3动量角动量机械能
动量守恒角动量守恒机械能守恒三者之间的关系
动量守恒角动量守恒机械能守恒三者之
间的关系
动量守恒
动量守恒是指在一个系统中，总动量在没有外力作用下保持不变。
角动量守恒
角动量守恒是指在没有外力矩作用下，物体的角动量保持不变。
机械能守恒
机械能守恒是指在没有非保守力做功的情况下，系统的机械能保持不变。
三者之间的关系
这三个守恒定律都是基于物理系统的某些性质保持不变而提出的，它们有着联系和相互影响的关系。
动量守恒和角动量守恒可以通过物体的质量、速度、角速度、撞击力矩等参数相互转化和计算。
机械能守恒是在没有非保守力做功的情况下成立的，而非保守力做功会改变物体的动能和势能，从而改变机械能。
实例
例如，一个物体在真空中自由下落，由于没有空气阻力和其他阻碍，系统中既没有外力也没有外力矩作用。
在这种情况下，动量守恒、角动量守恒和机械能守恒三者都成立。
物体的动量保持不变，角动量保持不变，机械能（动能+势能）保持不变。
总结
▪动量守恒是指总动量保持不变。
▪角动量守恒是指物体的角动量保持不变。
▪机械能守恒是指系统的机械能保持不变。
以上就是动量守恒、角动量守恒和机械能守恒三者之间的关系的介绍。
角动量 角动量守恒定律
h
vN2 2g
1 2g
3mvM m 6m
2
h
3m m 6m
2
19
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P104例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心
O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于
水l/4平处位, 置并时背,离有点一O只向小细虫杆以的速端率点vvA0 0垂爬直行落. 设在小距虫点与O细为杆
14
4-3 角动量 角动量守恒定律
比较 动量
F
dP dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
P
mv
力 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
第四章 刚体转动
角动量
M
dL dt
t2
Mdt ΔL
t1
LMMrrp0F角L力动矩量0或或角动力量矩
其角速度为ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2)
J11 J22
(J1 J2 )
16
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P103例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
R
x
26
dP
F dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
力学知识点整理
力学知识点整理力学是物理学的一个重要分支，它研究的是物体的运动规律和力的作用关系。
在研究物体的运动规律和力的作用关系时，力学涉及到很多重要的知识点。
下面，我们就来整理一下力学的知识点，以便大家更好地掌握这门学科。
一、牛顿力学牛顿力学是力学的基础理论，主要涉及物体的运动规律、力的概念、力的平衡条件、动量定理、角动量定理、机械能守恒定律等内容。
以下是具体的知识点：1. 物体的运动规律：物体的速度在没有外力作用时不变，物体的位置、速度、加速度之间有着确定的关系，即牛顿第二定律F=ma。
2. 力的概念：力是物体作用于其他物体的作用，力的大小和方向分别用标量和矢量表示，力的叠加原理和分解原理。
3. 力的平衡条件：在力的作用下，物体的平衡状态有三种：静止、匀速直线运动、匀速圆周运动。
物体在这三种状态下都要满足力的平衡条件，即受到的合力为零。
4. 动量定理：物体的动量是质量和速度的乘积，动量定理是指物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量，即FΔt=Δ(mv)。
5. 角动量定理：物体的角动量是质量、速度和距离的乘积，角动量定理是指物体所受合外转矩的冲量等于物体角动量的增量，即NΔt=Δ(L)。
6. 机械能守恒定律：机械能守恒是指在没有非弹性碰撞的情况下，系统的机械能等于系统的初能与末能之和，即E1=E2。
二、刚体力学刚体力学研究的是刚体的运动规律和力的作用关系，其中包括刚体的平衡条件、刚体的转动、刚体的动量、角动量和机械能等内容。
以下是具体的知识点：1. 刚体的平衡条件：刚体的平衡有两种：平衡和不稳定平衡。
平衡状态下，刚体所受合外力和合外转矩均为零，且由等大反向的内力平衡。
2. 刚体的转动：刚体的转动可以绕固定轴转动和自由转动两种。
固定轴转动下，角度是描绘物体运动状态的重要指标，可用刚体的角速度、角加速度等进行描述。
自由转动下，刚体不围绕任何旋转轴旋转。
3. 刚体的动量：刚体的动量是刚体质量与速度之积，刚体在外力作用下，动量可以变化，变化量与外力冲量相等。
描述动量守恒、机械能守恒和角动量守恒定律。
描述动量守恒、机械能守恒和角动量守恒定律。
动量守恒定律是研究物体运动规律的重要基础，它可以完全描述质量和平衡性，解释并预测系统总动量的变化。
这个定律称为动量守恒，也叫受力定理，是物理学中最基本的定律之一，是物理学的核心。
动量守恒定律指的是在不受外力作用的情况下，物体的总动量保持不变，无外
力作用的条件下，物体运动的变化应满足总动量不变，用数学表示为: Momentum= Mass X Velocity
也就是说，如果物体整体的体积和质量是固定的，它的动量就将保持不变。
机械能守恒定律指的是物体在施加外力的情况下，机械能是保持定值不变，也
就是说，机械能会在系统内转化，但总数量不会改变。
机械能守恒定律是从动量定律和能量守恒定律中推导出来的，用公式表示为：
∆K = F·s,其中∆K为机械能变化量，F为作用在物体上的外力，s为外力作用
点在物体位移向量所取得的积分值。
角动量守恒定律指的是在外力作用的情况下，物体的角动量也是保持定值不变的，角动量守恒定律是一个要求物体在外力作用下保持恒定角速度的定律，它体现了物体围绕其轴心进行自旋旋转时，它能保持恒定角速度的能力，用公式表示为：
∆L = τ，其中∆L为角动量变化量，τ为作用于物体的外力矩。
总之，动量守恒定律、机械能守恒定律、角动量守恒定律都是研究物体运动规
律的重要定律，它们根据实际情况有所不同，但它们都是物理学中的基本定律。
机械能 角动量守恒
探路者无人飞船俯视火星
探路者飞船在火星着陆点地貌
海盗号和凤凰号
碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 .
ex in F F pi C
i
完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之 和不变 .
Ek Ek1 Ek 2 C
非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞
例 2 设有两个质量分别为 m1 和 m2 , 速度分别 为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方 向相同. 若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度 v1 和 v2 . 解 取速度方向为正向，由动 量守恒定律得 碰前
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 )
土星五号火箭
美国的土星 5 号是人类历
史上使用过的最高、最重、
推力最强的运载火箭，高 达110.6米，起飞重量 3038吨，总推力达3400吨 左右，可将 127 吨的有效
载重送上近地轨道。
中国神州飞船
空间实验室（Space Laboratory）是一种可重复 使用和多用途的载人航天科学实验空间站。前苏 联、美国和欧洲航天局已于20世纪七八十年代率 先研制成功出空间实验室。中国首个空间实验室 的主体“天宫一号”已于2011年9月29日21时16 分在酒泉发射升空。
v1
1 1 1 2 2 2 m mv1 m mv2 K l l0 2 2 2
一、质点系角动量定理
质点系统所受外力矩之和等于系统总 角动量的变化率。
t M 外dt dL 或： t M 外dt L L0
0
注：内力矩不改变系统总角动量，但使得角 动量系统内部重新分配。
大学物理第2章-质点动力学基本定律
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
力学中的机械能与动量
力学中的机械能与动量力学是物理学中的一个重要分支，研究物体运动的力学定律。
在力学的研究过程中，机械能和动量是两个核心概念。
机械能是物体在运动中具有的能量，而动量则是运动物体的特性之一。
本文将详细探讨力学中的机械能与动量的相关理论和应用。
一、机械能的概念与计算机械能是由物体的动能和势能组成的。
动能是物体由于运动而具有的能量，计算公式为：动能 = 1/2mv²，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
势能是物体由于位置而具有的能量，常见的势能有重力势能和弹性势能。
重力势能是物体在重力作用下具有的势能，计算公式为：重力势能= mgh，其中m为物体的质量，g为重力加速度，h为物体相对于参考点的高度。
弹性势能是物体由于形变所具有的势能，计算公式为：弹性势能 = 1/2kx²，其中k为弹性系数，x为物体的形变量。
机械能可以通过动能和势能的叠加来计算，公式为：机械能 = 动能+ 势能。
在一个封闭系统中，机械能的总量是守恒的，即机械能的增加或减少仅由物体内部的能量转化决定。
二、动量的概念与计算动量是物体运动的一个重要特性，用来描述物体的运动状态。
动量的计算公式为：动量 = mv，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
动量是一个矢量量，具有大小和方向。
根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以加速度，即：F = ma。
应用牛顿第二定律可以推导得到，物体动量的变化量等于物体所受力的大小乘以作用时间，即：Δp = FΔt，其中Δp为物体动量的变化量，F 为物体所受的合力，Δt为作用时间。
在一个封闭系统中，动量的总量也是守恒的，即系统内物体的动量之和保持不变。
这就是著名的动量守恒定律，它是力学中一个重要的基本定律。
三、机械能与动量的应用机械能与动量的理论不仅用于解释物体运动的规律，还有广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景：1. 碰撞问题：在物体碰撞过程中，机械能和动量的守恒原理可以帮助我们计算和分析碰撞结果。
动力学三大守恒定律
动力学三大守恒定律【知识专栏】动力学三大守恒定律1. 引言及概述动力学三大守恒定律是物理学中非常重要的概念，它们为我们理解和描述物体运动提供了基础规律。
这三大守恒定律分别是动量守恒定律、角动量守恒定律和能量守恒定律。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式来逐步探讨这三大守恒定律的背后原理和应用，以帮助读者更全面地理解这一主题。
2. 动量守恒定律2.1 动量的基本概念为了更好地理解动量守恒定律，首先需要了解动量的基本概念。
动量是物体运动的数量度，表示物体在运动过程中所具有的惯性。
动量的大小与物体的质量和速度相关，可以用数学公式 p = m * v 表示，其中 p 为动量，m 为物体的质量，v 为物体的速度。
2.2 动量守恒定律的表述根据动量守恒定律，一个封闭系统中物体的总动量在没有外力作用的情况下保持不变。
也就是说，如果一个物体的动量发生改变，那么系统中其他物体的动量总和将相应地发生改变，以保持系统的总动量守恒。
2.3 动量守恒定律的应用动量守恒定律在多个领域中都有应用，例如力学、流体力学和电磁学等。
在碰撞问题中，我们可以利用动量守恒定律来分析碰撞前后物体的速度和质量变化。
在交通事故中，通过应用动量守恒定律，我们可以了解事故发生时车辆的速度和冲击力对乘客的影响，并提出相应的安全建议。
3. 角动量守恒定律3.1 角动量的基本概念角动量是物体绕某一轴旋转时所具有的运动状态，它是描述物体旋转惯性的量度。
角动量的大小与物体的惯性和旋转速度相关，可以用数学公式L = I * ω 表示，其中 L 为角动量，I 为物体的转动惯量，ω 为物体的角速度。
3.2 角动量守恒定律的表述根据角动量守恒定律，一个封闭系统中物体的总角动量在没有外力矩作用的情况下保持不变。
即使系统中发生了旋转速度的改变，但系统的总角动量仍然保持恒定。
3.3 角动量守恒定律的应用角动量守恒定律在天体物理学、自然界中的旋转现象等领域中具有广泛的应用。
它被用来解释行星和卫星的自转、陀螺的稳定性以及漩涡旋转等自然现象。
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
04-3角动量定理(新)
16
9 m2v 2
L
θ = 94.18´
o
v
M
例题：质量为M 长度为L 的均质细杆可绕一水平轴自由
转动。开始时杆子处于铅直状态。现有一质量为m 的子 弹以水平速度v 射入细杆后而不复出。试求（1）子弹射 入细杆后系统的转动惯量（2）若细棒被击中后上摆的 最大角度为θ，求：子弹击中细棒前的速度。
2
＝ω （m 10 ＋ m 10 ） ＝ 200 mω
2 2
L＝20cm
等式的左边 ＝ 等式的右边
50 mω ＝ 200 mω
0
1ω 得：ω ＝ 4
0
例题：一根杆长l＝50cm ，可绕上端的光滑固定轴0在
竖直平面内转动，相对于0轴的转动惯量J＝5kg.m2, 原来杆静止并自然下垂。若在杆的下端水平射入质量 m＝0.01kg、速率为v = 400m/s的子弹并陷入杆内 此时杆的角速度为多少？ （练习册P9填充题1）
一个质量为m 的质点，绕 坐标中心0作半径为r 的圆 周运动，其线速度为v、 动 量p＝mv 且r⊥v 。
ω
o
z
L
y
d x
r
m
p＝mv
定义
L 为该质点m 对0的角动量。
L = mvd = m v r sin = p r sin L = r ×p
质点的角动量L 是个 矢量，有大小有方向 方向：遵守右手螺 旋前进法则 （右螺旋法则）
0
·
L
分析： 作为一个系统子弹和细杆所受的合外力
矩为0，所以系统角动量守恒。另外：子弹与细杆 是完全非弹性碰撞。 可列出方程：
动量,机械能,角动量守恒的条件
角动量守恒,动量守恒,机械能守恒,冲量守恒条件
动量守恒的条件：外力可以存在，但合外力为零；系统内力可以存在，但是他们合内力零。
机械能守恒条件：重力、弹力等势能性质的力以外的合力为零。
但是重力和弹力势能可以与动能相互转换。
角动量守恒条件：有名动量矩守恒，合外力矩为零，合外力不一定为零。
描述物体运动状况的有2条路线，牛顿发展的是动量变化等于合外力与时间乘积。
莱布尼兹发展的动能的变化是合外力与位移乘积。
2条发展路线争论了好多年，最后才知道2条路线都可以描述物体运动状态。
但是，后来发现动量不能描述旋转物体的状态，一个静止的圆盘和一个旋转圆盘，他们动量都为0，但是一个物体静止一个物体旋转无法区分，所以用角动量来描述物体的状态。
产生角动量守恒定律。
但是“系统所受合冲量为零”就是指整个过程总冲量和为零，不一定是每个微小的时间里都冲量为0，所以一般不说冲量守恒哦~。
4-3角动量 角动量守恒定律
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
跳水运动员
茹可夫斯基凳
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解 设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g
2 0
v0 (
Rh
)
12
1 612 m s
1
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
d r mv r F dt
所以
dL M＝ dt
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
4－3 角动量 角动量守恒定律
力对时间累积效应： 冲量、动量、动量定理． 力矩对时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
3机械能守恒和动量守恒
第 8 次课 日期 周次 星期 学时2授课内容：§3.1动能定理 机械能守恒定律 1．功； 2．势能；3、刚体转动时合外力矩的功；4、动能定理目的与要求:1．掌握功的定义及变力做功的计算方法，理解力矩的功； 2．掌握保守力和势能的概念，能计算几种常见保守力相关的势能； 3．掌握质点平动和刚体转动时的动能定理； 4. 掌握质点系的动能定理； 重点与难点：1．势能的理解和计算。
2．刚体的转动动能； 3．动能定理的理解和应用。
教学思路及实施方案：通过“力做功”这个具体问题的分析推导，引导学生掌握从简单到复杂、从特殊到一般、由抽象到实际的思维方式。
同时要求学生逐渐能够把数学工具使用到物理中来。
要求学生能够总结出一些常见的势能和动能的处理方式。
§ 3.1 动能定理、机械能守恒定律 一、力对空间的累积效应——功（强调：由浅入深、由抽象到实际的物理思想；与中学相比多了变量的概念和矢量的概念）1、恒力对匀速直线运动物体的功：cos A Fs F s F s τθ===⋅v v2、变力对直线运动物体的功：（涉及一套分析方法）cos .dA F ds θ=（在图中分析）元功：功：222111cos s s s s s s A F ds F ds F dsτθ=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰v v ，举例：漏水桶提水，F 是随着位置变化的。
示功图：F s -图，物理含义：曲线下的面积表示功。
3、变力对曲线运动物体所做的功：元功：cos i i i i A F s θ∆=⋅∆，总功：1cos i i i ii A A F s θ==∆=⋅∆∑∑一般情况：cos b bba a a A F ds F ds F dsτθ=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰v v（引导学生区分：中学计算公式比较，力和路径均是变化的，而且加强矢量的概念）4、功率：cos cos dA F dsN Fv F v F v dt dt τθθ⋅====⋅=v v举例：汽车上坡需牵引力增大，加油门→功率p ，换档→牵引力F 、对应改变速度v5、保守力的功 （1）、重力的功全程的功：i i A A mg h mgh=∆=∆=∑∑重力做功的特点：重力做功与运动路径无关，只与始末位置有关。
角动量 角动量守恒(3-4,8节
v2 c2
dt
3 相对论动能 Ek mc 2 m0c2
v c
Ek
1 2
m0 v 2
4 相对论质能关系
E mc2
二 确定性与随机性
确定性： 牛顿力学具有内在随机性：
三 能量的连续性与能量的量子化
普朗克提出一维振子的能量
E nh (n 1,2,3)
爱因斯坦认为光子能量 h
FTd
1 2
mv2
1 2
mv02
物体由静止开始下落 v0 0, 0 0
FN
o P'
FT
FT
m
P
并考虑到圆盘的转动惯量 J 1 mR2 2
v R
解得
v 2 mgh
m 2gh
m 2m (m' 2) m
例2 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由
dt dL
dt r dp
r
F
dt
dt
dt
M
dL
dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
讨论
子细 弹绳
o
击质
入量
沙不 袋计
v
子 弹
o
击
入
杆
v
圆
o'
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
4_3角动量 角动量守恒定律
m
14
第四章 刚体的转动
4-3角动量 角动量守恒定律
3 刚体定轴转动的角动量原理 d ( mi ri 2 ω ) dLi 质点mi 所受合力矩：M i = = dt dt
所有 质 点 所 受 合 外 力矩 ：
zω
O
ri
mi
vi
1 r0 L0 = mr ω0 = mr02 ω L = m ω 4 2 1 2 2 mr0 ω0 = mr0 ω ω = 4ω 0 4 3 2 2 由质点的动能定理 W = E k − E k 0 = mr0 ω0
v
θ
r
p = mv
r sin θ = d
2
第四章 刚的转动
§4-3 角动量 角动量守恒定律 一 角动量 1 质点的角动量 r：质点m的位矢; p：质点m的动量 θ：r 与p的夹角；d：参考点到p的距离 质点相对于原点 相对于原点的 质点相对于原点的角动量
4-3角动量 角动量守恒定律
z
L
p = mv
o Jr L= ω
m
3
第四章 刚体的转动
4-3角动量 角动量守恒定律
质点的角动量与参考点的位置有关， 质点的角动量与参考点的位置有关，在计 算质点的角动量时必须说明参考点的位置。 算质点的角动量时必须说明参考点的位置。 2 刚体定轴转动的角动量 质量 元 m i 相 对 于转 轴 的 角动 量 ： Li = mi ri vi 注意
dL 问题： 问题： =? dt L=r× p
4-3角动量 角动量守恒定律
合力矩
dt
质点的角动量原理
dL M= dt
作用于质点的合力对参考点 的力矩 作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该 参考点 的力矩， 点O的角动量随时间的变化率。 的角动量随时间的变化率。 随时间的变化率
3机械能守恒和动量守恒
（1）、重力的功
全程的功： A Ai mg hi mgh
重力做功的特点：重力做功与运动路径无关，只与始末位置
有关。
? 即沿闭合路径，重力做功为零。即： A
mg
ds
0
例如：人手托着物体，绕某一曲线运动一周，重力做功为 0；人手的作用力做功也为 0，即
人手力没有做功。如果考虑摩擦力，则人的手做了功的。
满足定律：动量守恒
e v2 v1 根据牛顿碰撞定律：对心碰撞的恢复系数 v10 v20 ， 0 e 1
其中 v2 v1 两球碰后的分离速度。 v10 v20 两球碰前的靠近速度
特例：如果 e 0 ，则 v2 v1 ，即两球碰后粘在一起。完全非弹性碰撞刚好是非完全弹性 碰撞的特例： e 0
ds
m
dv dt
ds
mvdv
A
功：
F
ds
vb va
mvdv
1 2
mvb2
1 2
mva2
结论：质点动能定理：合外力的功等于质点动能的改变。
2、质点系的动能定理
外力对系统的总功与内力对系统的总功之和等于系统总动能的增加。
公式： A外 Anei Ek 2 Ek1 （ Ek 2 、 Ek1 对应系统内所有质点的末、初总动能）
第 8 次课 日期
周次
星期
学时 2
授课内容： §3.1 动能定理 机械能守恒定律 1．功； 2．势能； 3、刚体转动时合外力矩的功； 4、动能定理
目的与要求: 1．掌握功的定义及变力做功的计算方法，理解力矩的功； 2．掌握保守力和势能的概念，能计算几种常见保守力相关的势能； 3．掌握质点平动和刚体转动时的动能定理； 4. 掌握质点系的动能定理；
第03章 动量与角动量
px py
px0 py0
pz
pz0
(I x 0) (I y 0) (I z 0)
➢ 若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒 ➢ 外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸
.
二. 碰撞过程中的动量守恒现象
1、两个或两个以上的物体发生时间极为短暂的 相互作用过程叫碰撞。
2、碰撞的特点：作用时间极为短暂。
普遍成立
dt
.
2.2 动量定理
F d d p tF d td p tt0F d tp p 0d p
Ip p 0
质点动量的增量等于合力对质点作用的冲 量 —— 质点动量定理
I
x
I y
px py
p0x p0y
I
z
pz
p0z
➢ 动量定理反映了力对时间的积累效应
.
2.3 平均冲力
I mg(t2 t1)I反冲0
I反冲mg(t2 t1)
.
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面 所受链条的作用力？
解设
ml
l
m L
l
链条在此时的速度 v 2g(lh)
Lm
h
dm
根据动量定理 fdt0(vdt)v
完全弹性对心碰撞过程中的守恒量：
动量守恒 机械能守恒
F内>>F外，且作用时间短， 外力的冲量可以忽略不计。
.
例: 在一个半径为R的固定光滑球面的顶点处有一个质量为 M的静止木块。现有一质量为m的子弹以速度v0水平射入木 块之中，然后与木块一起沿着球面下滑。试求：1、木块飞 离球面时，其连线与竖直方向的夹角；2、子弹的初速度为
动量守恒角动量守恒机械能守恒三者之间的关系
动量守恒、角动量守恒和机械能守恒三者之间的关系概述在物理学中，动量、角动量和机械能是三个重要的物理量，它们分别描述了物体的运动状态、旋转状态和能量状态。
这三个物理量都有一个共同的特点，就是在一定的条件下，它们都是守恒的，即不随时间变化。
这些条件通常是指系统不受外力或外力矩的作用，或者外力或外力矩对系统做的功或做的角功为零。
这些条件也可以称为系统是孤立的或封闭的。
动量守恒、角动量守恒和机械能守恒是物理学中最基本和最普遍的定律之一，它们反映了自然界中存在的一种对称性和不变性。
这些定律可以用来分析和解决许多物理问题，例如碰撞、转动、振动、轨道运动等。
在这篇文章中，我们将介绍这三个定律的含义、推导和应用，并探讨它们之间的关系。
动量守恒定义动量是一个矢量物理量，表示物体运动状态的大小和方向。
动量的定义公式为：→p=m→v其中，→p是动量，m是质量，→v是速度。
根据定义，可以看出动量与质量和速度都有关，如果物体的质量或速度发生变化，那么动量也会发生变化。
动量守恒定律是指，在一个孤立系统中，系统内各个物体之间相互作用时，系统总动量不随时间变化，即：→P=n∑i=1→p i=常数其中，→P是系统总动量，→p i是第i个物体的动量，n是系统内物体的个数。
根据定义，可以看出动量守恒定律要求系统内没有外力作用，或者外力对系统做的功为零。
推导动量守恒定律可以从牛顿第二定律推导出来。
牛顿第二定律是指，在一个惯性参考系中，物体所受合外力与其质量乘以加速度成正比，即：→F=m→a其中，→F是合外力，→a是加速度。
根据定义，可以看出合外力与加速度都是矢量物理量，方向相同。
对于一个孤立系统中的任意两个物体A和B，根据牛顿第三定律（作用力与反作用力大小相等、方向相反），我们有：→FAB=−→F BA其中，→F AB是A对B的作用力，→F BA是B对A的反作用力。
由于系统内没有其他外力作用，所以这两个力就是系统内各个物体所受的合外力。
第3章刚体转动动能和角动量
17
牛顿力学的知识结构
外 力 牛 顿 第 二 定 律
F = dP dt M = dL dt
力 对时间累积
动 量 守 恒 作 功 机 械 能 守 恒 外 力 矩 为 零 角 动 量 守 恒
18
力对时间累积
为 牛 顿 第 三 定 律
12 21
df = µ gdm m σ= 2 dm = σ 2π rdr πR 2 R 2 M = − ∫ µσ 2π gr dr = − mg µ R 0 3 2π 4π A = ∫ Mdθ = − mg µ R 0 3 dM = −rdf
Байду номын сангаас
r
6
光滑， 例2：已知：均匀直杆质量为 ，长为 ，轴o光滑， ：已知：均匀直杆质量为m，长为l， 初始静止在水平位置。 AO = l / 4 初始静止在水平位置。
ω0 例1：在摩擦系数为µ桌面上有 细杆， 细杆，质量为 m、长度为 l， 、 ， m, l o 以初始角速度 ω0 绕垂直于杆 的质心轴转动， 的质心轴转动，问细杆经过多 µ 长时间停止转动。 长时间停止转动。 以细杆为研究对象，受力分析， 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
刚体定轴转动动能 角动量
1
转动中的功和能
一、力矩的功
设刚体上P点受到外力 的作用， 设刚体上 点受到外力 F 的作用， 点受到 位移为 d r , 功为 d A ,
z
0′
F ∥
r
F
F⊥
0′
dθ
dr
P
r
P
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方向 向下
大小不变，但方向不断变化。是变力。 方向沿 X 轴正向 可应用动量定理积分形式，合外力的冲量 的大小为 故
重力
本题的合外力是向心力
由a到b 绕行半周 的 冲量 的 冲量
对应的冲量式为 方向 可用 于是 待求 已求 标识 然后合成 求出 的 大小和方向
7
原子系统衰变，内力远大于外力（重力） 系统动量守恒。 选实验室坐标系
动能
系统动量守恒
系统动能并不守恒
变质量问题
物体 速度 惯性 质量
真空 光速
经典物理中的质量变化问题
喷出燃料
主体质量不断减少
（但构成物体的原子、分子的数量并没有改变）
变质量问题的牛顿定律可用
运行装料
主体质量不断增加
此类问题并非惯性质量随速度 而变，而是物质的流动称为质量 的流动问题。
将在相对论中进一步介绍
例
×1×1
1×9.8×0.5
×500×0.2
5.4
10
4.6 J
例
下
上
压
下
压
压
下
压
上
上 压
机械能
根据 功能原理
机械能守恒定律
本章只讨论了机械能守恒定律. 如果将自然界中其它形式的能量(如热能,电磁能,化学能,核能等)都考虑 在内,并且将整个宇宙看作是一个系统,则系统的能量是守恒的. 在物理学中,将一个不与外界交换能量的系 统称为封闭系统,在封闭系统内部,无论发生何种变化过程,各种形式的能量均可相互转化,但系统的总能量 不变,这一普遍规律称为能量守恒定律.
证明
定律证明书例10
无限小
思考
第五节
引入
功和功率
恒力
位移 夹角
变力的功
合力的功
例
例
例
二维变力的功
例
功率
例
动能
动能定理
例
重点：动能定理 在直线运动中的应用
变力
例如：
1kg
1.5 ( J ) 1.5
处的速度
( m/s )
例
2m
(10 - 0.2×2×9.8)×2
0.2×2×9.8
大小不变，但方向不断变化。是变力。
可应用动量定理积分形式，合外力的冲量
重力
本题的合外力是向心力
由a到b 绕行半周
的 冲量 的 冲量
对应的冲量式为 于是 待求 已求 然后合成 求出 的 大小和方向
6
一周期
绕行半周历时 重力的冲量
半锥角 绳张力 速率 不变
其中 方向 向下
为恒力，其冲量 合外力的冲量
取XY 大小 坐标系
13
人拉
匀速 提升 过程 漏水量
人力、重力和位移均在Y 轴 重力反 Y 正向为负
设任一高度 水量为
轻 桶 轻 绳
k
匀速上升
kg k m H
提升到 井口 人力 作的功
得
k
k k
题设
10kg
10m 代入得
0.2kg /m 882 J
14
X 轴上运动标量式 … (★)
若其加速度表达式为 由 (★) 分离变量取积分得
因 故矢积为零
答案:
微分形式
即
积分形式
质点的角动量定理表明，合外力矩是引起角动量变化的原因。 合外力矩的时间积累效果（冲量矩）可用角动量的增量来量度。
角动量定理也只有在惯性系中才适用。
角动量守恒定律
例
可直观看出
变短时， 小球速率变快。
若设法进行测量，可发现
两边乘
，即角动量守恒
模拟演示
例
则
3
由
得
计算出大 小和方向
= 0.3 kg = 30 m • s -1 = 20 m • s -1 = 135º 接触时间 = 0.02s
以
694.5 (N)
的方向是 的方向
标识，用平面三角中的正弦公式
可算得
17º 47´
4
5
一周期
绕行半周历时
半锥角 绳张力 速率 不变 大小
为恒力， 其冲量
方向 向下
忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱，两人等速上升。
若
系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
同高从静态开始 往上爬
例12
只在 X 方向作直线运动
根据已知条件 需要换元求解
得 由 故 得
最初 2 秒 内 此力作的功。
特例
垂直纸面向里
垂直纸面向外
例
例
椭圆轨道上的行星
变 变
变
运动质点的角动量服从什么力学规律 ？… … 首先需要了解关于力矩的矢量定义:
力矩
j < 180°
平面三角公式
第四节
角动量定理
第四节
回顾: 问: 推理:
这是因为一般情况下 得
和
都随时间变化 ,在矢量函数求导中
也要运用类似的微分法则 即 两个同方向矢量的叉乘
（4） 以上结果都不对。
链接4
两人质量相等
（1）两人同时到达；
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
（2）用力上爬者先到；
（3）握绳不动者先到；
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4） 以上结果都不对。
链接5
质点系 若 系统的末 态角动量 得
终点线
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
（2）用力上爬者先到；
（3）握绳不动者先到；
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4） 以上结果都不对。
链接2
两人质量相等
（1）两人同时到达；
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
（2）用力上爬者先到；
3
2.0 ×103 m/s
喷气流量
方向沿X 轴 作用于火箭 水平方向式 中末项为零
燃料烧尽火箭末速算式
125 kg/s
火箭初速
1.0 ×102 m/s
火箭受到的反推力
2.0
×103
2.0
×103
-1
12.9 12.9 9.0 )
燃料烧尽火箭末速
s 2. 5 × 10 3( m ·
例11
续
互动选择题
名言
第三章
前言
本章内容
第一节
力的冲量
变力的冲量
质点的动量
动量定理
积分形式
分量式
平均冲力
方 便
冲力图示
例
例
例
思考
第二节
质点系
系统动量定理
微积分形式
例
忽略道轨摩擦
y y 轨受 y
动量守恒定律
说明
例
例
思考
续
例
例
第三节
引入
量角动
又称
q
O
q < 180 °
在本节中讨论。
火箭运动
应用质点系的动量定理
时刻系统动量 时刻系统动量
（ 箭 对 地 ）
（ 箭 对 地 ）
设合外力为 现作用时间 则冲量为
本身 为负 （ 气 对 箭 ）
气对地为
是质量的流 动基本方程
称
密歇尔斯基方程
续
（ 箭 对 地 ）
（ 箭 对 地 ）
是质量的流 动基本方程
称
密歇尔斯基方程
展开，代入整理后可得
X 正向
9
喷出率 砂相对喷船速度
t = 0 时 静止
u
净质量
m 10
开始喷砂时，货船受砂冲量而前进。 喷砂船时刻同速尾随保持船距不变。
喷砂机动船
无动力货船
任意时刻
平静湖面 忽略阻力
货船的速度。 X
选 货船 和 喷出的砂 为系统 沿水平 （地面坐标系 X ）方向无外力。
设某时刻 货船速度为
其质量为 时间内喷砂质量为
本身 为负 （ 气 对 箭 ）
则
称为火箭的 质量比 。 的途径是 ：提高 获得更大的
气对地为
和提高 质量比。
续
火箭、燃气系统水平合外力为零
（忽略阻力）
根据火箭运 动微分方程 则水平方向 火箭受到的反推力大小为
初始总质量
12.9 T
其中含燃料质量
9.0 T
喷气速率
2.0 ×103 × 125 2. 5 × 10 ( T )
。
动量
剩 余 核 中微子静止 放射性原子核 电子
设 剩余核 反冲动量为
动量 发生衰变
。
= 6.4×10 -23 kg · · - 1 m s
= 1.2×10 -22 kg · · - 1 m s
即
大小
则
-22
-1
剩余核反冲动量 大小和方向
方向
以
标识
间的夹角
。
。
118 º6 ’
8
mb
ma
空车质量 m10
两人质量相等
（1）两人同时到达；
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
（2）用力上爬者先到；
（3）握绳不动者先到；
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4） 以上结果都不对。
链接1
两人质量相等
（1）两人同时到达；