周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验三-周期信号的频谱分析-实验报告
信号与系统实验报告实验三周期信号的频谱分析学院专业班级学号指导教师实验报告评分：_______实验三 周期信号的频谱分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。
二、实验容实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部例程序。
实验开始时，先在计算机上运行这些例程序，观察所得到的信号的波形图。
并结合例程序应该完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。
实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。
Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：-+-=)5cos(51)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞==10)cos()2sin(1n t n n nωπ其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
抄写程序Q3_1如下： clear,%Clear all variablesclose all,%Close all figure windowsdt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t);N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N;x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; endsubplot(221)plot(t,x1)%Plot x1axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(w0.*t)')subplot(222)plot(t,x2)%Plot x2axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(3*w0.*t))')subplot(223)plot(t,x3)%Plot x3axis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal cos(5*w0.*t))')执行程序Q3_1所得到的图形如下：Q3-2给程序Program3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
实验1信号的频谱图
1
…
…
-3 -2 -1 0 1 2 3
t
图 1-5 周期三角信号波形 2. 试用 MATLAB 分析上图中周期三角信号的频谱。当周期三角信号的周期和三角信号
的宽度变化时，试观察其频谱的变化。 3 傅里叶变换及其性质
在前面讨论的周期信号中，当周期T ® ¥ 时，周期信号就转化为非周期信号。当周期 T ® ¥ 时，周期信号的各次谐波幅度及谱线间隔将趋近于无穷小，但频谱的相对形状保持 不变。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会连成一片，形成非周期信号 的连续频谱。为了有效地分析非周期信号的频率特性，我们引入了傅里叶变换分析法。
10
15
20
图 1-4 周期矩形脉冲信号的傅里叶系数 从图中可以看出，脉冲宽度 t 越大，信号的频谱带宽越小；而周期越小，谱线之间间隔越 大，验证了傅里叶级数理论。 【练习】 1. 已知周期三角信号如图所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用 MATLAB 编程实现
其各次谐波的叠加，并验证其收敛性。
f (t )
=
2p T
，该信号可展开为三角形式的傅里
叶级数，即为：
f (t ) = a + a cosw t + a cos2w t + L + b sin w t + b sin w t + L
0
1
0
2
0
1
0
2
0
¥
å ( ) = a + 0
an
cosnw t 0
+
bn
sin nw t 0
n=1
其中，正弦项与余弦项的系数an 和bn 成为傅里叶系数，根据函数的正交性，得
2.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数
f (t )
−2
0
2
X
第
例2
不满足条件2的一个函数是 不满足条件2
11 页
π 2 f ( t) =sin ,( 0 <t ≤1) t
f (t)
1
L
−1
0
L
1 t
对此函数，其周期为1 对此函数，其周期为1，有
∫ f ( t) dt <1
1 0
X
第
例3
12 页
1 周期为1 不满足此条件。 周期信号 f ( t) = ,( 0 <t ≤1) ，周期为1，不满足此条件。 t
直流 基波 谐波
X
第
其他形式
余弦形式
f (t) = c0 + ∑cn cos(nω1t +ϕn )
n=1 ∞
15 页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
−1
c0 = a0
cn = a +b
2 n
∞
2 n
an = cn cosϕn
正弦形式
b =−cn sinϕn n
n=1
−b ϕn = tg n an
f (t) = d0 + ∑ n sin(nω1t +θn ) d
∫ | f (t ) | dt < ∞
T
X
第
例1
10 页
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2，它 是这样组成的： 是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的 一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2 一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连续 点的数目是无穷多个。 点的数目是无穷多个。
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的1）学会利用MATLAB 分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB 分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析2.1 周期信号的傅里叶级数（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
f(t)t(sec)图1 周期方波信号)(t f 的波形图解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)(00000 +++++=t t t t t t f ωωωωωπ其中，ππω220==T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clct = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:Nfk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);fk = fk + bn * sin(n * omega * t); endfigure; plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形'); String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];axis([-2 2 -3 3]);grid; title(String);disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']);f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 endt(sec)部分和的波形最大谐波数=1t(sec)部分和的波形最大谐波数=3t(sec)部分和的波形最大谐波数=5t(sec)部分和的波形最大谐波数=9t(sec)部分和的波形最大谐波数=19t(sec)部分和的波形最大谐波数=39t(sec)部分和的波形最大谐波数=79t(sec)部分和的波形最大谐波数=159图2 例1程序产生的图形程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.94642.2周期信号的频谱分析（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
信号分析3.01 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
时域信号分解 频域信号分解
X
三角傅立叶级数 指数傅立叶级数
频域分析概念
第 第 8 8 页 页
提出以正弦信号或虚指数函数为基本信号进行信号 分解,从而引出信号的频域分析. 其思想:任意复杂的激励信号可分解为一系列不同幅 值、不同频率的正弦信号或虚指数信号的线性组合. 引出傅立叶变换概念 对周期信号
三维空间矢量 类 比
正交矢量集
C
2
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
分解 正交函数集
A3
A2
A
C C
3 1
A1
2.信号空间
f (t )
c
j 1 j
j
(t )
n维空间
X
3.正交函数集
n个函数i(t) （i=1，…，n），若在区间( t1，t2)上满足:
1 t 0 T 积分限为-T/2 直流分量 a0 f (t ) d t 到T/2行吗? t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
bn An sin n
bn n arctan a n
f (t ) a0 [ An cos n cos( n1t ) An sin n sin( n1t )]
余弦形式
, bn , An , n随变量nw1变化，是nw1n的函数 信号的频域分析 n an
f (t )
画波形
A
O
T t
A
f (t ) A(sin t 1 sin 3t 1 sin 5t ) 3 5
周期信号的傅里叶级数(1)
sin 3t
1
3
sin
3
xˆ3
a3e j30t
a e j30t 3
2
3
cos3t
k k
5 : a5e j50t
1
5
5 : a5e j50t
cos5t j 1 5
1 cos5t j 5
sin
1
5
5t
sin 5t
xˆ5
a5e j50t
a5e j50t
2
5
cos5t
k k
2 : a2e j20t 0 2 : a2e j20t
为：
3
x(t) ak e jk 2t
k 3
其中， a0 1, a1 a1 1 4, a2 a2 1 2, a3 a3 1 3 求其三角函数傅里叶级数
注：大多数情况下，复指数和三角函数傅里叶 级数间的互换可以通过欧拉公式来完成
cos x e jx e jx , sin x e jx e jx
6
3、系统的特征函数(Eigenfunction)
若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子 常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为 系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征 值(eigenvalue )。
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H就(zk是) 对应的特征值。
T
本证明供学有余力同学参考
x(t)
ak e jk0t x(t)e jn0t
a e e jk0t jn0t k
k
k
两边都从0 ~ T对t求积分：
T x(t)e jn0tdt T
信号与系统分析基础----周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
n1t
sin
m1t
0
2
T 2 T 2
cos n1t
cos m1t
T , 2 0,
mn mn
T 2 T 2
sin n1t
sin m1t
T , 2 0,
mn mn
3
2．级数形式
周期信号
f t ,周期为T1
, 基波角频率为1
2
T1
在满足狄氏条件时，可展成:
f (t) a0 an cos n1t bn sin n1t
§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
1
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图
2
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
cosn1t , sin n1 t是一个完备的正交函数集
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,....
T
2 T
cos
周期信号可分解为直流，基波（1）和各次谐波 （n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合．
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图 n ~ 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
9
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 e jn1t n 0,1,2
2．级数形式 f (t ) F (n1 ) e jn1t
f
2
(
t
)dt
t2 t1
f 2 (t )
f
1
(t
)dt
0
若在区间(t1,t2)内，复变函数集 {gr (t)}(r 1,2,...,n)
满足关系
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
实验5 周期信号的傅里叶级数及频谱分析
N = length(n_max) ;
for k=1:N
n = 1:2:n_max(k) ;
b = 4./(pi*n) ;
x = b*sin(omega*n'*t) ;
figure
plot(t,y) ;
hold on
plot(t,x) ;
hold off ;
xlabel('t') ;
ylabel(' 部分和的波形') ;
f (t) A0 An cos(nw0t n ) n1
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
(n 1, 2, )
a0 A0
bann
Acosn Asinn
(n 1, 2, )
从物理概念上来说，A0是信号f (t)的直流分量, A1 cos(w0t 1)
f (t)e jnw0t , n 0, 1, 2,
2
例1：周期方波信号如图6-1所示，是求出 该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程 实现其各次谐波的叠加，并验证其收敛性
ex6_1.m
理论分析，周期方波信号的傅里叶级数展 开式子为：
4A
1
1
1
f (t) (sin w0t 3 sin 3w0t 5 sin 5w0t 7 sin 7w0t )
Fne jnw0t与Fne jnw0t成对出现
傅里叶系数的幅度 Fn 或随An角频率 的n变w0化关系绘制 成的图形称为信号的幅度谱，而相位 随角n或频n率 变化关系nw绘0 制成图形，称为信号的相位谱。幅度谱 和相位谱统称为信号的频谱，信号频谱是信号的另 一种形式的表示，它提供了从另一个角度来观察和 分析信号的途径。利用MATLAB命令可以对周期 信号的频谱及其特点进行观察验证分析
3.1-2 周期信号的傅里叶级数分析
2 t0 T1 an t0 f (t ) cos n1tdt T1
2 t0 T1 bn t0 f (t ) sin n1tdt T1
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 e e n1 n1 2 2 F0 Fn e
还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信 号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅 立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最 强有力的工具之一。 当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立 叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉 斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地 坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。 由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为 了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几 次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。
n1
jn1t
Fn e jn1t
n1 jn1t
F0 Fn e
n1
jn1t
Fn e
n1
又有
F0 Fn e jn1t
n 0
于是，可将上式写成紧凑的形式：
f (t ) Fn e
n
jn1t
（注意n的取值范围与 三角形傅氏级数不同）
到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究， 并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在 他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时， 成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何” 周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他 的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基 本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证明也 不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条 件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表 示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献， 然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大 程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶 级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果 比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他
周期信号的傅里叶级数分析
实验三周期信号的傅里叶级数分析一、实验目的熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。
二、实验原理（一）周期信号的傅里叶级数分析原理按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。
1、三角函数形式的傅里叶级数∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。
()dt t f T a TT ⎰-=22012()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a TT n ，(),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b TT n即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。
式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式：∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ其中：00a A =，22n n n b a A +=,nn n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析其中系数3、周期信号的频谱（1）三角函数形式频谱w A n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。
解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244-22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a TT T T n ， 求傅里叶系数的程序如下：syms t n T;∑∞-∞==n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕy=0.5*cos(n*2*pi/T*t);an=(4/T)*int(y,-T/4,T/4);运行结果为：an=2*sin(1/2*pi*n)/pi/n则此周期方波信号可以分解为：）（,...5,3,1)2sin(2,0===n n n a b n n ππ 将其展开为三角函数形式的傅里叶级数：,...)3,2,1()cos(2sin 2)(...])5cos(51)3cos(31)[cos(2(12==-+-=∑∞-=j nwt n n t f wt wt wt t f j n πππ） 例2：根据例1的结果，试用正弦信号的叠加近似合成一频率为50Hz ，幅值为3的方波。
3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
0
1
1
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 2 1
1
0.25
2 1 1
0
1
1
0
0.15
2 1
0.25
21
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t ) E
/ 2
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
/2
T1
t
1. 指数函数形式的谱系数
2. 频谱特点
27
1．指数形式的谱系数
1 F ( n 1 ) T1
1 = T1
jn 1 t
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t d t
bn n tg a n
1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
周期信号频谱分析
周期信号频谱分析作者：王慧申志平程晨来源：《科技与创新》2014年第14期摘要：周期信号频谱分析在信号与系统这一学科中占有极其重要的地位。
满足狄里赫利条件的非正弦周期函数可以展开为傅里叶级数，基于此事实，以傅里叶变化作为信号分析的理论基础，可以将非正弦周期信号视为一个直流分量与若干个不同频率的正弦分量之和。
通过对频谱宽带的理解，研究了矩形脉冲波形的变化对其频谱的影响。
关键词：周期信号；频谱；矩形脉冲；波形中图分类号：TN911.6 文献标识码：A 文章编号：2095-6835（2014）14-0139-011 实验原理与说明为了直观、方便地表达信号分解后所包含的频率分量和各分量所占的“比重”，将长度与各频率分量的振幅大小相对应的线段按频率高低依次排列，就得到了周期信号的振幅频谱图。
与此类似，将长度与各频率分量的初相相对应的线段按频率高低依次排列起来，就得到了周期信号的相位频谱图。
对周期信号进行傅里叶展开，基波的频率即为原周期信号的频率。
而频谱图中的谱线间隔为基波频率，所以，随着周期信号周期的增大，频谱的谱线将渐趋密集。
进一步分析可知，随着周期信号周期的增大，频谱的幅度将渐趋减小。
从理论上讲，周期信号的谐波分量是无限多的，所取的谐波分量越多，叠加后的波形越接近原信号的波形。
谐波振幅具有收敛性，这类信号能量的主要部分集中在低频分量中，所以可以忽略谐波次数过高的频率分量。
对于一个信号，自零频率开始到需要考虑的最高频率之间的频率范围是信号所占有的频带宽度。
对于一般的频谱，也常把自零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值的101倍时的频率之间的频率范围定义为信号的频带宽度。
可以证明，对于矩形脉冲信号而言，频谱频带宽度与脉冲时间宽度成反比。
2 实验内容与方法2.1 单频正弦量的频谱观察单频正弦量的频谱观察的步骤主要有：①设置信号发生器为正弦波，频率为500 Hz，幅值为2 V。
②启动仿真开关，通过示波器观测波形。
傅里叶级数及频谱
收敛性与吉布斯现象
傅里叶级数的收敛性是指当基本分量 的数量增加时，傅里叶级数的和逐渐 逼近原周期函数。
吉布斯现象是由于傅里叶级数在逼近不连续 点时产生的截断误差所导致的，增加基本分 量的数量可以减小但无法完全消除吉布斯现 象。
谢谢
THANKS
旋转因子
在FFT算法中，旋转因子e^{-j*2π*k/N}起着重要作用。它可以将输入信号的每个样本点映射 到频域上的相应位置，从而实现信号的频谱分析。
FFT在信号处理中应用举例
• 频谱分析：FFT可以用于信号的频谱分析，将时域信号转换为频域信号，以便 观察和分析信号的频率成分。这在音频处理、图像处理等领域具有广泛应用。
域实现滤波。
时频分析
结合时间和频率信息，对信号进行 时频分析，实现非平稳信号的滤波 和去噪。
小波变换
利用小波基函数对信号进行多尺度 分解，实现信号在不同频率和时间 尺度上的滤波和去噪。
信号调制与解调
调制
01
将低频信号通过傅里叶变换转换到频域，与高频载波信号相乘，
实现信号调制。
解调
02
对已调信号进行傅里叶变换，提取出低频信号的频谱信息，实
对于某些不连续或具有跳跃点的周期函 数，傅里叶级数在跳跃点附近会出现过 冲和振荡现象，这被称为吉布斯现象。
02 频谱分析原理及方法
CHAPTER
频谱定义及性质
频谱定义
频谱是频率域中信号幅度和相位 的分布，表示信号在不同频率分 量上的贡献。
频谱性质
频谱具有幅度谱和相位谱两部分 ，幅度谱表示信号各频率分量的 幅度大小，相位谱表示各频率分 量的相位信息。
典型周期信号的傅里叶级数
d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
第三章§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
T
2 T 2
T , cos n 1 t cos m 1 t dt 2 0, T , sin n 1 t sin m 1 t dt 2 0,
m n m n m n m n
X
T
2 T 2
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t ) 1 π 5 cos( 1 t 0 . 15 π ) cos 2 1 t 4
c0 1
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
cn
c1
0 0
5 2 . 236
n
2 . 24 c2
a n
j bn
T
T 0
f ( t ) co s n 1t d t j
T
1 T
T 0
f ( t ) sin n 1t d t
1 T
f ( t )e
0
j n 1t
dt
t 0 T1 t0
因 此 F n 1
1 T
f (t ) e
j n 1t
n
j n 1t
n 0 , 1, 2
jn 1t
f (t )
F (n 1 ) e
4
a
n 1
n
co s n 1t b n sin n 1t
利用欧拉公式
sin n 1 t
co s n 1 t
周期信号
周期信号: 定义在区间 ( , ) ，每隔一定时间 T ，按相同规律重 复变化的信号，如图所示 。它可表示为
第7章周期信号频域分析及MATLAB实现-文档资料
7.2.3 双边频谱
周期信号可以分解成一系列虚指数信号之和，并可以求得 相应的傅里叶系数
f( t) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFe n
n
jn t
a a a t t 0 n jb n jn n jb n jn e e 2 n 2 2 1 1 j 1 F e a j b n A n n n
a 0 A 0 .2 5 0 F 0 2
A5 ≈ 0.09, A10 ≈ 0.063
A4 ≈ 0, A9 ≈ 0.05,
F 0 . 2 2 5 , F 0 . 1 5 9 , F 0 . 0 7 5 , F 0 1 2 3 4 F 0 . 0 4 5 , F 0 . 0 5 3 5 6
6
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
2. 连续时间周期信号的傅里叶级数近似
用有限项的傅里叶级数求和来逼近原函数
f(t)的截断傅里叶级数表示
3. 符号积分函数int()求截断傅里叶级数及傅里叶表示 intf=int(f,v,a,b) 给出符号表达式 f 对指定变量v的定积分。
2 T
7-1a
2
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
傅里叶系数：
2 2 a f() td t f() td t 0 0 T T 1
T 1
T 1 2 T 1 1 2
2 T 1 a f ()c t o sn td t n 0 T 1
N 1
3. Matlab命令
DTFS:
a
1 fft ( x ) N
(7.16) (7.17)
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实验报告
课程名称信号与线性系统分析
实验名称周期信号的傅里叶级数和频谱分析实验类型验证（验证、综合、设计、创新）
3日实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的
1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义；
2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析
周期信号可以再函数的区间里展成在完备正交信号空间中的无穷级数。
如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别成为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。
2.1周期信号的傅里叶级数
（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）
例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
图1 周期方波信号)(t f 的波形图
解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为
)9sin 9
1
7sin 715sin 513sin 31(sin 4
)(00000 +++++=
t t t t t t f ωωωωωπ 其中，ππ
ω220==
T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clc
t = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;
y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:N
fk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);
fk = fk + bn * sin(n * omega * t); end
figure;plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形');
f(t)
t(sec)
String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];
axis([-2 2 -3 3]);grid;title(String);
disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']); f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 end
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
图2 例1程序产生的图形
程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：
13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.9464
2.2周期信号的频谱分析
（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
）
例2：已知周期矩形脉冲信号)(t f 的脉冲幅度为1=A ，宽度为τ，重复周期为T （角频率T
π
ω20=
）。
将其展开为复指数形式的傅里叶级数，研究周期矩形脉冲的宽度τ和周期T 变化时，对其频谱的影响。
解：根据傅里叶级数理论可知，周期矩形脉冲信号的傅里叶系数为
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=T n A T n Sa A T n Sa A n Sa A F n ττπτττπτττsinc 222
各谱线之间的间隔为T
π
2=
Ω。
图3画出了1=τ、10=T ，1=τ、5=T 和2=τ、10=T 三种情况下的傅里叶系数。
MATLAB 程序如下。
close all clear all clc
tau = 1; T = 10;
w1 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi); fn = tau * sinc(w1 / pi * tau / 2); subplot(311);stem(w1, fn);grid; title('\tau = 1,T = 10'); axis([-25 25 -0.5 2]); tau = 1; T = 5;
t(sec)
部分和的波形
w2 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi);
fn = tau * sinc(w2 / pi * tau / 2);
subplot(312);stem(w2,fn);grid;
title('\tau = 1, T = 5');
axis([-25 25 -0.5 2]);
tau = 2; T = 10;
w3 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi);
fn = tau * sinc(w3 / pi * tau / 2);
subplot(313);stem(w3,fn);grid;
title('\tau = 2, T = 10');
axis([-25 25 -0.5 2]);
τ = 1,T = 10
τ = 1, T = 5
图3 例2程序产生的波形图
3实验报告与要求
请简要说明对信号进行傅里叶级数展开的原理及其物理意义，简要说明Gibbs现象，并解释周期信号频谱与脉冲宽度τ和周期T之间的关系。
答：吉布斯现象：合成波所包含的谐波分量越多时，除间断点附近外，它月接近于原方波信号。
在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰越靠近间断点，单尖峰幅度并未减小。
可以证明，即使合成波形所含的谐波次数趋于无穷时，在间断点仍有9%的偏差，这种现象就叫做吉布斯现象。
周期信号频谱与脉冲宽度和周期间的关系：
由1，3图可见，周期相同时，相邻频谱线的间隔相同；脉冲宽度越窄，起频谱包络先第一个零点频率越高，信号带宽越宽；可见，信号的频带宽度与脉冲
宽度成反比。
有1,2图可见，这时的频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期增长时，相邻谱线的间隔减小，频谱变密。
如果周期信号无限增长，那么相邻谱线的间隔将趋于零，周期信号的离散频谱就过渡为飞周期信号的连续频谱。
实验总结：
学会了用MATLAB分析傅里叶级数的展开，并理解起含义。
并学会将周期函数转换成傅里叶级数，将方波信号变为傅里叶的展开，傅里叶的扩充，有信号信息推出原信号。
还验证了吉布斯现象；通过将周期信号变为复数形式的傅里叶展开式，弄清了周期信号频谱与脉冲宽度和周期间的关系。
并了解到信号波动的变化随系统信号的增加，位置越靠近端点。