第6章数值微积分与常微分方程求解研究报告
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告学院：数学与信息科学专业：信息与计算科学姓名：郑思义学号：201216524课程：常微分方程数值解实验一：常微分方程的数值解法1、分别用Euler 法、改进的Euler 法（预报校正格式）和S —K 法求解初值问题。
（h=0.1）并与真解作比较。
⎩⎨⎧=++-=10(1y'）y x y 1.1实验代码：%欧拉法function [x,y]=naeuler(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end%改进的欧拉法function [x,m,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长。
%返回值x 为x 取值，m 为预报解，y 为校正解 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;m=zeros(length(x)-1,1); for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; m(n)=y(n+1);k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1)); y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2; end%四阶S —K 法function [x,y]=rk(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长。
x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n));k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k1)/2); k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k2)/2); k4=feval(dyfun,x(n)+h,y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);end%主程序x=[0:0.1:1];y=exp(-x)+x;dyfun=inline('-y+x+1');[x1,y1]=naeuler(dyfun,[0,1],1,0.1);[x2,m,y2]=naeuler2(dyfun,[0,1],1,0.1);[x3,y3]=rk(dyfun,[0,1],1,0.1);plot(x,y,'r',x1,y1,'+',x2,y2,'*',x3,y3,'o');xlabel('x');ylabel('y');legend('y为真解','y1为欧拉解','y2为改进欧拉解','y3为S—K解','Location','NorthWest');1.2实验结果：x 真解y 欧拉解y1 预报值m 校正值y2 S—K解y30.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.1 1.0048 1.0000 1.0000 1.0050 1.00480.2 1.0187 1.0100 1.0145 1.0190 1.01870.3 1.0408 1.0290 1.0371 1.0412 1.04080.4 1.0703 1.0561 1.0671 1.0708 1.07030.5 1.1065 1.0905 1.1037 1.1071 1.10650.6 1.1488 1.1314 1.1464 1.1494 1.14880.7 1.1966 1.1783 1.1945 1.1972 1.19660.8 1.2493 1.2305 1.2475 1.2500 1.24930.9 1.3066 1.2874 1.3050 1.3072 1.30661.0 1.3679 1.3487 1.3665 1.3685 1.36792、选取一种理论上收敛但是不稳定的算法对问题1进行计算，并与真解作比较。
实验报告——常微分方程的数值解法
实验报告实验项目名称常微分方程的数值解法实验室数学实验室所属课程名称微分方程数值解实验类型上机实验实验日期2013年3月11日班级10信息与计算科学学号2010119421姓名叶达伟成绩实验概述：【实验目的及要求】运用不同的数值解法来求解具体问题，并通过具体实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。
【实验原理】各种常微分方程的数值解法的原理，包括Euler法，改进Euler法，梯形法，Runge-Kutta方法，线性多步方法等。
【实验环境】（使用的软硬件）Matlab软件实验内容：【实验方案设计】我们分别运用Euler法，改进Euler法，RK方法和Adams隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先来回顾一下原题：对于给定初值问题：1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形；2. 采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;3. 采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5；4. 采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5；5. 采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。
下面，我们分五个步骤来完成这个问题：步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab 画出其图形； ，用Matlab 做出函数在上的图像，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015y=exp(1/3 t 3-1.2t)exact solution图一 初值问题的解析解的图像步骤二，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;我们采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Numerical solution of Euler and exact solutionexact solution h=0.5h=0.25图二 Euler 方法的计算结果与解析解的比较从图像中不难看出，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨将两者的绝对误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Absolute error of numerical solution and exact solutionh=0.5h=0.25图三 不同步长的Euler 法的计算结果与解析解的绝对误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为0.25的Euler 法比步长为0.5的Euler 法的精度更高。
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告实验报告：常微分方程数值解1.引言常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学领域中一个重要的研究对象，涉及到许多自然科学和工程技术领域的问题。
解常微分方程的数值方法是一种求解差分方程的方法，通过计算机找到方程的近似解，对于模拟和预测连续过程非常有用。
本实验旨在通过数值解法，验证和应用常微分方程的解，并比较不同数值方法的精度和效率。
2.实验目的2.1理解常微分方程的基本概念和数值解法；2.2掌握将常微分方程转化为数值求解问题的基本方法；2.3运用数值解法求解常微分方程；2.4比较不同数值解法的精度和效率。
3.实验内容3.1 欧拉方法（Euler Method）给定一个一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，通过将其离散为差分形式，欧拉方法可以通过以下递推公式来求解：y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)其中，h为步长，x_n和y_n为当前的x和y值。
3.2 改进的欧拉方法（Improved Euler Method）改进的欧拉方法使用欧拉方法的斜率的平均值来估计每一步中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h,y_n+h*k1)y_{n+1}=y_n+h*((k1+k2)/2)3.3 二阶龙格-库塔法（Second-order Runge-Kutta Method）二阶龙格-库塔法通过计算每个步骤中的两个斜率来估计每个步长中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h/2,y_n+(h/2)*k1)y_{n+1}=y_n+h*k24.实验步骤4.1选取常微分方程，并将其转化为数值求解问题的形式；4.2根据给定的初始条件和步长，使用欧拉方法、改进的欧拉方法和二阶龙格-库塔法求解该方程；4.3比较三种方法的数值解与理论解的差异，并分析其精度和效率；4.4尝试不同的步长，观察相应的数值解的变化。
常微分方程数值解实验
多步法，Gear’s反向
数值积分，精度中等
若ode45失效时，
可尝试使用
ode23s
刚性
一步法，2阶Rosebrock算法，
低精度。
当精度较低时，
计算时间比ode15s短
odefx为显式常微分方程 中的 ，t为求解区间，要获得问题在其他指定点 上的解，则令t=[t0,t1,t2,…]（要求 单调），y0初始条件。
MATLAB 中有几个专门用于求解常微分方程的函数,它们的设计思想基于Runge-Kutta方法,基本设计思想为：从改进的欧拉方法比欧拉方法精度高的缘由着手,如果在区间[ x1, xi+1]多取几个点的斜率值,然后求取平均值,则可以构造出精度更高的计算方法。 这些函数主要包括：ode45、ode23、ode15s、ode113、ode23s、ode23t、ode23tb. 其中最常用的是函数ode45,该函数采用变步长四阶五阶Runge-Kutta法求数值解,并采用自适应变步长的求解方法。ode23采用二阶三阶Runge-Kutta法求数值解,与ode45类似,只是精度低一些。ode15s用来求刚性方程组。
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常微分方程实验报告
常微分方程实验报告《常微分方程》综合性实验实验报告实验班级05应数（3）学生姓名江晓荣学生学号200530770314指导老师方平华南农业大学理学院应用数学系实验微分方程在数学建模中的应用及数值解的求法一、实验目的1．了解常微分方程的基本概念。
2．常微分方程的解了解析解和数值解。
3．学习、掌握MA TLAB 软件有关求解常微分方程的解析解和数值解的有关命令。
4. 掌握微分方程在数学建模中的应用。
二、实验内容1．用MA TLAB 函数dsolve 符号求解常微分方程的通解和特解。
2．用MA TLAB 软件数值求解常微分方程。
三、实验准备1．用MA TLAB 求常微分方程的解析解的命令用MA TLAB 函数dsolve 求常微分方程()(,,,,,,)0n F x y y y y y ''''''= （7.1）的通解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'var')其中输入的量eqn 是改用符号方程表示的常微分方程(,,,2,)0F x y Dy D y Dny = ，导数用D 表示，2阶导数用D2表示，以此类推。
var 表示自变量，默认的自变量为t 。
输出量S 是常微分方程的解析通解。
如果给定常微分方程（7.1）的初始条件()00010(),(),,()n n y x a y x a y x a '=== ，则求方程（7.1）的特解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'condition1 ',…'conditonn ','var')其中输入量eqn ，var 的含义如上，condition1,…conditonn 是初始条件。
输出量S 是常微分方程的特解。
2．常微分方程的数值解法除常系数线性微分方程可用特征根法求解、少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无解析解，应用中主要依靠数值解法。
常微分方程的求解与定性分析实验报告
常微分方程的求解与定性分析实验报告Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常微分方程的求解与定性分析实验报告一、实验综述1、实验目的及要求●归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；●掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；●熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；●通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；●通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
2、实验仪器、设备或软件电脑、二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）实验内容：根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。
y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；m=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(m,[0 1])m =3*exp(x) - 2*x – 21．求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧====-+]100[0)0(;0)0(01.03t uu u u u 的数值解，要求编写求解程序。
function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(1)+*y(1)^3;[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 10],[0 0]);plot(T,Y(:,1),'-')3．Rossler 微分方程组：当固定参数b =2，c =4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如 a ∈(0，)而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状function r=rossler(t,x)global a;global b;global c;r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];global a;global b;global c;b=2;c=4;t0=[0,200];for a=0::[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');title('x(红色),y(绿色),z(蓝色)随t 的变化情况');xlabel('t');subplot(1,2,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend结果显示：a=0:a=:a=:a=:a=:a=:结果分析：从图像可以看出，当a=0时，微分方程的解（x,y,z）收敛与（0，，）；当a=时，（x,y,z）仍收敛与（0，，），只是收敛速度减慢；当a=时，（x,y,z）已发散，周期性变化；随着a的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快，空间曲线成混沌状。
微分方程数值解实验报告
微分方程数值解实验报告实验目的：掌握微分方程数值解的基本方法，能够利用计算机编程求解微分方程。
实验原理：微分方程是自然科学与工程技术中常见的数学模型，它描述了变量之间的关系及其随时间、空间的变化规律。
解微分方程是研究和应用微分方程的基础，但有很多微分方程无法找到解析解，只能通过数值方法进行求解。
本实验采用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程的初值问题：$$\begin{cases}\frac{dy}{dt}=f(t,y)\\y(t_0)=y_0\end{cases}$$其中，$f(t,y)$是给定的函数，$y(t_0)=y_0$是已知的初值条件。
欧拉方法是最基本的数值解法，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i,y_i)$4.重复步骤2、3直到达到终止条件改进的欧拉方法是对欧拉方法进行改进，通过利用函数$y(t)$在$t+\frac{1}{2}h$处的斜率来更准确地估计$y_{i+1}$，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_*=y_i+\frac{1}{2}hf(t_i,y_i)$4. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i+\frac{1}{2}h,y_*)$5.重复步骤2、3、4直到达到终止条件实验步骤：1.编写程序实现欧拉方法和改进的欧拉方法2.给定微分方程和初值条件3.设置步长和终止条件4.利用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程5.比较不同步长下的数值解与解析解的误差6.绘制误差-步长曲线，分析数值解的精度和收敛性实验结果：以一阶常微分方程$y'=3ty+t$为例，给定初值$y(0)=1$，取步长$h=0.1$进行数值求解。
利用欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Euler}} & \text{误差} \\ \hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.030&0.005\\0.2&1.104&1.108&0.004\\0.3&1.212&1.217&0.005\\0.4&1.360&1.364&0.004\\0.5&1.554&1.559&0.005\\0.6&1.805&1.810&0.005\\0.7&2.131&2.136&0.005\\0.8&2.554&2.560&0.006\\0.9&3.102&3.107&0.006\\1.0&3.807&3.812&0.005\\\end{array}利用改进的欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Improved Euler}} & \text{误差} \\\hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.035&0.000\\0.2&1.104&1.103&0.001\\0.3&1.212&1.211&0.001\\0.4&1.360&1.358&0.002\\0.5&1.554&1.552&0.002\\0.6&1.805&1.802&0.003\\0.7&2.131&2.126&0.005\\0.8&2.554&2.545&0.009\\0.9&3.102&3.086&0.015\\1.0&3.807&3.774&0.032\\\end{array}误差-步长曲线如下：实验结论：通过对比欧拉方法和改进的欧拉方法的数值解与解析解的误差，可以发现改进的欧拉方法具有更高的精度和收敛性。
第6章数值微积分与常微分方程求解研究报告
是两个等长的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1， y2，…，yn)，并且x1<x2<…<xn，积分区间是[x1，xn]。
6.2.3 多重定积分的数值求解实现
定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重
6.2.2 定积分的数值求解实现 在MATLAB中可以使用quad或quadl来进行数值积分。 1．自适应辛普生法 MATLAB提供了基于自适应Simpson法的quad函数和自适应Lobatto法的
quadl函数来求定积分。函数的调用格式为
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)
6.2 数 值 积 分
6.2.1 数值积分的原理
求解 定积 分 的数 值 方法 多种 多 样， 如 矩形 （ Rectangular） 法、 梯 形（Trape zia） 法 、辛 普生
(Simpson)• 法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间 [a，b]分成 n 个子区间
[xi，xi + 1]，i = 1，2，…，n，其中 x1 = a，xn + 1 = b。这样求定积分问题就分解为下面的求和问题 ：
常微分方程初值问题的数值解法，首先要解决是建立求数值 解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi +1时 只用到xi +1、xi和yi，即前一步的值，此类方法称为单步 法，其代表是龙格-库塔（Runge-Kutta）法。另一类是计 算yi+1时，需要前面k步的值，此类方法称为多步法，其 代表是亚当姆斯（Adams）法。这些方法都是基于把一个 连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步 进式的方法。
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
微积分的研究报告怎么写
微积分的研究报告怎么写
写微积分的研究报告可以按照以下步骤进行：
1. 简介：在报告的开头，介绍微积分的背景和意义，解释为什么选择这个主题进行研究，并明确研究的目的和研究问题。
2. 文献综述：对于已有的相关文献进行综述，介绍已有的研究进展和方法。
可以引用经典的微积分教科书，或者相关的论文、书籍等。
此部分还可以介绍一些与研究课题相关的数学定理和概念。
3. 研究方法：介绍你所使用的研究方法和数据分析方法。
例如，你可能使用了微积分的基本概念和公式，或者使用了数值计算方法等。
4. 研究结果：在这一部分，提供你的研究结果，并对结果进行详细的分析和解释。
你可以使用图表、公式或者例子来展示你的结果。
5. 讨论：对于你的研究结果进行深入的讨论和解释。
你可以分析你的结果在实际应用中的意义，讨论你的研究的局限性和不足之处，提出改进的方向和进一步的研究方向。
6. 结论：总结你的研究成果，并强调你的研究对于微积分领域的贡献。
也可以提出你的研究的限制，并给出一些建议和展望。
7. 引用文献：列出所有在报告中引用的文献，确保引用格式准
确无误。
8. 附录：如果有需要的话，可以在附录中提供一些与研究结果相关的详细数据、图表、计算方法等。
需要注意的是，写研究报告需要遵循科学的逻辑和结构，清晰地阐述研究的背景、目的、方法和结果。
尽量使用简明扼要的语言和符号，避免使用不必要的复杂术语和公式。
同时，要确保报告的准确性、可读性和逻辑性。
微分方程数值解实验报告
微分方程数值解法课程设计报告班级：_______姓名： ___学号：__________成绩：2017年 6月 21 日摘要自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。
其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。
但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。
，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams法以及椭圆型方程、抛物型方程的有限差分方法等，通过具体的算例，结合MATLAB求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。
同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。
关键词：微分方程数值解、MATLAB目录摘要 (2)目录 (3)第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理 (4)1.1 常微分方程数值解法的基本思路 (4)1.2用matlab编写源程序 (4)1.3 常微分方程数值解法应用举例及结果 (5)第二章常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理 (6)2.1 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路 (6)2.2 用matlab编写源程序 (7)2.3 常系数扩散方程的经典差分格式的应用举例及结果 (8)第三章椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理 (10)3.1 椭圆型方程的五点差分格式的基本思路 (10)3.2 用matlab编写源程序 (10)3.3 椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果 (12)第四章总结 (12)参考文献 (12)第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理1.1常微分方程数值解法的基本思路常微分方程数值解法(numerical methods forordinary differential equations)计算数学的一个分支.是解常微分方程各类定解问题的数值方法.现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解.所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值.这就促成了数值方法的产生与发展.1.2用matlab编写源程序龙格库塔法：M文件:function dx=Lorenz(t,x)%r=28,sigma=10,b=8/3dx=[-10*(x(1)-x(2));-x(1)*x(3)+28*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-8*x(3)/3];运行程序：x0=[1,1,1];[t,y]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);subplot(2,1,1) %两行一列的图第一个plot(t,y(:,3))xlabel('time');ylabel('z');%画z-t图像subplot(2,2,3) %两行两列的图第三个plot(y(:,1),y(:,2))xlabel('x');ylabel('y'); %画x-y图像subplot(2,2,4)plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');%画xyz图像欧拉法：h=0.010;a=16;b=4;c=49.52;x=5;y=10;z=10;Y=[];for i=1:800x1=x+h*a*(y-x);y1=y+h*(c*x-x*z-y);z1=z+h*(x*y-b*z);x=x1;y=y1;z=z1;Y(i,:)=[x y z];endplot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3));1.3常微分方程数值解法的应用举例及结果应用举例：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=)()()()()()()()()())()(()(t bz t y t x dt t dz t z t x t y t rx dt t dy t y t x a dt t dx a=10,b=8/3,0<r<+∞,当1<r<24.74时，Lorenz 方程有两个稳定的不动点c()1(-r b ，)1(-r b ，r-1)和c '（-)1(-r b ，-)1(-r b ，r-1），一个稳定的不动点0=（0，0，0），当r>24.74时，c 和c '都变成不稳定的，此时存在混沌和奇怪吸引子。
新版常微分方程的求解与定性分析实验报告-新版.pdf
function
Y=fun3(a0,a1,n,tol)
a(1)=a0;
a(2)=a1;
b=1;
i=2;
while (abs(b)>eps*a(i))
a(i+1)=a(i)-fun2(a(i))*(a(i)-a(i-1))/(fun2(a(i))-fun2(a(i-1)));
[t,x]=ode45(
'rossler'
,t0,[0,0,0]);
subplot(1,2,1);
plot(t,x(:,1),
'r' ,t,x(:,2),
'g' ,t,x(:,3),
'b' );
title( 'x( 红色 ),y( 绿色 ),z( 蓝色 ) 随 t 的变化情况 ' );xlabel(
m=dsolve( 'Dy=y+2*x' , 'y(0)=1' , 'x' ) ezplot(m,[0 1])
m=
3*exp(x) - 2*x –2
3 exp(x) - 2 x - 2
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.8 0.9
1
x
1．求微分方程
常微分方程的求解与定性分析实验报告
一、实验综述
1、实验目的及要求 归纳和学习求解常微分方程 (组)的基本原理和方法； 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； 熟悉 MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令； 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程 (组)求解方法（解析法、欧拉法、 梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时 学会使用 MATLAB 软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面 的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析 思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
数值分析实验报告之常微分方程数值解
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称常微分方程数值解
所属课程名称数值方法B
实验类型验证
实验日期2013.11.11
班级
学号
姓名
成绩
图1 h=0.1时三个方法走势图
图2 h=0.05时三个方法走势图
图4 h=0.05时三个方法走势图
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
微分方程数值解法实验报告
微分方程数值解法实验报告姓名：班级：学号：一：问题描述求解边值问题：()2(sin cos cos sin (0,1)(0,1)0,(,)x y u e x y x y G u x y G ππππππ+⎧⎫∆=+⎪⎪∈=⨯⎨⎬⎪⎪=∈∂⎩⎭（x,y) 其精确解为)sin()sin(),()(y x e y x u y x πππ+=问题一：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用Jacobi 迭代法，Gauss_Seidel 迭代法，SOR 迭代法（w=1.45）。
求解差分方程，以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似值，比较三种解法的迭代次数以及差分解)128/1,64/1)(,(=h y x u h 与精确解的精度。
问题二：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用单参数和双参数PR 法解差分方程，近似到小数点后四位。
与SOR 法比较精度和迭代步数。
问题三：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用共轭梯度法和预处理共轭梯度法解差分方程，近似到小数点后四位。
与SOR 法与PR 法比较精度和迭代步数。
二．实验目的：分别使用五点差分法（Jacobi 迭代，Gauss_Seidel 迭代，SOR 迭代），PR 交替隐式差分法（单参数，双参数），共轭梯度法，预共轭梯度法分别求椭圆方程的数值解。
三．实验原理：(1) Jacobi 迭代法 设线性方程组(1)的系数矩阵A 可逆且主对角元素均不为零,令b Ax =nn a ,...,a ,a 2211并将A 分解成(2) 从而(1)可写成令其中. (3) 以为迭代矩阵的迭代法(公式)(4)称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为(5) 其中为初始向量. (2) Guass-Seidel 迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i 个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel ）迭代法.把矩阵A 分解成(6)其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即其中(7) 以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)(8)()nn a ,...,a ,a diag D 2211=()D D A A +-=()b x A D Dx +-=11f x B x +=b D f ,A D I B 1111--=-=1B ()()111f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a b a x n ij j )k (j j i i ii )k (i 21021111==∑-=≠=+()()()()()Tn x ,...x ,x x 002010=()k x ()1+k x ()1+k i x ()()1111+-+k i k x ,...,x 1+k ()1+k x ()1+k j x U L D A --=()nn a ,...,a ,a diag D 2211=U ,L --A ()b Ux x L D +=-22f x B x +=()()b L D f ,U L D B 1212---=-=2B ()()221f x B x k k +=+称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为(3) SOR 迭代(4) 交替方向迭代法（PR 法）迭代格式为：对于单参数PR 法，对于多参数，(5) 共轭梯度法 算法步骤如下： ［预置步］任意，计算，并令取：指定算法终止常数，置，进入主步；［主步］⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a x i j n i j )k (j ij )k (j ij i ii )k (i 21021111111==∑∑--=-=+=++Λ))1(()(1D R L D T ωωω-+-=-b )(1--=L D d ωωhu πμωcos )11/(22opt =-+=2121,,1,1,1,,122L L L L u u u L u u u j i j i j i j i j i j i +==+-=+-+-+-b uL I u L I bu L I uL I k k k k k k k k k k ττττττ+-=++-=++++211122211)()()()(hh optπτsin 22=2sin a ....2,1)11(421k 221h k a h k πρρτ==+-=--其中（１）如果，终止算法，输出；否则下行；（２）计算：（３）计算：（４）置，转入（１）．(6) 预共轭梯度法［预置步］任意，计算，并令取：指定算法终止常数，置，进入主步；［主步］（１）计算：，（２）如果，转入（3）．否则，终止算法，输出计算结果（３）计算：（４）置，转入（1）注：在算法［主步］中，引入变量，及，可以简化计算。
常微分方程的数值求解及其应用
数值分析设计报告常微分方程的数值求解及其应用一、设计目的 (2)二、任务简介 (2)三、理论基础 (3)3.1二阶龙格-库塔方法 (3)3.2三阶龙格-库塔方法 (4)3.3四阶龙格-库塔方法 (5)3.4二阶亚当姆斯格式 (6)3.5三阶亚当姆斯格式 (7)3.6四阶亚当姆斯格式 (8)3.7亚当姆斯预报-校正系统 (9)四、案例的运算结果 (10)4.1案例一运算结果 (10)4.2案例二运算结果 (11)五、数值分析设计的GUI界面 (12)六、结果分析 (13)七、设计心得 (13)八、附录 (13)一、设计目的在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合龙格－库塔法、亚当姆斯方法的理论基础对常微分方程组问题进行求解，在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。
并利用界面将所得结果表示出来。
二、任务简介用熟悉的计算机语言编程上机完成用二阶龙格－库塔法、三阶龙格－库塔法、四阶龙格－库塔法、二阶亚当姆斯方法、三阶亚当姆斯方法、四阶亚当姆斯方法、亚当姆斯预报--校正系统求解常微分方程组。
设计统一界面的相关算法。
建立模型用数值和解析两种方法解决应用型问题。
需解决的案例如下：案例一：求解微分方程组122312333321'''329sinz zz zz x z x z x z x x---⎧=⎪=⎨⎪=-++⎩在区间[0.1,60]H=上满足条件：0.1x=时，1231z z z===的特解，画出数值解的图像，进行比较。
案例二：放射性废物的处理美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。
原子能委员会分辨说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。
第6章_MATLAB数值计算_part2
6.2.2 数值积分
b a b
f ( x)dx p1 ( x)dx (b a )
a
b
f (a ) f (b) 2 ab
( f (a) 4 f ( ) f (b)) 数值积分方法 6 2 n 1 求解定积分的数值方法多种多样， h T f ( a ) f ( b ) 2 f ( a kh ) n 如简单的梯形法、辛普生 2 k 1 (Simpson)• 法、牛顿－柯特斯 h S ( f (x ) 4 f (x ) f ( x 1)) (Newton-Cotes)法等都是经常采 6 用的方法。 h f (a) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f (b) 基本思想 6
第6章 MATLAB数值计算
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 数据处理与多项式计算 数值微积分 线性方程组求解 最优化问.1 数值微分（导数） 不关心微分的形式和性质，只关心该微分在一串离散点 的近似值以及所计算的近似值有多大的误差。 MATLAB下求数值导数的两种方法：
I e
0
1
x2
dx
2 被积函数由一个表格定义
在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道 的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时， 就无法使用quad函数计算其定积分。 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用trapz(X,Y)函数。 其中向量X、Y定义函数关系Y=f(X)。
值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2 的幂次时，可以取一个N使它大于N0且是2 的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或 fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这 样，计算速度将大大加快。 相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。 ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换； ifft(F,N)为N点逆变换；ifft(F,[],dim)或 ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数 或操作方向。
微积分中的微分方程与常微分方程
微积分中的微分方程与常微分方程微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化与极限，是应用广泛的数学工具。
微分方程是微积分的一个重要应用领域，它研究的是函数与其导数之间的关系。
在微积分中，我们常常会遇到微分方程与常微分方程的概念。
本文将介绍微积分中的微分方程与常微分方程的基本概念和应用。
一、微分方程的概念与基本形式微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。
常微分方程可以用一般形式表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$其中，$x$是自变量，$y$是未知函数，$y', y'', ..., y^{(n)}$是$y$的一阶、二阶、...、$n$阶导数。
常微分方程的解是指满足方程的函数。
常微分方程的解可以通过积分、分离变量、变量代换等方法求得。
二、微分方程的应用领域微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
它可以用于描述物理过程、生物现象、经济模型等各种实际问题。
1. 物理应用：微分方程在物理学中有着重要的应用。
例如，牛顿第二定律$F=ma$可以通过微分方程形式表示为$m\frac{d^2x}{dt^2}=F$，其中$x$是物体的位移，$t$是时间，$m$是物体的质量，$F$是作用在物体上的力。
2. 生物学应用：微分方程在生物学中的应用非常广泛。
例如，人口增长模型可以用微分方程来描述。
假设一个人口的增长率与当前人口数成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dP}{dt}=kP$，其中$P$是人口数，$t$是时间，$k$是增长率常数。
3. 经济学应用：微分方程在经济学中也有着重要的应用。
例如，经济增长模型可以用微分方程来描述。
假设一个国家的经济增长率与当前经济规模成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dE}{dt}=kE$，其中$E$是经济规模，$t$是时间，$k$是增长率常数。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验目的本实验旨在通过数值计算方法的实验操作，深入理解数值计算方法的原理与应用，掌握数值计算方法的相关技能，提高数值计算方法的实际应用能力。
二、实验内容1.数值微积分2.数值代数3.数值微分方程4.数值线性代数5.数值优化6.数值统计分析7.数值随机模拟8.数值傅立叶分析9.数值偏微分方程三、实验步骤1.数值微积分：通过不同的数值积分方法，计算给定函数的定积分值，并对不同数值积分方法的误差进行分析。
2.数值代数：通过使用线性代数方法，求解给定的线性方程组，并分析不同线性方程组求解方法的优劣。
3.数值微分方程：通过使用常微分方程数值解法，求解给定的微分方程，并比较不同求解方法的精度和稳定性。
4.数值线性代数：通过使用特征值分解方法，对给定的矩阵进行特征值分解，并分析不同特征值分解方法的优缺点。
5.数值优化：通过使用不同的优化方法，求解给定的优化问题，并比较不同的优化方法的效率和精度。
6.数值统计分析：通过使用不同的统计分析方法，对给定的数据进行统计分析，并分析不同的统计方法的优缺点。
7.数值随机模拟：通过使用随机模拟方法，模拟给定的概率分布，并分析不同随机模拟方法的效率和精度。
8.数值傅立叶分析：通过使用傅立叶分析方法，对给定的信号进行频谱分析，并分析不同的傅立叶分析方法的优缺点。
9.数值偏微分方程：通过使用偏微分方程数值解法，求解给定的偏微分方程，并比较不同求解方法的精度和稳定性。
四、实验结果与分析本实验中，通过对不同的数值计算方法的实验操作，我们可以更深入地理解数值计算方法的原理与应用，并掌握数值计算方法的相关技能，提高数值计算方法的实际应用能力。
同时，通过实验结果的分析，我们可以更好地比较不同数值计算方法的优缺点，为实际应用提供参考依据。
五、实验总结本实验旨在通过数值计算方法的实验操作，深入理解数值计算方法的原理与应用，掌握数值计算方法的相关技能，提高数值计算方法的实际应用能力。
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f (x) f (x h) f (x) f (x) f (x) f (x h) f (x) f (x h / 2) f (x h / 2) 称f(x)、f(x)及 δf(x)分别为函数在 x 点处以 h（h >0）为步长的向前差分、向后差分和中心差分。 当步长 h 充分小时，有
6.2.2 定积分的数值求解实现 在MATLAB中可以使用quad或quadl来进行数值积分。 1．自适应辛普生法 MATLAB提供了基于自适应Simpson法的quad函数和自适应Lobatto法的
quadl函数来求定积分。函数的调用格式为
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)
[I,n]=quadl(@fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控
制积分精度，默认时取tol = 10-6。trace控制是否展现积分过程，若 取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace = 0。返回参数I 即定积分值，n为被积函数的调用次数。 【例6.3】求S = 。 （1）建立被积函数文件fe.m。
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
DM=diff(M)
%计算V的一阶差分
DM=
6 −19 6 6 1
−19 1 6 6 6
6 6 6 1 −19
1 6 6 −19 6
可以看出，diff函数对矩阵的每一列都进行差分运算，因而结果矩阵的列 数是不变的，只有行数减1。矩阵DM第3列值相同，表明原矩阵第3列 是等间距的。
b
n
S f (x)dx
xi1 f (x)dx
a
i 1 xi
而在每一 个小的 子区间 上定积 分的值 可以近 似求得 。例如 ，矩形 法是用 矩形面 积代替曲 边梯形 的
面积，如图 6.2（a）所示；梯形法是用斜边梯形面积代替曲边梯形的面积，如图 6.2（b）所示；
而辛普生 法是用 抛物线 代替曲 边。
gx=cos(x); %作图
plot(x,dpx,x,dx,'o',x,gx,'+');
对于求矩阵的差分，即为求各列或各行向量的差分，从向量的差分值可 以判断列或行向量的单调性、是否等间距以及是否有重复的元素。
【例6.2】生成一个5阶魔方矩阵，按列进行差分运算。
M=magic(5)
M=
17 24 1 8 15
I=
0.927037338650659
n=
48
2．高斯-克朗罗德法 MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求振荡函数
的定积分。该函数的调用格式为
[I,err] = quadgk(@fname,a,b) 其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同。
【例6.1】设f(x) = sinx，用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一 个坐标系中做出f '(x)的图像。
为确定计算数值导数的点，假设在[0，20]区间内以π为步长求数值导数。 下面用3种方法求f(x)在这些点的导数。首先用一个5次多项式p(x)拟合 函数f(x)，并对p(x)求一般意义下的导数dp(x)，求出dp(x)在假设点的 值；第2种方法用diff函数直接求f(x)在假设点的数值导数；第3种方法 先求出导函数f ‘(x) = cosx，然后直接求f ’(x)在假设点的导数。
x=0:pi/24:pi; %用5次多项式p拟合f(x),并对拟合多项式p求导数dp在假设点的函数值
p=polyfit(x,sin(x),5);
dp=polyder(p);
dpx=polyval(dp,x); %直接对sin(x)求数值导数
dx=diff(sin([x,pi+pi/24]))/(pi/24); %求函数f的导函数g在假设点的导数
function f=fe(x)
f=x.*sin(x)./(1+abs(cos(x))); （2）调用数值积分函数quad求定积分。
quad(@fe,0,pi)
一般情况下，quadl函数调用的步数明显小于quad函数，而且精度更高，
从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 1
【例值6，.4并】在分相别同用的qu积ad分函精数度和下qu，ad比l函较数函求数椭的圆调积用分次数 0。1
1
x
4
dx
的近似
调用函数quad求定积分：
format long;
fx=inline('1./sqrt(1+X.^4)');
%定义一个语句函数
[I,n]=quad(fx,0,1,1e-10)
%注意函数名不加@号
I=
0.927037338654481
n=
113
调用函数quadl求定积分：
[I,n]=quadl(fx,0,1,1e-10)
f '(x) f (x) h
f '(x) f (x) h
f '(x) f (x) h
和差分一样，称f(x)/h、f(x)/h 及 δf(x)/h 分别为函数在 x 点处以 h（h>0）为步长的向前差商、 向后差商和中心差商。当步长 h（h >0）充分小时，函数 f 在点 x 的微分接近于函数在该点的任意 种差分，而 f 在点 x 的导数接近于函数在该点的任意种差商。
6.2 数 值 积 分
6.2.1 数值积分的原理
求解 定积 分 的数 值 方法 多种 多 样， 如 矩形 （ Rectangular） 法、 梯 形（Trape zia） 法 、辛 普生
(Simpson)• 法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间 [a，b]分成 n 个子区间
[xi，xi + 1]，i = 1，2，…，n，其中 x1 = a，xn + 1 = b。这样求定积分问题就分解为下面的求和问题 ：
第6章 数值微积分与常微分方程求解
在许多实际问题中要采用数值方法来求函数的微分或积分。
而在实际问题中遇到的常微分方程往往很复杂，在许多情况 下得不出一般解，所以，一般是要求获得解在若干个点上 的近似值。
【本章学习目标】 ● 掌握微分与积分的数值计算方法。 ● 掌握常微分方程的数值求解方法。
6.1 数 值 微 分