有关周期性与对称性的常见结论
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
(完整版)函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2b a x +=。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。
设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ (9) )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=4(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。
函数周期性对称性
一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。
2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。
3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。
4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。
（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。
（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。
（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。
（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。
（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。
二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT也是f(x)的周期。
2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。
（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。
（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。
（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
函数点对称线对称及周期总结
函数点对称线对称及周期总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII函数对称性、周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义（略），请用图形来理解。
3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中,1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如()()a x b x a b ++-=+,说明f x ()的图像具有对称性,其对称轴为2b a x +=; 2等式两端的两自变量部分相减得常数,如()()x a x b a b +--=+,说明 fx 的图像具有周期性,其周期T=a +b ;设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律1)()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ 1)()(x a f x a f -=+ a x =⇒2)()(a x f x f += a T =⇒ 2)()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ 3)()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 3 )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ 4)(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ 4 )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ 5)(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 5 )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ 61)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ 7 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ 8 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ 9 )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ 10 )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒11 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=212 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=213 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=414 若偶函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=2a15 若奇函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=4a16 若奇函数y=fx 满足fx+T=fx x ∈R,T ≠0,则f 2T =0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = fxx ∈R 满足f 5+x = f 5－x ,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形例2. 已知函数y = fxx ∈R 满足fx+5= fx －5,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形定理1：如果函数y = fxx ∈R 满足)()(x a f x a f -=+,那么y = fx 的图像关于直线x a=对称;证明：设点()P x y 00，是y = fx 的图像上任一点,点P 关于直线x =a 的对称点为Q,易知,点Q 的坐标为()200a x y -，;因为点()P x y 00，在y = fx 的图像上,所以f x y ()00=于是()()[]()[]()000002y x f x a a f x a a f x a f ==--=-+=-所以点()Q a x y 200-，也在y = fx 的图像上;由P 点的任意性知,y = fx 的图像关于直线x =a 对称;定理2：如果函数y = fxx ∈R 满足fa +x = fb －x ,那么y = fx 的图像关于直线x a b =+2的对称; 定理3：如果函数y = fxx ∈R 满足fx +a = fx －a ,那么y = fx 是以2a 为周期的周期函数;证明：令x a x -=',则x x a x a x a =++=+''，2代入已知条件()()f x a f x a +=-得：()()f x a f x ''++2根据周期函数的定义知,y = fx 是以2a 为周期的周期函数;定理4：如果函数y = fxx ∈R 满足()()f x a f x b +=-,那么y = fx 是以a b +为周期的周期函数;。
函数对称性5个结论的推导
函数对称性5个结论的推导
函数周期性只有三个推导，分别如下：
1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则
函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。
2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正
周期）。
3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对
称中心B（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-
a|（不一定为最小正周期）。
周期函数性质如下：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是
f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定
是T*的正整数倍。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(学生版)-2024年高考二级结论速解技巧
f (a + x)= f (a − x)
最常逆应用：若 y
=
f (x) 关于 x
=
a
对称：可得到如下结论中任意一个：
f= ( x)
f (2a − x)
；
f (−x=) f (2a + x)
周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.
（2）点对称：若 f (a + x) =− f (b − x) + c ,则 y = f (x) 的图象关于点 ( a + b , c ) 对称. 22
C． f (2022) = 0
D． f (2023) = 2
三、填空题
6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，对任意的 x∈ R
都有
f
x
+
3 2
= − f
(
x)
，当
x
∈
−
3 4
,
0
时， = f ( x)
log2 (1+ x) ，则 f (2021) + f (2022) = _________
当 x ∈[−2, 0] 时， f= ( x)
1 x 3
+
b
，则
f
(log3 162)
= ___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 + x) =f (x) ，当 x ∈[0, 2]时，
f (x) = −x(x − 2) ，则方程 f (x) = lg x 有___________个根.
最常逆应用：若 y
三角函数的对称性与周期性总结
三角函数的对称性与周期性总结三角函数是数学中的重要概念，它们展示了一种神奇的对称性与周期性。
在本文中，我们将全面总结三角函数的对称性与周期性，并探索其在数学和实际应用中的重要性。
一、正弦函数的对称性与周期性1. 对称性：正弦函数是奇函数，具有关于原点的对称性，即sin(-θ) = -sin(θ)。
这种对称性可以从单位圆的几何解释得到。
2. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π) = sin(θ)。
这意味着，在一个完整的周期内，正弦函数的值会重复。
二、余弦函数的对称性与周期性1. 对称性：余弦函数是偶函数，具有关于y轴的对称性，即cos(-θ) = cos(θ)。
这种对称性也可以用单位圆来解释。
2. 周期性：余弦函数的周期也为2π，即cos(θ+2π) = cos(θ)。
与正弦函数类似，余弦函数的值在一个完整的周期内重复。
三、正切函数的对称性与周期性1. 对称性：正切函数是奇函数，具有关于原点的对称性，即tan(-θ) = -tan(θ)。
这种对称性可以从正切函数的定义中推导出来。
2. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(θ+π) = tan(θ)。
由于正切函数在π/2及其整数倍点处有垂直渐近线，其值在一个周期内不会重复。
四、其他三角函数的对称性与周期性1. 反正弦函数的对称性与周期性：反正弦函数是奇函数，具有关于y=x的对称性，周期为2π。
2. 反余弦函数的对称性与周期性：反余弦函数是偶函数，具有关于y=x的对称性，周期为2π。
3. 反正切函数的对称性与周期性：反正切函数是奇函数，具有关于y=x的对称性，周期为π。
总结：三角函数的对称性与周期性是其重要性质之一，在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
它们在解析几何、信号处理、振动与波动等问题中起着重要作用。
通过对三角函数的研究，我们可以更好地理解周期性现象的规律性和对称性特点，为实际问题的求解提供有力的数学工具。
因此，对于学习数学和应用数学的人来说，对三角函数的对称性与周期性有深入的理解至关重要。
函数对称性和周期性的几个重要结论
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）15-00-03函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。
历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。
函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。
本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。
一、函数的对称性（一）函数对称性的定义函数的对称有自对称和互对称。
自对称是指同一个函数图像的对称（中心对称或轴对称），图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。
函数对称还有轴对称和点对称。
（二）函数自对称的相关结论结论1：函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。
上述关系式也可以写成或。
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于点对称。
得证。
特别地：函数的图像关于原点（0，0）对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。
即：a=b=0推论1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称推论2：若，即：，则的图像关于点对称。
推论3：若，则的图像关于点对称。
（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。
）证明：在函数上任取一点，则。
点关于点（，）的对称点为（，c-），当时，，即点（，c-）在函数的图象上。
由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。
结论2：函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。
（即：可以改写成或。
）特别地：函数的图像关于y轴（x=0）对称的充要条件是f（x）=f（-x）。
即：a=0。
推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。
（注：当a=b=0时，该函数为偶函数。
）注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
巧用有关函数对称性和周期性的结论解题
所以 f (2023) = -2.
因为 f (x + 1) 是奇函数，
所以根据奇函数的定义，
将
函数式进行转换，
得到 f (x) = -f (2 - x) ，
根据结论 2 可知
函数 f (x) 的图象关于点 (1,0) 对称.而由 f (x) = f (x - 8)，
个函数同时具有对称性和周期性，那么该函数就比较
设点 A 的横坐标为 x ，
特殊，且具有一些特殊的性质，我们可根据其图象和
解析式得出很多相关的结论.
结 论 1. 若 f (x) = f (2a - x)或f (a - x) = f (a + x) ，则 函
数 f (x) 的图象必然关于 x = a 对称.反过来，若函数
可知函数的周期是 8，即可根据函数的周期性求得问
题的答案.
在解答与函数周期性、对称性有关的问题时，要
明确自变量的意义，各个变量与自变量之间的关系，
从而抓住问题的本质，据此建立关系式.必要时可将
数学篇
40
数形结合起来，借助图形来明确函数图象的变化情
况，以确定函数的对称性和周期性，顺利求得问题的
图5
π
如图 5，
所以 f (-x + 1) = -f (x + 1) ，
由于 (-x + 1) +(x + 1) = 2 ，
所以 f (x) = -f (2 - x) ，
即函数 f (x) 关于点 (1,0) 对称.
由于 f (x + 5) = f (x - 3) ，
所以 f (x + 5 - 5) = f (x - 3 - 5) ，
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
(完整版)对称性和周期性性质总结
函数の对称性和周期性一、几个重要の结论（一）函数图象本身の对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。
4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。
5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。
6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。
我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。
那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
函数奇偶性对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质,下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题;一、几个重要的结论一函数)(x f y =图象本身的对称性自身对称2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称;3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称;4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称;5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称;6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称;7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称;8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称; 二两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称;2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称;6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称;7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称三函数的周期性1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =)b a < ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 4=;14、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 2=;二、例题讲授例题11已知)(x f y =是定义在实数集R 上奇函数,0<x 时,12)(+=x x f ,求)(x f y =的解析式; 2已知)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+,1<x 时,12)(+=x x f ,求)(x f y =的解析式; 3已知奇函数)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+,02<<-x 时,12)(+=x x f ,求)18(log 2f4已知)(x f y =满足0)1()1(=-++x f x f ,1<x 时,12)(+=xx f ,求)(x f y =的解析式;例题21已知2sin )(++=x b ax x f ,1)2(=f 求)2(-f2已知偶函数)(x f y =定义域为R,且恒满足)2()2(x f x f -=+,若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根,且一个根是4,求方程在区间(]10,8-中的根．3已知122)(+=x xx f ,求)6()5()4()5(f f f f +++-+- 的值 例题3１设函数)(x f y =的定义域为R,若)(x f y =的图象关于1=x 对称,则函数满足A 、)1()(x f x f +=B 、0)2()(=-+x f x fC 、)1()1(x f x f -=-D 、)1()1(x f x f -=+２函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称３函数)1(+=x f y 和函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称４设函数)(x f y =的定义域为R,且满足)1()1(x f x f -=+,则)1(+=x f y 的图象关于__________对称;)2(x f y =的图象关于__________对称;５设函数)(x f y =的定义域为R,则下列命题中,①若)(x f y =是偶函数,则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数,则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-,则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称,其中正确命题序号为_______;例题５2、 设fx 是定义在R 上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x 1,x 2∈0,21,都有fx 1+x 2=fx 1·fx 2,且f1=a>0;1求 f 21 及f 41 2证明fx 是周期函数3记a n =f2n+n21,求证：a n =a n 21三、自我检测1、如果函数fx ＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f2＋t ＝f2－t,那么2＜f1＜f41＜f2＜f4 2＜f4＜f1 4＜f2＜f1 3、 如果奇函数fx 在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么fx 在区间－7,－3上是A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－54、 Fx ＝1＋122-x fx,x ≠0是偶函数,且fx 不恒等于0,则fx5、 A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数6、 设fx 是－∞,∞上的奇函数,fx ＋2＝－fx,当0≤x ≤1,fx ＝x,则f ＝A.0.5B.－0.5 D.－7、 设fx 是定义在－∞,+∞上的函数,对一切x ∈R 均有fx+fx+3=0,且当－1<x ≤1时,fx=2x －3,求当2<x ≤4时,fx 的解析式;8、 定义在上的偶函数满足且当时,.求的单调区间提示： ===)4()2()(42xf xf x f , f 21=fn ·n 21=f n 21+n －1·n 21=f n 21·fn －1·。
第七讲函数之周期性与对称性
第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
高中高考数学 关于函数的对称性和周期性
，且存在一个定值 使得 f (x1) f (x2 ) +1
f (x2 ) − f (x1 )
a
f
(a)
= 1 ，则
f
(x) 的周期T
=
4|a
|
（6）若 f (x) 的图象关于 x = a, 且同时关于 x = b(a ≠ b) 对称，则T = 2 | a − b | .
证明： ，得证 f (x) = f (2a − x) = f (2b − (2a − x)) = f (x + 2b − 2a)
答： f (a + x) = f (b − x) 表示 f (x) 的对称轴为 x = a + b ； 2
而 表示 的周期为 f (a + x) = f (b + x) f (x)
T =| a − b | .
二．常见结论（注：此处T 专指最小正周期，且默认a ≠ 0） （1）若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = − f (x) ，则T = 2 | a | .
推广：若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = m − f (x) ，则T = 2 | a | .
证明：用 x + a 代替 f (x + a) = m − f (x) 中的 x ，得到 f (x + 2a) = m − f (x + a) ；
于是 ，得证 f (x + 2a) = m − f (x + a) = m − [m − f (x)] = f (x)
.
反函数结论（略）.
---1---
关于函数的周期性
一．周期函数的定义：函数 f (x) 在其定义域内，对任意的 x 都存在一个常数T ， (T ≠ 0) 使得 f (x + T) = f (x) 成立，则称函数 f (x) 是周期函数， T 叫做函数 f (x) 的一个周期.（注：以后T 专指最小正周期） 设T 是函数 f (x) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z,k ≠ 0) 也是函数 f (x) 的周期.
函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件或中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有对称性，其对称轴为。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明 f（x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。
设为非零常数,若对于定义域内的任意xx有下列条件之一成立周期性规律对称性规律(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(7)(8)(9)(10) ,(11) 若函数同时关于直线, 对称则函数的周期(12) 若函数同时关于点, 对称,则函数的周期(13) 若函数同时关于直线对称,又关于点对称则函数的周期(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f()=0. ⒈ 若的图象关于两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+5）= f（x－5），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y= f（x）（x∈R）满足，那么y= f（x）的图像关于直线对称。
证明：设点是y= f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，xx，点Q的坐标为。
因为点在y= f（x）的图像上，所以于是所以点也在y= f（x）的图像上。
由P点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a对称。
定理2：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线的对称。
定理3：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x－a），那么y= f（x）是以2a为周期的周期函数。
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有关周期性的常见结论：),0(b a a ≠≠
1、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x f a x f -=+，则a T 2=；
2、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)
(1)(x f a x f =+，则a T 2=； 3、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)(1)(x f a x f -
=+，则a T 2=； 4、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+，则a T 2=； 5、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)(1)(1)(x f x f a x f -+=
+，则a T 4=； 6、 若)(x f 的图象关于a x =对称，且关于b x =对称，则||2b a T -=；
7、 若)(x f 的图象关于)0,(a 对称，且关于b x =对称，则||4b a T -=；
8、 若)(x f 的图象关于)0,(a 对称，且关于)0,(b 对称，则||2b a T -=；
有关对称性的常见结论：
1、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线a x =对称；
2、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线2
a x =
对称； 3、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称； 4、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有0)()(=-++x a f x a f ，则)(x f 的图象关于点)0,(a 对称；
5、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有0)()(=-++x b f x a f ，则)(x f 的图象关于点)0,2
(
b a +对称； 6、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有
c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图象关于点)2,2(c b a +对称；。