2018年6月浙江省学业水平考试数学

1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则A B =（ ）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,3} 答案： B解答：由集合{1,2}A =，集合{2,3}B =，得{2}AB =.2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（ ） A. (1,)-+∞ B. [1,)-+∞ C. (0,)+∞ D. [0,)+∞ 答案： A解答：∵2log (1)y x =+，∴10x +>，1x >-，∴函数2log (1)y x =+的定义域是(1,)-+∞. 3. 设R α∈，则sin()2πα-=（ ）A. sin αB. sin α-C. cos αD. cos α- 答案： C解答：根据诱导公式可以得出sin()cos 2παα-=.4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）B. 4倍C. 6倍D. 8倍 答案： D解答：设球原来的半径为r ，则扩大后的半径为2r ，球原来的体积为343r π，球后来的体积为334(2)3233r r ππ=，球后来的体积与球原来的体积之比为33323843r r ππ=.5. 双曲线221169x y -=的焦点坐标是（ ） A. (5,0)-，(5,0) B. (0,5)-，(0,5) C.(， D.(0,， 答案： A解答：因为4a =，3b =，所以5c =，所以焦点坐标为(5,0)-，(5,0). 6. 已知向量(,1)a x =，(2,3)b =-，若//a b ，则实数x 的值是（ ） A. 23- B.23 C. 32-D. 32答案： A解答：(,1)a x=，(2,3)b=-，利用//a b的坐标运算公式得到320x--=，所以解得23x=-.7.设实数x，y满足230x yx y-≥⎧⎨+-≤⎩，则x y+的最大值为（）A.1B.2C.3D.4答案：B解答：作出可行域，如图：当z x y=+经过点(1,1)A时，有ax2mz x y=+=.8.在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知45B =，30C =，1c=，则b=（）A.2B.C.D.答案：C解答：由正弦定理sin sinb cB C=可得sin1sin4521sin sin302c BbC⋅︒====︒9.已知直线l，m和平面α，mα⊂，则“l m⊥”是“lα⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B解答：因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线”，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。

10. 要得到函数()sin(2)4f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）A. 向右平移8π个单位 B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位D. 向左平移4π个单位答案： A解答：因为()sin(2)sin 2()48f x x x ππ=-=-，所以要得到()sin(2)4f x x π=-的图象只需将()sin 2g x x =的图象向右平移8π个单位.11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则βα-的值（ ） A. 与m 有关，且与n 有关 B. 与m 有关，但与n 无关 C. 与m 无关，且与n 无关 D. 与m 无关，但与n 有关 答案： D解答：∵2222m n m nx m n n x m n x -+-<⇒-<-<⇒<<∴22m n m nn βα+--=-=，与m 无关，但与有关. 12. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，N ，6AB =，2AD DC ==，BC =，则该几何体的正视图为（ ）nA.B.C.D.答案： C解答：画三视图要注意：可见轮廓线要用实线，不可见轮廓线要用虚线，所以选C13. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，//AB DC ，6AB =，2AD DC ==，BC =二面角E AB C --的正切值为（ ）A.B.C. 1D.3答案： D解答：过点C 作CM AB ⊥连接EM ,因为平面DCEF 与平面ABCD 垂直且EC DC ⊥，所以EC ABCD ⊥平面,所以EC AB ⊥,所以AB ⊥平面EMC ，所以EMC ∠即是两平面的二面角.过C 作//CN AD ，所以四边形ADCN 为平行四边形，所以24CN BN ==，,所以CM =,tan 3EC EMC CM ∠==14. 如图，A ，B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（ ）A.13B.C.23D.答案： D解答： 法一：设EOA θ∠=，2HOA θ∠=，则tan BO bOA aθ==，1tan 2AB a k b θ=-=，结合正切的二倍角公式知2221ba ab ba=-，化简得223a b =，故c e a ==.法二：AB =2EA =，2cos HA OA HAO a =⋅∠==，22HE HA EA =-=OA OBOH AB⋅==由内角平分线定理，OA EA OH EH=，代入化简得223a b =，故3c e a ==. 15. 三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）A. 14部分B. 18部分C. 21部分D. 24部分 答案： C解答：想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成7个区域.拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块7个区域，共21个区域.16. 函数2()()x n mf x e-=（其中e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）A. 0m >，01n <<B. 0m >，10n -<<C. 0m <，01n <<D. 0m <，10n -<< 答案： C解答：2x my e =为偶函数，向右移n 个单位为()f x ，由图可知01n <<，当x →∞时，0y →，故0m <.17. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和.若对任意的n N *∈，有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A.43B. 32C. 53D. 2答案： A解答：由3n S S ≥可知公差0d >，30a ≤，40a ≥. 法一：如图，在数轴上标出数列{}n a ，不妨设原点O 到4a 的距离为(01)m m ≤≤，公差1d =. 则652131[,2]112a m a m m +==+∈++. 法二：655551a a d d a a a +==+，由上图可知，5d a 是45a a 占5Oa 的比值，这个比值与m 的大小有关，m 越大，这个比值越小，所以51[,1]2d a ∈，653[,2]2a a ∈. 18. 已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ） A. 21x y y x +>+ B. 112x y y x +>+ C. 21x y y x ->- D. 112x y y x->- 答案：B解答：对于A ，取x y =，该不等式成立，但不满足x y >； 对于C ，该不等式等价于12x y x y+>+，取0x →，1y =，该不等式成立，但不满足x y >；对于D ，该不等式等价于112x y x y+>+，取0x →，1y =，该不等式成立，但不满足x y >； 下面证明B 法一：该不等式等价于112x y x y ->-，而1112x y y x y y->->-. 函数1()f x x x=-在(0,)+∞上单增，故x y >. 法二： 若x y ≤，则112y x <，故112x y y x+<+，矛盾.二、填空题 19. 圆22(3)1x y 的圆心坐标是_______，半径长为_______.答案：(3,0)；1.解答： 因为圆22(3)1x y ，所以圆心坐标为(3,0)，半径1r .20. 如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连， 得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为______.答案：12. 解答：第1个正方形边长为4，面积116S =,第二个正方形边长为，面积28S =,以此类推得到1162n n S -=，所以612S =21. 已知lg lg lg()a b a b -=-，则实数a 的取值范围是_______.答案：[4,)+∞.解答：易得aa b b =-，故21121111b b a b b b b===-++---. 由0a b >>得2001b b b >⎧⎪⎨>⎪-⎩，故1b >，所以224a ≥+=.22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线PA ，PB 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OM OP ⋅的最小值为_______. 答案：25. 解答：设(,22)P t t -，:(22)PA l m y t x t +-=-，(22,0)A mt m t -+，:22()PB l y t m x t +-=--，(0,22)B mt t -+，故(,1)22t mtM mt m t -+-+.22252((1))2(1)(1)2(1)4222225t mt t OM OP t m t t t t t t ⋅=-++--+=+-=-+≥.三、解答题 23.已知函数1()sin cos 22f x x x =+，x R ∈. （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合. 答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）max ()1f x =，{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.解答：（Ⅰ）113()sin 1626644f πππ=+=+=.（Ⅱ）因为()cossin sin cos sin()333f x x x x πππ=+=+，所以，函数()f x 的最大值为1，当232x k πππ+=+，即2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取到最大值，所以，取到最大值时x 的集合为{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.24. 如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2:C y x =有且只有一个公共点P .（Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2RA RB RP ⋅=时，求点P 的坐标.答案：（Ⅰ）210x y -+=； （Ⅱ）11(,)42±.解答：（Ⅰ）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为1(1)y k x -=-，联立方程组21(1)y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得210ky y k -+-=，由已知可得14(1)0k k ∆=--=，解得12k =，故，所求直线l 的方程为210x y -+=. （Ⅱ）设点P 的坐标为2(,)t t ，直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为2()y t k x t -=-，联立方程组22()y t k x t y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ，得220ky y t kt -+-=，由已知可得214()0k t kt ∆=--=，得1(0)2k t t =≠，所以，点R 的纵坐标22t t kt -=，从而，点R 的纵坐标为(0,)2t ，由m l ⊥可知，直线m 的斜率为2t -，所以，直线m 的方程为22t y tx =-+.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线m 的方程代入2y x =，得22224(21)04t t x t x -++=，所以2242(21)4410t t t ∆=+-=+>，12116x x =，又1RA =，2RB =，24214RP t t =+，由2RA RB RP ⋅=，得242121(14)4t x x t t +=+，即24211(14)164t t t +=+，解得12t =±，所以，点P 的坐标为11(,)42±. 25. 设函数2()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围. 答案： （Ⅰ）21(,]4-∞； （Ⅱ）[1,0]-.解答：（Ⅰ）当1a =时，2251,0()1,0x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨-+->⎪⎩， （ⅰ）当0x ≤时，2521()()24f x x =-++，此时21()(,]4f x ∈-∞； （ⅱ）当0x >时，213()()24f x x =---，此时3()(,]4f x ∈-∞-， 由（ⅰ）（ⅱ），得()f x 的值域为21(,]4-∞. （Ⅱ）因为对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，所以()1(1)1f a f a ≥-⎧⎨+≥-⎩，即2223413(1)(21)1a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤. 下面证明，当[1,0]a ∈-，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，（ⅰ）当0a x ≤≤时，22()f x x ax a =-+-，2()(0)1f a f a ==-≥-，故()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立；（ⅱ）当01x a ≤≤+时，22()5f x x ax a =---，(1)1f a +≥-，(0)1f ≥-，故()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.由此，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-. 所以，实数a 的取值范围为[1,0]-.。