第六章 多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质

6.7 二重积分的概念与性质
一元函数积分学
推广 多元函数积分学
重积分 曲线积分 曲面积分
本节内容:
一、 二重积分的概念
☆例6.6.1
二、 二重积分的性质
☆例6.6.2 ☆例6.6.3 ☆例6.6.4
三、 内容小结 ★ 作业 ★ 习题解答
问题的提出
１．曲顶柱体的体积(volume) 柱体(cylindrical body)体积
n
D
f
(x,
y)d
lim
0i1
f(i
,i)i
(d dxdy)
2.二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
3. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
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§6.7 部分习题答案 1.
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3.
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3.
（3）
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m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质6.7.6 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续, 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
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二重积分中值定理的几何意义：在闭区域 D上以曲面
f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积总可以等于以区域 D
内某一点 ( , ) 的函数值 f ( , ) 为高的平顶柱体的体积.
证: 由性质5 可知,
m Df(x i,y ) n 1 D f (x ,y )d m Df(x a ,y )x
由连续函数介值定理, 至少有一点 (,)D使
f(,) 1D f(x,y)d
因此 D f(x,y)df(,)
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D
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例6.7.1 利用二重积分的几何意义求
1x2 y2d 的值，其中 D 是区域 x2 y2 1
D
解 由二重积分的几何意义有：由于被积函数
z 1x2y2 0 所以
1x2 y2d在数值上等于以曲面 z 1x2 y2
D
为顶，以 D为底的曲顶柱体的体积，它实际上是 一个半径为1的上半球体的体积，所以
D
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例 6.7.3 估计I
d
的值，
D x2 y2 2xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解
f(x,y)
1
, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
M
y
若 (x,y)非常数 , 仍可用
“大化小, 常代变,近似和, 求极限”
解决.
O
i
x
1)“大化小”
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1 , 2 , , n ,
相应把薄片也分为小块 .
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2)“常代变”
在每个 k中任取一点 (k,k),则第 k 小块的质量 M k ( k ,k ) k ( k 1 , 2 , , n )
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（4）二重积分的几何意义
当 f( x ,y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 时 ,
f(x,y)0时 ， f(x,y)d表 曲 顶 柱 体 体 积
D
f(x,y)0时 ， f(x,y)d表 曲 顶 柱 体 体 积 的 负 值
D
f(x,y)符 号 不 定 时 ， f(x,y)d表 曲 顶 柱 体 体 积 代 数 和
D
故 ln x ( y ) 1 ,
o 12x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2d .
D
D
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作业
P236 3.（1）（3） 4.（2） 5.
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内容小结
1. 二重积分的定义
D
D 1
D 2
性质6.7.3 若 为D的面积,则 1dd.
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D
性质6.7.4（不等式性）若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg(x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
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性质6.7.5 设 M 、m分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则
积.
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二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质6.7.１设 、 为常数，则
[f(x,y)g(x,y)]d
D
f(x ,y )d g (x ,y )d .
D
D
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性质6.7.2（对积分区域具有可加性）(D D 1D 2)
f(x ,y ) d f(x ,y ) d f(x ,y ) d .
n
Il i0m k1f(k,k)k 记作 Df(x,y)d
则称 f(x,y)可积 , 称 I为 f(x,y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
Df(x,y)d x, y称为积分变量
积分域
被积函数 面积元素
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对定义的几点说明：
(1) 二重积 f(x,分 y)d与积分 D的 区 分 域 割
D
式及 (xi,点 yi)的取法 ; 无关
(2) 二 重 积 分f(x,y)d是 一 个 数 值 ,只 与 积 分 区
D
域D和 被 积 函 数 有 关 ,而 与 积 分 变 量 用 字 母 表 示 无 关 ,
即
f(x,y)d f(u ,v)d
D
D
（3）面积元素 ddxdy
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在直角坐标系下用平行
3)“近似和”
y
n
n
M Mk (k,k)k
k1
k1
4)“取极限”
令 1 m k n a ( x k)
n
Ml i0m k 1(k,k)k
O
x
(k,k) k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
zf(x,y)
=底面积× 高 特点：平顶. 曲顶柱体体积=？
D
特点：曲顶(curved
vertex surface).
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4)“取极限”
定义 k的直径为 ( k ) m P 1 P 2 P 1 a , 2 P x k
例 6.7.2 不作计算，估计 I e( x2 y2 )d 的值，
D
其中 D是圆闭区域： x2 y2 a2 . (0 a)
解 在 D 上 0 x 2 y 2 a 2 ,
1e0ex 2 y2ea 2,
由 性 质 6知
e d (x2y2) ea2,
D
a2 e(x2y2)da2ea2,
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
平面薄片的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k)k
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二重积分的定义
定义6.7.1设f(x,y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 k( k 1 ,2 , ,n ),
任取一点 (k,k) k,若存在一个常数 I , 使
令 m a ( x k) 1 k n
zf(x,y)
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
f(k,k)
(k ,k ) k
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引例6.7.2 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密
度为 (x,y) C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
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例 6.7.4 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
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D 1x2y2d1 2V 球 1 24 32 3
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（补充）二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数 f (x,y)在有界闭区域 D上连续, 则 f (x,y)在D上可积.
定理2. 若有界函数 f (x,y)在有界闭区域 D 上除去有 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 则f(x,y)在D上可
于坐标轴的直线网来划分区 y
域D，这时 k xk yk,
则面积元素(areal element) 为
O
ddxdy
D
x
故二重积分可写为
f(x,y)d f(x,y)d xd y
D
D
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引例1中曲顶柱体体积:
VDf(x,y)dD f(x,y)dxdy
引例2中平面薄板的质量:
MD (x,y)dD (x,y)dxdy