张正友相机标定法PPT课件
张正友标定法计算焦距
张正友标定法计算焦距张正友标定法是一种常用于计算相机焦距的方法。
该方法被广泛应用于计算机视觉领域，具有较高的精度和准确性。
下面将详细介绍张正友标定法的原理和步骤，并解释如何使用该方法计算相机的焦距。
一、张正友标定法的原理张正友标定法是基于相机投影几何原理的。
它通过使用已知的标定标志（通常是棋盘格模式）和相机拍摄的一系列图像，来计算相机的内部参数（如焦距、主点坐标）和外部参数（如相机的旋转矩阵和平移向量）。
其中，焦距是我们想要计算的重要参数之一。
二、张正友标定法的步骤1.准备标定标志：选择适当的标定标志，通常是棋盘格模式。
保证标志在图像中具有足够的对比度，且标志的尺寸要能够满足实际需求。
标定标志需贴在平整的表面上，以保持标志的形状和位置稳定。
2.拍摄图像：使用相机对标定标志进行拍摄，要保证拍摄时相机的位置和姿态有一定的变化。
可以采用不同的角度、距离和姿态进行多次拍摄，以提高标定结果的准确性。
3.检测角点：对于每张拍摄的图像，需要使用图像处理算法来检测标定标志中的角点。
通常使用角点检测算法（如Harris角点检测算法）或者直接使用OpenCV提供的函数来进行角点检测。
4.提取角点坐标：通过角点检测算法得到角点的像素坐标后，将其保存到一个列表中。
确保每个角点的像素坐标与标定标志上的物理坐标对应。
5.计算内部参数：根据已知的标定标志的物理坐标和对应的像素坐标，使用张正友标定法计算相机的内部参数，如焦距和主点坐标。
通过最小二乘法或其他优化算法，对标定标志的物理坐标和像素坐标之间的关系进行求解。
6.计算外部参数：在已知相机的内部参数的情况下，通过解一组方程，可以计算出相机的外部参数，如旋转矩阵和平移向量，描述相机的位置和姿态。
7.评估标定结果：评估标定结果的准确性和稳定性，可以计算重投影误差，即将像素坐标通过标定结果转换为物理坐标，再将物理坐标通过标定结果转换为像素坐标，然后计算两者之间的差距。
较小的重投影误差表示标定结果较为准确。
张正友相机标定算法解读
张正友相机标定算法解读一直以来想写篇相机标定方面的东西，最近组会上也要讲标定方面东西，所以顺便写了。
无论是OpenCV还是matlab标定箱，都是以张正友棋盘标定算法为核心实现的,这篇PAMI的文章《A Flexible New Technique for Camera Calibration》影响力极大，张正友是浙江大学的机械系出身，貌似现在是微软的终身教授了。
我就简单的介绍下算法的核心原理，公式的推理可能有点多。
一基本问题描述：空间平面的三维点与相机平面二维点的映射。
假设空间平面中三维点：（齐次坐标，世界坐标系）。
相机平面二维点：（齐次坐标，相机坐标系）。
那么空间中的点是如何映射到相机平面上去呢？我们用一个等式来表示两者之间关系：（1）注：A为相机内参矩阵，R，t分别为旋转和平移矩阵，s为一个放缩因子标量。
我们把等式（1）再简化下：（2）因为张正友算法选取的是平面标定，所以令z=0,所以平移向量只有r1,r2即可。
H就是我们常说的单应性矩阵，在这里描述的是空间中平面三维点和相机平面二维点之间的关系。
因为相机平面中点的坐标可以通过图像处理的方式（哈里斯角点，再基于梯度搜索的方式精确控制点位置）获取，而空间平面中三维点可以通过事先做好的棋盘获取。
所以也就是说每张图片都可以计算出一个H矩阵。
二内参限制我们把H矩阵(3*3)写成3个列向量形式，那么我们把H矩阵又可写成：（3)注:lamda是个放缩因子标量，也是s的倒数。
那么现在我们要用一个关键性的条件：r1和r2标准正交。
正交：（4）单位向量（模相等）：（5）这个两个等式是非常优美的，因为它完美的与绝对二次曲线理论联系起来了，这里就不展开了。
三相机内参的求解我们令：（6）我们可知B矩阵是个对称矩阵，所以可以写成一个6维向量形式：（7）我们把H矩阵的列向量形式为：（8）那么根据等式（8）我们把等式（4）改写成：（9）（10）最后根据内参数限制条件(等式（4）(5)):(11)即,(12)V矩阵是2*6矩阵，也就是说每张照片可建立起两个方程组，6个未知数。
张正友标定法
小组成员：张文豪 张智宇 陈宇
一、张正友标定法简介
目 二、张正友标定法数学原理 录 三、张正友标定法程序实现
四、标定实验及结果
张正友标定法 简介
像机标定：
建立摄像机图像像素位置与场景点位置 之间的关系，其途径是根据摄像机模型， 由已知特征点的图像坐标求解摄像机的 模型参数。
➢ 张正友标定法是张正友教授于1998年 在名为“A Flexible New Technique for Camera Calibration”一文中提 出的单平面棋盘格的摄像机标定方法。
➢ 透视投影
像平面 光心
f z
x=RX +
r01 r11
r02 r12
X Y
Tx Ty
z r20 r21 r22 Z Tz
[R,T]矩阵被称为外参数
光轴
K=
x f
y
0
1 0
K1K2
0 0 xc
f
0
yc
0 1 zc
u 1/ dx
v
B
K
T
K
1
B21
B22
B23
B31 B32 B33
b [B11, B12 , B22 , B13, B23, B33 ]
化简 hiT Bhj VijTb 得：
Vij [hi1hj1, hi1hj2 hi2hj1, hi2hj2 , hi3hj1 hi1hj3 , hi3hj2 hi2hj3 , hi3hj3 ]T
0
1 0
0 1/ dy
0
u0 x
v0
y
1 1
K矩阵被称为内参数
K1 K2
➢ 单应性映射
摄像机标定张正友教材
~ ~ sm HM
上式中包含XY 两个方程；H为3乘3矩阵，包 含一个齐次坐标与8个未知数，要求出H，至 少需要8个方程，也就是说，一幅图片至少需 要已知的4个点才能求出H。
求解内置参数矩阵A
r1 r2 1
1
A 1h1 A 1h2
T T 1 h1 A A h2 0
T T 1 T T 1 h1 A A h1 h2 A A h2
精度高，过程复杂，需要高精度已知信息。 2.主动视觉摄像机标定方法 已知摄像机的某些运动信息。可线性求解，鲁棒性高， 但大多数场合不能得到摄像机运动信息。 3.摄像机自标定方法 靠多幅图像之间的关系进行标定，灵活性强，非线性 标定， 鲁棒性不高。
2 成像变换与摄像机模型、参数
• 图像数字化
O1在 u , v 中的坐标为 u 0 , v0 象素在轴上的物理尺寸为 dx, dy
基于三个非共线点在特殊运动下的摄像机标定
• 我们知道至少三点可以确定一个平面，而张正友的标定方 法正是基于两个平面的匹配，所以三个非共线点的标定方 法理论是可行的。 该方法步骤： • 1 旋转3个非共线点 • 2 得到中心点O与o坐标 • 3 根据约束条件建立方程 • 4 求解内参矩阵K • 5 求解外参[R，t] 图像的成像模式：
(v11 v22 )T b 0
T
vij b
T
h A A h2 0
T T 1 h1T AT A1h1 h2 A A h2
v12T b 0 (v11 v 22)T
Vb 0
• Ｂ矩阵的解出，相机内参矩阵A也就求解出，从而每张图像的 R，t也迎刃而解
6.通过求最小参数值，优化所有的参数
张正友相机二维标定
ˆ A, Ri , ti , M j m
是通
ˆ A, Ri , ti , M j 的求解是一个经典的非线性优化的问题，使评价函数最小的A，Ri，ti就是 m
这个问题的最优解。可以取第一次得到的线性求解结果作为A、Ri , ti i 1n的初始值，解决 这类问题的方法很多 ，在计算机视觉领域里通常使用Levenberg-Marquarat(LM)算法进行求 解。
T
v12 b 0
(v11 v22 )T b 0
Vb 0
• V矩阵是2*6矩阵，也就是说每张照片可建立起两个方程组，6个未 知数。根据线性代数知识可知，解6个未知数需至少6个方程组，所 以也就是说我们至少需要三张照片才能求解未知数。b矩阵的解出， 相机内参矩阵A也就求解出，从而每张图像的R，t也迎刃而解。
r r 0
T 1 2
r1 r2 1
对单应性矩阵H的估算
• H就是我们常说的单应性矩阵，在这里描述的是空间中平面三维点
和相机平面二维点之间的关系。因为相机平面中点的坐标可以通过 图像处理的方式（哈里斯角点，再基于梯度搜索的方式精确控制点 位置）获取，而空间平面中三维点可以通过事先做好的棋盘获取。 所以也就是说每张图片都可以计算出一个H矩阵。
~ ~ sm HM
r1 r2 r3 1 r1 r2 r2 r3 r3 r1 0
2 2 2
X t Y 1
我们假定 H Ar1
r2
t 则原式可化为：
这里，矩阵H就是从世界坐标系到图像坐标系的3×3大小的单应性矩阵。 对H再次进行变形，假设h1,h2,h3是H的列向量，有：
uXh31 uYh32 u h11 X h12Y h13 vXh31 vYh32 v h21 X h22Y h23
相机标定原理张正友法
相机标定原理张正友法
相机标定是指通过对相机的内部参数和外部参数进行精确测量
和计算，建立相机模型的过程。
其中，张正友法就是一种常用的相机标定方法，主要原理是利用一些已知的3D空间点和它们在2D图像中的对应点，通过最小二乘法求解相机的内外参数。
在具体实现中，首先需要采集一组已知的3D空间点和它们在2D 图像中的对应点。
然后，通过对这些点进行处理，计算出相机的内部参数，包括焦距、畸变系数等。
接着，利用已知的3D空间点和它们在2D图像中的对应点，求解相机的旋转矩阵和平移向量，即相机的外部参数。
最后，将求得的内部参数和外部参数结合起来，建立相机模型，从而可以用于图像的校正、三维重建等应用。
需要注意的是，张正友法还可以通过多次采集不同位置的图像，并利用薄板法进行标定，提高标定结果的精度。
- 1 -。
张正友标定方法
张正友标定方法张正友标定方法是一种常用的相机标定方法，它可以用于计算相机的内部参数和外部参数，从而实现对图像的准确测量和三维重建。
下面将详细介绍张正友标定方法的原理和步骤。
一、原理张正友标定方法基于相机成像原理，通过对已知大小的标定板进行拍摄，从而得到标定板在图像中的像素坐标和实际物理坐标，进而计算出相机的内部参数和外部参数。
其中，内部参数包括相机的焦距、主点坐标和畸变系数，外部参数包括相机的旋转矩阵和平移向量。
二、步骤1. 准备标定板标定板可以是黑白相间的棋盘格或者其他规则的图案，要求图案清晰、对比度高、边缘锐利，同时要求标定板的大小足够大，以便在不同距离和角度下进行拍摄。
2. 拍摄标定板将标定板放置在平面上，保持相机与标定板垂直，同时保持相机位置和姿态不变，拍摄多张标定板的照片，要求标定板在不同位置和角度下都有足够的覆盖面积。
3. 提取角点使用图像处理软件对标定板的照片进行处理，提取出标定板上每个方格的角点坐标，要求角点坐标的提取精度高、稳定性好。
4. 计算内部参数根据相机成像原理，将标定板上每个角点的像素坐标和实际物理坐标进行对应，利用最小二乘法计算出相机的内部参数，包括焦距、主点坐标和畸变系数。
5. 计算外部参数根据标定板在不同位置和角度下的拍摄照片，利用三维重建算法计算出标定板在相机坐标系下的位置和姿态，进而计算出相机的旋转矩阵和平移向量。
6. 验证标定结果将标定结果应用于实际图像中，进行像素坐标和实际物理坐标的转换，计算出图像中物体的实际尺寸和位置，进而验证标定结果的准确性和稳定性。
三、总结张正友标定方法是一种常用的相机标定方法，它可以实现对相机的内部参数和外部参数的准确计算，从而提高图像的测量和三维重建精度。
在实际应用中，需要注意标定板的选择和摆放、角点的提取精度和稳定性等问题，以保证标定结果的准确性和可靠性。
SLAM入门之视觉里程计（6）：相机标定张正友经典标定法详解
SLAM ⼊门之视觉⾥程计（6）：相机标定张正友经典标定法详解想要从⼆维图像中获取到场景的三维信息，相机的内参数是必须的，在SLAM 中，相机通常是提前标定好的。
张正友于1998年在论⽂："A Flexible New Technique fro Camera Calibration"提出了基于单平⾯棋盘格的相机标定⽅法。
该⽅法介于传统的标定⽅法和⾃标定⽅法之间，使⽤简单实⽤性强，有以下优点：不需要额外的器材，⼀张打印的棋盘格即可。
标定简单，相机和标定板可以任意放置。
标定的精度⾼。
相机的内参数设P =(X ,Y ,Z )为场景中的⼀点，在针孔相机模型中，其要经过以下⼏个变换，最终变为⼆维图像上的像点p =(µ,ν):1. 将P 从世界坐标系通过刚体变换(旋转和平移)变换到相机坐标系，这个变换过程使⽤的是相机间的相对位姿，也就是相机的外参数。
2. 从相机坐标系，通过透视投影变换到相机的成像平⾯上的像点p =(x ,y )。
3. 将像点p 从成像坐标系，通过缩放和平移变换到像素坐标系上点p =(µ,ν)。
相机将场景中的三维点变换为图像中的⼆维点，也就是各个坐标系变换的组合，可将上⾯的变换过程整理为矩阵相乘的形式：s µν1=α0c x 0βc y1f 0000f 0001R t 0T1X Y Z1=f x 0c x 00f yc y 001Rt 0T1X Y Z1将矩阵K 称为相机的内参数,K =f x0c x 0f yc y 001其中，α,β表⽰图像上单位距离上像素的个数，则f x =αf ,f y =βf 将相机的焦距f 变换为在x,y ⽅向上像素度量表⽰。
另外，为了不失⼀般性，可以在相机的内参矩阵上添加⼀个扭曲参数γ，该参数⽤来表⽰像素坐标系两个坐标轴的扭曲。
则内参数K 变为K =f xγc x 0f yc y 01对于⼤多数标准相机来说，可将扭曲参数γ设为0. Multiple View Geometry in Computer Vision张⽒标定法在上⼀篇博⽂，介绍的单应矩阵表⽰两个平⾯间的映射。
张正友标定法
K2
f
z
K矩阵被称为内参数
单应性映射
X u X Y K [ r r r t ] K [ r r t ]Y s v 1 2 3 1 2 0 1 1 1
单应性(homography)： 在计算机视觉中被定义 为一个平面到另一个平面的 投影映射。
Harris角点检测
提取角点坐标
角点坐标检测算法的改进
I. II.
手动框选标定板的四个顶点； 在四边形内根据纵向和横向的方格 个数进行一次均匀分割，解算出初 始角点坐标；
III. 以初始角点为中心，框选出矩形区 域，再在矩形区域内进行Harris角 点检测。
标定实验及结果
标定实验
由于需要拍摄3张以上图像，如果在手机镜头上滴水， 水滴的滑动将影响摄像系统的内参，因此采用在手机 镜头前加一单透镜并保持两者相对位置不变，只改变 标定板的位置进行标定实验。
内外参数求解 令：
B11 B K T K 1 B21 B31 B12 B22 B32 B13 B23 B33
b [B11, B12 , B22 , B13 , B23 , B33 ]
化简
hiT Bhj VijT b
得：
Vij [hi1hj1, hi1hj 2 hi 2hj1, hi 2hj 2 , hi3hj1 hi1hj 3 , hi 3hj 2 hi 2hj 3 , hi 3hj 3 ]T
刚体变换
x=R X +T
x r00 y r 10 z r20 r01 r11 r21 r02 X Tx Y T r12 y r22 Z Tz
《摄像机标定》PPT课件
径向一致约束
理想透视投影成像坐标 p( X u ,Yu )
真实透视投影成像坐标 p( X d ,Yd )
摄像机中坐标 p(x, y, z)
在图像平面上，点 p( X d ,Yd )， p( Xu ,Yu ) 共线，与
直线 op 平行或斜率相等.
22
像机模型
xw
zw
yw
O
x
u
v o'
oc
y
世界坐标系和摄像机坐标系的关系
垂直的单位向量
R3 r13 , r23 , r33
R2 r12 , r22 , r32
由 cos2 1 cos2 2 cos2 3 1
19
3.2、R. Tsai 的 RAC的定标算法
80年代中期Tsai提出的基于RAC的定标方法是计算 机视觉像机定标方面的一项重要工作，该方法的核 心是利用径向一致约束来求解除 （像机光轴方向的 平移）外的其它像机外参数，然后再求解像机的其 它参数。基于RAC方法的最大好处是它所使用的大部 分方程是线性方程，从而降低了参数求解的复杂性 ，因此其定标过程快捷，准确。
当已知 N个空间点和对应的图像上的点时，可以得到一个含 有2* 个N方程的方程组：
AL 0
其中 A为 2N的*矩12阵 ， 为透视L 投影矩阵元素组成的
向量 p11, p12 , p13 , p14 , p21, p。22 , p23 , p24 , p31, p32 , p33 , p34 T
摄像机标定
1、引言：什么是摄像机标定 2、摄像机标定方法的分类 3、传统摄像机标定方法
1
1、引言
摄像机标定的目的：三维重建
三维重建：摄像机标定的主要目的，也是计算机视觉的最 主要的研究方向. (Marr 1982)，所谓三维重建就是指从图象 出发恢复出空间点三维坐标的过程。
张正友标定方法
张正友标定方法引言标定（calibration）是计算机视觉领域中重要的任务之一，广泛应用于三维重建、增强现实、机器人导航等领域。
在标定过程中，我们需要确定摄像机的内参和外参，以便把图像坐标转换到真实世界坐标。
张正友标定方法（Zhang’s calibration method）是一种常用的摄像机标定方法，被广泛应用于计算机视觉领域中。
张正友标定方法概述张正友标定方法基于相机投影方程，通过观察已知的图像特征点和世界坐标系下的点对，实现摄像机的内参和外参的估计。
具体步骤如下：1.收集标定板图像：首先需要收集包含已知世界坐标系下特征点的标定板图像。
标定板通常是一个黑白棋盘格，由若干个方格组成。
2.提取特征点：使用图像处理方法（例如角点检测算法）提取每幅标定板图像中的特征点。
特征点通常是棋盘格的角点。
3.计算图像特征点的图像坐标和世界坐标系下的点对：对于每个特征点，我们已知它在图像中的像素坐标，同时已知对应的世界坐标系下的点（通常为平面上的点）。
4.标定摄像机内参：根据图像特征点的像素坐标和世界坐标系下的点对，通过最小二乘法或其他优化方法，估计摄像机的内参矩阵，包括焦距、主点和畸变等参数。
5.标定摄像机外参：对于每个标定板图像，通过求解相机投影方程，估计摄像机的外参矩阵，包括旋转矩阵和平移向量。
6.优化标定结果：通过重投影误差最小化等方法，优化标定结果，提高标定的准确性。
张正友标定方法的优势张正友标定方法相比其他标定方法具有以下优势：1.简单易实现：张正友标定方法的步骤相对简单，只需要一些基本的图像处理和优化算法即可。
在实际应用中，我们可以使用开源的计算机视觉库（如OpenCV）来实现。
2.准确性高：张正友标定方法在提取特征点和估计摄像机参数的过程中引入了一些优化方法，可以提高标定的准确性。
3.鲁棒性强：张正友标定方法对于一些噪声和异常值具有一定的鲁棒性，可以应对一些实际场景中的干扰因素。
使用张正友标定方法的注意事项在使用张正友标定方法时，我们需要注意以下事项：1.标定板的选择：标定板的选择应根据实际应用场景来确定。
张正友标定数学原理
张正友摄像机标定法
三次坐标变换： ①从世界坐标系到摄像机坐标系的 旋转和平移变换； ②从摄像机坐标系到图像坐标系的 透视变换； ③从图像坐标系到像素坐标系的成 像变换。
张正友标定法具有以下优点： 采用平面标定模版，器材 容易获得； 精度高，相对误差可低于 0.3%； 实验过程简单，相机和标 定板都可以自由放置。
A 0 0
0பைடு நூலகம்
u0 v0 1
B是一个对称矩阵,我们 假定：
T b [ B11, B12, B 22, B13, B 23, B33]
h A A h2 0
T 1
T
1
v12 b 0
T 1
T
h A A h1 h A A h2
T 1 T 2
参数的优化
将每张图像的控制点根据求解的参数重新投影到
三维空间，最小化与真实值的差异，就是建立非 线性最小化模型：
ˆ A, Ri , ti , M j mij m
n m i 1 j 1
使用Levenberg-Marquarat算法进行求解 即可。
张正友的畸变模型
u u (u u0 )[k1 ( x2 y 2 ) k2 ( x2 y 2 )2 ] v v (v v0 )[k1 ( x2 y 2 ) k2 ( x2 y 2 )2 ]
知乎 张正友标定法
张正友标定法张正友标定法（Zhang's calibration method）是一种常用的相机标定方法，用于确定相机的内参数和畸变参数。
该方法由中国科学院计算技术研究所的研究员张正友于1999年提出，成为了相机标定领域的经典算法之一。
张正友标定法基于相机的针孔模型，将相机的内参数（如焦距、主点坐标、畸变参数等）以及相机与世界坐标系之间的外参数（如旋转矩阵和平移矩阵）进行标定。
它需要使用一组二维的模板图像和对应的三维真实世界坐标，通过计算模板图像上的特征点和真实世界坐标系中的对应特征点之间的关系，最终得到相机的内外参数。
具体而言，张正友标定法的步骤如下：1.收集标定图像：选取至少一个已知的二维模板图像，并准备一个与模板图像对应的三维真实世界坐标系。
2.提取特征点：对于每个标定图像，使用特征点检测算法（如角点检测）提取图像上的特征点。
3.特征匹配和三维-二维关联：通过将提取的特征点与真实世界坐标系中的对应特征点相关联，建立二维和三维特征点的对应关系。
4.相机参数计算：使用最小二乘法或其他优化算法，根据特征点的对应关系计算相机的内参数（如焦距、主点坐标等）和外参数（旋转矩阵和平移矩阵）。
该计算过程需要考虑相机的畸变参数（如径向和切向畸变）。
5.校正和评估：使用得到的相机内外参数对图像进行校正，通过观察校正结果和评估标定误差，可以对相机标定的准确性进行评估和调整。
张正友标定法通过利用多个标定图像和对应的真实世界坐标，能在一定程度上克服了噪声和畸变的影响，从而提高了相机标定的准确性和稳定性。
该方法广泛应用于计算机视觉、机器人导航等领域，为相机的精确几何校正提供了基础。
张正友标定方法
张正友标定方法
张正友标定方法是一种摄像机标定方法，旨在解决相机的畸变问题。
这种方法需要使用一个标定板，标定板上会有一些黑白相间的方格，通过对这些方格进行检测，可以得到相机的内参和外参矩阵。
在使用张正友标定方法时，需要考虑以下几个步骤：
1. 准备标定板。
标定板需要具有一定的尺寸和规则的黑白方格，以便于相机可以对其进行识别。
同时，标定板需要保持平整，以避免影响标定结果。
2. 拍摄标定板。
将标定板放在相机的拍摄范围内，采用不同的角度和距离进行多次拍摄。
需要注意的是，每次拍摄时标定板的位置和角度应该尽量保持一致。
3. 提取标定板角点。
通过对拍摄到的标定板图像进行处理，提取出标定板上的黑白方格的角点位置。
可以使用OpenCV等图像处理库进行实现。
4. 计算内参矩阵。
根据张正友的理论，通过角点的位置计算相机的内参矩阵。
内参矩阵包括相机的焦距、畸变等参数。
5. 计算外参矩阵。
根据标定板在相机坐标系下的位置和方向，计算相机的外参矩阵。
外参矩阵包括相机位置和方向等参数。
通过以上步骤，就可以得到相机的内参和外参矩阵，从而实现对相机的畸变进行校正。
张正友标定方法是一种比较成熟的相机标定方法，在计算精度和实现难度上都有较好的表现。
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张正友标定算法原理详解
张正友标定算法原理详解
张正友标定算法是一种多摄像机标定的有效方法，它使用了一个具有内部参考点的3D物体来检测至少6个相互独立的2D-3D配准，从而确定每个摄像机之间的关系。
该算法的优点在于它能够利用棋盘格子上的多个点，从而使得标定更加可靠。
张正友标定算法主要分为三步：
(1)首先获取所有摄像机的内参和外参，这些参数表示每个摄像机的视角和位置，包括焦距、畸变参数和旋转参数等信息。
(2)计算每个摄像机的平面坐标系，这些平面坐标系将求解的不同摄像机之间的关系。
(3)把实际的物体点映射到每个摄像机的平面坐标系中，并计算所有摄像机之间的关系。
最后，张正友标定算法可以得出每个摄像机的位置和姿态，从而实现多摄像机视角的标定。
2D相机标定
又由产家提供的焦距
f f0 f0 12.0501 12 12
，可得
100% 0.4157%
可见，通过标定得出的焦距值与理论焦距 值之间的差距很小，精度是比较高的。 因此，张正友平面标定法可以很好满足普 通用户的使用需求。
令 B A
T
A
1
B1 B2 B3
B2 B4 Biblioteka 5B3 B5 B6
v0 u 0
2
1 2 2 v0 u 0 2
2
2
2 2
1
2
( v0 u 0 )
2 标定板图样采集
通过CDC摄像机将获取的图样传至计算机中 成为灰度图像。经过CDC相机对图像的采集， 我们获得了5张不同的位姿的标定板图像。
3 边缘检测与中心提取
利用canny算法进行边缘检测。处理后的图像 如下。 再通过在边缘取出5个点。利用几何关系，对 其中心提取，最后对得到的中心点进行排列， 如图。
M
i
ˆ i || 2 || m i m
r2 t]
h3 ] A[ r1
为 一 常 数 因 子
求解摄像机参数矩阵
当H求解后，由R的正交性 可得到两个基本方程
r1 r2 0, r1 r1 r2 r2
T T T
h1T A T A 1 h 2 0 T T 1 T T 1 h1 A A h1 h 2 A A h 2
u s v A [ r1 1 r2 r3 y A[ r t] 1 0 1 r2 x t] y 1
张氏标定法
张氏标定法张正友针对径向畸变问题提出了一个新的求解摄像机内外参数的方法，即张氏标定法，该方法是介于传统标定和自标定之间的一种方法，它只需要摄像机对某个标定板从不同方向拍摄多幅图片，通过标定板上每个特征点和其像平面的像点间的对应关系，即每一幅图像的单应矩阵来进行摄像机的标定，由于该方法模板制作容易，使用方便，成本低，鲁棒性好，准确率高，因此得到了较为广泛的应用【49】。
该算法也属于两步法，摄像机和模板可以自由的移动，不需要知道运动参数。
本文即采用张氏摄像机标定的方法。
（1） 单应矩阵H 的计算由前面所述内容可知，根据摄像机针孔成像模型，可以得到下面的等式：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11][1321W W W W W W Z Y X t r r r A Z Y X t R A v u s 现在世界坐标系平面置于标定模板所在的平面，即0=W Z 。
则上式可变为如下形式：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110][121W W W W Y X t r r A Y X t R A v u s 其中，i r 表示旋转矩阵R 的第i 列向量。
令[]T Y X M 1~=，[]T v u m1~=，则上式可简写为：M H m s ~~=其中：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===1][323123222113121132121h h h h h h h h h h h t r r A H H 即为单应性矩阵。
有M H ms ~~=式子可以推出： ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=13231232221131211h X h s h Y h X h sv h Y h X h su 从而推得：⎩⎨⎧++=++++=++23222132311312113231h Y h X h v vYh vXh h Y h X h u uYh uXh 令：[]3231232221131211'h h h h h h h h h =则：0'10000001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------h v vYvXYXu uY uX Y X 上式可以看作0'=Sh ，那么矩阵S S T最小特征值所对应的特征向量就是该方程的最小二乘解。
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x f
y
1
1 zc
0
0
0 f 0
0 0 1
0 0 0
xc yc zc 1
第三个阶段，像点向像素坐标转化：
u 1/ dx cot / dx u0 x
v
0
1/(d y *sin ) v0
y
1 0
0
1 1
u ffu ffu cot u0
zc
v
0
ffv / sin v0 R
1 001
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A
xw
t
yw
zw
1
11
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x0 y0
矩阵表示
x cos
y
sin
sin cos
x' y'
x0 y0
齐次坐标
x cos
y
sin
1 0
sin c os
0
x0 x'
y0
y'
• 图像坐标系 是以图像的左上方为原点，的图像坐标系（u v）（此坐标以像素为单位），这里我们建立了图 像物理坐标系（x y）为xoy坐标系（此坐标系以毫米为单位）。
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5
一个二维点坐标被表示为m [u, v]T ，一个三维点被表示为M [X ,Y , Z ]T ，我们使用 ~x 去表示通过在矩阵最后面的元素加一个1的向量：m~ [u, v,1]T 和 M~ [X,Y, Z,1]T ，相机通常都是针孔模型：它的3D点M和它的图像投影 点m的关系为：
张正友相机标定方法
曲峰
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1
1 相机畸变
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镜头畸变实际上是光学透镜固有的透视失真的总称
枕形畸变：又称鞍形畸变，视野中边缘区域的放大率远大于光轴中心附近 区域放大率。常出现在远摄镜头中。
桶形畸变：同枕形相反，视野中光轴中心附近区域放大率远大于边缘区域。 常出现于广角镜头和鱼眼镜头。
sm~ A[R,t]M~
任意数 2019/10/18
二维坐标 内参矩阵 旋转矩阵 平移矩阵 三维坐标
u0
A
0
v0
0 0 1
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1 坐标变换
2019/10/18
首先从二维坐标变换进行理解
x
y
x' c os x' s in
y' s in y' c os
y,
)
0
cos
0
sin
sin
0 1 0
cos
sin
0
cos
cos sin 0
Rot(
z,
)
sin
cos
0
0
0 1
8
1 坐标变换
引申到三维空间，第一个阶段：我们依旧从旋转和平移两个步骤 来推算从世界坐标系到相机坐标系的坐标变换
0 1
r12 r22 1
r1 r2 0
7
1 坐标变换
2019/10/18
引申到三维空间，第一个阶段：我们依旧从旋转和平移两个步骤 来推算从世界坐标系到相机坐标系的坐标变换，
1 0
0
R ot( x,
)
0
cos
sin
Rot(
齐次坐标形式:
v0
C
yd
xd
O1
Xd
u0
U
u fu fu cot u0 xd
v
0
fv / sin
v0
yd
其中
fu
1 dx
,
fv
1 dy
1 0
0
1 1
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10
1 坐标变换
第二个阶段，空间点向像点转化：
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4
坐标系
• 世界坐标系（Xw Yw Zw） 用户定义的空间三维坐标系，用来描述三维空间中的物体和相机之间的坐标位置，满足右手法 则
• 摄像机坐标系（Xc Yc Zc） 以相机的光心作为原点，Zc轴与光轴重合，并垂直于成像平面，且取摄影方向为正方向，Xc、 Yc轴与图像物理坐标系的x,y轴平行，且OcO为摄像机的焦距f
x cos cos
y
sin
sin
cos
z cos sin cos
1
0
cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos
0
sin sin cos cos cos
R
0
1
x'
T 1
y' z'
1
9
图像数字化
O1 在u, v中的坐标为 u0 , v0
象素在轴上的物理尺寸为 dx, dy
V
Yd
Affine Transformation :
u
u0
xd dx
yd
cot
dx
v
0
x0 x'
y0
y'
z0 1
z'
1
R r1 r2 r3
T (t1, t2 , t3 )T
r12 r22 r32 1 r1 r2 r2 r3 r3 r1 0
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x
y z
线性畸变：光轴同所拍摄的如建筑物类物体的垂平面不正交，则本应相互 平行的远端一侧同近端一侧，以不相同的角度汇聚产生畸变。这种畸变本 质上是一种透视变换，即在某一特定角度，任何镜头都会产生相似的畸变。
2
枕形畸变 2019/10/18
桶形畸变
线性畸变 3
1 针孔模型和透视投影
针孔模型：1/f=1/u+1/v 透视投影：中心投影法将形体投射到投影面上
sm~ A[R,t]M~
展开
X
u
sv Ar1
r2
r3
t
Y
Z
1
1
Z=0平面
X
u
sv
Ar1
r2
r3
t
Y
0
Ar1
r2
X
t
Y
1
1
1
12
2 单应性矩阵推导 u