大学物理解题方法(第1章 振动)

振动
复习与小结 习题讨论
1
一、内容提要 1. 三个动力学方程
简谐 d 2 x k x0 2 运动 dt m
0
解
k x(t)=A0cos(0 t+0) m
阻尼 d 2 x 2 2 振动 dt
dx 2 0 x0 dt
= /2m
2 x(t ) A0e t cos( 0 2 t 0 )
o
o
1
t ( s)
23
x(cm )
5
7.(1) 解：x A cos(t )
A5
1 2 t ( s)
T 2
o
t 0时, x 0, 0
0 5 cos
图线法


2
O

x
旋转矢量法
2 T 2, T x 5 cos(t ) 2
解析法
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3. 三个大小完全相同的单摆，第一个在匀速上 升的电梯里，第二个在匀加速上升的电梯里， 第三个在匀减速上升的电梯里，它们的周期是 否相同？如不同，试比较其大小。若将单摆换 成垂直悬挂的弹簧振子，又如何？ l T mgl g mgl 匀速上升： 2 l ml J mg ga 匀加速上升：相当于g增加， l 影响弹性要素， 匀减速上升：相当于g减小，
2
2
1 E k m 2 2
d 2 g 0 2 dt R
g R
11
(2) a.下落：
mg ma 2 d x a 2 g dt b.碰撞： Ft m
F ma
2
y
x
c.弹起：
mg ma
d x a 2 g dt
在整个过程中不存在平 衡位置
E p mg ( R R cos ) mgR 2 sin2
T R
O’
1 1 2 2 mgR E p kx 2 2 1 1 d 2 2 E k m m( R ) 2 2 dt
E p Ek 常量
1 2 d mR 2 dt
mgR g 2 mR R
b为平衡时弹簧的伸长量 mg kb
F合 kx

匀加速和匀减速， 仅影响平衡时弹簧的伸长量， 不影响振动系统的弹性和惯性要素， 故

k m
14
k m
4. 把一细棒拉过一甚小的角φ ， 然后放手任其摆动（复摆）， 此角是否初相位？为什么？ 复摆也做简谐运动， 有
φ
A cos(t )
0 t t 2 2 T
3
3. 三种方法描述简谐运动 (1) 解析法 简谐运动3种定义： x(t)=Acos( t+)
关系
---位移与时间 ---加速度与位移
a(t ) x(t )
2
2
F kx d x k x0 ---力和运动 2 dt m

k m
5
4. 简谐运动的能量 势能：
动能：
1 2 E p kx 2
1 1 2 电能： E E 2 C q 1 2 磁能： E B Li 2
1 E k m 2 2
机械能：E E k E p
1 2 kA 2
电磁能：E E E EB
---简谐运动能量方程
6
5. 简谐运动的合成 (1)同方向、同频率， 合振动振幅决定于分振动的振幅和相位差； (2)同方向、不同频率， 分振动频率相差很小时产生拍现象； (3)相互垂直、不同频率，分振动频率为简单整 数比时合运动轨迹为李萨如图形。

O
A/2

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三、课堂练习 6. 质量为 m=0.01kg 的物体作简谐振动，其振幅 A=24cm，周期T=4s，当t=0时，位移为+A， 求：(1)t=T/8时，物体的位置； (2)t=T/8时，振动物体所受力的大小和方向；
(3)由起始位置运动到x=-A/2处所需的最短时间。
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6.质量为m=0.01kg的物体作简谐振动，其振幅 A=24cm，周期T=4s，当t=0时，位移为+A，求： (1)t=T/8时，物体的位置；
受迫 d 2 x dx 2 2 0 x h cos t 振动 dt 2 dt
0 共振
2 x A0e t cos( 0 2 t 0 ) A +0) 2. 三个特征量 离开平衡位置的最大距离； 振幅A0 决定于初始条件,如初始能量、速度等。 角频率ω0 单位时间内的变化的相位； 决定于系统的内在性质。 反映初始时刻振子的运动状态； 初相0 决定于初始时刻的选择。 相位 是周期振动中振子所处的阶段(状态)； (0 t +0) 振动的时间周期性可以用相位来表示。
2mg f f1 f 2 x l
方法1
30
9.如图，一块质量为m的均匀长木板平放在两个相距为l 的滚轴上，两滚轴沿图示方向转动，滚轴与木板之间摩 擦系数为μ（常数），证明：此木板将做简谐振动，并 N1 N2 求其振动周期。 m . f 1 mg f 2 解：以二轴连线中点为原点 l 建ox轴，板质心c位于x处； . o x x 由力平衡和力矩平衡可得： (l 2 x ) N1 N 2 mg N 1 mg l (l 2 x ) N 2 l mg (l 2 x ) N 2 mg l f1 N 1 f 2 N 2
d2x k x0 2 dt m
小球的运动是简谐振动
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解：x A cos(t )
k m t 0, x 0, 0
cos 0
(2) 设开始时，小球在水中 处于平衡位置，并具有向 上的初速度 v 0 ，试写出其 振动表达式。


2
A mv k
2 0
1 2 1 2 kA mv 0 2 2
x
mv k A cos( t ) k m 2
2 0
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9. 如图，一块质量为m的均匀长木板平放在两个相距为l 的滚轴上，两滚轴沿图示方向转动，滚轴与木板之间摩 擦系数为μ（常数），证明：此木板将做简谐振动，并 N1 N2 求其振动周期。 m . f 1 mg f 2 解：以二轴连线中点为原点 l 建ox轴，板质心c位于x处； . o x x 板受滚轴的滑动摩擦力的合力为： f f1 f 2 (l 2 x ) 木板的质量分摊在 N 1 mg l f1 N 1 两滚轴上，分摊的 (l 2 x ) 比例与木板质心到 N 2 mg f 2 N 2 l 滚轴的距离有关。
24
x(cm )
6 3
7.(2) 解：
1
x A cos(t )
A6
o
t ( s)
t 0, x 3, 0,
3 t 1, x 0, 0 0 6 cos( ) 3 5 6 3 2 5 x 6 cos( t ) 6 3

A
A2
2
x2

o
1 A1
x1 x
x
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二、课堂讨论
2.试判断下列运动是否是简谐振动，并说明理由。
（1）质量为m 的小球在半径为R的光滑半球形 碗底附近运动。
（2）小球在地面上作完全弹性的上下跳动。
O
O’
8
(1) 方法1
牛顿定律→动力学方程
O T R O’
重力在切向上的分力为：
f t mg sin
问：如何确定P点应与矢量A的 哪个位置相对应? 试用旋转矢量法确定沿OX轴作谐振动的质点， 当 (1)过平衡位置并向OX轴正方向运动； (2)X=A/2，向OX轴负方向运动时； 所相应的相位。
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5. 根据P点的运动方向来确定。

A
P
O
X

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(1)过平衡位置并向OX轴正方向运动； (2)X=A/2，向OX轴负方向运动时所相应的相位。
解：
4 1 a ( ) 0.24 cos( t ) t s, 2 2 8 2 2 1 F ma 0.01 [( ) 0.24 cos( )] 2 2 2
2

x 0.24 cos( t ) 2


方向沿x轴负方向
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6.质量为m=0.01kg的物体作简谐振动，其振幅 A=24cm，周期T=4s，当t=0时，位移为+A，求: (3)由起始位置运动到x=-A/2处所需的最短时间。
解： x
A cos(t )
O x
0 x 0.24 cos( t ) 2 4 1 1 t s, x 0.24 cos( ) 0.24 cos 8 2 2 2 4

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A A cos
2 2 T 4 2
6.质量为m=0.01kg的物体作简谐振动，其振幅 A=24cm，周期T=4s，当t=0时，位移为+A，求: (2)t=T/8时，振动物体所受力的大小和方向；
3 6 cos


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x(cm )
6 3
7.(2) 解：
1
x A cos(t )
o
t ( s)


3
t =1s
O
3

6 x
旋转矢量法
2 t / T 3 2 5 2 1 / T 6 5 6
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8. 如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，下端固 定于水底，上端系一个直径为d的木质小球，小 球的密度ρ小于水的密度ρ0，推动后，小球在水 中沿铅直方向振动，如不计水对小球的阻力和 小球所吸附的水的质量： (1) 证明小球的运动为简谐 振动； (2) 设开始时，小球在水中 处于平衡位置，并具有向 上的初速度 v 0 ，试写出其 振动表达式。