大连理工大学理论力学第2课
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《工程力学》(二)教学大纲
工程力学（二）（学分4，学时60）一、课程的性质和任务《工程力学》是大连理工大学网络教育学院远程高等教育工程类专业的必修课程之一。
《工程力学》（二）课程对理论力学、材料力学、结构静力学的主要内容作了回顾，并增加了结构动力计算的内容。
本课程的任务是使学生们掌握静力平衡和构件强度、刚度和稳定性两部分的基本知识，使学生在学习理论力学和材料力学的基础上进一步掌握杆件结构内力和位移的计算原理和方法，了解各类结构的受力性能，培养结构分析与计算方面的能力，为学习有关专业课程及进行结构设计和科学研究打下基础，并逐步培养分析和解决工程实际问题的能力。
二、课程内容、基本要求与学时分配基本内容：静力平衡；构件的强度、刚度和稳定性；杆系结构的构造规律、静定和超静定结构内力分析方法，影响线及结构动力分析的基本原则和方法。
说明：对本门课程学习要点的掌握程度由高到低设置为：“掌握”、“理解”、“了解”。
需要“掌握”的内容多为基本概念、基本理论等，课程的重点也多出于此。
第0章结构力学绪论 4学时第一节、结构力学的研究对象和任务第二节、结构的计算简图及简化要点第三节、杆件结构的分类第四节、荷载的分类教学要求：一、了解结构力学的基本研究对象、方法和学科内容；二、理解掌握结构构件计算简图的概念及几种简化方法；三、理解结构体系、结点、支座的形式和内涵；四、理解荷载和结构的分类形式。
第1章理论力学知识回顾 8学时第一节、基本知识与物体受力分析第二节、平面力系的平衡教学要求：一、掌握典型约束及约束反力，会作受力图；二、掌握力矩、力偶的概念和性质；三、会计算力在坐标轴上的投影和力对点的矩；四、了解力线平移定理,平面力系的简化方法与简化结果；五、掌握平面力系的平衡方程，正确应用各种形式平衡方程求解平面力系平衡问题；六、掌握梁和刚架的支反力计算。
第2章材料力学知识回顾——杆件的强度、刚度、稳定性 12学时第一节、材料力学基本概念第二节、轴向拉伸和压缩第三节、扭转第四节、弯曲内力第五节、弯曲应力、弯曲变形及强度计算第六节、压杆稳定教学要求：一、掌握用截面法计算内力；二、了解材料的力学性能；三、掌握轴向拉伸杆件的内力、应力、变形计算以及强度条件；四、掌握梁弯曲时的内力、应力、变形计算以及强度、刚度条件；五、了解扭转时的内力、应力、变形计算；六、了解压杆稳定问题。
理论力学第2章课件
n (e) dp Fi dt i 1
优点：与内力无关。
分量形式
质点组动量定理的分量形式
dpx d n n (e) mi vix Fix dt dt i 1 i 1
dp n ( e ) Fi dt i 1
二、质心运动定理
dp d n d dvC d 2 rC mi vi (mvC ) m m 2 dt dt i 1 dt dt dt n d 2 rC 由质点组动量定理 m 2 Fi ( e ) dt i 1
dp Fi (e ) dt
wwwchinapostnewscomcn250jykj01htm三体及多体问题科学画报2001年12期1687年牛顿解决了两体问题1889年法国数学家亨利彭加勒于证明三体问题无解天体初始运行状态的细微差别都会在以后的行程中不断积累差之毫厘而失之千里多个天体的运行状况最终将混乱无序运行轨迹亦无规律可循
则两人对滑轮中心的力矩为：
M rm' g rmg rg (m'm)
对滑轮中心的角动量为：
r
J rm' v' rmv r(mv m' v' ) 于是 由 dJ / dt M r(ma m' a' ) rg (m'm)
2 根据位移与加速度的关系(初始速度为0) s 1 at 2
1 2 1 mvC mi v'i2 2 2 i
柯尼希定理：
p mvC 恒矢量
n i 1
vC 恒矢量
(e) 分量守恒律: 若 Fi 在 x 方向为 0, 则该方向 px C，即
理论力学课件第2章 力偶
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示 坐标系
F
x
0
F B A F 1 co s 6 0 F 2 co s 3 0 0
F
y
0 F F co s 3 0 F co s 6 0 0 BC 1 2
F1 F 2 P
F B A 7 . 321 kN F BC 2 7 . 3 2 kN
l
§2-2 平面力偶
课堂练习 下面哪个图中的力系与图 (a)等效?
10N
9N· m
15N
0.4m
3N· m
15N 0.6m (A)
0.4m
0.6m 10N (a)
5N
0.6m (B)
5N
7.5N
0.3m
0.4m
7.5N 0.6m (C)
合力的大小为： 方向为：
FR FR x FR y
2
2
Fix cos( FR , i ) FR
Fiy cos( FR , j ) FR
作用点为力的汇交点.
四、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 平衡方程
FR 0
Fx 0
Fy
0
例2-1 已知： P 20 kN, R 0.6 m, h 0.08 m 求：
第 二 章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩 2. 合力矩定理
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩（力矩）
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩（力矩）
z
B O 矩心 O
大连理工大学 本科 传递过程课件 第2章_
（1）质量力
质量力是指作用在整个微元体上的外力，又叫体积力，与质量大小有关，而与 周围流体的存在无关，是一种非接触力，如重力、静电力等。传递课程只考虑重 力。
x方向：Xdxdydz y方向： Ydxdydz
z方向： Zdxdydz
(2 - 3a)
X、Y、Z是作用在单位质量
(2 - 3b)
(2 - 3c)
(2 - 5a) (2 - 5b)
u x u z zx x z
(2 - 5c)
（2）法向应力表达式
法向应力表达式（推导过程可参见《讲义》p309的附录A）：
Du x xx yx zx u x 2 u x u y u z X (2 - 5a) xx p 2 D x y z x 3 x y z Du y xy yy zy Y (2 - 5b) u y 2 u x u y u z D x y z yy p 2 y 3 x y z yz zz Du z Z xz (2 - 5c) D x y z u z 2 u x u y u z zz p 2 z 3 x y z ux u y yx xy y x 对于理想流体，μ=0，故: xx yy zz p u u
3.以应力表示的运动微分方程
将式（2-3）和（2-4）代入式（2-2）并简化，可得
Y dxdydz (2-3b) Z dxdydz (2-3c)
xx yx zx ( )dxdydz (2-4a) x y z ( xy yy zy )dxdydz (2-4b) x y z ( xz yz zz )dxdydz (2-4c) x y z
理论力学课件第2章PPT教学课件
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• 4.平面汇交力系平衡的解析条件
F Fx2 Fy2 0 Fx F1x F2x Fnx0 Fy F1y F2y Fny0
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• 例2-3 重量P=20kN的重物用钢丝绳挂 在滑轮B并固定在绞车D上。A,B,C为 光滑铰接。杆和滑轮自重不计。求杆 AB和 BC所受的力。
• 解：画工件的受力图。 • 螺栓A给工件的力FA向左。螺栓B给工
件的力FB向右。
MB0:FAlM1M2M30
1 FAl(M1M2M3)20N0 FBFA20N0
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PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
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20
考虑方向BC的静力 平衡：
F B CP co 3s 0P si3n 0 0 F BC P co 3s 0P si3n 0 2.3 7k2N
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§2-2 平面力对点力矩 的概念及计算
• 1.力对点的矩 • 作用在物体上的力矩是使物体绕点转动状
态发生改变的一种量度。 • 钳工用扳手拧紧螺丝、司机扳动方向盘，
• (2) 分析AB的受力：AB杆在,B,C受到约束 力，3个约束力组成平面汇交力系，并相交 于点E。
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5
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6
tan 0.5, 26.565
FA sin45
F sin(45
)
FC sin(90
)
sin45
F A F sin(45 ) 2.236F 22.36k N
都用到力矩。
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大连理工大学高等工热第2章第2节
RmolT a P 2 (v b ) v
根据它求 ， 为：
RmolT 1 1 v 1 2a ( )T [ 3 ] 2 v P v v (v b)
1 v 1 Rmol 2a RmolT 1 ( )P [ 3 ] 2 v T v (v b ) v (v b )
(2.8)
• 注意，只有均匀系统才能写出状态方程，若一个 非均匀系统可分成几个均匀部分，则每一部分可 以有一个状态方程，但整个非均匀系统没有一个 总的状态方程。
…
正因为两个独立特性就可以确定一个简单系统的 状态。因此，就可以取两个任意的独立变量为轴 的直角坐标系统来表示纯物质系统的状态。显然， 在这些坐标系统中纯物质的状态是一个点。这类 坐标系统有：P----V 、T----S、P--- t… … 等等 形式。虽然由于P，V，T等参数容易测得使 f(P,V,T)=0形式的状态方程用得比较多，但是其 他形式的状态方程在一些场合也是经常用到的， 通过后面各种问题的讨论将会清楚的看到这点。
单位是 K 1，值与V无关。
将方程(2· 14)与(2· 15)代入方程
V V dV ( ) T dP ( ) P dT ，得 P T
dV dP dT V
(2· 16）
若求出 和 值，带入方程(2· 16)， 整理能得到状态方程。
例2· 5 若某种气体的物性系数测出为： 1 ， 1 P T 试确定该气体的状态方程。 解：将，值带入方程(2· 16)，得
đ L= -σdε(σ- 应力ε- 应变) 简单弹性系统——弹性伸长
简单磁性系统——磁化 đL= -μ0VHdM(μ0-自由空间导磁率，H - 磁场强度, M - 磁化强度) 显然，对简单系统，确定平衡状态需要的独立变量数根据状 态原理知应为2。
理论力学第2章质点组力学ppt课件
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26
和
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27
举例
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28
§2.4 动能定理与机械能守恒定 律
1 质点组的动能定理
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30
刚体情形
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31
2 机械能守恒定律
▪ 对质点组来讲，内力所作的功之和一般并不 为零，所以，若只有外力是保守力而内力并 不是保守力，质点组的机械能并不守恒；
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举例
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56
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2 火箭原理
时间关系不讲， 若有兴趣请自己看书
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作业8讲解
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60
第15讲到此结束
最
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§2.2 动量定理与动量守恒定律
1 质点组动量定理
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2 质心运动定理
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3 动量守恒定律
（3）由于 pmvC
，所以质心作惯性运动。
（4）如果合外力在某轴投影为零，则动量投影为常量。
i 1
i 1
i 1
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35
小结
▪ 质点组的三个动力学基本定理在分量形式下 一共有七个方程，和它们相关的守恒律成立 时也是这样。
▪ 但由于质点组的独立变量通常都大于七，所 以这些方程并不能用来确定质点组中每一质 点的运动，而只能由它们得出运动总的趋向 和某些特征，特别是与质心有关的总的特征。
理 论 力 学 教学 课程第2章
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第二节 平面力偶系的简化与平衡
• 在国际单位制中，力矩的单位是 N·m（牛顿·米）或 kN·m（千牛 顿·米）。
• 在计算力系的合力对某点 O 的矩时，常用到合力矩定理：平面汇交 力系的合力对某点 O的矩等于各分力对 O 点矩的代数和，即
• 该定理建立了合力对点的矩与分力对同一点的矩的关系，其也可运用 于有合力的其他力系。它提供了计算力对点的矩的另一种方法，此外 它还可以用于确定力系合力作用线的位置。
于零的合力。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是，力系的合力等 于零。其矢量表达式为 • 力系平衡的几何条件是，力系的力多边形自行封闭，如图 2-2 所示。
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第一节 平面汇交力系的简化与平衡
• 二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
• 1．力在坐标轴上的投影 • 设力 F 作用于 A 点，如图 2-4 所示。在力 F 作用线所在的平面内任
• 设力 F 作用于刚体上的 A 点，为了将力 F 平行移动到刚体内另外一 点 O ［图 2-17 （ a ）］，又不改变其作用效应，可以进行如下等效 变换：先在 O 点施加平行于力 F 的一对平衡力 F ‘ 和 F ’‘ ，且令 F ’= - F ‘’= F ［图 2-17 （ b ）］。根据加减平衡力系公理，所加的 一对力并不改变原来的力 F 对刚体的作用效应，即力 F ［图 2-17 （ a ）］与力系 ( F ‘, F ’‘, F ) ［图 2-17 （ b ）］等效。图 2-17 （ b ）中力 F 与 F ’‘ 构成力偶，力系又可看作由作用于 O 点的力 F ’ 和力偶 ( F , F ‘’) 组成，可用图 2-17 （ c ）中所示力系表示，即为力 F 向 O点平移的最终结果。力偶 ( F , F ‘’) 称为附加力偶，其力偶矩 M= Fd ，而力 F 对 O 点的矩MO（F） =Fd ，附加力偶 ( F , F '') 的 力偶矩 M 为
第二节 平面力偶系的简化与平衡
• 在国际单位制中，力矩的单位是 N·m（牛顿·米）或 kN·m（千牛 顿·米）。
• 在计算力系的合力对某点 O 的矩时，常用到合力矩定理：平面汇交 力系的合力对某点 O的矩等于各分力对 O 点矩的代数和，即
• 该定理建立了合力对点的矩与分力对同一点的矩的关系，其也可运用 于有合力的其他力系。它提供了计算力对点的矩的另一种方法，此外 它还可以用于确定力系合力作用线的位置。
于零的合力。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是，力系的合力等 于零。其矢量表达式为 • 力系平衡的几何条件是，力系的力多边形自行封闭，如图 2-2 所示。
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第一节 平面汇交力系的简化与平衡
• 二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
• 1．力在坐标轴上的投影 • 设力 F 作用于 A 点，如图 2-4 所示。在力 F 作用线所在的平面内任
• 设力 F 作用于刚体上的 A 点，为了将力 F 平行移动到刚体内另外一 点 O ［图 2-17 （ a ）］，又不改变其作用效应，可以进行如下等效 变换：先在 O 点施加平行于力 F 的一对平衡力 F ‘ 和 F ’‘ ，且令 F ’= - F ‘’= F ［图 2-17 （ b ）］。根据加减平衡力系公理，所加的 一对力并不改变原来的力 F 对刚体的作用效应，即力 F ［图 2-17 （ a ）］与力系 ( F ‘, F ’‘, F ) ［图 2-17 （ b ）］等效。图 2-17 （ b ）中力 F 与 F ’‘ 构成力偶，力系又可看作由作用于 O 点的力 F ’ 和力偶 ( F , F ‘’) 组成，可用图 2-17 （ c ）中所示力系表示，即为力 F 向 O点平移的最终结果。力偶 ( F , F ‘’) 称为附加力偶，其力偶矩 M= Fd ，而力 F 对 O 点的矩MO（F） =Fd ，附加力偶 ( F , F '') 的 力偶矩 M 为
理论力学-课件第2章
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，
可能出现以下四种情况：
分别讨论这些情况
（1） FR 0，MO 0 （2） FR 0，MO 0 （3） FR 0，MO 0 （4） FR 0，MO 0
情况（1）FR 0，MO 0，说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶， 其力偶矩就等于力系的主矩。 值得指出，当力系简化为一个力偶时，主矩与简化中心的选取无关。
MO (F) Fh
其中，点O称为矩心；h称为力臂；Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小； MO (F) 是一个代数量。
规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。
根据定义
图2-3所示的力 F1 对点O的矩为
MO (F1) F1h1 F1hsin
由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关， 同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。
方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由 M A 0 知，
该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，
或者为平衡力系；
由 M B 0 知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线
最后，由 Fx 0 知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，
A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
情况（4）FR 0，MO 0 ，表明该力系对刚体总的作用效果为零。 根据牛顿惯性定律， 此时物体将处于静止或匀速直线运动状态，即物体处于平衡状态。
第四节 平面力系的平衡条件与平衡 方程式
平面力系平衡的充分和必要条件是 力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。
大连理工大学理论力学第1课
瑞士的欧拉(1707~1783)著出《力学》用微分方程研究
法国达朗贝尔(1717~1785)名著《动力学专论》达朗伯原理 法国拉格朗日(1736~1813)提出第二类拉格朗日方程
牛顿和他的苹果树
伯努利
欧拉
达朗贝尔
拉格朗日
课程要求－作业
每周交一次（周二上课前） A4纸（或同等大小） 字母、公式规范 尺规绘图 答疑
力系简化或等效替换中的基本概念
等效力系：两力系对同一物体作用效果相同 力系的等效替换：把一个力系用与之等效的另一个力系代替 力系的简化：一个复杂力系用一个简单力系等效替换的过程 若一个力系可用一个力等效替换，则该力叫合力；力系中的各力叫 分力。 若作用于物体上的力系使物体保持平衡，则该力系称为平衡力系。 此时力系所满足的条件称平衡条件。
分析、归纳和总结
力学基本定律
抽象、推理和数学演绎
理论体系
用于实际
力学模型
刚体、质点、弹簧质点、弹性体等
理论力学的发展史
古希腊阿基米德(公元前287~212) 《论比重》－奠定了静力学基础 意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩 波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙日心说
理论力学
学习理论力学的目的
学会一种研究方法
分析、抽象、综合、归纳、总结、应用
学习一系列后续课程的重要基础
材料力学、结构力学、弹塑性力学、飞行力学等
为解决工程问题打下一定基础
有何用、怎么用…
理论力学应用领域
航天工程 航空工程 机械工程 土木工程 水利工程 核反应堆工程 石油工程 电子工程 计算机工程 其它工程领域
量的起点(或终点)表示力的作用点。
大连理工大学高等土力学第2章-2
高等土力学——No.5Advanced Soil Mechanics主讲老师：郭莹土木工程学院岩土工程研究所2.1 概述2.2 应力与应变2.3 土的应力应变特性2.4 土的弹性模型2.5 土的弹塑性模型的一般原理2.6 土的剑桥模型（弹塑性模型）7）各向异性（原生和诱发）砂土的各向异性，不同方向试验的结果θ2.3 土的应力应变特性土不同方向上物理力学性质不同2.3 土的应力应变特性正常固结粘土在不同应力增量方向上的应变增量方向（诱发各向异性2.3 土的应力应变特性8）土的结构性原状土与重塑土的压缩曲线9）流变性—蠕变与应力松弛粘土的蠕变与应力松弛蠕变：应力不变，应变随时应力松弛：维持应变不变，应力随时间在逐渐减小2.3 土的应力应变特性影响因素1）应力水平（围压）不同围压的三轴试验曲线围压增大强度和刚度增大2.3 土的应力应变特性2）应力路径：A －1－B 与A －2－B A-1-BA-2-B 由于1更接近破坏线，产生更大的轴向应变2.3 土的应力应变特性剪切应力路径剪切应变路径-记忆π平面上不同应力路径的应变路径3）应力历史超固结粘土固结排水剪切试验的应力应变曲线正常固结粘土2.3 土的应力应变特性σ1−σ3ε1先期固结压力：历史上所经受到的最大竖向有效应力pc σc z= γz：自重应力p c= σc z：正常固结土p c> σc z：超固结土p c< σc z：欠固结土OCR=1：正常固结OCR>1：超固结OCR<1：欠固结相同σc z时，一般OCR越大，土越密实，压缩性越小超固结比：OCR=p c/ σc z复习2.1 概述2.2 应力与应变2.3 土的应力应变特性2.4 土的弹性模型2.5 土的弹塑性模型的一般原理2.6 土的剑桥模型（弹塑性模型）土力学中常用的应力应变关系表示线弹性：非线性弹性：塑性：pd d gqελ∂=∂Kp =v εGq 3=εpg ∂∂=λεd d p vtv d d K p =ε增量形式塑性体变塑性剪应变t3d d G q =ε2.4 土的弹性模型2.4.1 概述2.4.2 线弹性：（广义）胡克定律2.4.3 非线性弹性：增量胡克定律什么是“弹性”？1）没有残余变形，卸载沿原路返回；2）应力应变之间呈一一对应关系；3）卸载路线与加载路线完全相同；4）线弹性时叠加原理适用；5）与应力路径无关。
理论力学(2)终版.ppt
0.0
P = 100 N
P
y
25
阅读材料和作业
• 阅读材料
– (1)P53---P65; P150---P162
– (2)P64---P83 • 作业
– (1)2---31 ; 2---34 ;4---4
– (2)3---6; 3---15; 3---20 • 预习内容
– (1)P83---P91
– (2)P95---P114
0.0
26
再见
0.0
27
=-bSi-aSj
mix = 0
D
Q
C
x
P
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
b
aP-aS=0
(2)
P
联立(1)(2)两式得: 0.0
P 1 Q
S=P
23
例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
z
F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
0.0
理论力学
(2)
0.0
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
0.0
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
0.0
A
F´ rA
P = 100 N
P
y
25
阅读材料和作业
• 阅读材料
– (1)P53---P65; P150---P162
– (2)P64---P83 • 作业
– (1)2---31 ; 2---34 ;4---4
– (2)3---6; 3---15; 3---20 • 预习内容
– (1)P83---P91
– (2)P95---P114
0.0
26
再见
0.0
27
=-bSi-aSj
mix = 0
D
Q
C
x
P
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
b
aP-aS=0
(2)
P
联立(1)(2)两式得: 0.0
P 1 Q
S=P
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例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
z
F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
0.0
理论力学
(2)
0.0
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
0.0
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
0.0
A
F´ rA
理论力学第二章课件
11
第十一页，共45页。
静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系
三、合力投影定理
定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同
一轴上 投影的代数和。 即： 若 FR F1 F2 Fn
则 FR x X1 X 2 X n X 四、合成 FR y Y1 Y2 Yn Y
由合力投影定理，合力的投影为：
由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。 5 第五页，共45页。
静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系
■利用力多边形法则注意问题：
▼ 合力矢 与FR各分力矢的作图顺序无关
FR
F4
FR2
F3
FR
F3
O
FR1
F2
F1
▼ 各分力矢必须首尾相接
F2
O
F1 F4
▼合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端
(
Fn
)
M (F ) o i 第二十页，共45页。
20
静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系
三、合力矩定理
M o (FR ) M o (F1) M o (F2 ) M o (Fn )
M o (Fi )
F1
F2
证明： 设平面汇交力系如图示
在力的作用 面内取一点O，到汇交点A
的矢径记为 r
j
则有 ：
F Fx Fy X i Y j
注意分力与投影的区别与联系。
i
*分力是矢量，
投影是标量。 *当坐标轴非正交时，大小也不相等。
10
第十页，共45页。
静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系
注意分力与投影的区别与联系
*当坐标轴非正交时，大小也不相等
y
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A
FD
D
E
FE
F
D
B
F Ay
E
C
A
F' Ax
F Ax
A
F
D
B
F' Ay
FB
FC FB
F' D
F' E
E
C
提问：左右两部分梯子在 A 处，绳子对左右两部分梯子 均有力作用，为什么在整体 受力图没有画出？
FC
小
结
1. 静力学研究物体在力系作用下的平衡问题。
包括： （1）物体的受力分析； （2）力系的等效替换； （3）力系的平衡条件。
例1-4 画出三铰拱桥各部分的受力图（不计自重）：
F
F
F' C F' C
F Ax
F Ay
FA
考 虑 到 左 拱 AC 三 个 力作用下平衡，也可 按三力平衡汇交定理 画出左拱的受力图
例1-4 讨论计自重
F
A P
P
F
F' Cx
P
F Cx
F' Cy
F Cy
P
F Ax
F Bx
F Ay
F By
例1-5 梯子如图所示。画出下列各研究对像的受力图： （1）绳子DE；（2）AB杆；（3） AC杆；（4） 整体。
此公理表明了作用于刚体上最简 单力系平衡时所必须满足的条件
§1-1 静力学公理
公理3 加减平衡力系公理
在作用于刚体上的已知力系上，加上或去掉任意个平衡力 系，不改变原力系对刚体的作用效果。
此公理为力系简化的理论依据
§1-1 静力学公理
推理1 力的可传性原理
作用在刚体上的力可沿其作用线任意移动，而不改变该力 对刚体的作用。
F2
A
F12
F1
C F3
C
B
§1-1 静力学公理
公理4 作用和反作用定律
作用力和反作用力总是同时存在， 同时消失，等值、反向、共线， 作用在相互作用的两个物体上。
B FB′
FB B
A
FA′ FA
它是受力分析必需遵循的原则
A
§1-1 静力学公理
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为 刚体，其平衡状态保持不变。
其他各杆的受力和 销钉的受力图 总体受力图 AB杆 DE杆 AD杆
例：画出每个标注字符的物体、整体及销钉A（销钉A穿 透各构件）的受力图。未画出重力的物体的重量均不计， 所有接触处均为光滑接触。 如图所示，是一个由销钉 连接而成的机构，先分析 整体受力，再按各杆件和 销钉来分析受力。
例1-2：屋架如图所示。已知自重P，均布风力q 作屋架的受力图。
解：画出简图 画出主动力
画出约束力
P
F Ay
FB
F Ax
P
§1-3 物体的受力分析和受力图
例1-3 画出下列各研究对像的受力图： （1）CD杆；（2）横梁AB（包括电动机） 。
B
A
解：
取CD杆，其为二力构件， 简称二力杆，其受力图如图
FN
§1-2 约束和约束力
2.1 具有光滑接触表面的约束
约束反力－法向反力，压力FN
滑槽与销钉
§1-2 约束和约束力
2.1 具有光滑接触表面的约束
FN
齿轮啮合力
§1-2 约束和约束力
2.2 柔索约束
绳索、链条或胶带等
绳索对物体的约束反力——拉力 FT 作用在接触点， 方向沿着绳索背离物体。
P1
D
P2
FD
D
C
FC
C
二力杆
§1-3 物体的受力分析和受力图
B A D
P1
P2
取横梁AB，其受力图如图
F Ay
C A B
F Ax
P1
F' D
P2
§1-3 物体的受力分析和受力图
例1-4 画出三铰拱桥各部分的受力图（不计自重）：
解： 右拱CB为二力构件，其受力图 如图所示
F
A
FC
二力杆
FB
§1-3 物体的受力分析和受力图
铰链
F Ax
A
F Ay
中间铰
接触点
A
§1-2 约束和约束力
圆柱铰链约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉 组成，如剪刀。
一般不必分析销钉受力，当要 分析时，必须把销钉单独取出。
§1-2 约束和约束力
固定铰链支座 两个支反力分量
A
F Ax
F Ay
以上三种约束 （径向轴承、 光滑圆柱铰链、 固定铰链支座） 其约束特性相 同，均为轴与 孔的配合问题， 都可称作光滑 圆柱铰链
结
典型的（平面）约束及其约束反力
约束 柔索 光滑面
FA FB
A
约束反力特征 沿中心线，只承受拉力 通过接触点，沿公法线指向物体
B
A
B
FB
P
A
B
P
P
FA
FB
P
FA
小
3. 约束和约束反力
结
典型的（平面）约束及其约束反力
A
B
固定铰支座
F Ax
可动铰支座
FB
A B
F Ay
F Ax
F Ay
FB
小
结
4.物体的受力分析和受力图
小
2. 静力学公理
公理1 力的平行四边形法则 公理2 二力平衡条件 公理3 加减平衡力系原理
结
这个公理是研究力系等效变换的依据。 公理4 作用和反作用定律 这个公理阐明了两个物体作用的关系。 公理5 刚化原理 这个公理阐明了变形体抽象成刚体模型的条件，并 指出刚体平衡的必要和充分条件只是变形体平衡的 必要条件。
约 束 力
方 向—与该约束所能阻碍的位移方向相反 作用点—接触处
大 小—待定
§1-2 约束和约束力
2. 工程中常见的几种约束
2.1 具有光滑接触表面的约束
约束反力作用在接触点处，方向沿接触表面的公法 线，并指向受力物体 这种约束反力称为法向反力，用FN表示
C
FNA
A B
FNC FNB
FB
O B
E
O D A O
B
FE
E
F Ax
A
P
F Ay
D
FB
F' D
FE F Ax
P
FD
F Ay
练习2
画出下列各研究对像的受力图：
T2 B T1=P
（1）滑轮B；（2）CD杆；（3） 横梁AB
B A C FC
FBx
FBy P A FAx C
D
C
FBy
B
FBx
FD D
二力杆
FAy
FC’
作 业
理论力系（哈工大，第七版） P. 22 1.1（a , c，d，i，j） 1.2（a，i，k，m，o）
重物
销钉
AB
滑轮
如销钉和梁看成一体
例三
整体
分离体
销钉
如销钉和BC为一整体，
AC为二力构件，
BC
1、（3分）不计自重，画出A、B两处约束反力的正确方 向（包括方位和指向）。
三力汇交 二力杆
5、（10分）刚架结构受力如图。不计自重，试绘出AB、 AE、CD杆、销钉A及整体的受力图。
MB XB XB MB XA1
F1
合力FR
F2
F2 FR FR F2 F1
F1
F R F1 F 2
此公理表明了最简单力系的简化规律 是复杂力系简化的基础
§1-1 静力学公理
公理2 二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是 ：这两个力大小相等、方向相反、沿同一条直线。 此公理提供了一种最简单的平衡 力系。对于刚体此条件是充要条 件，但对变形体只是必要条件而 不是充分条件。 只受两个力作用而平衡的构件， 叫二力构件、二力杆。
FN
（3）光滑铰链— F Ay , F Ax （4）滚动支座— FN ⊥光滑面 球铰链—空间三正交分力
止推轴承—空间三正交分力
§1-3 物体的受力分析和受力图
受力分析：
分析物体受到的全部力（载荷和约束反力） 载荷：主动力； 约束反力：被动力
分析方法：
取分离体，画受力图
q
FT
P
P
§1-2 约束和约束力
2.2 柔索约束
链条或胶带也都只能承受拉力 绕在轮子上，对轮子的约束反力沿轮缘的切线方向 且背向被约束物体
§1-2 约束和约束力
2.3 光滑铰链约束
径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等
（1）向心轴承（径向轴承）
约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束。
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接 触约束——法向约束力．约束力作用在接触处，沿径向 指向轴心。
§1-2 约束和约束力
当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小 与方向均有改变。
可用二个通过轴心 的正交分力表示。
F Ay
A
F Ax
§1-2 约束和约束力
（2）圆柱铰链和固定铰链支座
铰链 A
是研究物体平衡和运动的前题。
画物体受力图时，首先要明确研究对象（即取分离体）。
物体受的力分为主动力和约束反力。
当分析多个物体组成的系统受力时，要注意分清内力 与外力，内力成对可不画； 还要注意作用力与反作用力之间的相互关系。
讨
论
1. 下列构件哪个属于二力杆？
F Ay
F Ax
A B
FD
D
E
FE
F
D
B
F Ay
E
C
A
F' Ax
F Ax
A
F
D
B
F' Ay
FB
FC FB
F' D
F' E
E
C
提问：左右两部分梯子在 A 处，绳子对左右两部分梯子 均有力作用，为什么在整体 受力图没有画出？
FC
小
结
1. 静力学研究物体在力系作用下的平衡问题。
包括： （1）物体的受力分析； （2）力系的等效替换； （3）力系的平衡条件。
例1-4 画出三铰拱桥各部分的受力图（不计自重）：
F
F
F' C F' C
F Ax
F Ay
FA
考 虑 到 左 拱 AC 三 个 力作用下平衡，也可 按三力平衡汇交定理 画出左拱的受力图
例1-4 讨论计自重
F
A P
P
F
F' Cx
P
F Cx
F' Cy
F Cy
P
F Ax
F Bx
F Ay
F By
例1-5 梯子如图所示。画出下列各研究对像的受力图： （1）绳子DE；（2）AB杆；（3） AC杆；（4） 整体。
此公理表明了作用于刚体上最简 单力系平衡时所必须满足的条件
§1-1 静力学公理
公理3 加减平衡力系公理
在作用于刚体上的已知力系上，加上或去掉任意个平衡力 系，不改变原力系对刚体的作用效果。
此公理为力系简化的理论依据
§1-1 静力学公理
推理1 力的可传性原理
作用在刚体上的力可沿其作用线任意移动，而不改变该力 对刚体的作用。
F2
A
F12
F1
C F3
C
B
§1-1 静力学公理
公理4 作用和反作用定律
作用力和反作用力总是同时存在， 同时消失，等值、反向、共线， 作用在相互作用的两个物体上。
B FB′
FB B
A
FA′ FA
它是受力分析必需遵循的原则
A
§1-1 静力学公理
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为 刚体，其平衡状态保持不变。
其他各杆的受力和 销钉的受力图 总体受力图 AB杆 DE杆 AD杆
例：画出每个标注字符的物体、整体及销钉A（销钉A穿 透各构件）的受力图。未画出重力的物体的重量均不计， 所有接触处均为光滑接触。 如图所示，是一个由销钉 连接而成的机构，先分析 整体受力，再按各杆件和 销钉来分析受力。
例1-2：屋架如图所示。已知自重P，均布风力q 作屋架的受力图。
解：画出简图 画出主动力
画出约束力
P
F Ay
FB
F Ax
P
§1-3 物体的受力分析和受力图
例1-3 画出下列各研究对像的受力图： （1）CD杆；（2）横梁AB（包括电动机） 。
B
A
解：
取CD杆，其为二力构件， 简称二力杆，其受力图如图
FN
§1-2 约束和约束力
2.1 具有光滑接触表面的约束
约束反力－法向反力，压力FN
滑槽与销钉
§1-2 约束和约束力
2.1 具有光滑接触表面的约束
FN
齿轮啮合力
§1-2 约束和约束力
2.2 柔索约束
绳索、链条或胶带等
绳索对物体的约束反力——拉力 FT 作用在接触点， 方向沿着绳索背离物体。
P1
D
P2
FD
D
C
FC
C
二力杆
§1-3 物体的受力分析和受力图
B A D
P1
P2
取横梁AB，其受力图如图
F Ay
C A B
F Ax
P1
F' D
P2
§1-3 物体的受力分析和受力图
例1-4 画出三铰拱桥各部分的受力图（不计自重）：
解： 右拱CB为二力构件，其受力图 如图所示
F
A
FC
二力杆
FB
§1-3 物体的受力分析和受力图
铰链
F Ax
A
F Ay
中间铰
接触点
A
§1-2 约束和约束力
圆柱铰链约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉 组成，如剪刀。
一般不必分析销钉受力，当要 分析时，必须把销钉单独取出。
§1-2 约束和约束力
固定铰链支座 两个支反力分量
A
F Ax
F Ay
以上三种约束 （径向轴承、 光滑圆柱铰链、 固定铰链支座） 其约束特性相 同，均为轴与 孔的配合问题， 都可称作光滑 圆柱铰链
结
典型的（平面）约束及其约束反力
约束 柔索 光滑面
FA FB
A
约束反力特征 沿中心线，只承受拉力 通过接触点，沿公法线指向物体
B
A
B
FB
P
A
B
P
P
FA
FB
P
FA
小
3. 约束和约束反力
结
典型的（平面）约束及其约束反力
A
B
固定铰支座
F Ax
可动铰支座
FB
A B
F Ay
F Ax
F Ay
FB
小
结
4.物体的受力分析和受力图
小
2. 静力学公理
公理1 力的平行四边形法则 公理2 二力平衡条件 公理3 加减平衡力系原理
结
这个公理是研究力系等效变换的依据。 公理4 作用和反作用定律 这个公理阐明了两个物体作用的关系。 公理5 刚化原理 这个公理阐明了变形体抽象成刚体模型的条件，并 指出刚体平衡的必要和充分条件只是变形体平衡的 必要条件。
约 束 力
方 向—与该约束所能阻碍的位移方向相反 作用点—接触处
大 小—待定
§1-2 约束和约束力
2. 工程中常见的几种约束
2.1 具有光滑接触表面的约束
约束反力作用在接触点处，方向沿接触表面的公法 线，并指向受力物体 这种约束反力称为法向反力，用FN表示
C
FNA
A B
FNC FNB
FB
O B
E
O D A O
B
FE
E
F Ax
A
P
F Ay
D
FB
F' D
FE F Ax
P
FD
F Ay
练习2
画出下列各研究对像的受力图：
T2 B T1=P
（1）滑轮B；（2）CD杆；（3） 横梁AB
B A C FC
FBx
FBy P A FAx C
D
C
FBy
B
FBx
FD D
二力杆
FAy
FC’
作 业
理论力系（哈工大，第七版） P. 22 1.1（a , c，d，i，j） 1.2（a，i，k，m，o）
重物
销钉
AB
滑轮
如销钉和梁看成一体
例三
整体
分离体
销钉
如销钉和BC为一整体，
AC为二力构件，
BC
1、（3分）不计自重，画出A、B两处约束反力的正确方 向（包括方位和指向）。
三力汇交 二力杆
5、（10分）刚架结构受力如图。不计自重，试绘出AB、 AE、CD杆、销钉A及整体的受力图。
MB XB XB MB XA1
F1
合力FR
F2
F2 FR FR F2 F1
F1
F R F1 F 2
此公理表明了最简单力系的简化规律 是复杂力系简化的基础
§1-1 静力学公理
公理2 二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是 ：这两个力大小相等、方向相反、沿同一条直线。 此公理提供了一种最简单的平衡 力系。对于刚体此条件是充要条 件，但对变形体只是必要条件而 不是充分条件。 只受两个力作用而平衡的构件， 叫二力构件、二力杆。
FN
（3）光滑铰链— F Ay , F Ax （4）滚动支座— FN ⊥光滑面 球铰链—空间三正交分力
止推轴承—空间三正交分力
§1-3 物体的受力分析和受力图
受力分析：
分析物体受到的全部力（载荷和约束反力） 载荷：主动力； 约束反力：被动力
分析方法：
取分离体，画受力图
q
FT
P
P
§1-2 约束和约束力
2.2 柔索约束
链条或胶带也都只能承受拉力 绕在轮子上，对轮子的约束反力沿轮缘的切线方向 且背向被约束物体
§1-2 约束和约束力
2.3 光滑铰链约束
径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等
（1）向心轴承（径向轴承）
约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束。
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接 触约束——法向约束力．约束力作用在接触处，沿径向 指向轴心。
§1-2 约束和约束力
当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小 与方向均有改变。
可用二个通过轴心 的正交分力表示。
F Ay
A
F Ax
§1-2 约束和约束力
（2）圆柱铰链和固定铰链支座
铰链 A
是研究物体平衡和运动的前题。
画物体受力图时，首先要明确研究对象（即取分离体）。
物体受的力分为主动力和约束反力。
当分析多个物体组成的系统受力时，要注意分清内力 与外力，内力成对可不画； 还要注意作用力与反作用力之间的相互关系。
讨
论
1. 下列构件哪个属于二力杆？
F Ay
F Ax
A B