高考专题:平面向量中的三角形“四心”问题题型总结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
专题:平面对量中三角形“四心”问题题型总结
在三角形中,“四心”是一组特别的点,它们的向量表达形式具有很多重要的性质,在近年高考试题中,总会出现一些新奇新颖的问题,不仅考查了向量等学问点,而且培育了考生分析问题、解决问题的实力.现就“四心”作如下介绍:
1.“四心”的概念与性质
(1)重心:三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中,设点G 是△ABC 所在平面内的一点,则当点G 是△ABC 的重心时,有GA
+GB +GC =0或PG =13
(PA +PB +PC )(其中P 为平面内随意一点).反之,若GA +GB +GC =0,则点G 是△ABC 的重心.在向量的坐标表示中,若G ,A ,B ,C 分别是三角形的重心和三个顶点,且分别为G (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则有x =x 1+x 2+x 33,y =y 1+y 2+y 33.
(2)垂心:三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中,若H 是△ABC 的垂心,则HA ·HB =HB ·HC =HC ·HA 或HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2
.反之,若HA ·HB =HB ·HC =HC ·HA ,则H 是△ABC 的垂心. (3)内心:三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中,若点I 是△ABC 的内心,则有|BC |·IA +|CA |·IB +|AB |·IC =0.反之,若|BC |·IA +|CA |·IB +|AB |·IC =0,则点I 是△ABC 的内心.
(4)外心:三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中,若点O 是△ABC 的外心,则(OA +OB )·BA =(OB +OC )·CB =(OC +OA )·AC =0或|OA |=|OB |=|OC |.反之,若|OA |=|OB |=|OC |,则点O 是△ABC 的外心.
2.关于“四心”的典型例题
[例1] 已知O 是平面上的肯定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满意OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹肯定通过△ABC 的________心.
[解析] 由原等式,得OP -OA =λ(AB +AC ),即AP =λ(AB +AC ),依据平行四边形法则,知AB +AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍,所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心.
[答案] 重
[点评] 探求动点轨迹经过某点,只要确定其轨迹与三角形中的哪些特别线段所在直线重合,这可从已知等式动身,利用向量的线性运算法则进行运算得之.
[例2] 已知△ABC 内一点O 满意关系OA +2OB +3OC =0,试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值.
[解] 延长OB 至B 1,使BB 1=OB ,延长OC 至C 1,使CC 1=2OC ,
连
接AB 1,AC 1,B 1C 1,如图所示,
则1OB =2OB ,1OC =3OC ,由条件,得OA +1OB +1OC =0,所以点O 是△AB 1C 1的重
心.从而S △B 1OC 1=S △C 1OA =S △AOB 1=13
S ,其中S 表示△AB 1C 1的面积, 所以S △COA =19S ,S △AOB =16S ,S △BOC =12S △B 1OC =12×13S △B 1OC 1=118
S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB =118∶19∶16
=1∶2∶3. [点评] 本题条件OA +2OB +3OC =0与三角形的重心性质GA +GB +GC =0非常类似,因此我们通过添加协助线,构造一个三角形,使点O 成为协助三角形的重心,而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分,从而可求三部分的面积比.
[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满意关系λ1OA +λ2OB +λ3OC =0,则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB =λ1∶λ2∶λ3.
[例3] 求证:△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线,且|HG |=2|GO |.
[证明] 对于△ABC 的重心G ,易知OG =OA +OB +OC 2,
对于△ABC 的垂心H ,设OH =m (OA +OB +OC ),则 AH =AO +m (OA +OB +OC )=(m -1) OA +m OB +m OC .
由AH ·BC =0,得[(m -1) OA +m OB +m OC ](OC -OB )=0,
(m -1) OA ·(OC -OB )+m (OC 2-OB 2
)=0, 因为|OC |=|OB |,
所以(m -1) OA ·(OC -OB )=0.但OA 与BC 不肯定垂直,所以只有当m =1时,上式恒
成立.所以OH =OA +OB +OC ,从而OG =13OH ,得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线,且|HG |=2|GO |.
[引申推广]
重心G 与垂心H 的关系:HG =13
(HA +HB +HC ). [点评] 这是闻名的欧拉线,提示了三角形的“四心”之间的关系.我们选择恰当的基底向量来表示它们,当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量.
[例4] 设A 1,A 2,A 3,A 4,A 5 是平面内给定的5个不同点,则使1MA +2MA +3MA +4MA +5MA =0成立的点M 的个数为( )
A .0
B .1
C .5
D .10
[解析] 依据三角形中的“四心”学问,可知在△ABC 中满意MA +MB +MC =0的点只有重心一点,利用类比的数学思想,可知满意本题条件的点也只有1个.