动量算符角动量算符

２、角动量平方算符定义：
v2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L = L2 = Lx 2 + Ly 2 + Lz 2 ∂ ∂ 2 ∂ ∂ 2 ∂ ∂ 2 −h ( y − z ) + ( z − x ) + ( x − y ) (14) = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z
2
利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 ( x, y, z ) → (r ,θ , ϕ )
x = r sin θ cos ϕ r 2 = x 2 + y 2 + z 2 y = r sin θ sin ϕ θ = z / r cos (15) z = r cos θ tanϕ = y / x z
可得
ˆ = ih(sin ϕ ∂ + ctgθ cos ϕ ∂ ) Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih(cos ϕ ∂ − ctgθ sin ϕ ∂ ) Ly (16) ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih ∂ Lz x ∂ϕ
θ
y
ϕ
和
∂2 ˆ L2 = −h 2 2 (17) z ∂ϕ
1 ∂ ∂ ∂2 1 ˆ L2 = − h 2 (sin θ )+ 2 (18) 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ ˆ ˆ ３、角动量 z 分量算符 Lz ： Lz = −ih ∂ (16)′ ∂ϕ
i v v v ψ p (r ) = C exp( p ⋅ r ) 求归一化常数 C ？ h
i = C ∫ ∫ ∫ exp ( px − px′ ) x + ( p y − p y′ ) y + ( pz − pz′ ) z dxdydz h −∞ −∞ −∞
i ′ ) x dx = 2π hδ ( px − px′ ), 其中δ ( px − px′ ) Q ∫ exp ( px − px －∞ h
m
N lm 由 Ylm (θ,ϕ) 的归一化条件定出：
∫ ∫
0
π
2π
0
∗ Ylm (θ , ϕ )Ylm (θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ = 1 (22)
(l − m )! 2l + 1 得 N lm = (23) (l + m )! 4π
所以，角动量平方算符的本征值是l (l + 1)h 2，本征
函数是式(20)所属的球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) ： ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1) h 2Ylm (θ , ϕ ) (24) 本征方程(24)是式(18)的简化表示。
ˆ ６、角动量 z 分量算符 Lz 的本征值方程
ˆ L z Ylm (θ , ϕ ) = m h Ylm (θ , ϕ ) (25)
３、动量本征值的分立化：箱归一化
设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即
L L ψ (− , y, z ) = ψ ( , y, z ) 2 2 i 1 i 1 C exp (− px L + p y y + pz z ) = C exp ( px L + p y y + pz z ) (5) h 2 h 2 px L i 或 exp ( px L) = 1 = 2nxπ , nx = 0, ±1, ±2, ±3L (6) h h
ˆ Lz 算符的本征值为 mh ，本征函数为 Ylm (θ , ϕ ) 。
７、角量子数与磁量子数
(24)式中 l 表示角动量的大小， l 称为角量子数，而
m m 则称为磁量子数。对于一个 l ， = 0, ±1, ±2,L ± l ，共
ˆ 可取 (2l + 1) 个不同值，即对于Lz 的一个本征值 l (l + 1)h 2
(20) 数中断成为多项式：λ = l (l + 1) l = 0,1, 2,L
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) ：
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl (cos θ )eimϕ m = 0, ±1, ±2,L ± l (21)
m
N Pl (cos θ ) 是缔合勒让德多项式， lm 是归一化常数。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
1
v ψ (r , t ) =
v v i ( p ⋅r − Et ) 1 eh (11) 3 (2π h) 2
v v 测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
二、角动量算符
v v v ˆ ˆ １、定义：角动量算符 L = r × p (12)
1 s态 : Y00 = p态 : 4π
3 Y1,1 = sin θ eiϕ 8π Y1,0 = 3 cos θ 4π
3 Y1,−1 = sin θ e− iϕ 8π
2π h 2π h 2π h , py = , pz = 相邻两个分立值的差： px = L L L 当 L → ∞ 时， px → dpx , p y → dp y , pz → dpz , 分立
值
连续谱。
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化 为１，归一化常数 C =
1 L
3 2
，即
i v v ψ p = 3 exp p ⋅ r (10) h L2 L L 1 L v v 2 2 2 ∗ 证： ∫ψ p′ (r )ψ p (r )dτ = L3 ∫− L2 dx ∫− L2 dy ∫− L2 dz = 1 这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件 归一化方法，称为箱归一化。
，有 (2l + 1) 个不同的本征函数 Ylm (θ , ϕ ) 。
l = 0,1, 2,3L 分别称为s态并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
ˆ L2 本征值是 (2l + 1) 度简并的。
９、球谐函数的例子：
∂2 ˆ L2 = − h 2 z 2 ∂ϕ
４、角动量平方算符的本征值方程：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 Y (θ , ϕ ) = λ h 2Y (θ , ϕ ) −h 2 (sin θ )+ 2 (18) 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 或 (sin θ )+ 2 Y (θ , ϕ ) = −λY (θ , ϕ ) (19) 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
＋∞
是以px − px′为宗量的δ 函数。
v v ∴ (r )ψ p (r )dτ ∫ψ
∗ p′
(2π h)3 C 2δ ( px − px′ )δ ( p y − p y′ )δ ( pz − pz′ ) = v v′ 2 3 C (2π h) δ ( p − p ) =
∴ 如果取 C 2 =
i v v v 它们的解是 ψ p (r ) = C exp( p ⋅ r ) (2) h v 本征值 ( px , p y , pz ) → p 可取所有实数，构成连续谱。
２、动量本征函数的归一化
v v (r )ψ p (r )dτ 计算积分： ψ ∫
∗ p′ +∞ +∞ +∞ 2
ˆ Y (θ , ϕ ) 是 L2 算符属于本征值λ h 2 的本征函数。 其中，
５、角动量平方本征值方程的解
方程(19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要 求 Y (θ , ϕ ) 在 θ，ϕ 变化的范围都能取有限值。
θ : (0, π ) ϕ : (0, 2π )
必须取限制条件确定本征值 λ ，才可以使无穷级
分量式为
ˆ = yp − zp = h ( y ∂ − z ∂ ) = −ih( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy Lx i ∂z ∂y ∂z ∂y ˆ = zp − xp = h ( z ∂ − x ∂ ) = −ih( z ∂ − x ∂ ) (13) ˆx ˆz Ly ∂z ∂x ∂z i ∂x ˆ = xp − yp = h ( x ∂ − y ∂ ) = −ih( x ∂ − y ∂ ) ˆy ˆx Lz i ∂y ∂x ∂y ∂x
数。
∗ p′
1 δ函 3 ，则动量本征函数归一化到 (2π h)
v v v v 即 ∫ψ (r )ψ p (r )dτ = δ ( p − p′) (3) 1 i v v v exp( p ⋅ r ) (4) 其中 ψ p (r ) = 3 h (2π h) 2 v 为什么 ψ p (r ) 不能归一化为1，而是归一化为 δ 函数： v 这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任 意实数，动量本征值构成连续谱。
这样p x 只能取分立值：
2π h p x = nx nx = 0, ±1, ±2,L (7) L
L L 同理，根据周期性条件 ψ ( x, − , z ) = ψ ( x, , z ) 和 2 2 L L ψ ( x, y, − ) = ψ ( x, y, ) 可得到 2 2 2π h p y = ny , n y = 0, ±1, ±2,L (8) L 2π h p z = nz , nz = 0, ±1, ±2,L (9) L
§3.2 动量算符和角动量算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
v v v −ih∇ψ p (r ) = pψ p (r ) (1)
函数。
v v p 是动量算符的本征值， ( r ) 是属于此本征值的本征 ψp
分量式：
∂ v v −ih ψ p (r ) = pxψ p (r ) ∂x ∂ v v −ih ψ p (r ) = p yψ p (r ) ∂y ∂ v v −ih ψ p (r ) = pzψ p (r ) ∂z