3.2 动量算符和角动量算符

作 换 px ⇔ x，p′ ⇔ x0， 代 ： 则 x 1 δ ( px − p′ ) = x ∫−∞ e 2πh i
∞ i ( px − p′ ) x x h
dx
1 ∞ h px ( x−x0 ) δ (x − x0 ) = dpx ∫−∞ e 2πh
性质
f (x)δ (x − a) = f (a)δ (x − a)
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
r L rA′ ≡ − , y, z 2
y A
r L rA ≡ , y, z 2
ce
i L [ px + py y+ pz z] h 2 i −L [ px + py y+ pz z] h 2
x = r sin θ cosφ, tanφ = y / x sin φ 1 ∂φ x tanφ = y, +x =0 cosφ cos2 φ ∂x
∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂φ = + + ∂xi ∂r ∂xi ∂θ ∂xi ∂φ ∂xi
∂ ∂ ∂r ∂ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂ ∂ ∂r ∂ 或 = + ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂ ∂ ∂r ∂ = + ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂θ ∂ + ∂φ ∂x ∂θ ∂ + ∂y ∂φ ∂θ ∂ + ∂z ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z
∂r n ∂x = si θ cosφ ∂r n n = si θ si φ ∂y ∂r = cosθ ∂z
∂θ 1 = cosθ cosφ r ∂x 1 ∂θ = cosθ sinφ r ∂y ∂θ 1 = − sinθ r ∂z
x = r sin θ cosφ, r2 = x2 + y2 + z2 ∂r ∂r x 2r = 2x, = = sin θ cosφ ∂x ∂x r
A’ o z
L
= ce
x
由 得 此 ：
e
i px L h
=1
于 有 是 ：
2πhnx 1 px L = 2πnx ⇒ px = h L nx = 0,±1 ±2,L ,
这表明，px 只能取分立值。换言之，加上周 期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。
同 ： y= 理 p
2πhny
L ny , nz = 0,±1 ±2,L ,
定义
0 δ (x − x0 ) = ∞
x ≠ x0 x = x0
∞
0
x0
x
或
∫
x0 +ε
x0 −ε
δ (x − x0 )dx = ∫ δ (x − x0 )dx =1
−∞
(ε > 0)
或等价的表示为：对在x=x0 邻 域连续的任何函数 f（x）有：
∫
∞
−∞
f (x)δ (x − x0 )dx = f (x0 )
d ˆ py = −ih dy d ˆ pz = −ih dz
（2）动量本征方程
r r r r r −ih∇ψ p (r) = pψ p (r )
其分量形式
r r ∂ r r − ih ∂x ψ p (r ) = pxψ p (r ) r r ∂ r (r ) = p ψ r (r ) − ih ∂y ψ p y p r r ∂ r (r ) = p ψ r (r ) − ih ∂z ψ p z p
x = r sin θ cosφ y = r sin θ sin φ z = r cosθ
ˆ ∂ ∂ + cotθ cosφ ] Lx = ih[sin φ ∂θ ∂φ ˆ ∂ ∂ − cotθ sin φ ] Ly = −ih[cosφ ∂θ ∂φ 代入 ∂ ˆ Lz = −ih ∂φ ∂ ∂ ∂2 1 1 2 2 ˆ L = −h [ (sin θ )+ ] 2 2 ∂θ sin θ ∂ θ sin θ ∂ φ
ϕ 球 坐 标
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂φ = + + ∂xi ∂r ∂xi ∂θ ∂xi ∂φ ∂xi 其 中 x1, x2 , x3 = x, y, z
复合函数的微分
将（1）式 两边分别对 x y z 求偏 导数得：
（4）简并和本征值的简并度 ）
ˆ = yp − zp = −ih( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy Lx ∂z ∂y ˆ = zp − xp = −ih( z ∂ − x ∂ ) ˆx ˆz Ly ∂x ∂z ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ Lz = xp y − yp x = −ih( x − y ) ∂y ∂x
∂ 1 ∂ 1 sin φ ∂ ∂ = sin θ cos φ + cos θ cos φ − ∂x ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂ 1 ∂ 1 cos φ ∂ ∂ = sin θ sin φ + cos θ sin φ + ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂y ∂ ∂ 1 ∂ − sin θ +0 = cos θ ∂z ∂r r ∂θ
ψ ψ =ψ px ( x) py ( y) pz (z)
= c1e = ce
i h i h
px x
c2e
i h
py y
c3e
i h
pz z
r r p•r
这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数
∫
（4） 归一化系数的确定
∞
−∞
r r r (r )dτ ψ (r )ψ p
* r p
∫ ∫
∞
−∞ ∞
e e
i r r − h p′•r
e
i h
dτ
r r r i ( p p′ ) r − • h
归一化为δ-函数，意味着什么？ 动量的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为δ-函数。 任何一个实际的波函数都不可能是严格的平面波，而应该是某种 形式的波包。
Dirac
δ—函数
δ ( x − x0 )
δ—函数的 Fourier 积分形式
1 2π
∫
∞
−∞
δ (x − x0 )e
−ikx
1 −ikx0 dx = e 2π
1 δ (x − x0 ) = 2π
∫
∞
−∞
1 ikx −ikx0 1 ∞ e e dk = dkeik( x−x0 ) 2π ∫−∞ 2π
令 k=px/h, dk= dpx/h, 则
i
代入动量本征方程分量形式且等式两边除以该式，得：
−h ψ (ix) dψ ( x) = px dx −ih dψ ( y) ψ ( y) dy = py −ih dψ ( z ) ψ ( z ) dz = pz
于是
r ψ (r ) =ψ ( x) ( y) (z) ψ ψ
r p
δ (−x) = δ (x)
1 δ (ax) = δ (x) | a|
∫
∞
−∞
δ ( x − a)δ ( x − b)dx = δ (a − b)
xδ ( x) = 0 xδ ( x − a ) = aδ ( x − a )
（5）箱归一化 ） 据上所述，具有连续谱的本征函数不能归一化为一，而只能 归一化为δ-函数。但，如果加上适当的边界条件，则可以 用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。
将（2）式 两边分别对 x y z 求偏 导数得：
cosθ = z / r, r cosθ = z,
∂r = sin θ cosφ ∂x ∂r ∂θ ∂z cosθ + r sin θ = ∂x ∂x ∂x
将（3）式 两边分别对 x y z 求偏 导数得：
∂φ 1 sinφ =− r sinθ ∂x 1 cosφ ∂φ = r sinθ ∂y ∂φ =0 ∂z
得
∂ ∂ x = sin θ cos φ ∂ = sin θ sin φ ∂y ∂ ∂ = cos θ − ∂r ∂z
∂ ∂ 1 1 sin φ + cos θ cos φ − ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ∂ 1 1 cos φ + cos θ sin φ + ∂r r ∂θ r sin θ ∂ 1 sin θ +0 r ∂θ
=| c | =| c |
r r p•r
2
2
∫
∞
−∞
r r r (r )d ψ (r ) p ψ τ
* r p′
∫ ∫
∞
−∞ ∞
e
i r r −h p•r
e
r r i p•r h
dτ
பைடு நூலகம்
−∞
dτ
发 散
=| c |
2
dτ r r 2 3 =| c | (2πh) δ ( p − p′) =| c |2
−∞
(3) 求解动量本征方程
r r ψ ψ 采用分离变量法，令： ψ p (r ) =ψ (x) ( y) (z)
( x) = c1e h px x ≡ψ p ( x) ψ x i p y h y ψ ≡ψ py ( y) ( y) = c2e i p z h z ψ ≡ψ pz (z) (z) = c3e
∂ ∂φ ∂ ∂φ
角动量算符在球 坐标中的表达式
∂ ∂ ˆ ˆ ˆ Lx = yp z − zp y = −ih( y − z ) ∂y ∂z ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ Ly = zp x − xp z = −ih( z − x ) ∂x ∂z ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ Lz = xp y − yp x = −ih( x − y ) ∂y ∂x