第九节 多面体与球[详版课资]
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• (1)求证：平面ABD⊥平面ADC；
• (2)如果BD∶DC＝ ∶2，求二面角B－AC －D的大小．
课堂优质
20
• 【解析】 (1)证明：如图，设截面圆BCD 的圆心为O1，则OO1⊥面BCD.连结BD.
• 在△ABC中，O，O1分别为AC，BC的中点， ∴OO1綊
• AB，
• ∴AB⊥平面BCD，
课堂优质
3Байду номын сангаас
• 2．球
• (1)球面和球的概念
• 半圆以它的直径 为旋转轴，旋转所成的曲
面叫做球面，球面所球围体成的几何体叫做 ，
简称球．
等于
• 球也可以看作是与定点(球心)的距离
定长(半径)的所有点的集合(轨迹)．
• (2)球的截面的性质
• ①用一个平面去截一个球，截面是大一圆 个圆 面；
小圆
• ②球面被经过球心课的堂优质平面所截得的圆叫做 4
课堂优质
5
•
(1)要分清球和球面的区别．球面
是曲面，是球的表面，是空间中与定点的
距离等于定长的点的集合，球是球体的简
称，是几何体，是空间中与定点的距离等
于或小于定长的点的集合．
• (2)球面距离(如A、B两点距离)的计算方法： • ①计算线段AB的长； • ②计算∠AOB； • ③求过A、B的大圆的劣弧长(即A、B两点
课堂优质
26
课堂优质
27
课堂优质
28
• 在高考中，主要考查球的性质、球面上两 点间距离、球的表面积、体积的计算以及
球的内接多面体和外切多面体等问题，多 以选择题和填空题的形式进行考查．
课堂优质
29
• 1．(2009年陕西卷)如图，球O的半径为2， 圆O1是一小圆，OO1＝ ，A、B是圆O1 上两点，若A、B两点间的球面距离为 ， 则∠AO1B＝________.
• 第九节 多面体与球
课堂优质
1
课堂优质
2
• 1．多面体与正多面体
• (1)多面体：若干平个面多边形 体叫做多面体．
围成的几何
• (2)凸多面体：把多面体的任何一个面伸展
为平面，如果所有其他各同一面侧都在这个平面
的
，这样的多面体叫做凸多面体．
• (3)正多面，体且：以每每个个面顶都点是为有其相一同端正边都多数边有的形相 同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．
面去截球，所得的截面面积为π，则球的
体积为
()
【答案】 B
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8
• 3．已知正方体的外接球的体积是 π， 则这个正方体的棱长是
()
【答案】 D
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9
【答案】 2
课堂优质
10
• 5．某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是________cm，表 面积是________cm2.
• ③球心和截面圆心的连垂直线截面
；
• ④球心到截面的距离d与球的半径R及截面 的半径r，有R2＝下d2面＋r的2. 关系：
• (3)球面距离
• 经过球面上两点的大圆在这两点间的劣弧的长度， 叫做两点的球面距离．
• (4)球的表面积与体积
• 半径是R的球的表面积S球4面πR＝2
V球π＝R3
.
；体积
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• 【解析】 (1)证明：连结BD，因为AD⊥ 底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE，所以 △ABC、△ABE、△ABD均是以AB为斜边的 直角三角形，从而点A、B、C、D、E都 在以AB为直径的同一球面上．
• (2)取AB的中点O，则O为球心，因为 ∠CBE＝90°，DE为AE在面BCDE上的射影， AE⊥BE，所以DE⊥BE，
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13
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14
•
球O的球面上有三点A，B，C，BC＝
5 cm，∠BAC＝30°，
• 过A，B，C三点作球O的截面，球心到截 面的距离为12 cm.
• (1)求截面的面积；
• (2)求球的表面积；
• (3)求球的体积．
• 【思路点拨】 画示意图，求出小圆半径 及球的半径．
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• 【解析】 (1)设过A，B，C三点的外接圆 的半径为r，球的半径为R，
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• 2．(2009年江西卷)体积为8的一个正方体， 其全面积与球O的表面积相等，则球O的 体积等于________．
• 【解析】 设正方体棱长为a，球半径为r.
• ∵a3＝8，∴a＝2.∵4πr2＝6a2，
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DF⊥AC， • ∴∠DFE是二面角B－AC－D的平面角． • 设球的半径为2，则OO1＝1，AB＝2，
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• ∴二面角B－AC－D的大小为60°.
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23
•
解决有关的外接球问题时，一般
作一个适当的截面，将问题转化为平面问
题解决，这个截面通常指圆锥的轴截面，
球的大圆，多面体的对角面等，在这个截
• 【解析】 如图所示，
• ∵2πr＝12π，∴r＝6(cm)．
• 设地球仪半径为R，
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11
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12
• 在北纬45°圈上有A、B两点，沿该纬 线圈上A、B两点的劣弧长为 πR(R为地 球半径)，求：A、B两点的球面距离．
• 【思路点拨】 先据已知条件找出北纬 45°圈的小圆半径与地球半径的关系，再 求出AB的长，进而求距离．
• ∴AB⊥CD.又BC是⊙O1的直径， • ∴CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，
• CD⊂面ACD
• ∴平面ABD⊥平面ADC.
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21
• (2)由(1)知，AB⊥平面BCD， • ∴平面BCD⊥平面ABC. • 作DE⊥BC于E，则DE⊥平面ABC， • 作EF⊥AC于F，连结DF.由三垂线定理知
面中应包括每个几何体的主要元素，且这
个截面必须能反映出几何的主要位置关系
和数量关系．
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•
2．四棱锥A—BCDE中，AD⊥底
面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE.
• (1)求证：A、B、C、D、E都在以AB为直 径的同一球面上；
• (2)若∠CBE＝90°，CE＝ ，AD＝1，求 B、D两点的球面距离．
• ∴截面的面积为πr2＝25π(cm2)． • (2)∵球心到截面距离为12 cm， • ∴R2－r2＝122，R2＝122＋52＝132， • ∴R＝13. • ∴S球＝4πR2＝676π(cm2)．
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•
解球的截面问题，关键是利用球
的截面圆半径、球心到截面的距离、球半
径三者之间的关系建立等式．球的表面积
间的球面距离)．
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6
• 1．下列结论正确的是
()
• A．过球面上两点，可确定球的一个大圆
• B．过球直径的三等分点的平面不可能平 分球
• C．过球面上三点，可确定一个大圆
• D．若A、B、C是球面上三点，则过三点
的球的截面圆周是△ABC的外接圆
• 【答案】 D
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7
• 2．(2008年湖北卷)用与球心距离为1的平
和体积都是关于球半径的函数，因此要注
意运用函数与方程的思想方法去处理．
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17
•
1．在球心的同侧有相距9 cm的
两个平行截面，它们的面积分别为49π
cm2和400π cm2，求球的表面积和体积．
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• 球O的截面BCD到球心的距离等于球 的半径的一半，BC是截面圆的直径，D是 截面圆圆周上一点，CA是球O的直径．
• (2)如果BD∶DC＝ ∶2，求二面角B－AC －D的大小．
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20
• 【解析】 (1)证明：如图，设截面圆BCD 的圆心为O1，则OO1⊥面BCD.连结BD.
• 在△ABC中，O，O1分别为AC，BC的中点， ∴OO1綊
• AB，
• ∴AB⊥平面BCD，
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• 2．球
• (1)球面和球的概念
• 半圆以它的直径 为旋转轴，旋转所成的曲
面叫做球面，球面所球围体成的几何体叫做 ，
简称球．
等于
• 球也可以看作是与定点(球心)的距离
定长(半径)的所有点的集合(轨迹)．
• (2)球的截面的性质
• ①用一个平面去截一个球，截面是大一圆 个圆 面；
小圆
• ②球面被经过球心课的堂优质平面所截得的圆叫做 4
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5
•
(1)要分清球和球面的区别．球面
是曲面，是球的表面，是空间中与定点的
距离等于定长的点的集合，球是球体的简
称，是几何体，是空间中与定点的距离等
于或小于定长的点的集合．
• (2)球面距离(如A、B两点距离)的计算方法： • ①计算线段AB的长； • ②计算∠AOB； • ③求过A、B的大圆的劣弧长(即A、B两点
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28
• 在高考中，主要考查球的性质、球面上两 点间距离、球的表面积、体积的计算以及
球的内接多面体和外切多面体等问题，多 以选择题和填空题的形式进行考查．
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• 1．(2009年陕西卷)如图，球O的半径为2， 圆O1是一小圆，OO1＝ ，A、B是圆O1 上两点，若A、B两点间的球面距离为 ， 则∠AO1B＝________.
• 第九节 多面体与球
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2
• 1．多面体与正多面体
• (1)多面体：若干平个面多边形 体叫做多面体．
围成的几何
• (2)凸多面体：把多面体的任何一个面伸展
为平面，如果所有其他各同一面侧都在这个平面
的
，这样的多面体叫做凸多面体．
• (3)正多面，体且：以每每个个面顶都点是为有其相一同端正边都多数边有的形相 同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．
面去截球，所得的截面面积为π，则球的
体积为
()
【答案】 B
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8
• 3．已知正方体的外接球的体积是 π， 则这个正方体的棱长是
()
【答案】 D
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9
【答案】 2
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• 5．某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是________cm，表 面积是________cm2.
• ③球心和截面圆心的连垂直线截面
；
• ④球心到截面的距离d与球的半径R及截面 的半径r，有R2＝下d2面＋r的2. 关系：
• (3)球面距离
• 经过球面上两点的大圆在这两点间的劣弧的长度， 叫做两点的球面距离．
• (4)球的表面积与体积
• 半径是R的球的表面积S球4面πR＝2
V球π＝R3
.
；体积
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• 【解析】 (1)证明：连结BD，因为AD⊥ 底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE，所以 △ABC、△ABE、△ABD均是以AB为斜边的 直角三角形，从而点A、B、C、D、E都 在以AB为直径的同一球面上．
• (2)取AB的中点O，则O为球心，因为 ∠CBE＝90°，DE为AE在面BCDE上的射影， AE⊥BE，所以DE⊥BE，
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•
球O的球面上有三点A，B，C，BC＝
5 cm，∠BAC＝30°，
• 过A，B，C三点作球O的截面，球心到截 面的距离为12 cm.
• (1)求截面的面积；
• (2)求球的表面积；
• (3)求球的体积．
• 【思路点拨】 画示意图，求出小圆半径 及球的半径．
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15
• 【解析】 (1)设过A，B，C三点的外接圆 的半径为r，球的半径为R，
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30
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31
• 2．(2009年江西卷)体积为8的一个正方体， 其全面积与球O的表面积相等，则球O的 体积等于________．
• 【解析】 设正方体棱长为a，球半径为r.
• ∵a3＝8，∴a＝2.∵4πr2＝6a2，
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33
DF⊥AC， • ∴∠DFE是二面角B－AC－D的平面角． • 设球的半径为2，则OO1＝1，AB＝2，
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22
• ∴二面角B－AC－D的大小为60°.
课堂优质
23
•
解决有关的外接球问题时，一般
作一个适当的截面，将问题转化为平面问
题解决，这个截面通常指圆锥的轴截面，
球的大圆，多面体的对角面等，在这个截
• 【解析】 如图所示，
• ∵2πr＝12π，∴r＝6(cm)．
• 设地球仪半径为R，
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11
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12
• 在北纬45°圈上有A、B两点，沿该纬 线圈上A、B两点的劣弧长为 πR(R为地 球半径)，求：A、B两点的球面距离．
• 【思路点拨】 先据已知条件找出北纬 45°圈的小圆半径与地球半径的关系，再 求出AB的长，进而求距离．
• ∴AB⊥CD.又BC是⊙O1的直径， • ∴CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，
• CD⊂面ACD
• ∴平面ABD⊥平面ADC.
课堂优质
21
• (2)由(1)知，AB⊥平面BCD， • ∴平面BCD⊥平面ABC. • 作DE⊥BC于E，则DE⊥平面ABC， • 作EF⊥AC于F，连结DF.由三垂线定理知
面中应包括每个几何体的主要元素，且这
个截面必须能反映出几何的主要位置关系
和数量关系．
课堂优质
24
•
2．四棱锥A—BCDE中，AD⊥底
面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE.
• (1)求证：A、B、C、D、E都在以AB为直 径的同一球面上；
• (2)若∠CBE＝90°，CE＝ ，AD＝1，求 B、D两点的球面距离．
• ∴截面的面积为πr2＝25π(cm2)． • (2)∵球心到截面距离为12 cm， • ∴R2－r2＝122，R2＝122＋52＝132， • ∴R＝13. • ∴S球＝4πR2＝676π(cm2)．
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16
•
解球的截面问题，关键是利用球
的截面圆半径、球心到截面的距离、球半
径三者之间的关系建立等式．球的表面积
间的球面距离)．
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6
• 1．下列结论正确的是
()
• A．过球面上两点，可确定球的一个大圆
• B．过球直径的三等分点的平面不可能平 分球
• C．过球面上三点，可确定一个大圆
• D．若A、B、C是球面上三点，则过三点
的球的截面圆周是△ABC的外接圆
• 【答案】 D
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7
• 2．(2008年湖北卷)用与球心距离为1的平
和体积都是关于球半径的函数，因此要注
意运用函数与方程的思想方法去处理．
课堂优质
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•
1．在球心的同侧有相距9 cm的
两个平行截面，它们的面积分别为49π
cm2和400π cm2，求球的表面积和体积．
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18
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19
• 球O的截面BCD到球心的距离等于球 的半径的一半，BC是截面圆的直径，D是 截面圆圆周上一点，CA是球O的直径．