周期信号的傅里叶级数和频谱分析

实验报告

课程名称信号与线性系统分析

实验名称周期信号的傅里叶级数和频谱分析实验类型验证（验证、综合、设计、创新）

3日实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的

1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义；

2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。

2实验原理及实例分析

周期信号可以再函数的区间里展成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别成为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。

2.1周期信号的傅里叶级数

（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。）

例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。

图1 周期方波信号)(t f 的波形图

解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为

)9sin 9

1

7sin 715sin 513sin 31(sin 4

)(00000 +++++=

t t t t t t f ωωωωωπ 其中，ππ

ω220==

T

。则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。

close all;clear all; clc

t = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;

y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:N

fk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);

fk = fk + bn * sin(n * omega * t); end

figure;plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形');

f(t)

t(sec)

String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];

axis([-2 2 -3 3]);grid;title(String);

disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']); f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 end

t(sec)

部分和的波形

t(sec)

部分和的波形

t(sec)

部分和的波形

t(sec)

部分和的波形

t(sec)

部分和的波形

t(sec)

部分和的波形

t(sec)

部分和的波形

图2 例1程序产生的图形

程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：

13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.9464

2.2周期信号的频谱分析

（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。）

例2：已知周期矩形脉冲信号)(t f 的脉冲幅度为1=A ，宽度为τ，重复周期为T （角频率T

π

ω20=

）。将其展开为复指数形式的傅里叶级数，研究周期矩形脉冲的宽度τ和周期T 变化时，对其频谱的影响。

解：根据傅里叶级数理论可知，周期矩形脉冲信号的傅里叶系数为

⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=T n A T n Sa A T n Sa A n Sa A F n ττπτττπτττsinc 222

各谱线之间的间隔为T

π

2=

Ω。图3画出了1=τ、10=T ，1=τ、5=T 和2=τ、10=T 三种情况下的傅里叶系数。MATLAB 程序如下。

close all clear all clc

tau = 1; T = 10;

w1 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi); fn = tau * sinc(w1 / pi * tau / 2); subplot(311);stem(w1, fn);grid; title('\tau = 1,T = 10'); axis([-25 25 -0.5 2]); tau = 1; T = 5;

t(sec)

部分和的波形

w2 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi);

fn = tau * sinc(w2 / pi * tau / 2);

subplot(312);stem(w2,fn);grid;

title('\tau = 1, T = 5');

axis([-25 25 -0.5 2]);

tau = 2; T = 10;

w3 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi);

fn = tau * sinc(w3 / pi * tau / 2);

subplot(313);stem(w3,fn);grid;

title('\tau = 2, T = 10');

axis([-25 25 -0.5 2]);

τ = 1,T = 10

τ = 1, T = 5

图3 例2程序产生的波形图

3实验报告与要求

请简要说明对信号进行傅里叶级数展开的原理及其物理意义，简要说明Gibbs现象，并解释周期信号频谱与脉冲宽度τ和周期T之间的关系。

答：吉布斯现象：合成波所包含的谐波分量越多时，除间断点附近外，它月接近于原方波信号。在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰越靠近间断点，单尖峰幅度并未减小。可以证明，即使合成波形所含的谐波次数趋于无穷时，在间断点仍有9%的偏差，这种现象就叫做吉布斯现象。

周期信号频谱与脉冲宽度和周期间的关系：

由1，3图可见，周期相同时，相邻频谱线的间隔相同；脉冲宽度越窄，起频谱包络先第一个零点频率越高，信号带宽越宽；可见，信号的频带宽度与脉冲