解析函数

x 0 由 f 0 0( ) c0 y 0
（方法二） 根据共轭调和函数的定义
u v u( x, y), v( x, y)满足柯西－黎曼方程 x y u v x y 可以得到 v( x, y)的全微分 u u dv( x, y ) ( )dx dy y x ( x, y ) u u v( x, y ) ( )dx dy c ( x0 , y0 ) y x
为正整数或零 为负整数
其它
2.4.3 函数解析的必要与充分条件
f ( z)在区域D内可导
f ( z)在区域D内解析
定理
函数f ( z) u( x, y) iv( x, y)在定义域 D内解析
的充要条件（ 1 ）u( x, y), v( x, y)在D内处处可微；
u v x y （ 2 ）在 D内处处满足柯西 黎曼方程 u v x y
则u( x, y), v( x, y)都是D内的调和函数 .
2 2 2v 2v u u xy yx x 2 y 2 0，
注：若 u( x, y), v( x, y)都为调和函数，但 u( x, y) iv( x, y) 不一定为解析函数 . y 2 2 如：u x y , v 2 , 2 x y u 2u 2u v 2 xy 2 x, 2 2, 2 2, 2 , 2 2 x x y x ( x y ) 2 2 2 2 3 2 2 3 v x y v 6 x y 2 y v 6x y 2 y 2 , 2 , 2 , 2 2 2 2 3 2 2 3 y ( x y ) y (x y ) x (x y ) 2 2 2 2 v v u u 2 0, 2 2 0, 2 x y x y
解析函数的实部,虚部为调和函数,且虚部为实部 的共轭调和函数. 2 2 设 u ( x , y ) x y , v( x, y) 2xy 例3 问u( x, y)和v( x, y)为调和函数么 ?
v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数么？ 解: u( x, y), v( x, y)具有连续的二阶偏导数 2 2 2 2 u u v v 2 2 0 0 2 2 2 2 x y x y
其中， ( x0 , y0 )为任意的一点， c为任意实数。 【定理2.11】
例3（续） （方法二） 根据柯西－黎曼方程，得 u v u v 2 y x 2x y y y x x u u dv( x, y ) ( )dx dy ( x 2 y)dx (2 x y)dy y x
u( x, y), v( x, y)具有二阶连续偏导数
'' 则f xy " ( x, y ) f yx ( x, y )]
'' [若函数 f ( x, y )的二阶混合偏导数 f xy " ( x, y ), f yx ( x, y )在( x,y)连续，
定理2.10 若f ( z) u( x, y) iv( x, y)为区域 D内的解析函数，
u y x v 0 x
u( x, y) xy
u x y v 2y y
v( x, y) y 2
都是初等函数，在复平 面内处处连续； u v x y 针对柯西 黎曼方程 仅在 z 0处成立 u v x y f ( z)仅在z 0处可导

1 2 g ( x) x c (c为任意实数） 2 1 2 1 2
v ( x, y ) 2 x 2 xy 2 y c
2 y x (2 y g ' ( x)) g ' ( x) x
v 2 y g ' ( x) 根据（2）得 x
d. 判定b, c中的共同点为 f ( z)的可导点, 若可导的点构成一个区域,则f ( z)在这一区域上解析； 若可导的点只是一些孤立的点, 则f ( z )处处不解析 .
例2 （ 1 ）f ( z) z Im(z)
解: 令z x iy, f ( z) ( x iy) y xy iy 2
2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式
问题： 已知调和函数 u( x, y),求解函数 v( x, y)使得
f ( z ) u( x, y) iv( x, y)为解析函数。 (或者就是求解 u( x, y)的共轭调和函数）
（方法一） 根据共轭调和函数的定义 u v u( x, y), v( x, y)满足柯西－黎曼方程 x y u v x y 得到v( x, y)满足的微分方程，通过求解微分方程可得到结果
(二)解决复变函数的表示问题.(第四章) 例如：给定复变函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y)是否一定可以
例子： f ( z) x y i 2 xy f ( z) x 2 y 2 i 2xy
2 2
表示为 z的形式？
f ( z) z 2 f ( z) ? 若f ( z )为解析函数，则f ( z )一定可表示为z的形式。 (三)解决调和函数的问题.(第2.5小节)
注:(1) 函数f ( z ) u( x, y) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱiv ( x, y)在区域D内解析，
充要条件
v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数。
证明: f ( z) u( x, y) iv( x, y)为解析函数
u( x, y), v( x, y)为调和函数 (定理2.10) 且它们的一阶偏导数满 足柯西 - 黎曼方程 . (解析的充要条件)
0 0 0
函数解析与可导之间的关系:
放大
D
z0
z0
z0
例1 常见函数的解析性质
指数函数 e z 在整个复平面上处处可 导，处处解析。
三角函数 sin z, cos z, 等在它们的定义域内处 处可导， 处处解析。 对数函数 Ln z及主值 ln z在除去原点及负实轴外
处处可导，处处解析。
整个复平面上解析 幂函数 z 除原点外解析 除原点及负实轴外解析
(四)解析函数对应的函数图像有较好的几何性质.(第六章 保形映照;第七章 具体的应用-电场的分析)
注:
f ( z)在z 处解析 f ( z)在z 处解析 f ( z)在z 处可导 针对一个区域: f ( z)在区域D内可导 f ( z)在区域D内解析
针对一个点: f ( z)在z0处可导

u( x, y)和v( x, y)为调和函数 . u v u v 又因为柯西-黎曼方程 2x 2 y x y y x 成立, 所以， v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数。
2u 2u 2v 2v 0， 0 2 2 2 2 x y x y
2.4
解析函数
2.4.1 解析函数的概念
而且在z0的某个邻域 定义: 若函数f ( z)不仅在z0处可导， 内的任意一点处可导，则称f ( z)在z0解析。
若函数f ( z)在区域D内每一点解析，则称 f ( z)在区域D内解析。
z z0
z0
解析函数的应用:
(一)解析函数的任意阶导数都是存在的.(第三章)
1 2 2 xy y g ( x) 2

1 2 1 2 f z x y xy i y 2 xy x c 2 2
2 2
1 2 1 2 f ( z ) x y xy i ( y 2 xy x ) 2 2
2 2
u( x, y), v( x, y)为调和函数 u v u v 但 , . (不满足柯西-黎曼方程) x y y x u( x, y) iv( x, y)不是解析函数
定义: 设函数 u( x, y), v( x, y)为D内的调和函数，且它们
的一阶偏导数满足柯西 - 黎曼方程， 则称v( x, y)为u( x, y) 的共轭调和函数.
冰冷却
火加热
稳定后，导体中温度的分布情况：
2T 2T T ( x, y)满足： 2 2 0 x y
2.5.1 调和函数的概念 定义: 若二元实变函数 h( x, y)在区域 D内具有二阶连续 2 2 偏导数，且满足 Laplace 方程 h h 0 2 2 x y 则称h( x, y)为D内的调和函数。
f ( z) u( x, y) iv( x, y) z 2为解析函数 v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数。 ( z) v( x, y) iu( x, y) 2xy i( x 2 y 2 )不是解析函数
( 不满足柯西-黎曼方程)
所以， u( x, y)不是v( x, y)的共轭调和函数。
问题：调和函数与解析 函数有怎样的联系？ 设f ( z) u( x, y) iv( x, y)为区域 D上的解析函数 u v u v , x y y x (柯西-黎曼方程) 2u 2 v 2u 2v , . 2 2 x yx y xy （解析函数有任意阶的高阶导数—第三章的结论）
都是初等函数，在复平 面内处处连续；
2(1 y) 2 y 2 针对柯西 黎曼方程 在复平面上处处成立 2 x ( 2 x)
f ( z)在复平面上处处可导
(复平面构成一个区域) f ( z)在整个复平面上处处解 析。
2.5 调和函数
引例（热传导问题）
问题：判定f ( z)的解析性？
a. 确定u( x, y), v( x, y);
u u v v b. 计算偏导数 , , , 判定它们在哪些点处连 续？ x y x y
u u v v c. 判定偏导数 , , , 在哪些点处满足 x y x y 柯西 黎曼方程？
例 4 已知一调和函数 u( x, y) x 2 y 2 xy, 求一解析函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y)使f (0) 0。 解： （方法一） 根据柯西－黎曼方程，得
u v v u 2 x y （ 1） 2 y x （ 2 ） x y y x 根据(1)可得 v( x, y ) (2 x y )dy
(2)若v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数，则 u( x, y)通常不是 v( x, y)的共轭调和函数。
(u( x, y), v( x, y)不能任意调换，即 u( x, y) iv( x, y) 为解析函数，但 v( x,y) iu( x,y)不一定是解析函数）
例如：设 u( x,y) x 2 y 2 , v( x, y) 2xy,
f ( z)在整个复平面上处处不 解析。
(2) f ( z) 2x(1 y) i( x2 y 2 2 y)
解: u( x, y) 2x(1 y)
u 2(1 y ) x v 2x x
v( x, y) x2 y 2 2 y
u 2 x y v 2 y 2 y
( x, y )
v( x, y)