正比例函数和反比例函数比较
17.1.2 反比例函数的图象和性质(2)
y x
增 从左到右上升 从左到右上升 减 性 y随x的增大而增大 的增大而增大 位 置
二、四 象限
y 0 x
二、四 象限
y 0 x
增 从左到右下降 减 从左到右下降 性 y随x的增大而减小 的增大而减小
在每个象限内
y随x的增大而增大 的增大而增大
老师在黑板上写了这样一道题： 问题 老师在黑板上写了这样一道题：“已知
问题1 ：如何判断一个点是否在反比例函 问题1：要确定一个反比例函数需要几个 一个条件即可，常见两种形式：1.知道 一个条件即可，常见两种形式：1.知道 问题2 问题2 条件？我们见过哪些条件？ 2.知道图 条件？我们见过哪些条件？；2.知道图 一组自变量与函数的对应值； 一组自变量与函数的对应值 数图像上？ 数图像上？ 象过一个点. 象过一个点.
Hale Waihona Puke “面积” “面积”问题 面积
k 问题1：如图， 问题 ：如图，点A、B在反比例函数 y = (k ≠ 0) 、 在反比例函数 的图像上，且点A、 的横坐标分别为 的横坐标分别为m、 x （ 的图像上，且点 、B的横坐标分别为 、2m（m>0)， ，
AC⊥x轴，垂足为点 ，且△AOC的面积为 ⊥ 轴 垂足为点C， 的面积为2. 的面积为 （1）求该反比例函数的解析式； ）求该反比例函数的解析式； ），（-2m, y2）在该反比例函数的 （2）若点（-m, y1），（ ）若点（ 的大小. 图象上，试比较y 图象上，试比较 1与y2的大小
过点A作 过点 作AM⊥x轴，垂足为 ，连接 ⊥ 轴 垂足为M，连接BM，若 ， S△ABM=4，则k的值是 ( C ) ， 的值是 B. -2 C. 4 D. -4
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
第十五讲 正比例函数
第十五讲正比例函数、反比例函数、几何证明复习正比例函数：解析式：y=kx(k为常数，k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意：x的指数为1)图像：过原点的直线;必过点：（0,0）和（1，k）；走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；yx倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：x增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；反比例函数：解析式：y=k/x(k为常数，k≠0)图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴，但永不相交。
）所在象限：k>0图像经过一三象限；k<0图像经过二四象限。
kx增减性：k>0,y随x的增大而减小；k<0,y随x的增大而增大；1. 已知：点P （m ，4）在反比例函数xy 12=的图像上，正比例函数的图像经过点P 和点Q （6，n ）．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x 轴上求一点M ，使△MPQ 的面积等于18. 1.函数12-+x x 的定义域是 2．已知函数53)(-=x xx f ，那么=)(x f ． 3. 如果反比例函数的图像经过点（-8，3），那么当0〉x 时y 的值随x 的值的增大而··（ ） (A) 增大 (B)不变; (C) 减小 (D)无法确定 4.某人从甲地行走到乙地的路程S （千米）与时间t （时）的函数关系如图所示，那么此人行走3千米，所用的时间 （时）5. 在同一坐标系中，正比例函数y=x 与反比例函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（）A． y1＜y2B． y1＞y2C． y1=y2D．不能确定7. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式．①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．8. 如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PA⊥x轴，S△PAO=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：（1）反比例函数解析式．（2）m的值．9. 假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：（1）这是一次米赛跑．（2）甲乙两人中，先到达终点的是．（3）乙在这次赛跑中的速度为．10. 如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y=（k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．（1）求k的值．（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．命题和证明1、我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2、能界定某个对象含义的句子叫做定义3、判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4、数学命题通常由题设、结论两部分组成5、命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后市结论证明举例平行的判定，全等三角形的判定逆命题和逆定理1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
反比例函数的图像与性质.
x
0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
k＞0 当x＜0时，y随x的增大而减小，
则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
y
k＞0 ,-k＜0
o
x
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
则y1与y2的大小关系(从大到小)
x
为 y1 ＞0＞y2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数 的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2
.
正比例函数反比例函数
反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n∙函数式中自变量取值的范围①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^（-1）y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）∙反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
∙反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
反比例函数性质有哪些？1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。
当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。
：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。
图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。
③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。
三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
正比例函数和反比例函数的区别
正比例函数和反比例函数的区别一、在定义域上的不同1、正比例函数的定义域为(0， r)。
2、反比例函数的定义域为[-r， r]。
2、反比例函数的定义域为[-r， r]。
3、根据正比例函数和反比例函数的定义域，可得出它们之间的联系与区别。
二、图象与性质不同正比例函数的图象是一条直线，开口向下；反比例函数的图象是双曲线，开口向上。
三、应用不同正比例函数在生活中有广泛的应用。
比如说，化学反应中能量转化的计算，利用的就是正比例函数。
电路图中，串并联电路的判断等等。
反比例函数在生活中也有广泛的应用。
物理学中的物体惯性大小与力成反比，是利用了反比例函数。
地理学中，很多物理量随着地球半径的增加而减小，是利用了反比例函数。
测量物体长度时，测杆要尽量垂直于地面，这是利用了反比例函数。
正比例函数在自然界中的应用极其广泛，主要是在科学技术领域。
实际生活中经常使用正比例函数，如：利用物体的正比例函数图像可制作机械刻度尺、便携式温度计等等。
正比例函数在自然界的应用也极其广泛，主要是在农业、医药卫生、人口普查、环境保护、工程技术等方面。
正比例函数在自然界的应用也极其广泛，主要是在地质、生物、天文、水利、建筑、考古等方面。
四、解决问题不同在数学解答问题中，正比例函数是直接使用的；在应用题的解答中，正比例函数只是一种解题方法。
五、表示方法不同4、两个图象可以相交，正比例函数图象与x轴围成的面积总是一个常数，反比例函数图象与y轴围成的面积总是一个变数，所以图象不可能相交。
5、正比例函数的图象是一条直线， y=kx+b（ k， b 为常数），图象斜率k=b/a（ a>0），反比例函数的图象是一条双曲线，y=kx（ k， b为常数），图象斜率k=-b/a（ a<0），图象不可能相交。
六、相关内容1、相似三角形的基本知识（ 1）基本概念：两个图形与原图形相似，如果它们的对应边和对应角分别相等，那么这两个图形叫做对应边互相成比例的两个三角形。
正比例函数及性质
解决实际问题
正比例函数在解决实际问题中也 有广泛应用，例如速度、加速度 等物理量可以用正比例函数表示。
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与反比例函数的区别
反比例函数的一般形式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和反比例函数在 图像上都是直线，但它们的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而反比例函数的斜率为 $-k$。此外， 正比例函数的图像过原点，而反比例函数的图像不过原点。
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。正比例函数是特殊的一次函数，其形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和一次函数在图像上都是直线，但正比例函数的图像过原点，而一次函数的图 像不过原点。
正比例函数和一次函数的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而一次函数的斜率为 $a$。斜率决定了函数的增减性，因此正比 例函数和一次函数的增减性也可能不同。
截距
截距定义
正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此没有固定 的截距。但当我们在坐标轴上标出与直线交点的数值时， 这个数值即为该正比例函数的截距。
截距的计算
对于正比例函数$y=kx$，当$x=0$时，$y=0$，因此其 截距为0。
截距的影响
正比例函数的截距不影响函数的增减性，但会影响函数与 坐标轴的交点位置。
正比例函数和二次函数的开口方向也不同。正比例函数的图 像总是向上或向下开口，而二次函数的开口方向取决于 $a$ 的值。当 $a > 0$ 时，抛物线向上开口；当 $a < 0$ 时，抛 物线向下开口。
正比例函数和反比例函数的区别(附图)
正比例函数和反比例函数的区别（附图）
一：正比例函数
y=kx(k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）。
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点，
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
二、反比例函数
y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，我们就说y是x的反比例函数 (自变量x的取值范围是不等于0的一切实数) 。
反比例函数的图像为双曲线，它可以无限地接近坐标轴,但永不相交，
当k>0时，图象在一、三象限,在每个象限内，y随x的增大而减小，
当k<0时，图象在二、四象限,在每个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数及其图像
反比例函数及其图象一、知识点讲解1．反比例函数的概念定义：一般地，函数y=(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0。
注意：①反比例函数三种形式：反比例函数y=(k是常数，k≠0)可以写成y=k·x-1(k是常数，k≠0), 自变量x的指数是-1；也可写成xy=k(k是常数，k≠0)。
②注意k≠0的条件，否则不是反比例函数。
③反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由=k(k≠0)，因为k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。
2．反比例函数的图象和性质反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表y=(k≠0)3．与正比例函数y=kx(k≠0)比较：反比例函数y=kx-1(k≠0)的图象是双曲线，与坐标轴没有交点。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是直线，经过原点。
y=(k≠0)4．反比例函数y=(k≠0)的图象的画法及应注意的问题画图方法：描点法。
由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。
一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。
k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。
特点：y==kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。
但无限靠近x轴、y轴。
画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。
5．反比例函数解析式的确定。
在反比例函数y=(k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定。
所以只要将图象上一点的坐标代入y=中即可求出k值。
二、例题分析：例1.选择题：1．已知函数y=的图象经过（1，-2）点，那么函数y=kx+1的图象，不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限解：∵y=经过（1，-2）点，∴-2=，∴k=-2。
正比例函数、一次函数、反比例函数知识点总结
正比例函数、反比例函数
一、正比例函数性质和图象：
概念：一般地，形如y=kx (k 是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k ＞0时，图象（除原点外）在一、三象限；当x 增大时，y 的值也增大；y 随x 的增大而增大。
当k ＜0时,图象(除原点外)在二、四象限；x 增大时,y 的值反而减小；y 随x 的增大而减小。
二、一次函数的性质和图象：
概念：一般地，形如y=kx+b(k ，b 是常数，且k≠0 )的函数， 叫做一次函数。
性质：
①k>0,b>O,则图象过一、二、三象限
②k>0,b<0,则图象过一、三、四象限
③k<0,b>0,则图象过一、二、四象限
④k<0,b<0,则图象过二、三、四象限 三、反比例函数性质和图象：
1.定义：形如y ＝x
k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式 xy=k 1-=kx y x
k y 1= 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。
对称中心是：原点
3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随
x 值的增大而减小。
当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随
x 值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴
所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
反比例函数的图像与性质2
一坐标系内的图象大致是 （D ）
6y
6y
4
4
2
-5
O
-2
A -4
5x
2
-5
O
-2
B -4
先假设某个函数 5 x 图象已经画好，
再确定另外的是否 符合条件.
6y
4 2
6y
4 2
-5
O
5x
-5
O
5x
-2
C
-4
-2
D
-4
3.已知反比例函数 y k (k≠0)
x
当x＜0时，y随x的增大而减小，k＞0 则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
3.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜x2 都则在y1与反y比2的例大函小数关y系(xk从(大k＜到0)小的) 图象上,
为 y1 ＞0＞y2 .
y
A
oy1 x2
x1 y2
B
x
4.已知点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3) 都在反比例函数 y 4 的图象上,
的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为1 .
y
P (m,n)
oD
x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一 点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
关系式是
y
3 x
.
y
p
N
M ox
例5:如右图点为反比例函数上一点,若图中
阴影部分即三角形AOB的面积为4,求反比
反比例函数的图象与性质2
比较正比例函数和反比例函数的区别
函数 解析式
图象形状
正比例函数
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数正比例函数和反比例函数综合解说客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。
在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。
函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。
本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。
1正比例函数【知识结构框图表】【本节解读】人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。
数与度量单位结合在一起，就是数量。
反比例函数正比例函数定义域和值域函数解析式函数经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。
【基础知识与要点拨】1.变量和常量在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。
比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝πD。
C、D是变量，π是常量。
2.函数和自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号内的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。
f(a)表示当x＝a时的函数值。
3.定义域和值域函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
对应于自变量的函数值的取值范围，叫做值域。
4.正比例如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例。
用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是y k=或者y kx=，其中，k是不为零的常数。
x5.正比例函数定义域是一切实数的函数y k x=（k是不为零的常数）叫做正比例函数。
其中常数k叫做比例系数。
确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。
正比例函数和反比例函数分析
第21课 正比例函数和反比例函数二、【考点整合举例】正比例函数的概念．用待定系数法求函数解析式的方法．如果正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．如图1，正比例函数图像经过点A ，该函数解析式是 ． 1、如果正比例函数的图像经过点（－2，5），那么这个函数的解析式为 ．2、如果反比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．反比例函数)0(>=k xky 的性质及数形结合的能力 在直角坐标系内，从反比例函数)0(>=k xky 的图像上的一点分别作x,y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形的面积是12，那么该函数解析式是 .1、已知y 与x-1成正比例，且图像经过（2，-3）求y 与x 之间的函数解析式 ___。
2、下列函数中，y 随着x 的增大而减少的是 （ ）（A ） x y 4= （B ）x y 4-= （C ）xy 4=（D ）x y 4-=反比例函数图像的性质及从图上获取信息的能力。
（多选题）在函数y=xk（k>0）的图像上有三点),(111y x A 、),(222y x A 、),(333y x A ，已知3210x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）（A ）310y y << （B ）130y y << （C ）312y y y << （D ）213y y y <<图1（多选题）若点（－1，y 1），（－2，y 2），（2，y 3）在反比例函数y=－x1的图像上，则下列结论中错误的是 （ ）（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >> 例1．反比例函数y ＝xk 的图像经过点P （m ，n ），其中m 、n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，求点P 的坐标．例2. 如图，正比例函数y ＝kx （k ＞0）与反比例函数y ＝x1的图像相交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，连结BC ，设△ABC 的面积为S ，求S .(1) 反比例函数x2y =，当x=－2时，y 的值为 （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 (2) 如图，A 、C 是函数y ＝x1的图像上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，设Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则 （ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＜S 2（C ）S 1＝S 2（D ）S 1和S 2的大小关系不能确定(3) 在同一直角坐标系中，函数y =3x 与y =－x1的图像大致是 （ ）（A ）（B ）（C ）（D ）(4) 已知正比例函数y ＝（2m －1）x 的图像上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜21（B ）m ＞21 （C ）m ＜2 （D ）m ＞02、填充题：(1) 已知y 与x ＋1成正比例，当x ＝5时，y ＝12，则y 关于x 的函数解析式是________． (2) 一个反比例函数在第二象限的图像如图所示，点A 是图像上任意一点，AM ⊥x 轴，垂足为M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，那么这个反比例函数的解析式是y ＝___________． (3) 已知反比例函数y ＝（m －1）23m x -的图像在第二、四象限，则m 的值为_________．(4) 点A （a ，b ）、B （a －1，c ）均在函数y ＝x1的图像上若a ＜0，则b ____c （填“＞”或“＜”或“＝”）．1、选择题：（1）已知反比例函数y ＝xm21-的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜0（B ）m ＞0（C ）m ＜21 （D ）m ＞21 （2）若点（3，4）是反比例函数y ＝kx图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ） （A ）（2，6）（B ）（2，－6） （C ）（4，－3） （D ）（3，－4）（3）在同一直角坐标系中，正比例函数y =x 与反比例函数y =－x1的图像大致是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2、填充题：(1) 已知函数y ＝kx 的图像经过（2，－6），则函数y ＝xk的解析式可确定为____________． (2) 点A （1，m ）在函数y =2x 的图像上，则点A 关于y 轴的对称的点的坐标是______________． (3) 设有反比例函数y ＝xk 1，（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为其图像上的两点，若x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，则k 的取值范围是________．3、解答题：(1) 正比例函数y=kx 的图像与反正比例函数y=x 21的图像交于A （21，m ），正比例函数y=kx 的图像与反比例函数y=x'k 的图像相交于点B （n,4），求k 和k ’． (2) 已知正比例函数y =kx 与反比例函数y =x3的图像都过A （m ，1）点．求：①正比例函数的解析式；②正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标． (3) 已知正比例函数y ＝4x ，反比例函数y ＝xk ． ①求：k 为何值时，这两个函数的图像有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图像没有交点？②这两个函数的图像能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．考点一：y ＝2x ；y ＝3x .变式演练：1.y ＝5x 2－；2.y ＝8x.考点二：y ＝12x.变式演练：1.y=-3x+3；2.B.考点三：A 、C . 变式演练：B 、C 、D.（二）综合例题：例1：P 点的坐标为（－2，－2） 例2： S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ＝1．【双基热身反馈】 1. 选择题：（1） B ；（2）C ；（3）D ；（4）A2、填充题：（1）y ＝2x ＋2；（2）y ＝6x.；（3）－2；（4）＜【复习巩固自测】 1、选择题：（1）C ；（2）A ；（3）D2、填充题：（1）y ＝3x－.；（2）（－1，2）；（3）k ＜－13、解答题：（1）解：∵A(21,m)在y=x 21图像上，∴得m=1， A(21,1)．∵A 又在y=kx 图像上，∴得k=2．∵B （n ，4）在y=2x 图像上，∴4=2·n ，n=2，∴B(2,4)．而B 点又是y=x'k 的图像上，∴4=2'k ，k ’=8．（2）①y ＝1x 3；.②（－3，－1）（3）①解：把y ＝4x 代入y ＝x k ，得 4x 2－k ＝0, ∴ x 2＝4k ；由已知，k ≠0，且（ⅰ）当k ＞0时，有x ＝2k 或x ＝－2k； 所以，两函数图像有两个交点（2k ，2k ）和（2k，－2k ）； （ⅱ）当k ＜0时，4k＜0，x 的值不存在，所以两函数图像没有交点； ②若两个图像只有一个交点，只需方程x 2＝4k 有唯一解，即仅当k ＝0时两个图像只有一个交点．但由已知函数y ＝xk可知，应有k ≠0，所以两个图像只有一个交点是不可能存在的．。
正比例的性质和反比例的性质分析
正比例的性质和反比例的性质正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，由于表述形式近似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正确地加以区分。
正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，等于另一种量对应的两个数值的比。
例如：一列火车的速度每小时60千米，如果所行时间与所行路程成正比例关系，那么所行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的两个数值的比相等。
如下表：从顺向看：时间上2小时与4小时的比为2 : 4=0.5 ;路程上2小时所行的千米数与4小时所行的千米数的比120：240=0.5。
这两个比的比值相等，具备了正比例的性质。
从逆向看’时间上外时与3小时的比为5^ 3=1^;路程上印卜时所行的千狀数与3小时所行千米数的比为颈；180 = 1|,这两个比的比值相搴具备了正比例的性质。
反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应的两个数值比的反比。
例如：完成1200台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天数成反比例关系，每天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的两个数值比的反比。
如下表：从顺向看』台数上侦台与300台的比^100* 300 = L耳所对应天数比的反比为4； 12 = L两个比的比值相等”具备了反比例的性质°从逆向看：台数上400台与200台的比为400：200=2;其对应天数比的反比为6 : 3=2。
两个比的比值相等，具备了反比例的性质。
在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。
_]不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。
因此，从防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必要的。
“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的范畴。
在两个比中，如果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比就叫做互为反比。
正比例函数和反比例函数的共同点
正比例函数和反比例函数都是特殊的函数类型，它们都满足一些共同的性质。
两者都是单调函数。
这意味着在函数图像上，沿着x轴方向每一个点都对应了一个单独的y值，所以图像不会有“折返”的部分。
两者都是可逆函数。
这意味着可以将正比例函数或反比例函数的图像翻转，得到的新函数是原函数的反函数。
两者都具有比例关系。
正比例函数的输出与输入之间存在正比关系，即输入增大一倍，输出也会增大一倍。
反比例函数的输出与输入之间存在反比关系，即输入增大一倍，输出会减少一半。
正比例函数的一般形式是 y=kx，其中k是常数，表示输入与输出之间的比例关系。
反比例函数的一般形式是 y=k/x，其中k也是常数。
希望这能帮到你！。
正比例函数与反比例函数的交点规律
正比例函数与反比例函数的交点规律一、引言正比例函数与反比例函数是初中数学中的重要概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在探究正比例函数与反比例函数的交点规律，为初学者提供更深入的理解。
二、正比例函数与反比例函数的定义1. 正比例函数正比例函数是指两个量之间的关系是成正比例的，即当一个量增加时，另一个量也随之增加，并且它们之间存在一个固定的比值。
其一般形式为y=kx（其中k为常数，称为比例系数）。
2. 反比例函数反比例函数是指两个量之间的关系是成反比例的，即当一个量增加时，另一个量会随之减少，并且它们之间存在一个固定的积值。
其一般形式为y=k/x（其中k为常数，称为比例系数）。
三、交点规律1. 两个正比例函数相交当两个正比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据两个正比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1x=k2x，解得x=k1/k2。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
2. 两个反比例函数相交当两个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据两个反比例函数的一般形式y1=k1/x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1/x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
3. 一个正比例函数和一个反比例函数相交当一个正比例函数和一个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据正比例函数和反比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
四、实际应用正比例函数与反比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
例如：1. 正比例函数：工人的工资与工作时间成正比；购买某种商品的数量与花费金额成正比等。
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? 趋向
– 图象的两个分支都 无限接近但永远不能达到 x轴和y轴。
反比例函数图象性质的运用
已知y ? a(a ? 1) xa2 ? a?1，当a为何值时， （1）y与x成正比例，此时，图象 经过哪几个象限？ （2）y与x成反比例，此时，图象 位于哪几个象限内？
– 当k<0时，它的图象经过 第二、四象限 ，y随x 的增大而减小 ；
? 倾斜程度
– k的绝对值越大，图象越接近y轴。
– 也就是说： 比例系数k决定了直线 y＝kx与x轴 正方向所成的角， k叫做直线y＝kx的斜率。
正比例函数性质
设函数 y ? (m ? 2) xm2 ? 5m? 5 ? (m ? 4)， （1）当 m是什么值时，是正比例 函数？ （2）此时它的图象经过哪 几个象限？
正比例函数图象
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
1 y ? x y ? x y ? 3x
2
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
y? ? 1x 4
y? ?x
y ? ?3x
你发现正比 例函数中的 比例系数k有 什么作用？
正比例函数性质
? 增减性
– 当k>0时，它的图象经过 第一、三象限 ，y随x 的增大而增大 ；
函数关系式是：
量叫做成反比例，把
– 一个物体作匀速直线运动，行程120它m们，之则间运的函数关系
动速度v（m/秒）与所需时间t（秒）叫之做间反的比函例函数。
数关系是：
? 反比例函数的 一般形式： ? k是不等于零的常数。 ? 不同的k值代表不同的反比例函数，因此
确定了 k，就可以确定一个反比例函数。
? y与x2成反比例关系，位于第四象限的一点 P（a， b）在这个函数的图象上，且 a、b是方程x2－x －12＝0的两个根，求这个函数解析式。
1、正确设出函数关系式 2、代入数字得到关于待 定系数的方程（组）
反比例函数图象
画出函数 y ? 6 的图象，观察图象回答 以下问题： x
? 横坐标是正的点都在哪个象限？横坐标是 负的点呢？
? 圆的面积A是不是半径 r的正比例函数？
?
圆的面积 例系数为
A是
π
r2
。
的正比例函数，比
பைடு நூலகம்
用待定系数法求函数关系式
? 矩形的宽固定，它的面积 y与矩形的长 x成正比例。 已知 x＝3（cm）时， y＝12（cm2）。（ 1）求面 积y与x之间的函数关系式；（ 2）求边长x为4.5cm 时矩形的面积。
– 图象是直线还是曲线？
– 你有什么办法 证明它的图象是直线？
– 这条直线一定经过过哪些点？
– 推而广之：正比例函数 y＝kx的图象是什么？
– 以后画正比例函数图象，可以怎样 简便？ 1、正比例函数 y＝kx的图象是过 原点和（ 1，k）点的一条直线。 2、以后把正比例函数 y＝kx的图 象叫做直线 y＝kx。
你觉得解此类题目应注
意什么地方？
若反比例函数
y
?
(2m
?
1)
1 xm2 ? 2
间的函数关系是： W=8.9v
? 正比例函数的 一般形式：y＝kx
? 常数k叫做变量y与x之间的比例系数 ，k是 不等于零 的常数。
? 不同的k值代表不同的正比例函数，因此 确定了 k，就可以确定一个正比例函数。
正比例函数定义
? 下列函数中，哪些是正比例函数？
y ? ?8x y ? ? 8 y ? 8x2 y ? 8x?1 x
? 正比例函数与反比例函数有什么区别？
反比例函数定义
? 下列各小题中的两个变量是否成正（反）比例？ 为什么？ （1）正三角形面积 S与边长a； （2）路程不变时，匀速运动所需的时间与运 动的速度 （3）面积一定时，菱形的两条对角线的长； （4）被除数不变时，除数和商； （5）质量一定时，物体的密度与体积； （6）体积一定时，物体的质量与密度； （7）xy＝18中的y与x； （8）x∶y＝18中的y与x； （9）完成一定工作量的时间和人数（假定每 人的工作能力相同）。
正、反比例函数的一般形式
已知函数y ? (m2 ? 2m)xm2 ? m?1，求m为何值时， 这个函数是（1）正比例函数；（2）反比例函数。
1、正、反比例函数的 k都不等于零 2、正比例函数自变量的指数为 1，
反比例函数自变量的指数为－ 1
用待定系数法求函数关系式
? 某水池的容量一定，设注入水的流量为 Q（m3/ 分）时，注满水池所需时间为 t（分）。已知当 Q＝15时，t＝20。（1）求Q与t的函数关系式； （2）求当t＝25时，注水流量 Q的值。
正比例函数
反比例函数
正比例函数定义
? 建立函数关系：
?S/t、W/V都是常数，
– 我国发射的第一颗人造地球卫星，绕把地具球有运这行种性质的两
平均速度为每秒7.12km，那么，路程个量s与叫时做间成t 正比例，
之间的函数关系是： S=7.12t 把它们之间的函数关
– 铜的密度是8.9克/cm3，铜的质量W系与叫体做积正V之比例函数。
k为何值时，正比例函数y ? (2k ? 1)xk3?k?1 的图象在哪几个象限y随x的增大而减小？
1、自变量的次数为 1 2、比例系数 k不等于零 3、没有常数项（常数项为零）
反比例函数定义
? 建立函数关系：
?xy、vt都是常数，把
– 设y与x的乘积为定值10，则变量y与具x之有间这的种性质的两个
? 已知y＝y1-y2，y1与x成正比例， y2与x－2成正比例， 且x＝1时y＝－1；x＝3时y＝5，求x＝－1时y的值。
? 已知f（x）＝ax2＋bx＋5，且f（x＋1）＝f（x）＋ 8x＋3，试确定f（x）的表达式。
你体会到了待定系数的思 想了吗？ 你有“整体意识”吗？
正比例函数图象
? 试画正比例函数y＝2x的图象，并思考一 下问题：
? 用平滑曲线连线后，发现图象有几个分支？ 这些分支之间的对称性如何？
? 图象能否与两坐标轴相交？为什么？
? 图象有怎样的发展趋势？ ? 图象的增减性如何？ ? 此图是k＝6的情况，你能否估计 k＝－6时
有什么区别？
? 综上所述，k有什么作用？
反比例函数性质
? 象限与增减性
– 当k>0时，图象的 两个分支分别位于第一、 三象限内，在每一个象限内， y随x的增大 而减小；