第六章 多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质
二重积分及其应用于平面区域的面积计算
二重积分及其应用于平面区域的面积计算二重积分是微积分中的重要概念，它是对平面区域上一个函数的积分。
在本文中，我将详细介绍二重积分的概念、性质和应用于平面区域面积计算的方法。
一、二重积分的概念和性质二重积分用于计算平面上某个函数在一个有界区域上的积分。
假设有一个平面区域D，它可以被一个闭区间[a, b]和一个连续函数g(x)所确定，那么函数f(x, y)在D上的二重积分可以表示为：∬_D▒f(x,y)dσ = ∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒f(x,y)dydx其中dσ表示平面区域D的面积元素，f(x, y)是被积函数，g(x)和h(x)是确定区域D上y的范围的两个函数。
二重积分具有以下性质：1. 线性性：对于函数f(x, y)和g(x, y)，以及常数c，有∬_D▒(cf(x,y)+g(x,y))dσ = c∬_D▒f(x,y)dσ+∬_D▒g(x,y)dσ。
2. 切割性：如果区域D可以被切割成有限个子区域Di，那么∬_D▒f(x,y)dσ = ∑▒∬_D_i▒f(x,y)dσ，其中∬_D_i▒表示对子区域Di的二重积分。
二、应用于平面区域面积计算的方法二重积分可以应用于计算平面区域的面积。
将平面区域D分为无穷小的面积元素dσ，利用二重积分的定义可以得到平面区域D的面积S为：S = ∬_D▒dσ = ∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒dydx其中函数f(x, y)可以简化为1，因为在这种情况下，二重积分的计算只需求区域D的面积。
在实际应用中，计算平面区域的面积可以采用两种不同的方法：直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系方法在直角坐标系下，平面区域的面积计算可以通过确定区域上下边界的函数和左右边界的值来进行。
首先，通过确定左右边界的x值范围[a, b]，以及上下边界的y值范围[g(x), h(x)]，可以得到平面区域D的边界方程。
然后，应用二重积分的定义，计算∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒dydx即可得到平面区域D的面积。
第六章 多元函数微积分
30
用坐标表示的向量的运算
→
设向量 a = ax , ay , az , b = bx , by , bz 则 a± b = ax ± bx , ay ± by , az ± bz
→ →Biblioteka {}→{
}
{
}
λ a = {λax , λay , λaz }
→
31
示
→ →
例
→ → → →
设向量a = {3,−5,6}, b = {2,−1,4} ，计算 a+ 2 b, 3 a− 4 b
例
14
简单的二次曲面
如果空间曲面Σ上的任一点的坐标（ x、y、z ）都满足方程
F(x、y、z) = 0 ，而满足 F(x、y、z) = 0 的（ x、y、z ）值均在
曲面Σ上，则称 F(x、y、z) = 0 为曲面Σ的方程．
若方程是二次的，所表示的曲面为二次曲面 二次曲面
15
简单的二次曲面
球面
空间中与一定点的距离为定长的点的轨迹称为球面， 定点称为球心，定长称为半径．
三角形法则
27
向量的几何运算
减法运算
由于a − b = a + (−b) ，将向 a 和 b 的起点移到同一点Ｏ，则以 b 的终点 为起点，以 a 的终点为终点的向量是a − b
三角形法则
28
向量的几何运算
数乘向量
设a 是一个非零向量，λ 是一个非零实数，则a 与λ 的乘积仍是向量， 称为数乘向量，记作λa
B( x2 , y2 , z2 ) ，
AB = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}
| AB |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1)2
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
《微积分》教材目录
《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。
高数大一最全知识点
高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。
掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。
下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。
第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。
2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。
3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。
第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。
2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。
3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。
3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。
第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。
2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。
3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。
第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。
2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。
大一高数知识点总结详细
大一高数知识点总结详细高等数学作为大一学生必修的一门重要课程，是培养学生抽象思维和数学分析能力的基础。
下面将对大一高数课程的知识点进行详细总结。
希望这个总结能够帮助同学们更好地理解和掌握高等数学的内容。
一、数列与数列极限1. 数列的定义和表示2. 数列的极限概念3. 数列的收敛与发散4. 数列极限的性质与运算5. Cauchy准则6. 单调数列的极限二、函数与连续性1. 实函数和复函数的定义2. 基本初等函数的定义和性质3. 函数的极限概念4. 无穷小量与无穷大量5. 函数的连续性与间断点6. 初等函数的连续性三、导数与微分1. 函数的导数概念2. 导函数的计算方法3. 高阶导数与导数的应用4. 隐函数与参数方程的导数5. 函数的微分与微分近似四、定积分与不定积分1. 定积分的概念和性质2. 可积性与计算方法3. 定积分的应用4. 不定积分的概念和性质5. 基本积分表与换元积分法6. 不定积分的应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念2. 高阶线性微分方程和常系数齐次线性微分方程3. 高阶常系数非齐次线性微分方程4. 变量可分离方程与一阶线性微分方程5. 微分方程的应用六、多元函数微积分1. 二元函数和二元函数极限2. 多元函数的连续性和偏导数3. 隐函数与参数方程的偏导数4. 多元函数的极值与条件极值5. 多元函数的微分与全微分七、多重积分1. 二重积分的概念和性质2. 可积性与计算方法3. 极坐标系下的二重积分4. 三重积分的概念和性质5. 球坐标系下的三重积分八、曲线与曲面积分1. 曲线积分的概念和性质2. 线段参数表示和第一类曲线积分3. 第二类曲线积分和格林公式4. 曲面积分的概念和性质5. 参数化表示和曲面积分的计算以上是大一高数课程中的主要知识点总结，希望能给同学们提供一个全面的回顾与复习参考。
在学习过程中，要注重理论与实践相结合，多进行练习和应用，才能真正掌握高等数学的思想和方法。
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
高等数学第七版教材目录
高等数学第七版教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则1.6 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 隐函数与参数方程的求导第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凸凹性3.3 泰勒公式与函数的近似计算3.4 误差估计与导数的应用3.5 函数的图形与曲线的切线与法线第四章：积分与微分方程4.1 不定积分与定积分4.2 定积分的应用4.3 定积分的计算4.4 定积分中值定理与变限积分4.5 微积分基本定理4.6 微分方程的基本概念第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数与参数方程的求导5.5 多元函数的极值问题5.6 条件极值与拉格朗日乘数法第六章：重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算6.6 三重积分的应用第七章：曲线与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质7.2 曲线积分的计算7.3 曲线积分的应用7.4 曲面积分的概念与性质7.5 曲面积分的计算7.6 曲面积分的应用第八章：无穷级数8.1 数项级数的收敛性与敛散性8.2 正项级数的审敛法8.3 一般级数的审敛法8.4 幂级数与幂函数8.5 傅里叶级数的概念与性质8.6 傅里叶级数的计算第九章：常微分方程9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 高阶微分方程的解法9.4 变量可分离方程与齐次方程9.5 常系数线性微分方程9.6 非齐次线性微分方程的特解第十章：数值计算方法10.1 插值多项式与拉格朗日插值10.2 牛顿插值与分段插值10.3 数值积分与复化公式10.4 数值微分与数值解微分方程10.5 常微分方程的数值解法10.6 线性方程组的数值解法通过以上目录，我们可以清楚地了解到高等数学第七版教材涵盖的知识内容。
微积分——多元函数及二重积分知识点
微积分——多元函数及二重积分知识点
一、多元函数
多元函数是指变量、个数多于一个的函数。
常见的函数可以分为二元、三元函数。
1、二元函数
二元函数是指变量、个数为两个的函数，常见的二元函数有：二次函数、双曲线函数等。
（1）二次函数
二次函数是指用一元二次方程记录的函数，一般格式为：y=ax²+bx+c，其中a≠0，则二次函数是一个关于x的二次多项式函数，当a>0时，它
的图像呈现出U形；当a<0时，它的图像呈现出锥形。
（2）双曲线函数
双曲线的定义式有很多种，常见的有标准双曲线、变形双曲线等，它
们的共同特点是，双曲线的图像都是上下对称的，它们的定义式具有一定
的对称性。
2、三元函数
三元函数是指变量、个数为三的函数，一般格式为：z=f（x,y），它
们也有很多类型，比如极坐标函数、椭圆函数、正弦函数、余弦函数等。
（1）极坐标函数
指的是用极坐标表示的只有一个变量的函数，通常表示为r=f（θ），其中r代表半径，θ代表角度，则r随着θ的变化而变化，极坐标函数
的图像一般是一个圆或者椭圆。
（2）椭圆函数
椭圆函数是指以椭圆为图形的函数，一般表示为：
（x-x0）²/a²+(y-y0）²/b²=1，其中a是x轴的长半轴，b是y轴的
长半轴，x0、y0是椭圆圆心坐标。
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我将详细介绍二重积分的概念和计算方法。
首先，我们来介绍二重积分的概念。
在平面上，一个闭区域可以被划分为无数个面积微元，每个微元的面积可以表示为dA。
如果我们想要求解整个闭区域的面积，我们可以将每个微元的面积相加。
这个过程可以用二重积分来表示。
二重积分的一般形式为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是一个定义在闭区域上的函数。
我们将f(x,y)称为被积函数，表示在闭区域上特定点(x,y)处的函数值。
而dA则表示面积微元，可以视为一个小矩形的面积。
在实际计算中，二重积分的计算可以通过累加的方式进行。
首先，我们需要确定闭区域的边界，并确定积分的次序。
闭区域的边界可以通过给出的条件或图形来确定，而积分的次序可以根据被积函数的性质来确定。
一般来说，二重积分有两种次序，即x先变化后y变化的次序和y先变化后x变化的次序。
根据被积函数的性质，我们可以选择合适的次序来进行积分。
在计算中，我们通常采用迭代的方法，将二重积分转化为两个单变量的积分来计算。
接下来，我们来介绍二重积分的计算方法。
对于一般的二重积分，我们可以将闭区域划分为无数个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后，我们将每个小矩形的面积与被积函数在相应点上的函数值相乘，并将所有小矩形的面积乘以函数值的乘积相加，即可得到二重积分的值。
对于x先变化后y变化的次序，我们可以将闭区域划分为n个子区域，并将每个子区域划分为m个小矩形。
然后，我们可以选择子区域的边界上的两个点，分别为(xi,yj)和(xi+1,yj+1)，其中i的取值范围为1到n，j的取值范围为1到m。
接下来，我们可以通过计算每个小矩形的面积和被积函数在相应点上的函数值来求得二重积分的近似值。
最后，我们将这些近似值相加，并取极限得到二重积分的精确值。
对于y先变化后x变化的次序，我们的计算方法类似。
二重积分的概念-与性质
D
中值定理的几何意义：当 f (x ，y) 0 时，曲顶柱体的体积等于以 D 为底，以 D 上某点 ( ，) 处的值 f ( ，) 为高的平顶柱体的体积．
1.3 二重积分的性质
性质 8（偶倍奇零）
（1）设 f (x ，y) 在有界闭区域 D 上连续，区域 D 关于 x 轴对称．那么，当 f (x ，y)
f (x ，y)d f (x ，y)dxdy ．
D
D
其中， dxdy 称为直角坐标系中的面积元素．
结论 在 xOy 平面有界闭区域上定义的二元连续函数是可积的．
1.2 二重积分的几何意义
在 xOy 平 面 的 有 界 闭 区 域 D 上 ， 如 果 有 界 函 数 f (x ，y) 0 ， 则 二 重 积 分
对于平顶柱体，其体积等于底面积乘以高．对于曲顶柱体， 其高度 f (x ，y) 是 x，y 的函数，即曲顶柱体的高度不是常数，所 以不能用计算平顶柱体体积的公式来计算曲顶柱体的体积．那么 如何解决这个问题呢？我们可以用之前求曲边梯形面积的方法来 试试，具体过程如下．
1.1 二重积分的概念
（1）分割：用任意一组曲线网把区域 D 分割为 n 个小闭区域 i (i 1，2， ，n) ， 小闭区域的面积记作 i (i 1，2， ，n) ，小闭区域 i 上任意两点间距离的最大值称为 该小闭区域的直径，记为 di (i 1，2， ，n) ，每个小闭区域对应着一个小的曲顶柱体， 它们的体积记作 Vi (i 1，2， ，n) ．
（3）如果 D 关于原点对称， (x ，y) D ，则有
0 ，
f (x ， y) f (x ，y) ，
f (x ，y)d
D
2
微积分——多元函数及二重积分知识点
第四章 矢量代数与空间解析几何微积分二大纲要求了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法.第一节 矢量代数一、容精要（一） 基本概念 1.矢量的概念定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。
长度为1的矢量称为单位矢量。
定义4.2两个矢量a 与b，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a =.换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。
k a j a i a a3211(++=称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a = 称为坐标式。
.||232221a a a a ++= 若,0≠a 记||0a a a=。
知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a =。
因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a方向一致的单位矢量0a ，则.||0a a a=若},{321a a a a = ，知},cos ,cos ,{cos },,{2322213232221223222110γβα=++++++=a a a a a a a a a a a a a其中γβα..是a分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而,cos ,cos ,cos 232221323222123322211a a a a a a a a a a a a ++=++=++=γβα且.1cos cos cos 222=++γβα2.矢量间的运算设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a ===).0||,0|(|||||cos ),0(cos ||||≠≠⋅=≤≤=⋅b a b a b a b a b a θπθθ .cos ,232221232221332211332211b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a ++++++=++=⋅θa a a a a a a a ⋅===⋅知,0cos 2b a ⨯的确定（1）,sin ||||||θb a b a =⨯（2）b a ⨯与b a,所确定的平面0,0||,||,(=⨯=⨯≠b a b a b a b a 即知若，方向可任意确定）垂直，且b a b a⨯,,构成右手系若c b a ,, 用坐标式给出，则k a b b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a)()()(212113312332321321-+---==⨯由行列式的性质可知.a b b a⨯-=⨯b a ⨯的几何意义：b a⨯表示以b a ,为邻边的平行四边形的面积，即.||sin ||||||s h a b a b a ===⨯θ容易知道以b a,为邻边的三角形面积为||21b a s ⨯=.容易验证 ().||||||2222b a ba b a=⋅+⨯321321321)(c c c b b b a a a c b a =⋅⨯c b a⋅⨯)(的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。
2008考研网校高数强化讲义6-7章
第六章多元函数微积分（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。
同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。
第一节多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。
复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。
【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。
【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。
在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。
在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。
【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。
另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。
一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。
定义2 如果连续。
如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。
定理1 最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
高数第六章-二重积分(1-2节)(1)
本章起介绍多元函数积分学. 在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的 极限. 这种和的极限的概念推广到定义在平面和空间区域、曲线及曲面上多元函数的情形, 便 得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念. 本章将介绍重积分(包括二重积分和三重积分)的概 念、计算方法以及它们的一些应用.
n
f (i ,i ) i . 如果当各小闭区域 i 的直径 i 的最大值 趋于零时, 这和式的极限
i 1
总存在, 则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分, 记作 f (x , y) d , 即
D
n
D
f (x , y) d lim 0 i1
f (i ,i )i .
域, 则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分
的和.
例如闭区域 D 分为两个闭区域 D1 与 D2 (图 6-4), 则
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d ,
图 6-4
D
D1
D2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性.
性质 3 如果在 D 上, f (x, y) 1, 为区域 D 的面积, 则
以上思想加以抽象推广, 可引入以下二重积分的概念. 2．二重积分的定义
定义 1 设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数. 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区
域 1 , 2 , , n , 其中 i 既表示第 i 个小闭区域, 也表示它的面积. 在每个小
闭 区 域 i 中 任 取 一 点 (i ,i ) , 作 乘 积 f (i ,i )i (i 1, 2, , n) , 并 作 和
上的二重积分都是存在的. (3) 直角坐标系下二重积分面积元素的表示
微积分课件 二重积分的概念
i为底作平顶柱体, 其体积为
O
y
f (i ,i ) i
D
x
i
(i ,i )
Vi f (i ,i ) i (i 1,2, ,n)
n
V f (i ,i ) i i 1
6
3.求和取极限
令di
表示
内任意两点间距离的最大值
i
(称为该区域的直径), 又令
y i
d max 1in
x
O
23
x+y=1
15
例2 估计 (x2 y2 9)d ,其中D : x2 y2 4.
D
解 由第八章二元函数最值的求法知：
要求 z x2 y2 9
在区域D : x2 y2 4的最值, 须先求出ƒ(x,y)在D内全部驻点的函数值、一阶偏导不 存在的点的函数值以及区域D的边界上的最值,再比较
di
,
O
x
若当d→0时(此时必有n→∞,但n→∞不能保证有d→0),
n
有
V
lim d 0
i 1
f (i ,i ) i
存在，
则定义此极限为曲顶柱体之体积.
注1 这种和式的极限的应用极广；各个领域中的不少 问题通常都要化为这种和式的极限；我们常把这种和 式的极限称为 二重积分.
7
§1 二重积分的概念
1
2 x2 ( y1)2 2
f (x, y)dxdy .
解 因ƒ(x,y)在闭区域D上连续,而 2,
则由得中值定理
I lim 1 f ( ,) 0 2
lim f ( ,) 0
lim f (,) ( ,) (0,1)
( ,) D
=ƒ(0,1)=1.
18
(整理)第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f xy =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0l i m (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0l i m ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dzx y z ∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz u x du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
二重积分的概念与性质
0
D
f x, y为顶曲面方程非负
D为底面区域.
思 考：
若f x, y 0，二重积分与曲顶柱体的体积的关系如何表示？
f x, yd V , f x, y 0
D
二、二重积分的性质
回顾：定积分的性质
性质1 线性性质
b
a
k
f
x
hg
x
dx
b
k a
f
xdx
b
ha
g x dx
性质2 区域有限可加性
b
a
f
xdx
c
a
f
xdx
b
c
f
xdx
类比：二重积分的性质
性质1 线性性质
[kf (x, y) hg(x, y)]d
D
k f (x, y)d h g(x, y)d
D
D
性质2 区域有限可加性
f (x, y)d
DD1 D2
f (x, y)d f (x, y)d
D1
D2
二、二重积分的性质
回顾：定积分的性质
任意分割: i ,i 1, n
任意取点: i ,i i
f x, y 在 D
上的二重积分
f i ,i i
n
f i ,i i
i 1
记 max i1,2, ,n
i
n
I
lim
0 i1
f
i ,i i 总存在
f x, y d
D
一、二重积分的定义
注释1： 符号说明
积分变量
被积表达式
i ,i i
y i
O
i ,i
x
一、二重积分的定义
归 纳：
二重积分的概念与性质
D
故二重积分可写为 f (x, y)d f (x, y)dxdy o
x
D
D
引例1中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
引例2中平面薄板的质量:
M D ( x, y)d D ( x, y)d x d y
13/24
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
D
D1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 I f ( x, y)d 0
D
22/24
y
D1
oD x
当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.
2. 若D关于原点对称,
(1) f ( x, y) f ( x, y), I 0
(2) f ( x, y) f ( x, y), I 2 2
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y)2 ( x y)3
(x y)2 d (x y)3 d
D
D
解Ⅱ 见作业答案解法或有关习题解答
18/24
例2 不作计算，估计 I e(x2y2 )d 的值，
D
其中
D
是椭圆闭区域：
x a
2 2
y2 b2
1
(0 b a).
从而二重积分都是存在的.
(3) f (x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件. 连续是二重积分存在的充分条件
(证明略)
3.【二重积分的几何意义】
11/24
体
1)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体的体积.
积 的
D
2)若 f ( x, y) 0 , f ( x, y)d 表曲顶柱体体积的负值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
D 1
D 2
性质6.7.3 若 为D的面积,则 1dd.
D
D
性质6.7.4（不等式性）若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg(x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
上一页 下一页 目 录
性质6.7.5 设 M 、m分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则
上一页 下一页 目 录
（4）二重积分的几何意义
当 f( x ,y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 时 ,
f(x,y)0时 ， f(x,y)d表 曲 顶 柱 体 体 积
D
f(x,y)0时 ， f(x,y)d表 曲 顶 柱 体 体 积 的 负 值
D
f(x,y)符 号 不 定 时 ， f(x,y)d表 曲 顶 柱 体 体 积 代 数 和
6.7 二重积分的概念与性质
一元函数积分学
推广 多元函数积分学
重积分 曲线积分 曲面积分
本节内容:
一、 二重积分的概念
☆例6.6.1
二、 二重积分的性质
☆例6.6.2 ☆例6.6.3 ☆例6.6.4
三、 内容小结 ★ 作业 ★ 习题解答
问题的提出
１．曲顶柱体的体积(volume) 柱体(cylindrical body)体积
内某一点 ( , ) 的函数值 f ( , ) 为高的平顶柱体的体积.
证: 由性质5 可知,
m Df(x i,y ) n 1 D f (x ,y )d m Df(x a ,y )x
由连续函数介值定理, 至少有一点 (,)D使
f(,) 1D f(x,y)d
因此 D f(x,y)df(,)
上一页 下一页 目 录
例 6.7.2 不作计算，估计 I e( x2 y2 )d 的值，
D
其中 D是圆闭区域： x2 y2 a2 . (0 a)
解 在 D 上 0 x 2 y 2 a 2 ,
1e0ex 2 y2ea 2,
由 性 质 6知
e d (x2y2) ea2,
D
a2 e(x2y2)da2ea2,
zf(x,y)
=底面积× 高 特点：平顶. 曲顶柱体体积=？
D
特点：曲顶(curved
vertex surface).
上一页 下一页 目 录
上一页 下一页 目 录
上一页 下一页 目 录
4)“取极限”
定义 k的直径为 ( k ) m P 1 P 2 P 1 a , 2 P x k
M
y
若 (x,y)非常数 , 仍可用
“大化小, 常代变,近似和, 求极限”
解决.
O
i
x
1)“大化小”
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1 , 2 , , n ,
相应把薄片也分为小块 .
上一页 下一页 目 录
2)“常代变”
在每个 k中任取一点 (k,k),则第 k 小块的质量 M k ( k ,k ) k ( k 1 , 2 , , n )
D
上一页 下一页 目 录
例 6.7.3 估计I
d
的值，
D x2 y2 2xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解
f(x,y)
1
, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
nLeabharlann l i0 m k1f(k,k)k平面薄片的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k)k
上一页 下一页 目 录
二重积分的定义
定义6.7.1设f(x,y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 k( k 1 ,2 , ,n ),
任取一点 (k,k) k,若存在一个常数 I , 使
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
上一页 下一页 目 录
例 6.7.4 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
3)“近似和”
y
n
n
M Mk (k,k)k
k1
k1
4)“取极限”
令 1 m k n a ( x k)
n
Ml i0m k 1(k,k)k
O
x
(k,k) k
上一页 下一页 目 录
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
D
上一页 下一页 目 录
例6.7.1 利用二重积分的几何意义求
1x2 y2d 的值，其中 D 是区域 x2 y2 1
D
解 由二重积分的几何意义有：由于被积函数
z 1x2y2 0 所以
1x2 y2d在数值上等于以曲面 z 1x2 y2
D
为顶，以 D为底的曲顶柱体的体积，它实际上是 一个半径为1的上半球体的体积，所以
n
D
f
(x,
y)d
lim
0i1
f(i
,i)i
(d dxdy)
2.二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
3. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
上一页 下一页 目 录
§6.7 部分习题答案 1.
上一页 下一页 目 录
3.
上一页 下一页 目 录
3.
（3）
上一页 下一页 目 录
LOGO
广东外语外贸大学
积.
上一页 下一页 目 录
二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质6.7.１设 、 为常数，则
[f(x,y)g(x,y)]d
D
f(x ,y )d g (x ,y )d .
D
D
上一页 下一页 目 录
性质6.7.2（对积分区域具有可加性）(D D 1D 2)
f(x ,y ) d f(x ,y ) d f(x ,y ) d .
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质6.7.6 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续, 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
上一页 下一页 目 录
二重积分中值定理的几何意义：在闭区域 D上以曲面
f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积总可以等于以区域 D
D 1x2y2d1 2V 球 1 24 32 3
上一页 下一页 目 录
（补充）二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数 f (x,y)在有界闭区域 D上连续, 则 f (x,y)在D上可积.
定理2. 若有界函数 f (x,y)在有界闭区域 D 上除去有 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 则f(x,y)在D上可
D
式及 (xi,点 yi)的取法 ; 无关
(2) 二 重 积 分f(x,y)d是 一 个 数 值 ,只 与 积 分 区
D
域D和 被 积 函 数 有 关 ,而 与 积 分 变 量 用 字 母 表 示 无 关 ,
即
f(x,y)d f(u ,v)d
D
D
（3）面积元素 ddxdy
上一页 下一页 目 录
在直角坐标系下用平行
于坐标轴的直线网来划分区 y
域D，这时 k xk yk,
则面积元素(areal element) 为
O
ddxdy
D
x
故二重积分可写为
f(x,y)d f(x,y)d xd y
D
D
上一页 下一页 目 录
引例1中曲顶柱体体积:
VDf(x,y)dD f(x,y)dxdy
引例2中平面薄板的质量:
MD (x,y)dD (x,y)dxdy
D
故 ln x ( y ) 1 ,
o 12x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2d .
D
D
上一页 下一页 目 录
作业
P236 3.（1）（3） 4.（2） 5.
上一页 下一页 目 录
内容小结
1. 二重积分的定义
n
Il i0m k1f(k,k)k 记作 Df(x,y)d
则称 f(x,y)可积 , 称 I为 f(x,y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
Df(x,y)d x, y称为积分变量
积分域
被积函数 面积元素
上一页 下一页 目 录
对定义的几点说明：
(1) 二重积 f(x,分 y)d与积分 D的 区 分 域 割
令 m a ( x k) 1 k n
zf(x,y)
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
f(k,k)
(k ,k ) k
上一页 下一页 目 录
引例6.7.2 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密
度为 (x,y) C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则