第章_傅里叶变换和系统的频谱分析
傅里叶变换与频谱分析
傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它是基于法国数学家傅里叶的研究成果而得名的。
频谱分析是利用傅里叶变换将信号分解为不同频率成分的过程。
通过傅里叶变换和频谱分析，我们可以理解信号的频域特性，以及从频域的角度对信号进行处理和解释。
傅里叶变换的基本原理是将一个周期为T的连续函数f(t)分解为一组基函数的线性组合。
这组基函数是正弦和余弦函数，它们的频率是f(t)中的频率成分。
在数学表达上，傅里叶变换是通过将一个信号f(t)与一个复指数函数e^(jωt)相乘，再对整个信号进行积分来实现的。
傅里叶变换公式如下所示：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)是信号f(t)在频率ω处的振幅和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号从时间域转换到频率域。
在频率域中，我们可以分析信号的频率特性，包括信号的频率成分以及它们在整个信号中所占的比例。
这些信息对于了解信号的谐波分量、周期性、滤波等操作非常重要。
频谱分析是基于傅里叶变换得到的频域信息进行的。
它可以将一个信号在频谱上进行可视化，以便我们更好地理解信号的频域特性。
频谱分析通常呈现为频谱图，横轴表示频率，纵轴表示振幅或功率。
在频谱图中，我们可以观察到信号的频率成分，它们以峰值的形式显示在不同的频率点上。
峰值的强度代表了该频率在信号中的强度或重要性。
通过观察频谱图，我们可以推断信号的频率含量、周期性、峰值频率等信息。
除了用于频域分析的信号处理外，傅里叶变换还在其他领域有广泛应用，例如图像处理、通信等。
在图像处理中，我们可以将图像转换为频域，通过分析图像的频谱特性来实现图像增强、压缩等操作。
在通信领域，傅里叶变换在调制、解调、滤波等过程中被广泛使用。
在实际应用中，由于傅里叶变换涉及到复杂的数学操作和积分运算，计算复杂度较高。
因此，为了提高计算效率，人们发展出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过巧妙地利用信号的对称性质，将傅里叶变换的计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
华南师范大学837信号与系统2020年考研专业课初试大纲
（3）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义以及性质。 第 2 章 连续系统的时域分析 （1）了解从物理模型建立连续时间系强迫响 应等概念； （3）掌握系统的冲激响应概念； （4）掌握卷积积分的概念及其性质； （5）掌握零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法。 第 3 章 离散系统的时域分析 （1）掌握离散时间系统的差分方程描述； （2）掌握离散系统的单位样值（序列）响应； （3）掌握卷积和的概念及计算； （4）掌握离散系统零输人响应和零状态响应的求解方法。 第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析 （1）掌握周期信号的傅里叶级数展开； （2）掌握信号频谱的概念及其特性；了解实信号频谱的特点； （3）掌握傅里叶变换、常用傅里叶变换对及傅里叶基本性质；
（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法； （5）掌握系统的频域传输函数的概念； （6）掌握理想低通滤波器特性，了解系统延时、失真、因果等概念；
（7）掌握线性系统的不失真传输条件； （8）掌握连续信号的理想取样模型及取样定理。 第 5 章 连续系统的 s 域分析 （1）掌握单边拉普拉斯变换的定义和常用变换对； （2）掌握单边拉普拉斯变换的性质； （3）掌握拉普拉斯逆变换的计算方法（部分分式分解法）； （4）掌握连续系统的拉普拉斯变换分析方法； （5）掌握连续系统的框图描述。 第 6 章 离散系统的 z 域分析 （1）掌握 z 变换的定义、收敛域及常用变换对。 第 7 章 系统函数 （1）掌握系统函数的系统函数的定义、物理意义、零极点的概念及 系统函数和时域、频域响应之间的关系； （2）掌握系统因果性和稳定性概念以及系统是稳定系统的充分必要 条件。
第章_傅里叶变换和系统的频谱分析
2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
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4
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
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9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
光的傅里叶变换和频谱分析
光的傅里叶变换和频谱分析光的傅里叶变换和频谱分析是光学中非常重要的概念和工具。
通过对光的傅里叶变换，我们可以将光信号分解为不同的频率成分，进而实现频谱分析。
这项技术在光学通信、光谱分析以及图像处理等领域有着广泛的应用。
光的傅里叶变换是一种数学工具，它将时域的光信号转换为频域的频谱分布。
光信号可以视为由不同频率的波动组成，而傅里叶变换则能够将这些频率成分提取出来。
傅里叶变换的原理是基于复数表示的，通过对光信号进行复数的傅里叶变换，可以得到频谱图像。
在实际应用中，光的傅里叶变换通常使用光学器件来实现，如光栅和透镜等。
光栅是一种具有周期性结构的光学元件，它可以将光信号分解成不同频率的光束。
透镜则可以将不同频率的光束重新聚焦到不同的位置上，这样就得到了频谱分布图像。
通过光的傅里叶变换，我们可以对光信号进行频谱分析。
频谱分析是一种研究信号频率特性的方法，它可以揭示光信号中隐含的信息。
例如，在光学通信中，我们可以通过频谱分析来确定光信号的带宽和中心频率，从而实现高速数据传输。
在光谱分析中，我们可以利用光的频谱分布来鉴别材料的成分，检测光的衰减和吸收等。
除了傅里叶变换外，还有其他的频谱分析方法。
例如，在光学通信中，一种常用的方法是小波变换。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以提供更为精细的频谱分辨率。
通过小波变换，我们可以获得光信号的局部频率特性，更好地理解光信号的行为。
光的傅里叶变换和频谱分析在光学领域的应用非常广泛。
在光学通信中，它可以帮助我们设计高性能的调制解调器和光纤传输系统。
在光谱分析中，它可以用于材料的表征和成像。
在光学显微镜中，我们可以利用频谱分析来实现高分辨率成像。
总的来说，光的傅里叶变换和频谱分析是光学中重要的工具。
通过对光信号进行傅里叶变换，我们可以将光信号分解为不同的频率成分，实现频谱分析。
这项技术在光学通信、光谱分析和图像处理等领域有着广泛的应用。
未来，随着光学技术的不断发展，光的傅里叶变换和频谱分析将为我们带来更多的机遇和挑战。
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
信号与系统王明泉科学出版社第三章习题解答
左右对t求导，得:
显然， 的指数傅里叶级数为 （式中 ）
3.9求题图3.9所示各信号的傅里叶变换。
题图3.9
解：根据定义
3.10计算下列每个信号的傅里叶变换。
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
（5） ；（6）
解: (1)
(2)
(3)由于
根据卷积乘积性质，得
(4)由于
所以
（5） ,设
第3章傅里叶变换与连续系统的频域分析
3.6本章习题全解
3.1证明函数集 在区间 内是正交函数集。
证明:对任意的自然数n,m (n m),有
=0
证毕
3.2一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：
（1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。
图3-19-3
3.21用傅里叶变换法求题图3.21所示周期信号 的傅里叶级数。
题图3.21
解:对x(t)一个周期信号x0(t)的傅里叶变换为
X0(j )=
=
傅里叶级数
3.22求题图3.22所示周期性冲激信号的频谱函数。
题图321-1
3.23已知 的幅频与相频特性如题图3.23所示，求其傅里叶逆变换 。
（a）（b）
题图3.12
解：令傅里叶变换对 ，
（1）根据已知图形可知：
，
已知有
所以
根据傅里叶变换的微积分性质
所以
即
（2） ，
根据（1）的结论得
根据傅里叶变换的微积分性质
所以
即
3.13利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。
(1) ；(2) ；
第一章 傅里叶分析
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
FFT变换频谱分析
FFT变换频谱分析FFT变换(Fast Fourier Transform)是一种用于频谱分析的数学算法，它可以将时域信号转换为频域信号。
FFT变换在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
本文将介绍FFT变换的原理和应用，并讨论一些常见的频谱分析技术。
1.傅里叶变换和FFT变换傅里叶变换是一种数学算法，它可以将一个时间函数分解为一系列的复指数函数。
傅里叶变换的公式是：X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt其中x(t)是时间函数，X(f)是频率函数。
傅里叶变换可以实现任意时域函数到频域函数的转换，但是计算复杂度很高。
FFT变换是一种快速算法，它可以高效地计算傅里叶变换。
FFT变换的原理是将信号分解为子问题，然后逐步求解这些子问题。
FFT算法的时间复杂度约为Nlog(N)，而傅里叶变换的时间复杂度为N^22.FFT变换的应用在音频处理中，FFT变换可以将音频信号分解为频谱分量。
通过分析频谱信息，可以提取音频的基频、谐波和噪声等特征。
这些特征可以用于音频编码、音乐分析和语音识别等应用。
在振动分析中，FFT变换可以将振动信号转化为频域信号。
通过分析频谱信息，可以确定机械系统的工作状态、损坏程度和故障原因。
振动分析广泛应用于机械设计、故障诊断和预测维护等领域。
在图像处理中，FFT变换可以将图像转化为频域信号。
通过分析频谱信息，可以实现图像增强、图像压缩和图像识别等应用。
图像处理中的FFT变换常用于频域滤波和频谱分析。
3.频谱分析技术频谱分析是对信号频谱特性进行分析和处理的过程。
常见的频谱分析技术包括功率谱密度估计、波形分析和谱图绘制等。
功率谱密度估计是一种估计信号频谱密度的方法。
常用的功率谱密度估计算法有周期图法、最小二乘法和自相关法等。
功率谱密度估计可以用于信号的频谱特性分析和噪声的特征提取。
波形分析是对信号波形进行时域和频域分析的方法。
波形分析可以揭示信号的周期性、振幅和频率等特性。
常见的波形分析方法有峰值检测、自相关分析和周期性分析等。
信号与系统-3章_傅里叶变换
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bnt1 t2t1 tf2s(tin )s2i(n n(n1t)1td)tdtt22 t1
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
-T0 O T0 2T0 t
f( t) n f1 ( t n T 0 ) n [A T A 0 ( t n T 0 ) ] [ u ( t n T 0 ) u ( t ( n 1 ) T 0 ) ]
将 f ( t ) 去除直流分量，则仅剩交流分量 f A C ( t )
t2
t1
cos(n1t)cos(m1t)dt 0
sin(n1t)sin(m1t)dt
0
,
mn
（2）“单位”常数性，即当 n 0 时，有
t1 t2 c o s 2 (n1 t)d tt1 t2 s in 2 (n1 t)d t T 2 t2 2 t1
f (t)
1
T
2
o
2
谱线间隔不变 2 π
TLeabharlann 1 Fn16示意图
T
t
幅值再减小一倍
o
2π
第一个过零点再增加一倍
结论
• 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 2π/
所以 f 1/ 称为信号的带宽， 确定了带宽。 • 由大变小，频谱的幅度变小。 • 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2π/T不变。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
傅里叶变换及系统的频域分析
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
T
2 T
2
f
(t) sin ntdt
4 T
T
2 f (t) sin ntdt
0
2
an T
T
2 T
f (t) cos ntdt
0
2
f (t) bn sin nt n1
奇函数的傅立叶级数中只含有正弦项，不含 有直流项和余弦项。如锯齿波。
沿时间轴移半个周期；
反转；
f (t) 2 dt
t2 t1
2
Ci i (t) dt
i 1
i 1
t2 t1
Ci
i
(t)
2
dt
意义：信号f(t)的能量等于各个分量的能量 之和，即能量守恒。
任何周期信号在一定条件下，都可以用一个完备正交 函数集展开，展开结果为无穷级数的形式。
如果采用的完备正交函数集是三角函数集或复指数函 数集，展开所得的无穷级数分别被称为三角形式的傅 里叶级数和指数形式的傅里叶级数。
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
实验一应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析
实验一应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
频谱分析是通过对信号进行傅里叶变换来研究信号的频率成分和频率分布的过程。
在实验中，我们将使用FFT算法来对一个信号进行频谱分析。
首先，我们需要了解一些基本概念。
信号的频谱表示了信号在不同频率下的能量分布。
频率表示了信号中发生变化的速度，而幅度则表示了信号在该频率下的强度。
通过对信号进行FFT变换，我们可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱。
在实验中，我们将使用Python语言来实现信号的FFT变换和频谱分析。
首先，我们需要导入一些必要的库。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt我们将创建一个测试信号，然后使用FFT函数对其进行变换和分析。
#创建一个测试信号fs = 1000 # 采样率T = 1 / fs # 采样周期t = np.arange(0, 1, T) # 时间序列f1=10#第一个频率成分f2=100#第二个频率成分A1=2#第一个频率成分的幅度A2=0.5#第二个频率成分的幅度y = A1 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + A2 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t) # 合成信号接下来，我们使用FFT函数对信号进行变换，并绘制其频谱图。
#使用FFT对信号进行变换Y = np.fft.fft(y)#计算频谱N = len(Y) # 信号的长度freq = np.fft.fftfreq(N, T) # 计算频率轴powspec = np.abs(Y) ** 2 / N # 计算功率谱#绘制频谱图plt.figureplt.plot(freq, powspec)plt.xlabel('Frequency (Hz)')plt.ylabel('Power Spectrum')plt.title('Spectrum Analysis')plt.show在频谱图中，横轴表示频率，纵轴表示功率谱，即信号在不同频率下的能量分布。
吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)章节题库(傅里叶变换和系统的频域分析)【圣才出品】
第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析
一、选择题 1．图 4-1 所示系统由两个 LTI 子系统组成，已知子系统 H1 和 H2 的群时延分别为 τ1 和 τ2，则整个系统的群时延 τ 为（ ）。
图 4-1 A．τ1＋τ2 B．τ1－τ2 C．τ1·τ2 D．max（τ1,τ2） 【答案】A
9．如图 4-2 所示信号 f1（t）的傅里叶发换 F1（jω）已知，求信号 f2（t）的傅里叶发 换为（ ）。
图 4-2
【答案】A
【解析】由题意知， f2 (t) f1(t t0 ) 。由于 f2（t）＝f1（－（t＋t0）），根据傅里叶 发换的反转性质和时秱性质可知， F2 ( j) F1( j)e jt0 。
4．设 f（t）的频谱函数为 F（jω），则
的频谱函数等于（ ）。
【答案】D
2 / 150
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【解析】
可写为 f[－1/2（t－6）],根据傅里叶发换的尺度发换性质，
x（at）
|
1 a
|
[x(w
/
a）]，得
f[－1/2（t）]
A．x（t）＝－4Sa[2π（t－3）]
B．x（t）＝4Sa[2π（t＋3）]
C．x（t）＝－2Sa[2π（t－3）]
D．x（t）＝2Sa[2π（t＋3）]
【答案】A
【解析】常用的傅里叶发换对
Sa(ct)
c
G2c
()
令c 2 ，则有 4Sa(2t) 2G4 ()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再由傅里叶发换的时秱性质，有
4Sa[2 (t 3)] 2G4 ()e j3
信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析
信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析首先，我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的数学工具，它可以将一个连续的时间域信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶变换可以看作是一种能量谱的测量方法，它告诉我们信号中每个频率成分的能量大小。
傅里叶变换的数学定义是通过积分将一个信号从时间域转换到频域。
对于一个连续时间域信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) e^(-jωt)dt其中，X(ω)是信号的频域表示，ω是频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换将信号x(t)从时间域转换为频域，允许我们分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度和相位等。
傅里叶变换的逆变换可以将频域信号恢复到时间域信号。
对于一个频域信号X(ω)，它的逆傅里叶变换x(t)定义为：x(t)=(1/2π)∫[−∞,+∞]X(ω)e^(jωt)dω傅里叶变换在信号与系统领域中有广泛的应用，例如，它可以用于频谱分析、滤波器设计、系统响应分析等。
通过傅里叶变换，我们可以获得关于信号的更多信息，并且可以对信号进行处理和改变。
接下来，我们来介绍系统的频域分析。
在信号与系统理论中，系统通常指的是对输入信号进行处理的一种数学结构。
系统的频域分析是一种用频域工具和方法分析系统行为的技术，它可以帮助我们理解系统对不同频率信号的响应。
系统的频域分析基于系统的传递函数，它将输入信号转换为输出信号的关系表示为一个复数表达式。
传递函数通常表示为H(ω)，其中ω是频率。
传递函数描述了系统对不同频率信号的增益和相位响应。
对于一个线性时不变系统，系统的输出可以通过将输入信号与传递函数相乘得到。
这可以用傅里叶变换的性质来实现，因为傅里叶变换将一个输入信号转换为频域中的复数表达式。
将输入信号的傅里叶变换与传递函数的频域表示相乘，然后进行逆傅里叶变换，即可得到系统的输出信号。
系统的频域分析可以提供有关系统频率响应、频率选择性和稳定性等方面的信息。
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sin mt sin nt d t
0 T 2
, ,
mn mn
0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
集中!
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
三角函数集是一种完备正交函数集
周期函数f (t)(连续函数，可能为实数或复数，周期为T )
信号的分量和信号的分解
完备---有两层意思：
1.如果 (t) 在区间内与i (t) 正交，则 (t) 必属
于这个正交集。
2.若 (t) 与 i (t)正交，但i (t) 中不包含 (t) ，
则此集不完备。
f (t) C (t) ii i 1
即：
函数f(t)在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。
19
f (t)
9%
t
0
n 1 n3 n9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
吉伯斯现象产生原因
时间信号的跳变破坏了信号的收敛性，使得在
间断点处傅里叶级数出现非一致收敛。
1 .2
1
0 .8
N=5 0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-2
-1 .5
-1
-0 .5
n an
bn
An
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An
a2 n
bn2
, n 1, 2,
an An cosn，0 0 bn An sinn，b0 0
n
14
arctan
bn an
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
例：将下图所示方波信号 f(t) 展开为傅里叶级数
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3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
(i j)
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
——常数
nt ,t
(t0 ,t
0 T )
a0 直流分量 2
a1
cos
t
b 1
sin
t
称为基波分量
an cos nt bn sin nt 称为n次谐波分量 ,n 1
f (t)和 a0 an cos nt bn sin nt 的周期均为T
2
n 1
所以，在其它区间内，它们也相等。
f (t)= a0 an cos nt bn sin nt , t (, )
信号的分量和信号的分解
均方误差
2 (t) 1
t2 t1
t2 t1
[
f
(t )
n
Cii (t)]2 dt
r 1
1( t2 t1
t2 t1
f 2 (t)dt
n
C
2 j
K
j
)
j 1
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
Ci
t2 t1
f (t)i (t) d t
t2 t1
i
2
(t
)
d
f (t) cos nt d t
T
T
2 f (t) cos nt d t
0
b 2 nT
T
2 T
f (t) sin nt d t
2
0
An
a2 n
bn2
an
n
arctan
bn an
m
，m为整数
偶函数信号的傅里叶级数展开式中只含有直流 项与余弦项。
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
解：a 2 nT
T
2 T
f (t) cos ntdt
2
2
T
0 T
2
(1)
cos
nt
d
t
2 T
T
2 (1) cos nt d t
0
2 T
1 sin nt
n
0 T / 2
2 T
1 sin nt
n
T /2 0
0
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
信号的分量和信号的分解
完备正交函数集 （定义2）
如果在正交函数集 (t), (t),
不存在函数 (t )， 1
2
t2
满足等式
t1
(t) (t)dt i
0
则此函数集称为完备正交函数集。
其中
0
t2
t1
2 (t)dt
,n (t) 外,
i为任意整数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
t
c1
A vx vx vx
Ci ——代表函数 f (t) 和 i (t) 间的相似程度或相关程度
若令 n 趋于无限大， 2(t)的极限等于零 lim 2 (t ) 0 n
则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义1）
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
复变函数的正交特性
如果在区间
(t1,
t 2
)
内，复变函数集
满足
i (t ) i 1,2,, n
t2
t1
i
(t
) i
(t
)dt
km
t2
t1
i
(t
)
j
(t
)dt
0
i j
则称 (t ) 为正交函数集。
2
1, cos t, cos 2t, cos nt , , T
特点：
sin t, sin 2t, sin nt, 均为周期信号
t0 T
t0
cos
mt
sin
nt
d
t
0
m, n为任意公整共数周期为T 2
0 , m n
t0 T
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
t 0T
f (t) 为偶谐函数(半波重叠信号)
f(t)
f (t)
f
t
T 2
t
T/2
T/2
a1 a3 a5 b1 b3 b5 0
偶谐信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
0
0 .5
1
1 .5
2
1 .2
N=50 1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
2020/7/22 0
-0 .2
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
200
-0 .2
N=15 N=500
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
T 2
, t2
T 2
,
Kj
T 2
时，
本例中： 2
1 T
T
2 T
2
f 2 (t)dt
n j 1
cj2
T 2
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1
T
T
2 T
dt
2
n j 1
cj2
T 2
1
1 2
n
cj2
j 1
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
例所：示正，弦求交其流傅信里号叶级E数si展n(开形0t)式经。全波或半波整流后的波形分别如图
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
f (t) 为奇函数
2
a nT
T
2 T
f (t) cos nt d t
0
2 奇对称信号的傅里叶级数展开式中只含有正弦项。
2T
4T
b nT
2 T
2
f (t) sin nt d t
T
2 f (t) sin nt d t
0
An
a2 n
bn2
bn
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
所以，所示信号的傅里叶展开式为：
f
(t)
4
sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
1 sin nt n
思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？？？
均方误差为
2 1
t t
2
1
t2 t1