浅谈计算水平地震作用的两种方法

表 1-2 各振型的剪力值及贡献率
第二振型
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ振型
剪力
贡献率
剪力
贡献率
0.75
1.1%
0.23
——
（-0.62） 1.3% （-0.53） 1.0%
（-1.05） 15.1%
0.39
1.9%
层间剪力
6.96 5.28 2.70
从表 1-2 知，各个振型在地震总反应中的贡献将随着频率的增加而迅速减少， 故频率最低的几个振型控制着结构的最大地震反应。因此在计算中，一般只算 2-3 个振型即可。
学报，2008 年（增刊 1).
[1] 中华人民共和国建设部主编. GB5011-2010 建筑抗震设计规范[S].北京：中国建筑工业出 版社，2010.
[2] 王社良.抗震结构设计（第 3 版）[M].武汉：武汉理工大学出版社，2007. [3] 金春福. 浅谈建筑结构抗震设计方法[J]. 中国科技信息 2006 年第 1 期. [4] 黄吉锋,邵弘,杨志勇. 复杂建筑结构竖向地震作用的振型分解反应谱分析[J]. 建筑结构
（1-1）
式中 F ——作用在第 j 振型第 i 质点上的地震作用绝对最大标准值；
α ——相应于第 j 振型自振周期T 的地震影响系数，按图 1-1 确定；
γ ——j 振型的振型参与系数，可按式（1-2）计算；
X ——j 振型 i 质点的水平位移，即振型位移；
m ——集中于 i 质点的质量；
g——重力加速度；
∑
γ=
∑
(1-2)
F = ∑F
（1-3）
式中 F ——第 i 质点水平地震作用效应； F ——j 振型 i 质点的地震作用效应。
振型分解反应谱理论的基本假设： (1)结构的地震反应是线弹性的，可以采用叠加原理进行振型组合； (2)结构的基础是刚性的，所有支承处地震动完全相同； (3)结构物最不利地震反应为其最大地震反应； (4)地震动过程是平稳随机过程。 必须注意，各振型的地震作用效应一平方和开平方的方法求得的地震作用效 应，与将各振型的地震作用先以平方和开方法进行组合，随后计算其作用效应， 两者的结果不一样。因为在高阶振型中地震作用有正有负，经平方后全部为正， 故采用这种方法，常常会夸大结构所受到的地震作用效应。
（2）用底部剪力法计算 式（1-4）中的α 已经算出，其值为α = 0.1369
G = 0.85 × (2 × 2 × 10 + 1.5 × 10 ) × 9.8 = 45.815 N F = 0.1369 × 45.815 × 10 = 6.27 × 10 N
各质点的地震作用 按式（1-5），质点 i 的水平地震作用为： 由于T = 0.653s > 1.4T = 0.49s
1 振型分解反应谱法
振型分解反应谱是以单自由度体系反应谱理论为基础，采用振型分解原理解 决多自由度体系地震反应的计算方法。由于它较全面的考虑了结构的动力特性， 除了特别不规则和不均匀的建筑外都能给出很满意的结果；而且计算过程并不太 复杂，因而成为当前计算较复杂结构地震反应的常用方法。
1.1 计算原理
2.1 计算原理
根据底部剪力相等的原则，把多质点体系用一个与其基本周期相同的单质点
体系来等代。这样底部剪力就可以简单地用简单自由度体系的公式，即式（1-4）
计算结构总水平地震作用。在求得结构的总水平地震作用后，就可以将它分配于
各质点，以求得各质点上的地震作用，对于质量和刚度分布比较均匀、高度不大
并以剪切变形为主的结构物。其地震反应将以基本振型为主，而其基本振型近似
δ = 0.08T − 0.02 = 0.03224 按 式 （ 1-6 ） 分 别 计 算 出 F = 1.16 × 10 kN ， F = 2.31 × 10 kN ， F = 2.60 × 10 kN. 顶部集中水平地震作用为：
∆F = δ F = 0.03224 × 6.27 × 10 = 0.20 × 10 kN
式中 G ——集中于质点 i 的重力荷载代表值；
c——等效系数，规范规定取 c=0.85.
按式（1-6），质点 i 的水平地震作用为：
F=
∑
F (1 − δ )
式中 G ——集中于质点 i 的重力荷载代表值；
H ——第 i 层到地面水准线的高度；
δ ——顶部附加地震作用系数。
（1-6）
3.计算实例
F = 0.136 × 1.223 × 0.840 × 2 × 10 × 9.8 = 2.76 × 10 N
F = 0.136 × 1.223 × 1.00 × 1.5 × 10 × 9.8 = 2.46 × 10 N
同理可以计算第二、第三振型的质点的水平地震作用详见表 1-1。
（a）
（b）
（c）
第一振型的质点水平地震作用
首先由式（1-2）计算出振型参与系数γ ：
∑ m X 2 × 10 × 0.519 + 2 × 10 × 0.840 + 1.5 × 10 × 1.00
γ =∑
= m X 2 × 10 × 0.519 + 2 × 10 × 0.840 + 1.5 × 10 × 1.00
= 1.223
2 底部剪力法
底部剪力法是计算地水平震作用的一种简化方法，在用于基本振型为剪切变 形的多质点系时更为理想。对于单层厂房，当为一跨和等高多跨时，其计算模型 可简化为单质点系，故采用此法计算，可得到满意的结果。.为了简化计算，《建 筑抗震设计规范》(GB50011-2010)规定对于高度不超过 40m、以剪切变形为主且 质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可以采 用底部剪力法。此法先计算出作用于结构的总水平地震作用，也就是作用于结构 底部的剪力，然后将此总水平地震作用按一定的规律分配给各质点。
振型分解法的计算原理是，对于离散为多质点体系的弹性结构，利用振型分
解原理，将多自由度体系地震反应，转化为 n 个独立的等效单自由度体系最大地
震反应的组合。即将计算出各振型分别对各个质点上的水平地震作用，如式（1-1）；
再将各振型产生的地震作用效应按“平方和开平方”来确定，如式（1-3）。
F =αγX mg
图 1-4 用底部剪力法计算的水平地震作用和剪力图 (红线代表振型分解法计算出的剪力图及括号中表示两者的差值)
3.计算结果分析
底部剪力法所计算出的水平地震作用较振型分解法所计算出的结果偏小，如
图 1-4 所示。由表 1-4 可知其中第一层相差最大为 10%，第二层、第三层都在
4%以内。
表 1-4 振型分解法与底部剪力法的计算结果比较
浅析计算水平地震作用的两种方法
******** 建筑与土木工程 1160422013
摘要：《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）规定计算水平地震作用的常见方法——振型 分解法和底部剪力法，这两种方法采用不同的假定条件和计算原理，最终导致两种方法计算 出来的结果有较大的差异，本论文以具体的实例计算为依据，简要分析存在这种差异的原因。 关键词：水平地震作用；振型分解法；底部剪力法
a 用振型分解反应谱法计算结构在多遇地震作用时各层的层间地震剪力；
b 用底部剪力法计算结构在多遇地震作用时各层的层间地震剪力。
图 1-1 三层框架结构图
⑴用振型分解反应谱法计算 ①主振型及相应的自振周期 结构的自振周期分别为：
T = π =0.653，T = π = 0.234，T = π = 0.158
三层框架结构如图，横梁刚度为无穷大，位于设防烈度为 8 度的Ⅱ类场地上，
该地区设计基本地震加速度为 0.30g,设计地震分组为第一组。结构各层的层间侧
移刚度分别为k =7.5× = 7.5 × 10 kN/m， = 9.1 × 10 kN/m， = 8.5 ×
10 kN/m，各质点质量分别为 = 2 × 10 kg， = 2 × 10 kg， = 1.5 ×
4.结论
综上所述，在计算水平地震作用的两种方法都用到不同程度的简化和假定， 其中振型分解反应谱法假定地震时地面运动为平稳的随机过程，则对于各平动振 型产生的地震作用效应近似于“平方和开平方”的方法来确定，这往往夸大了结 构所受的地震作用效应，这出于对工程安全方面考虑是有利的；而底部剪力法假 定总水平地震作用按倒三角形分布， 计算出的结果常常偏小，有人提出调整荷 载的等效系数，来提高水平地震作用从而达到结构安全的目的。
图 1-2 地震影响系数 α 曲线
因为T = 0.35s < T = 0.653s < 5T ，由图 1-2，可以计算出地震影响系数
为：
Tγ
α=
ηα
T
0.35 .
=
× 1.0 × 0.24 = 0.136
0.653
振型 第一 振型 第二 振型 第三 振型
自振周期T 0.653 0.234 0.158
10 kg ， 结 构 的 自 振 频 率 分 别 为 = 9.65 rad/s ， = 26.88rad/s ， =
39.70 rad/s，各振型分别为：
X
1.000
X
−1.000
X
1.000
X = 0.840 ； X = 0.306 ； X = −1.780
X
0.519
X
0.980
X
191.470
表 1-1 各振型的水平地震作用
影响系数α 振型参与系数γ
地震水平作用F (× 10 kN)
F11
1.70
0.1369
1.223
F12
2.76
F13
2.46
F21
1.37
0.24
0.297
F22
0.43
F23
-1.05