第六章 测量误差的基本知识(习题课key)
第6章--测量误差基本知识.
dzΒιβλιοθήκη f x1dx 1
f x2
dx 2
f xn
dx n
z及 xi都很小， 可近似用 z及 xi 代替 dz 及 dx i
Z
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
mZ 2
f x1
2 m12
f x2
2 m 2 2
f xn
2 m n 2
m z x f1 2m 1 2 x f2 2m 22 x fn 2m n2
如果系统误差的大小在允许范围以内，可采用适当的措施消除或减弱其影响，通常有以下三种方法：
1、测定系统误差的大小对观测值加以改正。如用钢尺量距时，通过对钢尺的检定求出尺长改正数，对观测结果加 尺长改正数来消除尺长引起的系统误差。
2、采用对称观测的方法 使系统误差在观测值中以相反的符号出现，加以抵消。如水准测量时，采用前、后视距 相等的对称观测，经纬仪测角时，用盘左、盘右两个观测值取中数的方法可以消除视准轴误差等系统误差 的影响。
100 10000
∵ m100＞m200
0.01 1
m2 0 0
200 20000
∴量测200米的精度高于量测100的精度
一、倍乘
6.4 误差传播定律
Z kx Z k x
Z 1 k x1
Z 2 k x2
Z n k xn
Z
2
k 2 x 2
n
n
m
2 z
k
2m
2 x
m容许 的概率含义
中误差
P2＜ ＜ 20.955 P3＜ ＜ 30.997
注意：应从概率的意义去理解m容许
6.3 衡量观测值精度的标准
工程测量6测量误差的基本知识课件
在数据分析和处理过程中，采用稳健的统计方法，如加权平均、中 位数等，可以减小随机误差对结果的影响。
04
粗大误差
粗大误差的定义
粗大误差是由于测量过程中的错误、 操作不当或意外事件等引起的明显与 实际值偏差较大的误差。
这类误差通常是由于测量者的疏忽、 仪器故障或环境干扰等因素造成的。
通过修正测量值以减小误差，通常需 要已知真值或修正系数。
补偿法
通过对测量系统的某些部分进行补偿 以减小误差，例如使用补偿器。
综合法
将修正法和补偿法结合使用，以减小 系统误差和随机误差。
统计处理法
对大量数据进行统计处理，以减小随 机误差和异常值的影响。
测量不确定度评定
不确定度的定义
表示测量结果可信度的参数，通常用标准差 或标准偏差表示。
加强测量者的培训和规范操作
定期检查仪器设备
通过培训提高测量者的技能和责任心，减 少因操作不当引起的粗大误差。
及时发现和修复仪器故障，确保测量设备 的准确性和可靠性。
环境控制
数据审查
在测量过程中，对环境因素进行控制和监 测，减少环境干扰引起的粗大误差。
对测量数据进行审查，发现并剔除异常值 ，确保数据的准确性和可靠性。
02
重复测量
对同一被测对象进行多次测量，取 平均值以减小偶然误差。
培训测量人员
提高测量人员的技能和素质，减少 人为误差。
04
工程测量中的误差控制实例
高精度测量
采用高精度测量设备和方法，如激光测距仪、全站仪等，提高测量精 度。
数据处理
对测量数据进行严格的数据处理和分析，确保数据的准确性和可靠性 。
环境控制
偶然误差
由于随机因素引起的偶然 波动导致的误差，如读数 不准确、记录错误等。
5测量误差的基本知识解析
中误差：真误差平方和的平均值的平方根
P123表5-2
m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度 较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度 较低。
二 相对误差（相对中误差）
相对误差——观测误差与观测值之比。 相对中误差—观测值中误差的绝对值与观测值之比
研究误差理论所解决的问题：
✓ 在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值； ✓ 如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误 差的限度等；
✓ 根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器 和确定测量方法）。
四 测量误差的分类及处理方法
先作两个前提假设：① 观测条件相同。② 对某一量进行一 系列的直接观测。
先看两个实例： 例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表：
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011
0
(K/n)/d△ 0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
和
181
0.505
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0
177
+△ 频率K/n
mx2
2
...
f xn
m2 xn
误差传播定律
• 几种简单函数的中误差计算式 –线性函数
倍数函数：设有函数Z=Kx 式中x为直接观测值，其中
误差为mx；Ｋ为常数；Z为观测值x的函数。若对x作
n次同精度观测则有：
X1，X 2，...，X n 为独立观测量， 其中误差分别为: m1, m2 ,..., mn
第六章测量误差的基本知识
lim
[ ] =
n
0
n→ ∞
(抵偿性)
误差处理的原则:
1,粗差:舍弃含有粗差的观测值,并重新进行观测. 2,系统误差:按其产生的原因和规律加以改正,抵 消和削弱. 3,偶然误差:根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响.
返回
精度:又称精密度,指在对某量进行多 次观测中,各观测值之间的离散 程度. 中误差 评定精度的标准 容许误差 相对误差
z = kx
函数的中误差
m z = ± km x
m
z
z = x1 ± x2 ±L± xn
= ±
2 2 m 12 + m 2 + L + m n
± 线性函数 z =k1x1 ±k2x2 ±L knxn
2 2 2 2 2 m z = ± k12 m1 + k 2 m2 + L + k n mn
一般函数
Z = f ( x1 , x2 , xn )
Vi + i = L x
两式相加,有 设
即
Lx =δ
则
i = vi + δ
将上列等式两端各自平方,并求其和,则
[] = [VV ] 2δ [V ] + nδ 2
代入上式, 将 [v ] = n L [l ] = 0 代入上式,则 又因 故
δ
δ = Lx =
2
[] = [vv] + nδ 2
[l ] x = [l x] = []
n n n
=
[ ]2
n2
=
1 n
[(2 + 2 + + 2 ) + 21 2 + 2 2 3 + 2 3 4 + ] 1 2 n 2
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
工程测量_6_测量误差的基本知识
1. 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 2. 加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数。 加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数。 3.采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。 采用适当的观测方法
6-1 测量误差概述
∂F ∂F ∂F dZ = dx1 + dx2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + dxn ∂xn ∂x1 ∂x2
∂F ∂F ∂F ∆Z = ∆x1 + ∆x2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
∂F 2 2 ∂F 2 2 ∂F 2 2 mZ = ± ( ) m1 + ( ) m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
测量错误(粗差) 测量错误(粗差)
按影响性质分类
1．系统误差
6-1 测量误差概述
系统误差
在相同的观测条件下作一系列观测， 在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符 号表现出系统性，或按一定的规律变化， 号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称 为系统误差 水准仪的i角; 水准尺的零点差；水准尺的倾斜；… 水准仪的i 水准尺的零点差；水准尺的倾斜； 竖直角观测中的x; 水平角观测中的2 水平角观测中的2C; 竖直角观测中的x; … 钢尺量距中的尺长误差; 温度影响；垂曲； 定线不准； 钢尺量距中的尺长误差; 温度影响；垂曲； 定线不准； 拉力不准； 拉力不准；… 处理办法? 处理办法
l1 + l 2 + L + l n 1 1 1 L = = l1 + l 2 + L + l n n n n n
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
测量误差基础知识
二、偶然误差的特性
偶然误差表面没有规律性，但对同一量多次观测，表现出 一定的统计规律性。
案例 在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角，由 于观测存在误差，每一个三角形内角之和Li 都不等于180°，其 差值为三角形内角和的真误差，即△ = Li - 180° 。 将358个三角形内角和的真误差的大小和正负按一定的区 间统计误差个数，列于下表中。
三、评定精度的标准
（二）相对误差 真误差和中误差：有符号,有与观测值相同的单位,它们被
称为“绝对误差”。 相对误差是指误差的绝对值与相应观测值之比，通常以分
子为1、分母为整数的形式K表示。
即
相对误差K越小，精度越高。
相对误差是没有单位的。相对误差随着所用绝对误差的不同 而有不同的名称 。分子、分母长度单位应统一。
解析：DJ6 数字6指野外“一测回方向中误差”≤6″，即m方=±6″，因为一个角度是 两个方向值之差，由和差函数的中误差计算公式得一测回角值的中误差m=8.5″
误差传播定的几个主要公式：
函数名称
函数式
函数的中误差
倍数函数
z kx
mz kmx
和差函数
z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
一般函数
Z f (x1, x2,xn )
2、设对某角观测一测回的中误差为±3″，要使该角的观测精度达到±1.4″，
需观测（ ）个测回。
A、2
B、3
C、4
D、5
解析：算术平均值的中误差
M
m n
得
n
m2 M2
32 1.4
误差基本知识
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
（三） 粗差
三、偶然误差的特性
偶然误差的定义： 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：
1
真 误 差
2
真 值
3
观 测 值
具有一定的范围。
绝对值小的误差出现概率大。
－ 2″
4
∑
620
一测回观测值中误差 ″
用最或然误差计算观测值中误差
01
在通常情况下，观测值的真值是不知道的，因此，也就无法根据真误差计算中误差。但是，我们可以根据算术平均值x与观测值l之差，即最或然误差 按下式来计算观测值的中误差，即：
m1<m2，表示第一组观测值的精度高于第二组。
例2、用J6经纬仪对三角形内角观测了5个 测回，计算一测回的观测值中误差。
测回数
观测值
△
△△
1
180°00′16″
＋16″
256
2
179°59′46″
－14″
196
3
180°00′10″
＋ 10″
100
4
179°59′52″
－ 8″
64
5
179°59′58″
1、求改正数 外业观测结果经校核符合要求后，可通过求改正数的方法以消除不符值（闭合差）。 如：多边形内角和与理论值 [（n-2）×180°]存在不符值。 其改正数为 v =﹣w/n 式中：v为改正数，n为多边形边数， w为多边形闭合差。 导线测量中因边长误差引起的坐标增量闭合差，也可通过求改正数的方法予以消除。水准测量中各测站的高差误差导致水准路线产生的高差闭合差，同样可通过求改正数的方法消除。
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第六章 测量误差的基本知识1、钢尺量距中，下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)尺长不准确 (2)尺不水平 (3)估读不准确 (4)尺垂曲(5)尺端偏离直线方向2、水准测量中，下列几种情况使得水准尺读数带有误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)视准轴与水准轴不平行 (2)仪器下沉 (3)读数不正确 (4)水准尺下沉 (5)水准尺倾斜3、为鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角α=45°00′00″作12次观测，结果为：45°00′06″、44°59′55″、44°59′58″、45°00′04″45°00′03″、45°00′04″、45°00′00″、44°59′58″ 44°59′59″、44°59′59″、45°00′06″、45°00′03″ 试求观测值的中误差。
解：Δ=+6、-5、-2、+4、+3、+4、0、-2、-1、-1、+6、+3[ΔΔ]=36+25+4+16+9+16+0+4+1+1+36+9=157 m=±3.62″4、已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm 、660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？(不一定) 它们的最大限差是否相等？(相等) 它们的精度是否相等？(相等) 它们的相对精度是否相等？(不相等)5、已知两独立观测值L 1、L 2的中误差均为m ，设x=2L 1+5，y=L 1-2L 2，Z=L 1L 2，t=x+y ，试求x 、y 、z 、t 的中误差。
6、在已知高程的两水准点A 、B 间布设新的水准点P 1、P 2(如图)。
高差观测值及其中误差为mm m h mm m h P P AP 2.5246.17.3783.3211±-=±=，，若已知点的高程无误差，试求： (1)由A 点计算P 2点高程的中误差 (2)由B 点计算P 2点高程的中误差±6.38mm7、在高级水准点A 、B(其高程无误差)间布设水准路线(如图)，路线长度为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每公里高差观测值的中误差为±1mm ，试求：(1)将闭合差按距离分配之后的P 1、P 2点间高差中误差 (2)分配闭合差后P 1点的高程中误差mm m H H h h h H h h h H h f h h mm m H H h h h H h h h H h f h h mmm mmm mmm H h h h H f h BA B A h h BA B A h h h h B A h 3/54361636123625)(61616165)(61122ˆ3441641241)(21212121)(21126ˆ46212321ˆ321321111ˆ321321222321±=⨯+⨯+⨯±=----=-+++-=-=±=⨯+⨯+⨯±=---+-=-+++-=-=±±=±=-+++=8、在水准测量中，每站观测高差中误差均为±1cm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于±5cm ，问可以设多少站？(最多25站)9、在水准测量中，已知每100m 观测高差中误差为±3mm ，求下图中AB 、BC 、AC 间观测高差的中误差。
(±4.7，±3.0mm ，±5.6mm)10、若要在已知点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差为±5mm ，要使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm ，问该路线最多可达几公里？kmL km L mm L L L m H H h h H h h H h f h h m mm L m H h h H f h BA B A h h h B A h 16281025541541)(212121)(2121ˆ5121ˆ212111121≤≤±≤=⨯+⨯±=---=-++-=-==±=-++=11、有一角度测20测回，得中误差±0.42″。
问再增加多少测回，其中误差为±0.28″？解：20测回中误差为±0.42″，则1测回平均值的中误差2042.0±N 测回平均值的中误差为±0.28″，则1测回平均值的中误差N 28.0±则N=45，所以要增加25测回12、设某角的三个观测值及其中误差分别为30°41′20″±2″，30°41′26″±4″， 30°41′16″±1″，现分别取±2″，±4″，±1″作为单位权中误差，试按权的定义计算出三组不同观测值的权，再按各组权分别计算这个角的最或然值及其中误差。
解："""""""""""""""±=±='︒=++⨯+⨯+⨯+'︒====±=±=±='︒=++⨯+⨯+⨯+'︒====±=±=±='︒=++⨯+⨯+⨯+'︒====±=87.03125.112.174130116/14/111616/1264/1204130116/14/1187.02142.1741301614161612642041301614487.025.522.17413044/114164/126120413044/112321032103210x x x m ）（x ，P ，P ，P m m ）（x ，P ，P ，P m m ）（x ，P ，P ，P m 设设设13、设n 个同精度观测值的权为p ，其算术平均值的权为p ，问p 与p 的关系如何？ 解：np p =14、取一长为d 的的直线之丈量结果的权为1，求D 的直线之丈量结果的权。
解：设单位权中误差为m ，则D 的中误差为m d D /，权为D d /15、设附合水准路线长80公里，令每公里观测高差中误差的权为1，求平差前后最弱点(线路中点)高程的权 (设起点高程无误差)。
解：每公里观测高差中误差的权为1，则40公里观测高差中误差的权为1/40，平差前后最弱点高程的权1/2016、在相同观测条件下，作了四条路线的水准测量，它们的长度分别为10.5km 、8.8km 、3.9km 、15.8km ，试求各条线路的权，并说明单位权观测的线路长度。
17、应用水准测量测定三角点之间的高差，高三角形边长分别为10km 、8km 、4km ，令40km 的高差观测值为单位权观测，求各段观测高差的权。
18、以同精度测得一三角形三个角度α、β、γ，其权均为1且互相独立。
现将三角形闭合差ω平均分配到各角3/ˆωαα-=、3/ˆωββ-=、3/ˆωγγ-=，试求ω及αˆ、βˆ、γˆ的权。
(3/1=ωp ，5.1ˆˆˆ===γβαp p p )19、某水准网如图，A 、B 、C 为已知水准点(无误差)，P 1=P 3=P 5=2，P 2=P4=5，单位权中误差为±2mm ，试求D 点高程最或然值之中误差、CD 间高差的最或然值之中误差。
(均为±0.5mm)20、已知距离AB=100m ，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的中误差为±2cm ，若以同样的精度丈量CD16次，CD=400m ，试求两距离丈量结果的相对中误差。
解：AB 丈量一次的权为2，则丈量4次平均值的权为8，单位权中误差为：cm 66.582±=±，相对中误差为1/5000CD 丈量一次的权为1/2，则丈量16次平均值的权为8，中误差为：cm 28/82±=±，相对中误差为1/2000021、某一距离分三段各往返丈量一次，其结果如表所示。
令1km 量距的权为单位权，试求：(1)该距离的最或然值 (2)单位权中误差(3)全长一次测量的中误差 (4)全长平均值的中误差 (5)段号 往测(m) 返测(m) 1 1000.009 1000.007 2 2000.011 2000.009 3 3000.008 3000.010mm npdd1.12±=±=μ，最或然值6000.027m 第二段一次测量中误差：mm p m 6.1122±=±=μ全长一次观测高差中误差：[]mm S m 7.2±=±=μ 全长高差平均值中误差：mm m 9.12/±==22令1km (1)各测段一次观测高差中误差 (2)各测段高差平均值的中误差 (3)全长一次观测高差的中误差 (4)全长高差平均值的中误差 解：mm npdd09.12±=±=μ 第一段观测高差中误差：mm p m 62.1111±=±=μ，其高差平均值中误差：mm m 15.121=± 第二段观测高差中误差：mm p m 50.2121±=±=μ，其高差平均值中误差：mm m 77.122=±第三段观测高差中误差：mm p m 09.1133±=±=μ，其高差平均值中误差：mm m 77.023=± 全长一次观测高差中误差：[]mm S m 18.3±=±=μ 全长高差平均值中误差：mm m 25.22/±==。