线性代数1
线性代数1同济大学第五版课件3-3
3 (1 )
1 r3 r2 0 ~ 0
1
1 3
0
3 （ 1 )( 3 )
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( 1 )当 0 且 3时 , R ( A ) R ( B ) 3 , 方程组有唯一解 ;
x 1 b 11 x r 1 b 1 , n r x n d 1 x b x b r ,n r x n d r r r1 r 1 x r 1 x r 1 xn xn
5 x 2 x3 x4 , 1 3 4 x2 2 x3 x4 , 3
( x 3 , x 4 可任意取值
).
令 x 3 c 1 , x 4 c 2，把它写成通常的参数
x1 x2 x 3 x4 2 c1 5 3 c2 , 4 3 c2 ,
无穷多个解
其中 c 1 , , c n r 为任意实数，故方程有
证毕
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把上式的含有 的通解．
n r 个参数的解，称为原线
性方程组
小结 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
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例２ 求解非齐次线性方程组
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1, 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 1 2 3 4
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数知识点汇总1
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
线性代数1矩阵概念
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数 学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是 为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题 在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很 多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许 多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列
amn
这个矩形表就称为矩阵
例1 设有线性方程组
x1 5x2 x3 x4 1
3xxx111
2x2 8x2 9x2
x3 x3 3x3
3x4 x4 7x4
3 1
7
这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个
4行5列的矩形阵列如下来自1 1315 2
8 9
1 1 1 3
1 3 1 7
0,就得到一个数表:
A
B
A B
C D
改成1,空白地方填上
C
D
0 1 1 0
1 0 1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
定义(矩阵)
由mn个数aij(i1 2 m j1 2 n)排成的一个m行n 列的矩形表称为一个mn矩阵（matrix） 记作
a11 a21
一、矩阵的加法
定义(矩阵加法)
两个mn矩阵A(aij)mn B(bij)mn将它们的对应位置元素 相加，得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和 记为AB 即
AB(aij)mn(bij)mn(aijbij )mn
a11 b11
A
B
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
线性代数1和线性代数2
线性代数1和线性代数2
线性代数是数学领域中一种非常重要的分支，它是研究数学中各种解决问题的理论和方法，为科学研究和工程应用提供基础。
线性代数1和线性代数2是完成数学学习必备的两门线性代数课程，本文将对这两门课程进行介绍并对它们新学习者感兴趣的方面加以说明。
线性代数1是研究线性系统、向量空间、矩阵等一般形式的线性方程的概念的一门课程。
它的内容涉及到向量空间的定义和运算、矩阵的表示和求解、矩阵的特征值、行列式的求解、方程组的求解、线性变换等。
这门课程有助于学生对线性系统和线性变换有更加深刻和系统的认识。
线性代数2是深入研究线性可加性、线性无线性性能、线性函数的研究的一门课程。
它的内容涉及到矢量分析、线性函数的微积分、线性变换的基础知识、内积空间等，其中，最关键的是内积空间的理解和使用。
这门课程有助于学生掌握线性无线性性能，加深对线性变换的理解，能够更好地解决线性函数类型的问题。
线性代数1和线性代数2是数学中必修的两门课程，它们具有重要的实际意义和抽象理论价值，掌握它们可以帮助科学技术和工程实践中的解决问题。
在学习这两门课程时，除了学习本身的知识外，学习者还应该努力提高自己的数学思维能力，更好地分析解决复杂的问题。
总之，线性代数1和线性代数2是受到学习者的普遍重视的两门重要的数学课程，在研究科学和工程技术的解决问题时，其概念和方
法都是必不可少的。
如果想要更好地学习和掌握这两门课程，学习者除了学习本身的知识外，还需要在解决复杂问题时灵活运用所学知识，从而提高自己的数学思维能力。
线性代数 (1)
! * ! ! * % & *
则 " # 的解可以写成简单的表达式 ! ’ .
*! $ *% $ ** # !!# !!# !& %& *& * * * 它的结构与前面两个未知量的情形类似 "
! 例! $#"解线性方程组 % #’ .&( +, # * #,% .&! +’/ " % ’! 解 !*& * ! % * ! ’% !
! $!! 二阶行列式 " 三阶行列式简介
在初等代数中 ! 我们已求解过二元 " 三元线性方程组 " 下面介绍用二阶 " 三阶行列式 的方法来求解二元 " 三元线性方程组 " ! $! $!! 二阶行列式 为了便于记忆 ! 我们引进记号 & ! ! ! ! ! ! % %’ ! % % ! ! % ! ! % % 并把它叫做二阶行列式 " 它含有两行和两列 ! 横写的叫做行 ! 竖写的叫做列 " 行列式中的 数又叫做行列式的元素 ! ! ! % 就是 在 第 ! 行 " 第 % 列 上 的 元 素 " 从 上 式 我 们 得 知 ! 二 阶 行 列式是这样两个项的代数和 # 一个是从左上角到右下角 $ 又叫做行列式的主对角线 % 两个 元素的乘积 ! 取正号 ! 另一个是从右上角到左下角 $ 又叫做行列式的次对角线 % 两个元素 的乘积 ! 取负号 " 那么 ! 对于含有两个未知量 # # !! % 的线性方程组
*&
! ! ! ! ! %
$ !!*! &
& ! ! ! %
$ !!*% &
"
线性代数课件1(华中科技大学)
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
1.1.2 n元排列的逆序与对换
一、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
定义 自然数1，2，3…n按一定次序排成一 排，称为n元排列,记为 i1i2 in
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序(或称 自然排列1234….n).
例如：4231为奇排列，则经过1次（奇次）对换变 成为标准排列（自然排列）1234
1.1.3 n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
线性代数1同济五版课件2-习题答案
0 0 , 0 0
即f ( A) 0.
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二、逆矩阵的运算及证明
a b (ad bc 0)的逆矩阵. 例３ 求 c d
解
方法一
设
1
用定义求逆阵
x2 , x4
x1 A x3
由 A1 A E , 得
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a b x1 c d x 3
1
A X 11 E , A X 12 O , 依矩阵相等的定义有 C X 11 B X 21 O , C X B X E, 12 22
n1 1 1 n 1 1 1
1 n 1 n n 1 n n n
1 1 n 1
2
2
n1
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n1 1 1 1 n1 2 n 1 1
k 1 s
( i 1,2, , m; j 1,2, n), 记作 C AB .
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运算规律
( AB )C A( BC );
( AB ) (A) B A(B ), (其中为数 );
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
X 12 , 其中 X ij 均为 X 22
det A 0, det B 0), 所以D为可逆矩阵.
X 11 设 D X 21 n阶矩阵( i , j 1,2),
1
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A 0 X 11 X 12 D D C B X 21 X 22 A X 11 A X 12 C X 11 B X 21 C X 12 B X 22 E 0 ( E是n阶单位阵) 0 E
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
线性代数(1)
(除1之外)
4前面比4大的数有n 2个
2(n 1)前面比2(n 1)大的数有1个 : 2n 1 •
(除1,3之外)
(135 (2n 1)246 2n) 1 (n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
例2：求i,j。使排列3972i15j4是偶排列 解:由定义:i,j只能取6,8两个数 当i=6 τ
a11a22 a33 a21a32 a13 a31a12 a23 a13a22 a31 a23a32 a11 a12 a21a33
（展开式）
对角线展开法则：主对角线的元素乘积之 和减去次对角线元素乘积之和
注意：1.对角线法则只适用二阶、三
阶行列式。 2.展开式的每一项都是由不同 的行，不同的列的元素相乘而得的。 3.符号规律：主对角线方向为 正，次对角线方向为负。换个说法， 当行标按自然数排列排好后，列标为 偶排列取正号，列标为奇排列取负号。
为奇数时，称为奇排列
( j1 j2 jn )
公式
=kn+kn-1+…+k2
其中kn是第k个数前面比它大的数的个
数。 注意：由定义可知，一个n元排列的逆 序数的计算方法：先算出jn前面比jn大 的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数 kn-1……。从后向前，用类似方法计算
(行标按自然排列)
τ
(52143)=2+1+2+1=6
∴选(D)
例7
下列各项，哪些是五阶行列式
a11 a 21 a 51 a12 a 22 a 52 a15 a 25 a 55
的项？若是，决定该项的符号： （1）a13a25a32a41a54 （2）a31a12a43a52a24 （3）a43a21a35a12a54 （4）a21a42a53a14a25 解：（2），（4）不是五阶行列式的项 而（1），（3）是五阶行列式的项 （1）的符号为正号，（3）的符号为负号
线性代数1行列式
线性代数1⾏列式⼆阶⾏列式所谓⼆阶⾏列式，是由四个数，如a11，a12，a21，a22排列成含有两⾏两列形如a11a12a21a22的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11a12a21a22=a11a22−a12a21三阶⾏列式所谓三阶⾏列式，是由九个数，如a11，a12，a13，a21，a22，a23，a31，a32，a33排列成含有三⾏三列形如a11a12a13a21a22a23a31a32a33的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11a12a13a21a22a23 a31a32a33=a11a22a23a32a33−a12a21a23a31a33+a13a21a22a31a32n阶⾏列式我们观察⼆、三阶⾏列式的定义，顺便定义⼀下⼀阶⾏列式：（⼏乎全是复制）所谓⼀阶⾏列式，是由⼀个数，如a11排列成含有⼀⾏⼀列形如a11的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11=a11有了⼀阶⾏列式的定义，我们考虑像三阶⾏列式⼀样递归的定义⼆阶⾏列式：a11a12a21a22=a11a22−a12a21⾄此，n阶⾏列式的定义⼏乎呼之欲出了：所谓n阶⾏列式，是由n2个数，如a11，a12，⋯，a nn排列成含有n⾏n列形如a11⋯a1n⋯⋱⋯a n1⋯a nn的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11⋯a1n⋯⋱⋯a n1⋯a nn =n∑i=1(−1)i+1a1ia21⋯a2 i−1a2 i+1⋯a2n⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯a n1⋯a n i−1a n i+1⋯a nn（其实就是对于第⼀⾏的每个元素，⽤它乘除了它同⾏同列的剩下来数构成的⼦⾏列式。
）上式中令M1i=a21⋯a2 i−1a2 i+1⋯a2n⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯a n1⋯a n i−1a n i+1⋯a nn$$，称为元素$a1i$的∗∗余⼦式∗∗。
令A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，称为元素a1j的代数余⼦式。
线性代数-1
线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式定义与性质
在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置
不动，这样的变换称为对换。
如 (4 2 1 5 3)(J2JJ,3JJG)(4 3 1 5 2)
σ =5
σ =6
定理1 任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。
推论1 在所有n 阶排列中(n ≥ 2) ，奇排列、偶排列各占一半，
定义1 由自然数 1,2,", n 组成的一个有序数组称为一个n 阶排 列。 一般地说一个n 阶排列可用( j1 j2 " jn ) 表示。所有的n 阶排列 的总数为 n!个。
定义2 在n 阶排列 ( j1 j2 " jp " jq " jn ) 中，如果 jp > jq 就 称 ( jp jq )为该排列的一个逆序，排列中逆序的总个数称为该
+
a' 32
a33
+
Байду номын сангаас
a' 33
a31 a32 a33
a a a '
'
'
31 32 33
性质5 将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行 列式值不变。
a11 a12 a13
a11
a12
a13
a21 a22 a23 = a21 + ka31 a22 + ka32 a23 + ka33
a31 a32 a33
排列的逆序数，记作 σ ( j1 j2 " jn )
排列 (1 2 3"n)具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列。
定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列 称为偶排列。
线性代数 第一章 行列式
a22
an 2 ann
思考题
已知 f x
x 1 3 1
1 x
1 1
2 1 1 1
2 x 1 2x
，求 x 3的系数.
33
解
含 x 3的项有两项，即
f x
x 1 3 1
1 x
1 1
2 1 1 1
2 x 1 2x
对应于
(1) (1)t (Fra bibliotek234)a11a22a33a44 (1)t 1243 a11a22a34a43 a11a22a33a44 x ,
线性代数（第五版）
第一章
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
2
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3 是1、2、3的某个排列.
4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号；
当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.
其中
p1 p2 p3
表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
D a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
线性代数1和线性代数2
线性代数1和线性代数2
线性代数是数学的一个主要部分，它涉及到几何和代数的交叉，以及研究线形空间和矩阵的关系。
线性代数的学习不仅能帮助学生掌握基础的数学知识，而且能够更好地理解二维和三维空间中的几何结构，给学生们带来更多的应用知识。
线性代数1主要涉及到向量空间、线性变换、矩阵变换、行列式、特征值和特征向量以及线性方程。
线性代数2涉及到复数空间、复数矩阵、平面空间、内积空间以及秩和空间的可线性化的部分。
线性代数1是线性代数入门阶段，它专注于基本矩阵和向量空间的概念，以及特征值和特征向量的求解。
学习者需要熟练掌握变换矩阵、行列式、线性方程以及几何解释等技能，以及矩阵运算法则及其相关概念。
线性代数2是在进行线性复数作业前所必需的知识，主要涉及复数空间、复数矩阵、平面空间、内积空间、秩以及空间可线性化的知识，学习者需要掌握复数的知识、熟练的掌握内积的技能、理解矩阵的几何意义、以及可线性化的技能。
学习线性代数时，需要培养学生的空间能力，以及在一定的范围内解决一切问题的技巧。
为此，学习者应该深入理解线性代数中的基本概念，并积极地掌握相关技术，以运用线性代数解决实际问题。
通过学习线性代数，我们可以站在数学的高度，更好地理解和分析复杂的问题，有效地解决实际问题，为健康、快乐的生活创造更多可能性。
线性代数第一章
其中a11 a22 − a12 a21 = 0. 为了给出方程组解的表示规律, 我们先给出二阶行列式的定义. 1. 二阶行列式 对于给定的四个数: a11 , a12 , a21 , a22 , 按照下述方式排成队二行二列的数表 a11 a21 a12 a22 ,
规定表达式a11 a22 − a12 a21 为上述数表的二阶行列式, 记为 a11 a21 a12 = a11 a22 − a12 a21 , a22 其中aij 的第一个下标i为行标, 表示元素aij 所在的行; aij 的第二个下标j 为列标, 表示元素aij 所在的 列; aij 称为行列式的(i, j )元. 另外, 我们称连接数表左上角与右下角元素的线为主对角线; 连接右上角与左下角元素的线为副对角 线. 上述二阶行列式可以看成是其主对角线上元素的积减去副对角线上元素的积(对角线法则). 根据二阶行列式的定义, 上述二阶线性方程组的解可以表示成 b1 a22 − a12 b2 = a11 a22 − a12 a21 b1 a12 b2 a22 a11 a12 a21 a22 a11 b2 − b1 a21 = a11 a22 − a12 a21 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
徐明华
线性代数
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问: (1)当λ为何何值时, D = 0; (2)当λ为何何值时, D = 0. 解: (1) D = λ2 − 3λ, 当λ = 0或λ = 3时, D = 0; (2) 当λ = 0且λ = 3时, D = 0. 例3. 见教材pp. 2, 例1. 二 三阶行列式 1. 定义: 设有9个数排成如下3行3列数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
常州大学教案
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1.1.1 矩阵的概念 （1）定义 由个元素排成的m行，n列的矩阵元素表 称为维是的矩阵，简记为。 注1 本书中我们讨论的主要是实矩阵，即A的元素为实数的情形。 注2 当时，称A为n阶方阵。 注3 称与为同维（阶）矩阵，如果两个同维矩阵A与B的对应元素相 等，则A＝B。 （2）特殊矩阵 零矩阵：元素全为零的矩阵，记作0 行矩阵： 列矩阵： 三角阵：称为上三角，满足 称为下三角，满足 对角阵： 数量阵： 单位阵：，常记作或，有时也记作或。 对称阵： 反对称阵： 注1 行（列）矩阵通常称为行（列）向量。并习惯用小写字母表 示，其每一元素称为分量。分量个数称为维数。 注2 上述所列的特殊矩阵，除零矩阵、行或列矩阵外,均为方阵。 注3 对反对称阵来说，必有。 注4 任一方阵A均可表示为一个对称阵和一个反对称阵之和，即 1.1.2 矩阵的运算
乘
法 A(b+c)=ab+ac (b+c)d=bd+cd A(B+C)=AB+AC (B+C)D=BD+CD
Ab=ba 若,且 则a=b
一般ABBA 若
一般
当A，B为同阶方 阵，且AB＝ BA，k为非负整 数时，有 A， B为同维矩 阵， k为数 A的列数须等于B 的行数
转置
1.1.3矩阵的初等变换与初等矩阵 （1）矩阵A的初等变换有如下三类： 第一类：将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记为。 第二类：以非零常数k乘A的i行（列），记作。 第三类：将A的第i行(列)的k倍加到第j行（列）上去，记作。 （2）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵 ，， ，， （4） 初等变换与初等矩阵之间的关系 （5） 初等矩阵左（右）乘A，相当与对A进行一次相应的初等行 （列）变换，例如： ，。 注1 若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称B与A等价，此时 必有等式 成立，其中和均为初等矩阵。 注2 任一矩阵A经有限次初等变换后均可化为形如的矩阵，其中r为A 的秩，称矩阵为A的标准型。 1.1.4 可逆矩阵的定义 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB＝BA＝I，则称A为可逆矩
1.1.10 用列（行）方块易推得的一些结论 （1） 将A按列分块 其中是A的第j列，则 其中为单位阵的第j列。 （2） 将A按行分块 其中为A的第i行，则 注 由（1），（2）可得到 （3） 将列分块 则的计算也可转化为方程组的求解问题。 （4） 关于正交阵 定义：若，即，称A为正交阵。 结论：将A列分块 ，则由可得 同理，由可的A的行向量组具有同样的结论。 1.4 典型例题分析 1） 矩阵乘法 例1 设，B＝，求AB，BA， 解 AB＝＝ BA＝＝ ＝＝ 注1 ，交换律不满足。 注2 ，可有。 注3 ，但，消去律不满足。 例2 已知A＝，求与A可交换的一切矩阵。 解 解法一 若B与A可交换，则由AB＝BA知，B必为二阶方阵。 设B＝，则 AB＝＝ BA＝＝ 根据AB＝BA，有 解得，由此可得到与A可交换得任一矩阵是 B＝ 其中为任意实数。 解法二 将A分解为
注 只能用行初等变换 只能用列初等变换 （2） 利用伴随阵 注 在具体计算时这一公式适用于较低阶的矩阵 （3） 利用分块矩阵 （4） 凑法：当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中 凑出AB＝I的形式，从而可得，这一方法适用于抽象矩阵求逆。 1.1.8 分块矩阵的定义于运算 （1） 定义 用若干条纵线和横线把一个矩阵分成若干个小块。每一小块称为 矩阵的一个子块和子矩阵，则一这些子块为元素的原矩阵称为分块矩 阵。 （2） 运算 （3） 进行分块矩阵的加、减、乘法和转置运算，可降子矩阵当作 通常矩阵的元素看待。 注1 同维矩阵，只有用同样的分块方法时，才能进行分块相加。 注2 分块乘法只有当左边矩阵分法于右边矩阵的行分法一致时才能进 行。 注3分块转置除了行列互换外，每一子块也需转置，即若 则 1.1.9 利用分块矩阵求逆矩阵 （1） 对分块对角阵 若则A可逆且 （2） 对 若则A可逆且 （3） 对 或 其中B为可逆阵，C为可逆阵，则A可逆，且 或 注 当矩阵的零元素较多时，可考虑分块，时告诫矩阵的运算转化为 低阶矩阵的运算，这是简化矩阵运算的一个途径。
A＝＝＋＝I＋ 由于单位阵I与任何矩阵都可交换，故问题变为求与＝C可交换得矩 阵，设其为B＝ CB＝＝ BC＝＝ 由于CB＝BC得任意，故与A可交换的矩阵为 B＝ 其中为任意实数。 例3 已知是n维列向量，A＝，B＝，求AB与BA。 解 显然A、B均为n阶方阵，有矩阵运算规律可得 AB＝[][]= 由于＝，所以AB＝I。 由于A，B是同阶方阵，故由AB＝I，可得必有BA＝I。 注1 对n维列向量来说，与由很大不同，由此也说明多任一矩阵是 未必相同的，应看仔细，不能混为一谈。 注2 对矩阵运算，应尽量先由运算规则进行符号运算，至最后结果 再将具体数字代入算得结果。
（1） 加法：设，，则 （2） 数乘：设，k为数，则 （3） 乘法：设，，则，其中 注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。 （4） 转置：设，则称为A的转置，记作或。 （5）运算规律： 下表给出了矩阵与数的运算规律之比较。 运算 数 矩阵 说明 加法 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=a A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+0=A 能够相加的矩阵 必须是同维矩阵
阵，称B为Ａ的你矩阵。 注1 可逆矩阵必是方阵。 注2 A若为可逆，其逆必唯一，故A的呢矩阵记作，即有 注3 可逆矩阵又称为非退化阵或非奇异阵或满秩阵，不可逆阵又称为 退化阵或奇异阵或降秩阵。 1.1.5 可逆矩阵的性质 （1）若A可逆，则，均可逆，且， （2）若A可逆，数，则kA可逆，且 （3） 若A，B是同阶可逆阵，则AB可逆，且 注 若A，B为同阶的可逆矩阵，则A＋B不一定可逆。 1.1.6 可逆矩阵的判别方法 （1） 利用定义：若AB＝BA＝I，则必有A可逆，且。 （2） 利用行列式：若，则A可逆。 （3） 利用性质（3）：将矩阵分解成可逆矩阵的乘积。 （4） 利用矩阵的秩：A为n阶方阵，若，则A可逆。 （5） 利用线性方程组：若方程组有唯一解，则A可逆。 （6） 利用向量组的线性无关性：若方阵A的行（或列）向量线性 无关，则A可逆。 （7） 利用初等矩阵：若A可分解为有限个初等矩阵之积，则A可 逆。 （8） 利用特征值：证明数零不是A的特征值，则A可逆。 （9） 利用反证法：这是常用方法。 注1 方法（1）在具体使用时，实际上只需验证AB＝I或BA＝I，即两 者只要有一个成立时，就必有，当然此时A，B必须是同阶矩阵。 注2初等矩阵都是可逆阵，且其逆也是初等矩阵（），因此，对任一 矩阵A，必存在可逆阵P，Q，使，这称为A的标准分解。 注3方法（7）说明可逆阵必与单位阵等价，这一结论也是我们利用 初等变换求逆矩阵的理论依据。 1.1.7 逆矩阵的计算方法 （1） 利用初)=b(aA) a,b是数 (a+b)A=aA+bA A，B是同维矩阵 a(A+B)=aA+aB a*1=a 1*a=a (ab)c=a(bc) A*I=A I*A=A (AB)C=A(BC) 要注意I的维数 A的列数须等于B 的行数 B的列数须等于D 的行数 B与C须同维，A 的列数须等于B 的行数，B的列 数须等于D的行 数 例如 消去律一般不成 立，但当K（或 L）可逆时，A＝ B必成立 A必须是方阵， 且k，l为非负整 数