微元法及其应用ppt课件
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定积分的微元法PPT课件
3、写出所求量 U 的积分表达式 U b A(x)dx ， a 然后计算它的值.
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二、 平面图形的面积
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例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
在第一象限
解: 由
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA0
x x2 dx
1 3
第11页/共22页
y2 x (1,1) y x2
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
第18页/共22页
例3. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
Vx
1
(
0
x )2 dx
1
xdx 0
o
x
x2 1 22
n
（3）求和：A f (i )xi
i 1
（4）取极限：
o a b 1 x12 xi1 ixi xn1
x
b
f
( x)dx
lim
n
f
(i )xi
a
0 i1
max{xi } i 1，2，3n
第6页/共22页
b
f (x)dx
只与积分区间和被积函数有关
a
关键:
1.积分区间 [a,b] ---------- 变?量的范围
ox 1 x xdx
计算由区间[a, b]上的两条连续曲线 y f (x)与y g(x),
以及两条直线x= a与x= b所围成的平面图形的面积。
y
由微元法，取x为积分变量，
其变化范围为区间[a, b] ，任意
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二、 平面图形的面积
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例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
在第一象限
解: 由
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA0
x x2 dx
1 3
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y2 x (1,1) y x2
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
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例3. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
Vx
1
(
0
x )2 dx
1
xdx 0
o
x
x2 1 22
n
（3）求和：A f (i )xi
i 1
（4）取极限：
o a b 1 x12 xi1 ixi xn1
x
b
f
( x)dx
lim
n
f
(i )xi
a
0 i1
max{xi } i 1，2，3n
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b
f (x)dx
只与积分区间和被积函数有关
a
关键:
1.积分区间 [a,b] ---------- 变?量的范围
ox 1 x xdx
计算由区间[a, b]上的两条连续曲线 y f (x)与y g(x),
以及两条直线x= a与x= b所围成的平面图形的面积。
y
由微元法，取x为积分变量，
其变化范围为区间[a, b] ，任意
《定积分的微元法》课件
2 缺点
微元法在处理复杂曲线时可能过于繁琐，需要进行大量的计算。
定积分的性质1：可加性
定积分具有可加性，即对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果区间[a, b]可以分解为无穷个不相交的子区间[a, c] 和[c, b]，则有∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx。
微元法的具体步骤
1. 将曲线划分为无穷多个微小区间。 2. 选择一个微小区间，确定微小区间的宽度和高度。 3. 计算微小区间的面积。 4. 将所有微小区间的面积相加，得到曲线下的总面积。
微元法求解示例1
以求解曲线y=x^2在区间[0, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后 计算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
微元法的引入
微元法是一种使用微小的元素来近似计算整体问题的方法。在定积分中，微 元法采用微小的矩形来近似曲线下的面积，从而实现定积分的计算。
微元法的思路
微元法的核心思路是将整体问题分解为无穷多个微小的部分，并通过对每个 微小部分进行计算来得到整体的结果。在定积分中，我们将曲线划分为无穷 多的微小矩形，并计算每个矩形的面积。
微元法求解示例2
以求解曲线y=sin(x)在区间[0, π]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区 间，每个区间的宽度为dx。然后计算每个微小区间的面积，并将其相加得到 总面积。
微元法求解示例3
以求解曲线y=1/x在区间[1, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后计 算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
三角函数积分
三角函数积分是一类涉及三角函数的积分计算。常见的三角函数积分包括正弦、余弦、正切等函数的积分，通 过应用特定的积分公式可以简化计算。
微元法在处理复杂曲线时可能过于繁琐，需要进行大量的计算。
定积分的性质1：可加性
定积分具有可加性，即对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果区间[a, b]可以分解为无穷个不相交的子区间[a, c] 和[c, b]，则有∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx。
微元法的具体步骤
1. 将曲线划分为无穷多个微小区间。 2. 选择一个微小区间，确定微小区间的宽度和高度。 3. 计算微小区间的面积。 4. 将所有微小区间的面积相加，得到曲线下的总面积。
微元法求解示例1
以求解曲线y=x^2在区间[0, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后 计算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
微元法的引入
微元法是一种使用微小的元素来近似计算整体问题的方法。在定积分中，微 元法采用微小的矩形来近似曲线下的面积，从而实现定积分的计算。
微元法的思路
微元法的核心思路是将整体问题分解为无穷多个微小的部分，并通过对每个 微小部分进行计算来得到整体的结果。在定积分中，我们将曲线划分为无穷 多的微小矩形，并计算每个矩形的面积。
微元法求解示例2
以求解曲线y=sin(x)在区间[0, π]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区 间，每个区间的宽度为dx。然后计算每个微小区间的面积，并将其相加得到 总面积。
微元法求解示例3
以求解曲线y=1/x在区间[1, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后计 算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
三角函数积分
三角函数积分是一类涉及三角函数的积分计算。常见的三角函数积分包括正弦、余弦、正切等函数的积分，通 过应用特定的积分公式可以简化计算。
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
微元法ppt课件
思考题
设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3) ，且 f ( x)
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线
与 x 轴和曲线 y f ( x) 围成的面积是另一条平 行线与y 轴和曲线 y f (x) 围成的面积的两
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x (t )具有连续导数， y (t)连续.
16
例4
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A40ydx4 b sin td(a cos t)
2
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
2）设想把区间[a, b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a, b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x) 与dx 的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即dU f ( x)dx ；
相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，i第
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . i 1
3
（4） 求极限，得A的精确值
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
高中物理专题复习小专题一补偿法对称法极限法和微元法的应用课件新人教版
A．场强大小为 krq2，方向沿 OA 方向 B．场强大小为 krq2，方向沿 AO 方向 C．场强大小为 k2rq2 ，方向沿 OA 方向 D．场强大小为 k2rq2 ，方向沿 AO 方向
解析： 在 A 处放一个－q 的点电荷与在 A 处同时放一个 ＋q 和－2q 的点电荷的效果相当，因此可以认为 O 处的场强是 5 个＋q 和 1 个－2q 的点电荷产生的场强合成的，5 个＋q 处于 对称位置上，在圆心 O 处产生的合场强为 0，所以 O 点的场强 相当于－2q 的点电荷在 O 处产生的场强．故选 C.
答案：
q kR2
沿 OP 指向 P
2．(对称法)如图所示，电荷量为＋q 和－q 的点电荷分别 位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有( )
A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心
解析： 根据点电荷场强公式 E＝krQ2 及正方体的对称性可 知正方体的体中心点及各面的中心点处场强为零，故答案为 D.
8kq A. 9d2
kq B. d2
3kq C. 4d2
10kq D. 9d2
解析： 负电荷在 P 点的场强大小为 k3qd2＝9kdq2，正电荷 在 P 点的场强大小为kdq2，所以 P 点的电场强度大小为kdq2－k9qd2 ＝89kdq2，A 正确．
答案： A
4．(对称法)两带电荷量分别为 q 和－q 的点电荷放在 x 轴 上，相距为 L，能正确反映两电荷连线上场强大小 E 与 x 关系 的是下列图中的( )
解析： 每个14圆环在 O 点产生的电场强度大小相等，设 为 E.根据电场的叠加原理和对称性，得 A、B、C、D 各图中 O 点的电场强度分别为 EA＝E、EB＝ 2E、EC＝E、ED＝0，故选 项 B 正确．
解析： 在 A 处放一个－q 的点电荷与在 A 处同时放一个 ＋q 和－2q 的点电荷的效果相当，因此可以认为 O 处的场强是 5 个＋q 和 1 个－2q 的点电荷产生的场强合成的，5 个＋q 处于 对称位置上，在圆心 O 处产生的合场强为 0，所以 O 点的场强 相当于－2q 的点电荷在 O 处产生的场强．故选 C.
答案：
q kR2
沿 OP 指向 P
2．(对称法)如图所示，电荷量为＋q 和－q 的点电荷分别 位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有( )
A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心
解析： 根据点电荷场强公式 E＝krQ2 及正方体的对称性可 知正方体的体中心点及各面的中心点处场强为零，故答案为 D.
8kq A. 9d2
kq B. d2
3kq C. 4d2
10kq D. 9d2
解析： 负电荷在 P 点的场强大小为 k3qd2＝9kdq2，正电荷 在 P 点的场强大小为kdq2，所以 P 点的电场强度大小为kdq2－k9qd2 ＝89kdq2，A 正确．
答案： A
4．(对称法)两带电荷量分别为 q 和－q 的点电荷放在 x 轴 上，相距为 L，能正确反映两电荷连线上场强大小 E 与 x 关系 的是下列图中的( )
解析： 每个14圆环在 O 点产生的电场强度大小相等，设 为 E.根据电场的叠加原理和对称性，得 A、B、C、D 各图中 O 点的电场强度分别为 EA＝E、EB＝ 2E、EC＝E、ED＝0，故选 项 B 正确．
2018年高考物理二轮专题复习课件：微专题四 电磁感应中的“微元法” (共11张PPT)
为变力 ,F 舍 =mg-F 安 =mg������ 2 ������4 ������������ ������������
������ 2 ������4 ������������ ������
是变力。
用微元法 ,设在微小时间 Δt 内 ,变力可以看做恒力 ,变加速运动可 以看做匀加速运动,加速度为 a=gΔv=gΔt������ 2 ������4 ������������ ������������ ������ 2 ������4 ������������ ������ 2 ������4 ������������
v,安培力的方向与速度 v 方向相反。
用微元法 ,安培力是变力 ,设在一段很短的时间 Δt 内 ,速度变化很 小 ,可以认为没有变化,所以安培力可以看做恒力,根据牛顿第二定律, 加速度为 a= =Δv=aΔt=Δv=∑(������ 2 ������ ������2 ������������ 2 2 ������ ������ ������������ ������ ������ 2 ������2 ������������
微元法。
-3-
只受安培力的情况 【例1】如图所示,宽度为L的光滑金属导轨一端封闭,电阻不计, 足够长,水平部分有竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。质量 为m、电阻为r的导体棒从高度为h的斜轨上从静止开始滑下,由于 在磁场中受安培力的作用,在水平导轨上滑行的距离为s时停下。
-4-
(1)求导体棒刚滑到水平面时的速度v0; (2)写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v与在水平导轨上滑行 的距离x的函数关系。
微专题四
电磁感应中的“微元法”
-2-
一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解,在电磁感应 现象中,如导体切割磁感线运动,产生感应电动势为E=BLv,感应电
§2-5 微元分析法及其应用
∑: dm= ρ(x, y, z)dS
∴Iµ = ∫∫ r2dm= ∫∫ r2ρ(x, y, z)dS
∑ ∑
的转动惯量。 例2、求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量。 、
解 设 的 径 a 球 在 标 点 转 I 与 z轴 合 ： 球 半 为， 心 坐 原 ， 轴 o 重 ， 则 的 程 x2 + y2 + z2 = a2 球 方 为
Ω Ω Ω
=
Ω
,z=
∫∫∫ zdm ∫∫∫ zρ(x, y, z)dv ∫∫∫1⋅ dm ∫∫∫ ρ(x, y, z(x, ,) 心 ： yz
20122012-3-18
5
（） 滑 线 构 的 心 3 光 曲 型 件 重 平 曲 L Qdm= ρ(x, y)ds 面 线：
Qdm= ρ(x, y)dσ dMy = xdm dMx = ydm x= My M =
∫∫ xdm ∫∫ xρ(x, y)dσ
D
∫∫1⋅dm ∫∫ ρ(x, y)dσ
D D
=
D
Mx y= = D = M ∫∫1⋅ dm
D
∫∫ ydm ∫∫ yρ(x, y)dσ
D
∫∫ ρ(x, y)dσ
D
重 为 (x, ) 心 ： y
u r F = ∫∫ dF ⋅ cosα = G∫∫ x
D D
P(x,y,0) dσ
xρ(x, y)dσ (x2 + y2 +a2)3 yρ(x, y)dσ (x2 + y2 +a2)3
dm= ρ(x, y)dσ
u r −aρ(x, y)dσ F = ∫∫ dF ⋅ cosγ = G∫∫∫ z (x2 + y2 +a2)3 它 三 标 正 间 与 坐 轴 向 D D u r 引 F 的 角 别 α,β,γ 故 力 ={ F , Fy , F } 夹 分 为 x z
微元法在高中物理中的应用
1、化变量为常量
2、化曲线为直线
3、化斜交为正交
4、化分离为重合
8
电荷量变化→电流
9 磁通量变化→电动势
10 电流变化→电动势
公式
v x t
a v t
F p t
P E t
Fx
E x
Ex x
I q t
E n Φ t
E自
L
I t
实例 关联速度 绳连接体加速度 变质量问题与冲力 变质量问题与冲力 能量时间图象 能量位移图象 电势位置图象 电流微观表达式推导 交变电流瞬时值表达式 自感现象中的电流时间图象
微元法在高中物理中的应用
二、积分与微元法
2、典型问题
序号
p→Δy
1
速度→位置变化
2
加速度→速度变化
3
力→冲量
4
功率→能量变化
5
力→功
6
距离→电场强度
7
电势→电势能变化
8
电流→电荷量变化
9
速度→电动势
10
压强→功
公式
x vt v at I Ft E Pt
W Fxx
E
k
q r2
Ep q
q it E B l v
W pV
实例 单杆以某初速度切割磁感线
匀变速曲线运动 力-时间图象 功率-时间图象 力-位移图象
圆环、球壳的电场 电容器储存的能量
感应电量 导体棒旋转切割磁感线
压强-体积图象
微元法在高中物理中的应用
三、微元法与近似处理
微元法在高中物理中的应用
p y p dy
x
dx
2、化曲线为直线
3、化斜交为正交
4、化分离为重合
8
电荷量变化→电流
9 磁通量变化→电动势
10 电流变化→电动势
公式
v x t
a v t
F p t
P E t
Fx
E x
Ex x
I q t
E n Φ t
E自
L
I t
实例 关联速度 绳连接体加速度 变质量问题与冲力 变质量问题与冲力 能量时间图象 能量位移图象 电势位置图象 电流微观表达式推导 交变电流瞬时值表达式 自感现象中的电流时间图象
微元法在高中物理中的应用
二、积分与微元法
2、典型问题
序号
p→Δy
1
速度→位置变化
2
加速度→速度变化
3
力→冲量
4
功率→能量变化
5
力→功
6
距离→电场强度
7
电势→电势能变化
8
电流→电荷量变化
9
速度→电动势
10
压强→功
公式
x vt v at I Ft E Pt
W Fxx
E
k
q r2
Ep q
q it E B l v
W pV
实例 单杆以某初速度切割磁感线
匀变速曲线运动 力-时间图象 功率-时间图象 力-位移图象
圆环、球壳的电场 电容器储存的能量
感应电量 导体棒旋转切割磁感线
压强-体积图象
微元法在高中物理中的应用
三、微元法与近似处理
微元法在高中物理中的应用
p y p dy
x
dx
微元法的应用(讲演PPT)
微元法渗透着微积分的思想，它在处理积分的实际应用 问题时也是相辅相成的，是物理学发展史中最具里程性 的思维方法之一，是牛顿力学的数学基础，也是数学理 论中一种常用的方法 ，故而研究微元法就显得十分重要。
微元法的数学理论
微元法的适用条件： 1.所求的量可以表示成在一个区域上的函数 ； 2.所求的量在区域上具有线性可加性 ； 3.在该区域上的部分量可用变量的微分的线性部分来 进行表示。
解：若选择全部的链条为整体作为一个系统， 由于链条与各处的摩擦略去不计，故整个过 程遵循动量守恒。 根据质点系的动量定理就可以得到： 在的dt时间里，下垂部分链条的动量增量为： 由上面两个公式得到定积分： 求解定积分得：
例2：一条链子的长度为l，单位长度的质量为λ 。 将其卷成一堆放在地面上。若手握着链条的一端， 以匀速v将其向上提起。当链条的一端被提起离地 面的高度为y时，求手的提力。
微元法的应用
数学与应用数学09级
微元法的应用
☺1.微元法概述 ☺2.微元法的数学理论 ☺3.微元法在物理学中的应用 ☺4.微元法求解几何体的面积和体积 ☺5.微元法在其他方面的应用
微元法概述
微元法（Infinitesimal method ）：微元法是先从部 分再到整体的思维方法，即为求得某一实际问题中的 量w，只需先求得微元dw，然后再对dw进行定积分 的运算即可求得w。通俗地说，就是把要研究的对象 分为无限多且无限小的部分，取出具有代表性的极小 的一部分，即微元，再对该微元进行细节分析和描述， 然后从局部到全体综合起来加以考虑的科学的思维方 法。
微元法可以将变量和难以确定的量转化成常量和容易确 定的量，使那些复杂的问题简单化， 这样我们就可以用 简便的方法对事物的规律进行分析研究。 微元法是微积分学中的主要思想，在解决数学分析、物 理、几何等问题时经常用到这种方法，广泛地应用于经 济、生物、工业计算、医学研究等方面。在物理学中， 定义感应电动势、瞬时速度和瞬时加速度等等都用到了 这种思想。
定积分的应用之微元法PPT课件
x2
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
《定积分的微元法》课件
THANK YOU
感谢各位观看
稳定性
对于某些函数，微元法的计算可能不稳定，而数值积分方法通常具 有较好的稳定性。
与解析积分的比较
适用范围
解析积分方法适用于可以找到原函数的积分 ，而微元法适用于无法找到原函数的积分。
计算复杂度
解析积分方法通常需要找到原函数，这可能涉及到 复杂的数学运算，而微元法的计算相对简单。
精度
对于可以找到原函数的积分，解析积分方法 通常给出精确解，而微元法可能只给出近似 解。
计算体积
总结词
利用微元法，可以将定积分转化为求 和的形式，从而计算出旋转体体积。
详细描述
在计算旋转体体积时，首先将旋转体 进行分割，每个小区域近似为一个圆 柱体。然后，根据微元法的思想，将 每个小圆柱体的体积乘以相应的函数 值，并求和得到总体积。
计算长度
总结词
通过微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出曲线长度。
解决物理、工程等领域中的复杂问题，如电磁场 、流体动力学等。
微元法的计算步骤
确定积分区间和被积函数。
将所有小区间的贡献相加，得到整体的 解。
将每个小区间的代表点上的函数值乘以 小区间的长度$Delta x$，得到该小区间 的贡献。
将积分区间划分为若干个小区间，每个 小区间的长度为$Delta x$。
定积分的几何意义
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积 。
02
当函数图像在x轴上方时，定积分 为正；在x轴下方时，定积分为负 ；与x轴相交时，定积分为零。
02
微元法的基本思想
微元法的概念
微元法是一种将复杂问题简化的数学方法，通过将整体划分 为若干个微小的单元，对每个单元进行单独处理，再求和得 到整体解。
高等数学PPT课件：定积分的微元法(元素法)
2.极坐标下平面图形的面积
平面曲线 r r( ) (极坐标方程)
+ d
射线 , ( )
所围曲边扇形面积A.
曲 边
面积元素 dA 1[r( )]2d
2
扇 形
r r( )
d
A
1[r 2
(
)]2
d
.
O
x
16
定积分在几何学上的应用
例 8 求心形线r a(1 + cos )
A
1[r 2
A( x)
Oa
x•
b
x
x x + dx
采用元素法 体积元素 dV A( x)dx
立体体积 V b A( x)dx. a
25
定积分在几何学上的应用
V abA( x)dx
例5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,
并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得
立体的体积.
解 底圆方程 x2 + y2 R2
圆柱
圆锥
圆台
18
定积分在几何学上的应用
(1) 连续曲线 y f ( x),
直线 x a, x b 及 x 轴所围曲边梯形
绕x 轴旋转一周，旋转体体积？
采用元素法
y
y f (x)
积分变量 x, x [a,b],
[x, x + dx][a,b],
O
a x x + dx b
x
以dx 为底，小曲边梯形绕 x 轴旋转成薄片
t
y
b
O
ax
作变量代换, x a cos t, dx a sintdt
当x 0时,t ;当x a时, t 0.
A
微元法的应用课件1
不可伸长的柔软轻绳竖直提住，下端正好碰 地，让绳子从静止开始下落，试证明在下落过程中，地面所受压力等于已落地 的绳子重量的三倍。
椭圆与Y轴相交于Y＝h处，与F轴相交于F＝ mg处。为了确保运动员 的安全，试计算水池中水的深度h至少应等于多少米 (水的密度取ρ＝1 . 0×10 3 kg/m 3 )？
例3：如图所示的传送机，传送带的速度V=2m/s，位于传送机底部的料斗每分钟 向传送机输送2.4×103Kg的煤屑，传送机将煤屑送到h=4m高处。求传送机电动 机的功率P（不包括传送机空转时所需的功率。g取10m/s2）
年级：高三 学科：物理
思维优化系列课之微元法的应用
例1:一列由许多节相同的车厢组成的玩具列车，沿水平光滑轨道 匀速运动。然后进入一个竖直立放的光滑圆环形轨道，沿环运动， 如图所示。轨道略呈螺旋形，进口和出口不在同一竖直平面内， 但很靠近。列车出了环轨后，继续在水平光滑直轨上前进，左、 右两条水平直轨平行。列车总长L，环形轨道半径为R，L>2πR；R 远大于每节车厢的长和高。车厢间的连接物长可不计，车厢相互 作用时无机械能损失。要能实现上述运动，列车进入环轨前的速 度至少应该是多少？
例2：跳水运动员从高于水面H＝10m的跳台自由落下。假设运动员的 质量m＝60kg，其体形可等效为一长度L＝1 . 0m、直径d＝0 . 30m的 圆柱体。略去空气阻力。运动员入水后，水的等效阻力作用于圆柱体 的下端面，F的量值随入水深度Y变化的函数曲线如图所示．该曲线可
近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和OF重合。
椭圆与Y轴相交于Y＝h处，与F轴相交于F＝ mg处。为了确保运动员 的安全，试计算水池中水的深度h至少应等于多少米 (水的密度取ρ＝1 . 0×10 3 kg/m 3 )？
例3：如图所示的传送机，传送带的速度V=2m/s，位于传送机底部的料斗每分钟 向传送机输送2.4×103Kg的煤屑，传送机将煤屑送到h=4m高处。求传送机电动 机的功率P（不包括传送机空转时所需的功率。g取10m/s2）
年级：高三 学科：物理
思维优化系列课之微元法的应用
例1:一列由许多节相同的车厢组成的玩具列车，沿水平光滑轨道 匀速运动。然后进入一个竖直立放的光滑圆环形轨道，沿环运动， 如图所示。轨道略呈螺旋形，进口和出口不在同一竖直平面内， 但很靠近。列车出了环轨后，继续在水平光滑直轨上前进，左、 右两条水平直轨平行。列车总长L，环形轨道半径为R，L>2πR；R 远大于每节车厢的长和高。车厢间的连接物长可不计，车厢相互 作用时无机械能损失。要能实现上述运动，列车进入环轨前的速 度至少应该是多少？
例2：跳水运动员从高于水面H＝10m的跳台自由落下。假设运动员的 质量m＝60kg，其体形可等效为一长度L＝1 . 0m、直径d＝0 . 30m的 圆柱体。略去空气阻力。运动员入水后，水的等效阻力作用于圆柱体 的下端面，F的量值随入水深度Y变化的函数曲线如图所示．该曲线可
近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和OF重合。
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16
2.2 教 学 进 程
“双主四环”探究式教学
环节1
环节2
环节3
环节4
情境设疑 整体认识 明确目标 （8分钟）
探究交流 深入分析 理解思想 （25分钟）
提炼巩固 反馈加强 掌握应用 （50分钟）
总结拓展 回归整体 形成能力 （7分钟）
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
ٸ其应用对电子、电工 ٸ解决电子、电工知
等专业学习有支撑作用 识中关于求“总量”问
ٸ微元法体现其核心思
想难、点是重要技术※ 微元法思想题的的理一解种有效工具 ※ 选择积分变量，求“总量”的微
元
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
15
2.2 教 学 进 程
课程定位
基础课 工具课 文化素质课
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
8
1.教 学 目 标
1.2 本次课的定位
数学思想 数学应用
以微元法思想为桥梁
了解数学在电子、电工等 专业学习中的应用
为学生职ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能力的形成 奠定数学基础
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
9
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
知识 目标
教学目标
能力 目标
情感 目标
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
10
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
知识
目标
ٸ理解微元法的思想和方法 ٸ掌握微元法适应性条件 ٸ掌握微元法在几何和电工
学中的应用
ٸ了解微元法思想的形成与发展
知识
目标
能力 目标
情感 目标
能力 目标
情感 目标
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
11
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
ٸ抽象、提炼和建立积分模 型的能力
ٸ探究发现的基本能力
知识 目标
能力 目标
《电工数学》之
微元法及其应用
1
§4.9 微元法及其应用
A 知识目标
教学目标 A 能力目标
目
A 情感目标
录
I 内容定位
I 教学进程
教学实现 I 方法手段
I 考核评价
2
1.教 学 目 标
1.1 本课程的定位
数学基础
平均成绩 标准差 频率分布 成绩结构
课程体系构建
高中数学 电工数学 公共任选课 专业任选课
电工 数学
公共 任选
专业 任选
《电工技术基础》 《电子电路分析与应用》 《数学建模》 《数学实验》 《数学文化》
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
7
1.教 学 目 标
1.1 本课程的定位
学情分析
平均成绩 标准差 频率分布 成绩结构
课程体系构建
高中数学 电工数学 公共任选课 专业任选课
17
2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
18
2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
设疑1：试描述定积分应用的基本过程
实际问题
验证
表述 积分思想
实际问 题解答
解释
积分模型
求解
微积分 基本公式
定积分值
情感 目标
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
12
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
教学目标
ٸ增强学生的应用意识和 探究精神；
知识目标 能力目标 情感目标
ٸ体验数学与专业学习的
教学实现
密切联系，激发学生数学
内容定位
学习热情。
能力 目标
教学进程 方法手段 考核评价
20
2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
设疑1：试描述定积分应用的基本过程
设疑2：试找出上述过程中最核心的步骤
设疑3：试回顾定积分的思想和方法
y 分割
A
求和
y = 化f (x整) 为零 B
“双主四环”探究式教学
进程
情境 设疑
探究 交流
提炼 巩固
总结 拓展
教师
学生
创境设疑 教学媒体 感知体验
激发求知
引发思考
启发诱导 教学媒体 探究论证
点评矫正
合作交流
梳理概括 教学媒体 巩固认知
例题讲解
反馈练习
总结点评 教学媒体 评价反思
触发新思
求索创新
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
课程定位
基础课 工具课 文化素质课
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
6
课程体系构建
数学基本知识 数学应用能力 软件使用能力 正确的数学观
电子产品开发、工 艺管理、质量管理 等一线技术与管理 的核心能力
《专业数学选修 》
高中 数学
应试为主 强于运算 认识片面 应用较弱
课程定位
基础课 工具课 文化素质课
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
3
学生高考数学成绩分析
平均成绩
86.95分
标准差
12.08
频率分布
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
4
学生高考数学成绩分析
6% 17%
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
19
2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
设疑1：试描述定积分应用的基本过程
设疑2：试找出上述过程中最核心的步骤
利用积分思想建立实际问题的积分模型
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
77%
成绩高于 6% 105分
成绩介于 77% 75~105分
成绩低于 17% 75分
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
5
1.教 学 目 标
1.1 本课程的定位
学情分析
平均成绩 标准差 频率分布 成绩结构
课程体系构建
高中数学 电工数学 公共任选课 专业任选课
情感 目标
知识 目标
13
2.1 内 容 定 位 2.2 教 学 进 程 2.3 方 法 手 段 2.4 考 核 评 价
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
2 教 学 .内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
14
2.1 内 容 定 位
内容体系角度
职业能力角度
ٸ定积分理论是《电工
数重学点》的核心※※理论微微元元法法的在思几ٸ思想何维培、和能养方电力学法工的生方有各面效种的途辩应径证用
2.2 教 学 进 程
“双主四环”探究式教学
环节1
环节2
环节3
环节4
情境设疑 整体认识 明确目标 （8分钟）
探究交流 深入分析 理解思想 （25分钟）
提炼巩固 反馈加强 掌握应用 （50分钟）
总结拓展 回归整体 形成能力 （7分钟）
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
ٸ其应用对电子、电工 ٸ解决电子、电工知
等专业学习有支撑作用 识中关于求“总量”问
ٸ微元法体现其核心思
想难、点是重要技术※ 微元法思想题的的理一解种有效工具 ※ 选择积分变量，求“总量”的微
元
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
15
2.2 教 学 进 程
课程定位
基础课 工具课 文化素质课
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
8
1.教 学 目 标
1.2 本次课的定位
数学思想 数学应用
以微元法思想为桥梁
了解数学在电子、电工等 专业学习中的应用
为学生职ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能力的形成 奠定数学基础
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
9
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
知识 目标
教学目标
能力 目标
情感 目标
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
10
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
知识
目标
ٸ理解微元法的思想和方法 ٸ掌握微元法适应性条件 ٸ掌握微元法在几何和电工
学中的应用
ٸ了解微元法思想的形成与发展
知识
目标
能力 目标
情感 目标
能力 目标
情感 目标
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
11
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
ٸ抽象、提炼和建立积分模 型的能力
ٸ探究发现的基本能力
知识 目标
能力 目标
《电工数学》之
微元法及其应用
1
§4.9 微元法及其应用
A 知识目标
教学目标 A 能力目标
目
A 情感目标
录
I 内容定位
I 教学进程
教学实现 I 方法手段
I 考核评价
2
1.教 学 目 标
1.1 本课程的定位
数学基础
平均成绩 标准差 频率分布 成绩结构
课程体系构建
高中数学 电工数学 公共任选课 专业任选课
电工 数学
公共 任选
专业 任选
《电工技术基础》 《电子电路分析与应用》 《数学建模》 《数学实验》 《数学文化》
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
7
1.教 学 目 标
1.1 本课程的定位
学情分析
平均成绩 标准差 频率分布 成绩结构
课程体系构建
高中数学 电工数学 公共任选课 专业任选课
17
2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
18
2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
设疑1：试描述定积分应用的基本过程
实际问题
验证
表述 积分思想
实际问 题解答
解释
积分模型
求解
微积分 基本公式
定积分值
情感 目标
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
12
1.教 学 目 标
1.3 教学目标
教学目标
ٸ增强学生的应用意识和 探究精神；
知识目标 能力目标 情感目标
ٸ体验数学与专业学习的
教学实现
密切联系，激发学生数学
内容定位
学习热情。
能力 目标
教学进程 方法手段 考核评价
20
2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
设疑1：试描述定积分应用的基本过程
设疑2：试找出上述过程中最核心的步骤
设疑3：试回顾定积分的思想和方法
y 分割
A
求和
y = 化f (x整) 为零 B
“双主四环”探究式教学
进程
情境 设疑
探究 交流
提炼 巩固
总结 拓展
教师
学生
创境设疑 教学媒体 感知体验
激发求知
引发思考
启发诱导 教学媒体 探究论证
点评矫正
合作交流
梳理概括 教学媒体 巩固认知
例题讲解
反馈练习
总结点评 教学媒体 评价反思
触发新思
求索创新
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
课程定位
基础课 工具课 文化素质课
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
6
课程体系构建
数学基本知识 数学应用能力 软件使用能力 正确的数学观
电子产品开发、工 艺管理、质量管理 等一线技术与管理 的核心能力
《专业数学选修 》
高中 数学
应试为主 强于运算 认识片面 应用较弱
课程定位
基础课 工具课 文化素质课
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
3
学生高考数学成绩分析
平均成绩
86.95分
标准差
12.08
频率分布
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
4
学生高考数学成绩分析
6% 17%
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
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2.2 教 学 进 程
环节1：情境设疑（8’）
设疑1：试描述定积分应用的基本过程
设疑2：试找出上述过程中最核心的步骤
利用积分思想建立实际问题的积分模型
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
77%
成绩高于 6% 105分
成绩介于 77% 75~105分
成绩低于 17% 75分
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
5
1.教 学 目 标
1.1 本课程的定位
学情分析
平均成绩 标准差 频率分布 成绩结构
课程体系构建
高中数学 电工数学 公共任选课 专业任选课
情感 目标
知识 目标
13
2.1 内 容 定 位 2.2 教 学 进 程 2.3 方 法 手 段 2.4 考 核 评 价
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
教学实现
2 教 学 .内容定位 教学进程 方法手段 考核评价
14
2.1 内 容 定 位
内容体系角度
职业能力角度
ٸ定积分理论是《电工
数重学点》的核心※※理论微微元元法法的在思几ٸ思想何维培、和能养方电力学法工的生方有各面效种的途辩应径证用