
则上式可变为如下形式：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110][121W W W W Y X t r r A Y X t R A v u s 其中，i r 表示旋转矩阵R 的第i 列向量。
令[]T Y X M 1~=，[]T v u m1~=，则上式可简写为：M H m s ~~=其中：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===1][323123222113121132121h h h h h h h h h h h t r r A H H 即为单应性矩阵。
有M H ms ~~=式子可以推出： ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=13231232221131211h X h s h Y h X h sv h Y h X h su 从而推得：⎩⎨⎧++=++++=++23222132311312113231h Y h X h v vYh vXh h Y h X h u uYh uXh 令：[]3231232221131211'h h h h h h h h h =则：0'10000001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------h v vYvXYXu uY uX Y X 上式可以看作0'=Sh ，那么矩阵S S T最小特征值所对应的特征向量就是该方程的最小二乘解。
相机标定实验报告
相机标定一、实验原理相机标定就是求解相机的内参数以及畸变参数的过程。
相机的标定主要有两种：传统的摄像头标定方法和摄像头自标定方法，典型的有：（1）Tsai（传统的标定方法）；（2）张正友（介于传统和自标定之间）。
1999年，微软研究院的张正友提出了基于移动平面模板的相机标定方法。
此方法是介于传统标定方法和自标定方法之间的一种方法，传统标定方法虽然精度高设备有较高的要求，其操作过程也比较繁琐，自标定方法的精度不高，张正友标定算法克服了这两者的缺点同时又兼备二者的优点，因此对办公、家庭的场合使用的桌面视觉系统(DVS)很适合。
张正友标定方法由于简单、效果好而得到广泛使用。
张正友标定法的标定步骤：1、打印一张模板并贴在一个平面上；2、从不同角度拍摄若干张模板图像；3、检测出图像中的特征点；4、求出摄像机的外参数（单应性矩阵）和内参数（最大似然估计）；5、求出畸变系数；6、优化求精。
张正友标定方法的主要思想是：1、相机内参矩阵其中，q 的坐标系是默认的OpenCV 的像素坐标系，Q 的坐标系是标定板坐标系，Z 轴为0，原点在标定板的某个内角点上（标定板上角点的坐标均为[*,*,0]的形式），在OpenCV 3.0中使用的是（[i ∗Squres_Size ，j ∗Square_Size ，0]的形式）。
其中fx 和fy 表示相机x 轴和y 轴的焦距，s 表示成像平面x 轴和y 轴的不正交性。
2、基础公式对于不同位置的棋盘格到相机的成像，可以使用下面的公式进行表示：其中，[R|t]表示棋盘格坐标系相对于相机坐标系的位姿。
把矩阵R 和M ~写开，如下式所示：进行化简得：其中[u v 1]是已知量，[X Y 1]也是已知量，A 和[r1 r2 t]是未知量。
其中H=A[r1 r2 t]又叫做单应性矩阵，可以使用下面的3中所述的方法求解。
3、单应矩阵求解这里使用的方法基于最大似然准则：假设提取的m 存在均值为0，噪声协方差矩阵为的高斯白噪声。
立体相机参数标定方法
立体相机参数标定方法
一、基于张正友标定法的标定方法
1.准备工作：选择一对合适的标定板，并确定世界坐标系和相机位姿。
2.拍摄标定图片：同时拍摄左右相机对标定板的图片，保证标定板在
两个相机内都有良好的视野范围。
3.预处理：提取标定板上的角点坐标，并将其与世界坐标系对应。
4.标定内参：对左右相机的内参进行标定，通过最小二乘法估计相机
焦距、主点坐标、径向畸变和切向畸变等参数。
5.标定外参：通过对应点的极线约束，求解出相机在世界坐标系下的
位置和朝向。
二、基于极线约束的标定方法
1.准备工作：准备一对立体图像。
2.特征点提取：对左右图像进行特征点提取，例如使用SIFT或SURF
算法。
3.特征点匹配：通过特征点的描述子进行匹配，得到对应点对。
4.极线约束：利用极线几何原理，对匹配点对进行筛选和去除误匹配。
5.射线三角化：将筛选后的匹配点对恢复成3D点。
6.相对姿态估计：通过3D点对和相机内参，求解左右相机间的相对
姿态（平移和旋转）。
7.绝对尺度恢复：通过绝对尺度恢复方法，计算出相机坐标系在世界坐标系下的位置和朝向。
相机标定算法
相机标定算法相机标定算法是计算机视觉领域中的一个重要问题，它是指通过对相机内部参数和外部参数的估计，将相机的图像坐标系与世界坐标系进行对应，从而实现三维重建、姿态估计、目标跟踪等应用。
本文将介绍相机标定算法的基本原理和常用方法。
相机标定的基本原理是利用相机成像的几何模型，将相机坐标系与世界坐标系进行对应。
相机成像的几何模型可以用针孔相机模型来描述，即将相机成像过程看作是从物体到相机的一条光线，光线通过针孔后在成像平面上形成图像。
在这个过程中，相机内部参数包括焦距、主点位置、畸变等，而相机外部参数包括相机的位置和姿态。
相机标定的目的是估计相机内部参数和外部参数，其中相机内部参数可以通过相机的校准板进行估计，而相机外部参数则需要通过多个视角下的图像进行估计。
常用的相机标定方法包括基于张正友标定法的单目相机标定、基于双目相机的标定、基于多目相机的标定等。
张正友标定法是一种基于单目相机的标定方法，它通过对校准板上的特征点进行检测和匹配，从而估计相机内部参数和外部参数。
具体步骤包括：首先在校准板上放置一些特征点，如棋盘格、圆点等；然后在不同的视角下拍摄校准板的图像，并提取出特征点的像素坐标；最后利用这些像素坐标和校准板的实际尺寸，通过最小二乘法估计相机内部参数和外部参数。
双目相机标定是一种基于两个相机的标定方法，它通过对两个相机的图像进行匹配，从而估计相机内部参数和外部参数。
具体步骤包括：首先在两个相机的视野中放置一个标定板，然后在不同的视角下拍摄标定板的图像，并提取出特征点的像素坐标；最后利用这些像素坐标和标定板的实际尺寸，通过最小二乘法估计相机内部参数和外部参数。
多目相机标定是一种基于多个相机的标定方法，它通过对多个相机的图像进行匹配，从而估计相机内部参数和外部参数。
具体步骤包括：首先在多个相机的视野中放置一个标定板，然后在不同的视角下拍摄标定板的图像，并提取出特征点的像素坐标；最后利用这些像素坐标和标定板的实际尺寸，通过最小二乘法估计相机内部参数和外部参数。
张氏标定法原理及其改进1
张正友算法原理及其改进由于世界坐标系的位置可以任意选取，我们可以假定世界坐标系和摄像机坐标系重合，故定义模板平面落在世界坐标系的0W Z =平面上。
用i r 表示R 的每一列向量，那么对平面上的每一点，有：[][]123120111W W W W X u X Y s v A r r r t A r r t Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3.1) 这样，在模板平面上的点和它的像点之间建立了一个单应性映射H ，又称单应性矩阵或投影矩阵。
如果已知模板点的空间坐标和图像坐标，那么就已知m 和M ，可以求解单应性矩阵H 。
)1,,(w w Y X )1,,(v u因为11W W u X s v H Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,其中11121321222331321h h h H h h h h h ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可推出： 11121321222331321W W W W W W su h X h Y h sv h X h Y h s h X h Y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩(3.2) 故，1112133132212223313211W W W W WW W W h X h Y h u h X h Y h X h Y h v h X h Y ++⎧=⎪++⎪⎨++⎪=⎪++⎩(3.3) 将分母乘到等式左边，即有31321112133132212223W W W W W W W W uX h uY h u h X h Y h vX h vY h v h X h Y h ++=++⎧⎨++=++⎩ (3.4)又令[]Th h h h h h h h h 3231232221131211='，则1000001W W W W WWWW X Y uX uY u h X Y vX vY v --⎡⎤⎡⎤'=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(3.5) 多个对应点的方程叠加起来可以看成Sh d '=。
张氏标定法在技术上的价值和地位
张氏标定法，也被称为张正友标定法，是由张正友博士在1999年提出的一种相机标定方法。
该方法在技术上具有很高的价值和地位，主要体现在以下几个方面：
实用性和灵活性：张氏标定法采用平面棋盘格作为标定物，相对于传统的三维标定物，更加易于制作和使用。
同时，该方法只需要从多个角度拍摄棋盘格的照片，无需进行复杂的运动或精确的控制，因此具有很高的实用性和灵活性。
精度和鲁棒性：张氏标定法能够在不使用高精度三维标定物的情况下，实现高精度的相机标定。
同时，该方法对于标定物的位置和姿态的要求相对较低，因此具有较好的鲁棒性。
这些优点使得张氏标定法在工业界和学术界得到了广泛的应用。
推动三维计算机视觉的发展：张氏标定法的提出，极大地促进了三维计算机视觉从实验室走向真实世界的进程。
在此之前，由于标定方法的限制，三维计算机视觉技术的应用主要局限于实验室环境。
而张氏标定法的出现，使得该技术能够在更广泛的场景中得到应用，推动了三维计算机视觉的发展。
综上所述，张氏标定法在技术上具有很高的价值和地位，为相机标定技术的发展做出了重要的贡献。
对张正友相机标定法的改进研究_刘艳
５６５
光 学 技 术 第 ４０ 卷
两个坐标系间的关 系 可 以 反 求 出 投 影 矩 阵，这 种 方 法标定的结果比较 精 确，但 是 在 某 些 复 杂 环 境 中 放 置 一 个 规 则 物 体 很 难［６］；张 正 友 相 机 标 定 法 是 在 标 定过程中经常使用 的 一 种 方 法，鲁 棒 性 和 精 度 都 很 高，但是对于鱼眼镜 头 标 定 并 没 有 把 镜 头 畸 变 考 虑 进去［７］。本文提 出 了 一 种 改 进 的 两 步 标 定 法，把 镜 头的切向畸变作为影响标定精度的重要因素考虑进 去，新的标定法需 要 良 好 的 初 始 点 收 敛，否 则，要 么 它 不 收 敛 ，要 么 逐 渐 减 小 ，改 进 的 方 法 极 大 地 纠 正 了 标定时出现的错 误。 为 保 证 初 始 点 的 鲁 棒 性，本 文 只考虑临近像面中 心 的 点 （畸 变 很 小），在 数 据 归 一 化 之 前 ，通 过 非 线 性 最 小 化 进 行 优 化 参 数 。
第４０卷 第６期
光学技术
Ｖｏｌ．４０ Ｎｏ．６
２ ０ １ ４年１ １月 ＯＰＴＩＣＡＬ ＴＥＣＨＮＩＱＵＥ Ｎｏｖ． ２０１４
文 章 编 号 ：１００２－１５８２（２０１４）０６－０５６５－０６
对张正友相机标定法的改进研究＊
刘 艳 ，李 腾 飞
熿αｓ ０ ｕ０燄 Ａ ＝ ０ αｙ ｖ０
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第６期
刘 艳 ，等 ： 对 张 正 友 相 机 标 定 法 的 改 进 研 究
熿ｒ１４燄 Ｔ ＝ ｒ２４
燀ｒ３４燅
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张正友标定算法解读
一直以来想写篇相机标定方面的东西，最近组会上也要讲标定方面东西，所以顺便写了。
无论是OpenCV还是matlab标定箱，都是以张正友棋盘标定算法为核心实现的,这篇PAMI的文章<<A Flexible New Technique for Camera Calibration>>影响力极大，张正友是zju的机械系出身，貌似现在是微软的终身教授了，有点牛的。
我就简单的介绍下算法的核心原理，公式的推理可能有点多。
一基本问题描述：空间平面的三维点与相机平面二维点的映射
假设空间平面中三维点：（齐次坐标，世界坐标系）
相机平面二维点：
（齐次坐标，相机坐标系）
那么空间中的点是如何映射到相机平面上去呢？我们用一个等式来表示两者之间关系：
（1）
注：A为相机内参矩阵，R，t分别为旋转和平移矩阵，s为一个放缩因子标量。
我们把等式（1）再简化下：
（2）
因为张正友算法选取的是平面标定，所以令z=0,所以平移向量只有r1,r2即可。
H就是我们常说的单应性矩阵，在这里描述的是空间中平面三维点和相机平面二维点之间的关系。
因为相机平面中点的坐标可以通过图像处理的方式（哈里斯角点，再基于梯度搜索的方式精确控制点位置）获取，而空间平面中三维点可以通过事先做好的棋盘获取。
所以也就是说每张图片都可以计算出一个H矩阵。
二内参限制
我们把H矩阵(3*3)写成3个列向量形式，那么我们把H矩阵又可写成：
（3)
注:lamda是个放缩因子标量，也是s的倒数。
那么现在我们要用一个关键性的条件：r1和r2标准正交。
正交：（4）
单位向量（模相等）：（5）
这个两个等式是非常优美的，因为它完美的与绝对二次曲线理论联系起来了，这里就不展开了。
三相机内参的求解
我们令：
（6）
我们可知B矩阵是个对称矩阵，所以可以写成一个6维向量形式：
（7）
我们把H矩阵的列向量形式为：
（8）
那么根据等式（8）我们把等式（4）改写成：
（9）
（10）
最后根据内参数限制条件(等式（4）(5)):
(11)
即,(12)
V矩阵是2*6矩阵，也就是说每张照片可建立起两个方程组，6个未知数。
根据线性代数知识可知，解6个未知数需至少6个方程组，所以也就是说我们至少需要三张照片就求解未知数。
b矩阵的解出，相机内参矩阵A也就求解出，从而每张图像的R，t也就根据等式（1）迎刃而解。
四参数优化
因为初始的参数已经求解，所以我们将每张图像的控制点根据求解的参数重投影回三维空间，最小化与真实值的差异，其实就是建立非线性最小化模型：
（13）
这里用的是Levenberg-Marquardt迭代算法。
至此，整个流程走完，至于相机畸变系数的求解本文也不具体展开了。