1-2描述质点运动的物理量

时速度增量的极限方向； t→0时速度增量的极限方向； (一般不同于速度 的方向) v 的方向)
23
的方向: 对 a 的方向 t→0时速度增量的极限方向的说明
a v a v 曲线运动时, 的极限方向指向曲线凹的一侧。 曲线运动时,v 的极限方向指向曲线凹的一侧。如果速率减 成钝角，如果速率增加， 成锐角。 小，则 a 与 v 成钝角，如果速率增加，则 a 与 v 成锐角。 若速率不变， 若速率不变，则 a 与 v 垂直
a ——正确，速率的定义式 正确，
b ——正确，速率与速度大小相等 正确， 正确
dr dxi + dyj + dzk (dx )2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 2 2 v= = = = v x + v 2 + vz y dt dt (dt ) 2
c—正确 正确
d r d xi + yj + zk d x 2 + y 2 + z 2 v= = = dt dt dt
r (t)
o
x
s 时间内, 质点的平均速率为: t 时间内, 质点的平均速率为: v = t
11
说明
平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取时间间隔的大小。 平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取时间间隔的大小。 时间间隔的大小 当使用平均速度来表征质点运动时，总要指明相应的时间间隔。 当使用平均速度来表征质点运动时，总要指明相应的时间间隔。 平均速度与平均速率: 平均速度与平均速率: 都大致描述运动质点在某段时间内 所以它们数值上 的平均快慢情况。因为一般情况下 的平均快慢情况。因为一般情况下s≠|r|,所以它们数值上 不一定相等
rA
rB
x
z cosγ = r 7
r = ( xB x A )i + ( yB y A ) j + ( zB z A )k
位移的大小为 r =
x2 +y2 + z2
o
x y cos β = 位移的方向为 cosα = r r
比较
r
r r
y
P r 1
r (t1 )
r ≠ r = r
位移的 大小 位矢长度的变化
dx vx = , dt dy vy = , dt dz vz = dt
大小 : v = v 2 + v 2 + v 2 x y z vy vx vz 方向 : cos α = , cos β = , cos γ = v v v
16
若质点在二维空间中运动 若质点在二
其速度为
v = vxi + v y j
dx dy v= i + j dt dt
y
vy
θ
v
vx
x
速度的大小: 速度的大小:
v = vx + v y
2
2
o
速度的方向: 速度的方向:
tgθ =
vy vx
17
(2)瞬时速率 定义 时平均速率的极限,称为瞬时速率,简称速率。 t →0时平均速率的极限,称为瞬时速率,简称速率。
s ds ∵lim r = lim s v = lim = t →0 t →0 t →0 t dt ds dr v= = =v dt dt
v
的正交分解式
r = xi + yj + zk
r x y z v= = i+ j+ k t t t t
x 2 y 2 z 2 v = ( ) +( ) +( ) t t t vy vx cos α = cos β = v v
= vx i + v y j + vz k
vz cosγ = v
12
2. 瞬时速度和瞬时速率 (对于一个时刻的精确描述) 对于一个时刻的精确描述) (1). 瞬时速度 定义
P 2
r (t2 )
O
2 2 2
r
位移的大小: 位移的大小
r = x + y + z
位矢长度的变化: 位矢长度的变化
z
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z 2 )
x
r = x2 + y2 + z 2 x1 + y1 + z1
2 2 2 2 2
2
8
对 r 位移的说明 反映位置变动的大小和方向, 位移 r 反映位置变动的大小和方向, 具有矢量性 矢量性, 具有矢量性,且满足矢量运算法则 位 移 r 描 述 位 置 的 变 化 , 与 一 段 时 间间隔相联系,它是一个过程量 间间隔相联系,它是一个过程量 只与一段时间内的始末位 位移 r只与一段时间内的 始末位 置有关, 置有关,与所经路径无关 具有相对性 相对性, r 具有相对性,与参照系的选择有关
即 : dr = ds
速率等于速度的模,等于速度的大小, 总是正值。 速率等于速度的模,等于速度的大小, 总是正值。
ds 速度可表示为: 速度可表示为: v = τ dt
18
例1：判断下列写法是否正确 ：
a . v = ds dt
b. v = dr dt
dr c . v = dt
dr d . v = dt
p2
r ≠ s
r (t1 )
什么情况 r = s ？ 质点作单方向直线运动时; 质点作单方向直线运动时;
r (t2 )
O
z
dr = ds
10
x
t → 0 lim r = lim s 即
t→0 t→0
位移是矢量, 路程是标量. 位移是矢量 路程是标量
三.速度和速率:为了描述质点运动的快慢和方向而引入 速度和速率: 1.平均速度和平均速率 定义
C D
O
r3
A L
r dr v = lim = t →0 t dt
瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。 瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。
13
速度的定义式: 速度的定义式:
r dr v = lim = t →0 t dt
速度的方向:是当 趋于零时, 速度的方向:是当t 趋于零时, 平均速度或位移的极限方向。 平均速度或位移的极限方向。 质点在曲线某点的速度方向, 质点在曲线某点的速度方向, 某点的速度方向 就是曲线在该点的切线方向并 指向质点前进的一侧。 指向质点前进的一侧。 速度的大小: 速度的大小 O
3
3、运动方程(轨道参量方程) 运动方程(轨道参量方程)
r = r (t )
在直角坐标系中
运动方程
z( t )
z P( t )
r( t ) y( t ) x( t ) x 0 y
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
分 量 式
(参数形式 参数形式) 参数形式
x = x (t ) y = y (t ) z = z (t
r = ∫ v(t)dt + r0
t0
t
积分 求出 r , r (t )
15
应用2 应用2:
已知 υ = υ (t )
v
的正交分解式
v = vxi + vy j + vz k
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
dr υ= dt
dr dx dy dz v= j+ k = i+ dt dt dt dt
O 参考系
2
P
r
L
2.位置矢量的正交分解式
Z
γ
k β O j i y
r = xi + yj + zk
P点矢径 r 大小 点矢径
P
x
α
2
r = r = x + y +z
2 2
β r z β
Y
P点矢径 r方向 点矢径
x cosα = r
说明
y cos β = r
X z cosγ = r
轨道
位置矢量是矢量：有大小和方向； 位置矢量是矢量：有大小和方向； 具有瞬时性； 具有瞬时性； 具有相对性； 具有相对性；
d — 错误
19
a . v = ds dt
b. v = dr dt
dr c . v = dt
dr d . v = dt
讨论例子：
r ( t ) = R cos( ω t ) i + R sin( ω t ) j
d r d xi + yj d x 2 + y 2 dR v= = = = =0 dt dt dt dt
1
一、位置矢量: 为了确定质点在空间的位置而引入的物理量 位置矢量
1.定义
质点P在任意时刻的位置 可用从参考点O到质点 到质点P 质点 在任意时刻的位置, 可用从参考点 到质点 在任意时刻的位置 所引的有向线段OP 来表示，或用矢量 r 来代表， 来表示， 来代表， 所引的有向线段 就称为质点P的位置矢量, 简称位矢 位矢。 这个矢量 r 就称为质点 的位置矢量 简称位矢。 位矢包含两方面信息： 位矢包含两方面信息： 质点P相对参考系固定点 的方位 质点 相对参考系固定点O的方位； 相对参考系固定点 的方位； 质点P相对参考系固定点O 的 距离大小。 距离大小。
时间内, 在 t 时间内 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为 时间内, t 时间内, (对于一个过程的粗略描述) 对于一个过程的粗略描述 粗略描述)
y
B
r = r (t + t ) r (t )
质点的平均速度定义为: 质点的平均速度定义为:
r (t + t)
r
s
A
r v= t
平均速度 同方向. v 与 r 同方向
消去t 消去
2
g 2 y = 2 x :为轨迹方程 2v 0
例2、 一质点的运动学方程为: r = R cos ti + R sin tj 一质点的运动学方程为: 求轨迹方程 运动方程的分量式为： 运动方程的分量式为：
x = R cos t y = R sin t
消去t 消去
x + y = R :为轨迹方程
v v (t + t ) v (t ) = a= t t
22
2、瞬时加速度 (对于一个时刻的精确描述) 对于一个时刻的精确描述) 定义： 定义：平均加速度的极限值称为瞬时加速度
a = lim
t → 0
v dv d r = = 2 dt dt t
2
dv dv a 的大小 a = a = 的大小: ≠ dt dt a 的方向 的方向:
9
2.路程s 2.路程 路程
定义
一定时间内物体所经过路径的总长度称为路程。 一定时间内物体所经过路径的总长度称为路程。 位移与路程 ' P1P2 两点间的路程是 不 s s y 唯一的, 而位移是唯一的. 唯一的 , 而位移是唯一的 . p1 r 一般情况, 一般情况 , 位移大小不等 于路程. 于路程.
时间间隔越短，运动的变化就越不明显， 时间间隔越短，运动的变化就越不明显， 平均速度就越接近于真实速度。 平均速度就越接近于真实速度。 如果t→0，平均速度的极限就表示质 如果 平均速度的极限就表示质 点某一时刻的真实速度， 点某一时刻的真实速度，此极限即质点 运动的瞬时速度 运动的瞬时速度
Leabharlann Baidu
B
r1 r2
质点运动时，在坐标系中描绘的曲线称为运动的轨迹 运动的轨迹。 质点运动时 ，在坐标系中描绘的曲线称为 运动的轨迹。 在运动方程中消去时间 得轨迹方程 f ( x, y , z ) = 0
t
4
例1、平抛运动的轨迹方程 运动方程的分量式为： 运动方程的分量式为：
x = v0t 1 y = 2 gt
r (t) r
r (t + t)
υ (t )
dr dr dr v = = ≠ dt dt dt
14
r dr v = lim = t →0 t dt
求导 应用1 应用1: 已知 r = r (t ) 求出 υ = υ (t )
dr =υdt
r = r r0 = ∫ dr = ∫ v(t)dt
r0 t0 r t
v = dr = Rω sin(ωt )i + Rω cos(ωt ) j dt
dr υ = = Rω dt
20
例 2: 一 质 点 在 平 面 上 运 动 , 其 运 动 方 程 为 x = 3 t 4 t 2 , y = 6 t 2 + t 3 求: (1) 第3秒内的平均速度 (2)t=3s时质点的速度 )t=3
21
五、加速度: 为了描述速度变化而引入的物理量 加速度 1.平均加速度 (对于一个过程的粗略描述) 对于一个过程的粗略描述 粗略描述)
v (t + t )
B
v
r (t + t )
O
r (t )
v (t )
A
v (t )
v (t + t )
L 时间内, 速度的增量为: 在t 时间内, 速度的增量为: v = v (t + t ) v (t ) 是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。 v :是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。 速度的增量与所用时间的比值叫做质点的平均加速度
2 2 2
5
二. 位移和路程
为了描述质点位置的变化而引入的物理量
y
A B
y
A
r
B
rA
o
rB
x
o
rA
rB
x
6
1.位移
定义 质点位置矢量发生变化, 经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量也简称位移 位移. 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移 y 数学表达式 A r B r = rB rA 或 r = r (t + t ) r (t ) 正交分解式