二元关系习题讲解
离散数学(二元关系)课后总结
第四章二元关系例1 设A={0,1}，B={a,b}，求A⨯B ，B⨯A，A⨯A 。
解：A⨯B={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}B⨯A={<a,0>,<b,0>,<a,1>,<b,1>}A⨯A={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}可见A×B≠B×A例2、关于笛卡尔乘积的几个证明1）如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|A⨯B |=mn.证明：由笛卡尔积的定义及排列组合中的乘法原理，直接推得此定理。
2) A⨯Φ=Φ⨯B=Φ3) ⨯对∪和∩满足分配律。
设A,B,C是任意集合，则⑴A⨯(B∪C)= (A⨯B)∪(A⨯C)；⑵A⨯(B∩C)= (A⨯B)∩(A⨯C)；⑶(A∪B)⨯C= (A⨯C)∪(B⨯C)；⑷(A∩B)⨯C= (A⨯C)∩(B⨯C)证明⑴：任取<x,y>∈A⨯(B∪C)⇔x∈A ∧y∈B∪C ⇔x∈A ∧(y∈B∨y∈C)⇔( x∈A ∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)⇔<x,y>∈A⨯B∨<x,y>∈A⨯C⇔<x,y>∈(A⨯B)∪(A⨯C) 所以⑴式成立。
4)若C≠Φ，,则A⊆B⇔(A⨯C⊆B⨯C) ⇔(C⨯A⊆C⨯B).证明: 必要性：设A⊆B，求证A⨯C⊆B⨯C任取<x,y>∈A⨯C ⇔x∈A∧y∈C⇒x∈B∧y∈C (因A⊆B)⇔<x,y>∈B⨯C 所以, A⨯C⊆B⨯C.充分性：若CΦ≠, 由A⨯C⊆B⨯C 求证A⊆B取C中元素y, 任取x∈A⇒x∈A∧y∈C⇔<x,y>∈A⨯C⇒<x,y>∈B⨯C (由A⨯C⊆B⨯C )⇔x∈B∧y∈C⇒ x∈B 所以, A⊆B.所以A⊆B⇔(A⨯C⊆B⨯C)类似可以证明A⊆B ⇔(C⨯A⊆C⨯B).5) 设A、B、C、D为非空集合，则A⨯B⊆C⨯D⇔A⊆C∧B⊆D.证明: 首先,由A⨯B⊆C⨯D 证明A⊆C∧B⊆D.任取x∈A，任取y∈B，所以x∈A∧y∈B⇔<x,y>∈A×B⇒<x,y>∈C×D (由A⨯B⊆C⨯D )⇔x∈C∧y∈D 所以, A⊆C∧B⊆D.其次, 由A⊆C，B⊆D. 证明A⨯B⊆C⨯D任取<x,y>∈A×B<x,y>∈A×B ⇔ x∈A∧y∈B⇒ x∈C∧y∈D (由A⊆C，B⊆D)⇔<x,y>∈C×D 所以, A⨯B⊆C⨯D 证毕.例3、令A={1,2,3}给定A 上八个关系如下：可见这八个关系中R1、R3、R4是自反的。
二元关系等价关系
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第4章 二元关系
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二元关系
l 4.1二元关系基本概念 (重点) l 4.2 关系的运算 l 4.3 关系的性质 (重点) l 4.4 关系的闭包 l 4.5 等价关系和偏序关系 (重点及难点) l 4.6 函数的基本概念
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=
A n
i1 i
Ai
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集合的划分与等价关系
例7 试写出集合A={1,2,3}上的所有等价关系。 解： 1. 写出所有划分：
1
1
1
1
23
23
23
23
2.写出每个1 划分对应的2 每个等价关3 系：(略)4
1 23
5
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作业
1.给定集合A={1, 2, 3, 4}，且A中的关系R： R ={<1,1>, <1,3>, <2,2>, <3,4>, <4, 1>, <4, 4>} 求包含R的最小的等价关系R*（前已求）,并写出商集A/R*。 2.给定集合S={ 1 , 2 , 3, 4, 5 },找出S上的等价关系R，此关系R能
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商集
定义 商集——等价类的集合 A/R={[x]|x∈A}
性质 商集是集合的一个划分。
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集合的划分
定义 集合的划分
A
把集合A分为若干非空子集A1,A2 (1) 当 i ≠ j 时，Ai∩Aj＝
,…
,An
,满足： A1
A6
则(子2)集族in=1A{Ai 1，AA2，…，An}
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
二元关系习题课答案课件市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
54
90
135
6
9
15
3
{6,15,90}上确界：90
二元关系习题课答案课件
下确界：3 第6页
四、证实题
⒈ 设R是集合A上关系。证实：R是偏序关系，iff R-1∩R=IA且Ｒ=rt(Ｒ)。 ⒉ 设R是集合A上关系。证实：R是拟序关系，iff R-1∩R=Φ且Ｒ=t(Ｒ)。
二元关系习题课答案课件
① 线序 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序 ( 2,4) 8. {1,2,3,4,5}上全序关系一定是 关系。
①等价 ②偏序 ③拟序 ④良序 (1,4,5)9. {1,2,3,4,5}上良序关系一定是
① 自反 ② 反自反 ③ 对称 ④ 反对称 ⑤ 传递
(1,2,3,4)10. 设Ｒ和Ｓ都是Ａ到Ｂ关系，以下关系式中正确有：
第7页
二元关系习题课答案课件
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( 2 )⒌ 若R和S是集合A上等价关系，则以下关系中一定是等价关 系有
① R∪S ② R∩S ③ R－S ④ R⊕S (1,2,4)⒍ 若R是集合A上等价关系，则
① R2＝R ② t(R)＝R ③ ＩA R ④ R-1＝R ( 1,2,3,4,5)⒎ 空集上空关系是 关系。
( 1,2,3 )⒊ 设R={<1,2>}是Ａ＝{1,2,3}上关系，则
① rst(R)是等价关系 ② Ｒ10＝Φ ③ r(R)是偏序 ④ tr(R)是良序
( 5 )⒋ 设R和S分别是A到B和B到C关系，且R·S=Φ，那么
① R是空关系 ② S是空关系 ③ R和S都是空关系
④ R和S中最少有一个是空关系 ⑤ 以上答案都不对
二元关系习题课答案课件
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二、多项选择题
二元方程组练习题带答案
二元方程组练习题带答案二元方程组是数学中的一个重要概念，它涉及到两个未知数的关系。
在解决实际问题中，经常会遇到需要解二元方程组的情况。
为了帮助大家更好地掌握解二元方程组的方法和技巧，下面将给大家提供一些练习题，并附上答案供参考。
1. 题目：解方程组2x + 3y = 74x - y = 1解答：首先，我们可以通过消元法来解决这个方程组。
将第二个方程的两边同时乘以3，得到4x - y = 3。
然后将这个方程与第一个方程相加，消去y的项，得到6x = 10，即x = 10/6 = 5/3。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值，即2(5/3) + 3y = 7，化简得到3y = 7 - 10/3 = 21/3 - 10/3 = 11/3，即y = 11/9。
因此，方程组的解为x = 5/3，y = 11/9。
2. 题目：解方程组x + y = 52x - y = 1解答：这个方程组也可以通过消元法来解决。
首先，将第二个方程的两边同时乘以2，得到2x - y = 2。
然后将这个方程与第一个方程相加，消去y的项，得到3x = 7，即x = 7/3。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值，即7/3+ y = 5，化简得到y = 5 - 7/3 = 15/3 - 7/3 = 8/3。
因此，方程组的解为x =7/3，y = 8/3。
3. 题目：解方程组3x - 2y = 42x + y = 3解答：这个方程组可以通过消元法或代入法来解决。
我们选择代入法来解决这个方程组。
首先，将第二个方程解出y，得到y = 3 - 2x。
然后将这个表达式代入第一个方程，得到3x - 2(3 - 2x) = 4，化简得到7x - 6 = 4，即7x = 10，即x = 10/7。
将x的值代入第二个方程，可以求得y的值，即2(10/7) + y = 3，化简得到y = 3 - 20/7 = 21/7 - 20/7 = 1/7。
因此，方程组的解为x = 10/7，y = 1/7。
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
离散数学二元关系习题讲解
极 大 元
极 小 元
作业
2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示 最 最 极 极 上 下 ，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子 集 上 下 大 小 大 小 确 确 集X1={x2,x3,x4}，X合 ={x ,x ,x } ， X ={x ,x ,x } 的上 界 界 2 3 4 5 3 1 3 5 元 元 元 元 界 界 界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极 大元和极小元。 X1 无 x4 x2， x4 x1 x x1 x4
3
偏序关系
1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小 元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确 界。 h
f d
c a
4
g e
集 合 B1
最 大 元 无
最 小 元 无
b
B2
无
c
上 下 下 上界 确 确 界 界 界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, b, h c d,e c h c
x1
x3 x3 x1 x1
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
x2 x3
x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3， 无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5
二元关系
二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
例5 判断下述关系所具备的性质。
(1)集合A上的恒等关系，全域关系。 (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} (4)R3={<S1,S2>｜S1S2，S1,S2∈P(S)}其中P(S)是 S的幂集。注：若改为? (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N}
离散数学 二元关系 PPT课件
▪ 常见的几种特殊的二元关系
▪≤ ≥ ＜ ＞ ＝ ▪| ▪ 集合之间的关系 ： ＝ ≠
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20
计算机科学学院 刘芳
7.2.2 二元关系的表示
1.集合表示法
2.关系矩阵(matrix of relation)
▪ 设A＝{a1,a2,…,am} ，B＝{b1,b2,…,bn}，R是A到B的一个二
所以， （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）成立。
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计算机科学学院 刘芳
7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义：
▪ n个元素x1，x2，…，xn组成的有序序列,记做：
＜x1,x2,…,xn＞
▪ 称为n重组（n元序偶、n元组）。
约定:
▪ ＜x1，x2，…, xn-1, xn＞= ＜<x1，x2，… ,xn-1 >,xn＞
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
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计算机科学学院 刘芳
7.2.2 二元关系的表示
关系的表示方法
▪ 关系R的集合表达式 ▪ 关系矩阵MR ▪ 关系图GR
三者均可以唯一相互确定。
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计算机科学学院 刘芳
7.3 关系的运算
7.3.1 关系的定义域、值域 和 域
例:
▪ (1) R＝{<x,y> | x,yN, x＋y＜3}
＝{<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>}
▪ (2) C＝{<x,y> | x,yR, x2＋y2＝1}
第二章 关系
1 1 0 M ( R 2 ) 1 1 1 0 0 0
6
自反性(举例 4)
证明整数集Z上的小于等于关系是自反 关系。 证明：任选xZ。 显然：xx。 因此，(x,x), 进而， 是自反关系。
22
对称,反对称(分类)
对称
反对称
非自反, 非对称, 非反对称 非反自反
23
对称,反对称(分类)(续)
反对称 对称
注意： 1. 任意集合上的空关系既是对称的又是反对称的；
24
传递性(transitivity)
定义：对于任意的x, y, zA, 如果有xRy和yRz时 ，则有xRz, 则称关系R是传递关系或R具有传递性 (transitive) 。
4
自反性(举例 2)
c
a G(R2) c b a G(R1) b
R1和R2是A={a,b,c}上的二元关系，G(R1)和 G(R2)如上图所示，R1和R2具有自反性吗？
5
自反性(举例 3)
例2：设R1和R2是A = {a, b, c} 上的二元 关系，其关系矩阵M(R1)和M(R2)如图所 示，R1和R2是自反关系吗？
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 0 0 0 1
1 1 1 0 0
30
a4
a5
布尔加
先介绍布尔加： 0＋ 0＝ 0 0＋ 1＝ 1 1＋ 0＝ 1 1 ＋ 1＝ 1
1+0 = 1
算法改进：当aij=1时，应该将第i行和第j行元 素做比较，该过程可以转化为： 1. 这两行的同列元素作布尔加。 2. 然后所得的结果再与第i行作比较。若结果与 第i行相同，则继续作下一次比较，知道对所 有aij=1都检查了一遍；否则，无传递性。 31
二元关系的基本运算与性质复习题答案
第4章 二元关系的基本运算与性质一、选择题（每题3分）1、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是自反的，1R -为其逆，则必有（ A ）A 、A I R ⊆B 、1A R R I -⊆C 、A R I =∅D 、1A R I -=∅2、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反自反的，1R -为其逆，则必有（ C ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、A R I =∅D 、1A R R I -=3、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是对称的，1R -为其逆，则必有（ C ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、1R R -=D 、1A R R I -=4、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反对称的，1R -为其逆，则必有（ D ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、1A I R R -⊆D 、1A R R I -⊆5、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是传递的，1R -为其逆，则必有（ B ）A 、2R R ⊆B 、2R R ⊆C 、1R R -=D 、1A R R I -=6、设R 是集合A 上的自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ B ）A 、全为0B 、全为1C 、不全为0D 、不全为17、设R 是集合A 上的反自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ A ）A 、全为0B 、全为1C 、不全为0D 、不全为18、设R 是集合A 上的反对称关系，其关系矩阵中的任一元素为ij a ，当i j ≠时，总有（ D ）A 、ij ji a a =B 、1ij ji a a +=C 、0ij ji a a =D 、若1,ij a =则0ji a =9、非空集合X 上的空关系∅不具备的性质是（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性10、设{1,2,3}A =上的关系R 的关系图如下，则R 不具备的性质为（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、反对称性D 、传递性11、设R 为{1,2,3}A =上的关系，其关系图如下，则下列为真命题的是（ C ）A 、R 对称，但不反对称B 、R 反对称，但不对称C 、R 对称，又反对称D 、R 不对称，也不反对称12、设R 为{1,2,3,4}A =上的关系，其关系图如下，则下列为假命题的是（ C ）A 、R 不自反，也不反自反B 、R 不对称，也不反对称C 、R 传递D 、R 不传递13、{1,2,3,4}A =上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =<><><><><>只不具备（ C ） A 、 反自反性 B 、 反对称性 C 、对称性 D 、传递性 14、设12,R R 是集合A 上的关系，1112,R R --分别为12,R R 的逆，则下列命题错误的是（ D ）A 、1111212()R R R R ---=B 、1111212()R R R R ---=C 、1111212()R R R R ----=-D 、1111212()R R R R ---=15、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ D ）A 、若S R ,自反，则R S 自反B 、若S R ,对称，则R S 对称C 、若S R ,反自反，则R S 反自反D 、若S R ,反对称，则R S 反对称16、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ A ）A 、若S R ,自反，则R S -自反B 、若S R ,对称，则R S -对称C 、若S R ,反自反，则R S -反自反D 、若S R ,反对称，则R S -反对称17、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言正确的是（ A ）A 、若S R ,自反，则S R 自反B 、若S R ,对称，则S R 对称C 、若S R ,反自反，则S R 反自反D 、若S R ,反对称，则S R 反对称18、设S R ,是集合A 上的自反关系，则下列断言错误的是（ C ）A 、R S 自反B 、R S 自反C 、R S -自反D 、S R 自反19、设S R ,是集合A 上的反自反关系，则下列断言错误的是（ D ）A 、R S 反自反B 、R S 反自反C 、R S -反自反D 、S R 反自反20、设S R ,是集合A 上的对称关系，则下列断言错误的是（ C ）A 、R S 对称B 、R S 对称C 、R S -对称D 、S R 对称21、设S R ,是集合A 上的传递关系，则下列断言正确的是（ A ）A 、R S 对称B 、R S 传递C 、R S -传递D 、S R 传递二、填充题（每题4分）1、设{}2,3,4A =，则其上的小于关系A <={}2,3,3,4<><>，整除关系A D ={}2,4<>．2、设关系{}1,2,2,4,3,3R =<><><>，{}1,3,2,4,4,2S =<><><>，则R S = {}1,4,2,2<><>，1()R S -= {}4,2<>，1()R S --={}2,1,3,3<><>．3、设集合,A B 分别含有,m n 个不同元素，则A 到B 的二元关系的个数为2mn ．提示：A 到B 的二元关系的个数即为()A B ρ⨯的基数．4、设集合A 含有n 个不同元素，则A 上二元关系的个数为22n ．设{}3,4,5A =上的关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R ={}3,3,3,4,3,5,4,5,5,3,5,4,5,5<><><><><><><>．5、设{}1,2,3,4A =上的二元关系{}2,4,3,3,4,2R =<><><>，其关系矩阵中的任一元素为ij m ，则24m =1，34m =0．6、{},A a b =上全域关系的关系矩阵为1111⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 7、设{},A a b =到{}1,2,3B =的关系{},1,,2,,3R a b b =<><><>，则其关系矩阵为100011⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 8、设{}1,2,3,4A =上R 的关系图如右图，则2R ={}1,1,1,3,2,2,2,4<><><><>． 9、设{},,A a b c =上二元关系R 的关系矩阵是101110111R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则=R R M 111111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．三、问答题（每题6分）1、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是自反又不是反自反的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,1,2R =<><>．2、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是对称又不是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,2,1,3,2,1R =<><><>．3、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既是对称又是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,2,2,3,3R =<><><>．4、若A 上的二元关系R 是自反的，问1R -是否也是自反的？为什么？答：是的；,a A R ∀∈ 自反，,,a a R <>∈∴则 1,a a R -<>∈，即1R -也是自反的． 5、若A 上的二元关系R 是反自反的，问1R -是否也是反自反的？为什么？答：是的；因R 反自反，则,A R I =∅有11111(),A A A R I R I R I -----===∅=∅ 即1R -也是反自反的． 6、若A 上的二元关系R 是对称的，问1R -是否也是对称的？为什么？答：是的；因R 对称，则111()R R R ---==，即1R -也是对称的．7、若A 上的二元关系R 是反对称的，问1R -是否也是反对称的？为什么？答：是的；因R 反对称，则1,A R R I -⊆ 有111(),A R R I ---⊆ 即1R -也是反对称的．8、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反． 9、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反．10、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问21R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；21,,R R A a ∈∀自反，21,,,R a a R a a >∈<>∈<∴，从而 21,R R a a >∈<，即21R R 也是自反的．11、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R -是否也是自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =，1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,,,}R a a b b =<><>， 则21,R R 是自反的，但12{,}R R a b -=<>不是自反的．12、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：是的；若1R 反自反，则1,A R I =∅于是1212()()A A R R I R I R ==∅ ，故12R R 反自反．13、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；若1R 和2R 反自反，则12,A A R I R I =∅=∅ ，于是1212()()()A A A R R I R I R I ==∅ ，故12R R 反自反．14、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问21R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =，12{,,,}R R a b b a ==<><>，则21,R R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b =<><> 是自反的．15、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R -是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,}R a b =<>， 则2R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b -=<><>是自反的．（若1R 是反自反的，结论对）16、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．17、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？答：是的；12,R R 反对称，111122,A A R R I R R I --⊆⊆∴ ，则11111121212121122()()()()()()A R R R R R R R R R R R R I -----==⊆ ，故12R R 反对称．18、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．19、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>，则1R 和2R 是反对称的，但12{,,,}R R a b b a =<><> 是对称的．20、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R -是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ----=-=-，故12R R -对称．21、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反对称的，问12R R -是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,}R a a a b =<><>，2{,}R a b =<>，则2R 是反对称的，但12{,}R R a a -=<>是对称的．注：当1R 是反对称的，则必有12R R -也是反对称的．22、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问21R R 是否也是对称的？为什么？ 答：不一定；如{},,A a b c =，},,,{1><><=a b b a R ，},,,{2><><=b c c b R ， 则21,R R 是对称的，但},{21><=c a R R 不是对称的．23、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问21R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>，则1R 和2R 是反对称的，但12{,}R R a a =<> 是对称的．四、计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =上的关系为{,|02}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧≤-<，用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,1,2,2,2,2,3,3,3}R =<><><><><>，其关系矩阵为110011001R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2、设{1,2,3,4}A =到{1B =的关系为2{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧=， 用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,,,4,2}R =<><><>，其关系矩阵为100000001010R M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．3、设({0,1})A ρ=到({0,1,2}{0})B ρ=-的二元关系为{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧-=∅，写出关系矩阵，画出关系图．解：{,{0},{1},{0,1}}A =∅，{{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}B =，其关系矩阵为111111001101101011001001R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，关系图如右图． 4、集合}4,3,2,1{=A 上的关系}4,4,3,4,4,3,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1{><><><><><><><><=R ，写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100110100100101R M ，R 的关系图为 因R M 对角元皆为1，故R 是自反的，不是反自反的；因R M 为对称矩阵，故R 是对称的； 因1,3,3,1R <><>∈，故R 不是反对称的；又因1,3,3,4R <><>∈，但1,4R <>∉，故R 无传递性．5、设R 是集合}4,3,2,1{=A 上的二元关系，{1,1,1,2,1,3,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3}R =<><><><><><><><><>， 写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为1110000011101110R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，R 的关系图为 因R M 对角元不全为1，也不全为0，故R 不是自反的，也不是反自反的；因R M 为非对称矩阵，故R 是反对称的，不是对称的；因2R R =，故R 是传递的．6、在实数平面上，画出关系}0R 所示区域，并判定关系的五种性质．解：关系图为对任意实数x ，直线y x =上的点在区域内，即,x x R <>∈ ，故R 自反；因R 自反且结点集非空，故R 不是反自反；若R y x >∈<,， 有 2x y -< ，则2y x -<， 即 R x y >∈<,，故R 对称； 因1,0,0,1R R <>∈<>∈，故R 不是反对称；因1,0,0,1R R <>∈<->∈ ，而 R >∉-<1,1，故R 不是传递的．五、证明题（每题10分）1、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T = ．证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∨<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨<>∈∧<>∈(,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∨<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立．2、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T ⊆ ．证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈(,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇒∃<>∈∧<>∈∧∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∧<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立．3、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=， 证明：1212()()()S A A S A S A = ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∨∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨<>∈∧∈12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨∃<>∈∧∈1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∨∈⇔∈ ，故原命题成立．4、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=， 证明：1212()()()S A A S A S A ⊆ ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∧∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∧<>∈∧∈12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇒∃<>∈∧∈∧∃<>∈∧∈1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∧∈⇔∈ ，故原命题成立．5、设R 是集合A 上的二元关系，若R 是自反的和传递的，则2R R =．证明：因R 是传递的，则2R R ⊆，因R 是自反的，则对y A ∀∈,有,y y R <>∈，于是2,,,,x y R x y R y y R x y R <>∈⇒<>∈∧<>∈⇒<>∈，则2R R ⊆，故2R R =．6、设R 为集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和可传递的，则R 一定是反对称的． 证明：假设R 不是反对称的，则 y x R x y R y x ≠>∈<>∈<∃,,,,由R 的传递性知， R x x >∈<, ，此与R 反自反矛盾，故R 反对称．7、设R 是集合A 上的一个自反关系，求证：R 是对称的和传递的当且仅当,a b <>和,a c <>在R 中，则有,b c <>在R 中．证明：⑴R 是对称的和传递的⇒若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈．若,a b R <>∈，由R 对称性有,b a R <>∈，而,a c R <>∈，由R 传递性得,b c R <>∈； ⑵若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈⇒ R 是对称的和传递的． 若,a b R <>∈，因R 自反，则,a a R <>∈，由条件知,b a R <>∈，即R 对称； 若,a b R <>∈，,b c R <>∈，由R 对称性知,b a R <>∈，再由条件知,a c R <>∈， 即R 具有传递性．。
离散数学二元关系知识点总结
定义1
设R是A上的二元关系，nN，那么R的n次幂记为Rn，定义如下：
（1）R0是A上的相等关系，R0={<x, x> | xA}
（2）Rn+1= RnR
RmRn
（5）如果对每一x，y，zA，xRy，yRz蕴含着xRz，那么R是传递的。即
A上的关系R是传递的xyz(xAyAzAxRyyRzxRz)
《关系的合成》
定义1
设R1是从A到B的关系，R2是从B到C的关系，从A到C的合成关系记为R1R2，定义为
R1R2 = {<a, c> | aAcCb [bB<a, b>R1<b, c>R2]}R1R2有时记为R1R2。表示合成运算。
二元关系
《关系》
定义1
AX B的子集叫做A到B的一个二元关系
A1 X A2 X A3…Xan(n>1)的子集叫做A1 X A2 XA3…Xn上的一个n元关系。
An=A X A X… X A(n>1)的子集叫做A上的n元关系。
定义2
设R是Xn t=1Ai的子集，如果R=，则称R为空关系，如果R=Xn t=1Ai。则称R为全域关系。
D(R) = {x |y (<x, y>R)}叫做关系R的定义域。
R(R) = {y |x (<x, y>R)}叫做关系R的值域。
《关系矩阵和关系图》
矩阵：表达有限集合到有限集合的二元映射。
定义1
给定集合A= {a1, a2, …, an}和B= {b1, b2, …, bn}，及一个A到B的二元关系R，使
定义3
设R1是Xn t=1Ai上的n元关系,R2是Xmt=1Bi上的m元关系。那么R1 = R2，当且仅当n=m，且对一切i，1<=i<=n，Ai=Bi，并且R1和R2是相等的有序n重组集合。
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
THANKS
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反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
6、理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i'40% ,数理 逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元 关系，如果关系R同时 具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
1 , 0）使G的真值 为，
设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口,则G
是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
11 第十一次课(二元关系运算与函数)1
这个定义也可以写成
R在A上是对称的
R在A上是反对称的
2020/1/28
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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第三章 --- 二元关系
反对称性的另一种等价的定义为
Function 函s 数
R在A上是反对称的
如果R是A上对称的，则M(R)是对称矩阵(对任意的i和j，
)
G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者互有有向边 和
不是自反的，也不是非自反的。 但是在非空集合A上，不存在一个关系，它是自
反的又是非自反的。
2020/1/28
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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第三章 --- 二元关系
设 R 为集合 A 上的关系 ，对任意的
Function 函s 数
，
若
，则称 R 为 A 上对称的关系；
若
，则称R为A上反对称的关系。
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
19
第四章 --- 函数
例1: 对实数集 R , R 上的关系 f 为
Function 函s 数
f = { <x ,y> | y = 3x } f 是从 R 到 R 的函数, 记作 f: R→R , 并记作
f:|→3x 或 f (x) = 3x.
2020/1/28
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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第四章 --- 函数
例：设
Function 函s 数
分别写出 单射和双射函数。
中的满射、
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Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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第四章 --- 函数
第四章二元关系剖析
第四章⼆元关系剖析第四章⼆元关系1.填空：1．如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|A?B |=( a )2．A?Φ=Φ?B=( b )2.设A={0,1}，B={a,b}，分别求A?B ，B?A，A?A 。
3.证明(A∪B)?C= (A?C)∪(B?C)4.名词解释1．⼆元关系：2．关系的定义域：3．关系的值域：5.X={a,b,c} Y={s} ，求X到Y的所有关系。
6.设|A|=n ，有多少个A上的关系？为什么？7.选择填空：如果|A|=m, |B|=n，则可以定义( )个从A到B的不同的关系。
供选择答案：A：mn B：m n C：n m D：2mn8.令A={2,3,5}，分别画出A上空关系Φ、完全关系(全域关系)、恒等关系I A的关系图。
再分别写出它们的矩阵。
9.设R是集合A中的关系，分别写出R是⾃反、反⾃反、对称、反对称、传递的谓词定义。
10.如何从R的关系图判断R是否有⾃反、反⾃反、对称、反对称性。
11.如何从R的关系矩阵判断R是否有⾃反、反⾃反、对称、反对称性。
12.判断下⾯命题的真值，并说明理由。
1．⼀个关系不是⾃反的，就是反⾃反的。
2．⼀个关系如果它是对称的，就不是反对称的。
反之如果它是反对称的，就不是对称的。
13.设A={1,2,3}，给定A中如下四个关系，如图所⽰。
1．判断这四个关系是否有如下性质，⽤Y表⽰有，⽤N表⽰⽆，填下表。
⾃反性反⾃反性对称性反对称性传递性R1R2R3R42．这四个关系中哪些是等价关系？是等价关系求对应的商集。
哪些是偏序关系，对偏序关系画出哈斯图。
14.令I是整数集合，I上关系R定义为：R={|x-y可被3整除}，求证R是⾃反、对称和传递的。
15.设R是集合A上的⼀个⾃反关系, 求证：R是对称和传递的，当且仅当和在R中，则有也在R中。
16. R和S都A上是⾃反、对称、传递的，求证R∩S也是⾃反、对称和传递的。
17.已知R是A上的反⾃反的、传递的⼆元关系，Ｒ是否是反对称的？为什么？18.给定A={1,2,3},A中关系R和S如下：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}分别求复合关系RοS，SοR，I AοR, RοI A。
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3
偏序关系
1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小元、 极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界。
h
f d
c a
4
g e
集 合 B1 B2
最 大 元 无 无
最 小 元 无 c
上 下 下 上界 确 确 界 界 界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, d,e c h b,c h c
极 大 元
极 小 元
b
作业
2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示 最 最 极 极 上 ，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子 下 集 上 下 大 ,x }，X ={x ,x ,x }的上 确 小 大 小 确 集X1={x2,x3,x4}，X合 3,x4 5 ={x 界 5界 2 3 1 3 元 元 元 元 界 界 界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极 大元和极小元。 X1 无 x4 x2， x4 x1 x x1 x4
ห้องสมุดไป่ตู้二元关系
二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
例5 判断下述关系所具备的性质。
(1)集合A上的恒等关系，全域关系。 (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} (4)R3={<S1,S2>｜S1S2，S1,S2∈P(S)}其中P(S)是 S的幂集。注：若改为? (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N}
(6)R5={<x，y>｜ x y(mod3), x,y∈Z}
2
等价关系
1．设A={1,2,3,4}，在AA上定义二元关系R： <<x,y>,<u,v>>R x+y = u+v， 求R导出的划分. 2．设R是Z上的模 n 等价关系, 即 xy x y(modn), 试给出由R确定的Z的划分.
x1
x3 x3 x1 x1
4
X2
x2 x3
x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3， 无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5