高一精选题库习题数学7-3

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高等数学题库(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除（一）函数、极限、连续一、选择题：1、在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y2、当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )（A ）无穷大量（B ）无穷小量（C ）无界函数（D ）有界函数3、当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶无穷小（D ）等阶无穷小 4、x =0是函数1()arctan f x x=的( )（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点；（C ）振荡间断点（D ）无穷间断点 5、下列的正确结论是（）（A ）)(lim x f xx →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;（D ）当∞→x 时，xxx x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.二、填空题：1、若),1(3-=x f y Z 且x Zy ==1则f (x )的表达式为 ;2、已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214lim 1x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、设,)(ax ax x f --=则x =a 是f (x )的第类间断点; 5、 ,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ；三、计算题:1、计算下列各式极限：（1）x x x x sin 2cos 1lim0-→；（2）xxx x -+→11ln 1lim 0；（3）)11(lim 22--+→x x x （4）xx x x cos 11sinlim30-→（5）x x x 2cos 3sin lim 0→ （6）xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a , b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.（二）导数与微分一、填空题:1、设0()f x '存在，则tt x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、设xey2sin =, 则dy = ;4、设),0(sin >=x x x y x 则=dxdy; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x 确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 212、设曲线21x e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=0 3、设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x ex f ax 处处可导，则( )(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =1 4、若f (x )在点x 可微,则xdyy x ∆-∆→∆0lim的值为( )(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( )(A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx '(C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、若g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、设()ln f x x x =, 求()()n f x .7、计算.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、若01lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin limx f f x f x -→= ;4、 x e y xsin =的极大值为，极小值为 ; 5、 )10(11≤≤+-=x xxarctgy 的最大值为，最小值为 . 二、选择题：1、如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（）（A ）仅有一个根；（B ）至少有一个根；（C ）没有根；（D ）以上结论都不对。

高一数学训练习题参考答案

数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°，得θ=k•60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l=20－2r,∴S= lr= (20-2r)•r=－r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,θ= ，且 <θ< π，∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9. 或π； 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（ ,- ）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= － ==sinx+cosx13.左边=tan2θ－sin2θ= －sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得：sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②，两式推出sinα= ，因为α∈(- , )，所以α= 或- ；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β= ，于是存在α= ，β= 或α=- ，β= ，使两等式同时成立。

精选题库高一习题数学7-4

第7模块第4节[知能演练]一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．答案：C2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m⊥n，m⊥β，则n∥β；③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.A．①③B．②③C．③④D．④解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D3．下列命题正确的是() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案：C4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.答案：C 二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393.答案：23936．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ，又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 答案：223a三、解答题7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD .解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2－BE 2＝a 2－2a 23＝33a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，∴EP ＝BE 2EC ＝23233a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AFFB ＝2时，可以使EF ∥平面PAD .证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB 綊23CD ，∴EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形．∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .[高考·模拟·预测]1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.答案：B3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．答案：C4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角为45°D．二面角D－OB－A为45°解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.答案：B5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ，故CQ ⊥平面ABE .由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角．在Rt △DPA 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. [备选精题]6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，连接CH ，∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴AN NH ＝AM MC，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ，则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。

高一数学课后习题与答案

人教版高一数学课后答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ；（2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=；（4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =；（6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ． 1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B == ， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B == ．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ． 2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=- ．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ． 3．解：{|}A B x x = 是等腰直角三角形，{|}A B x x = 是等腰三角形或直角三角形． 4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B 痧．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð，则(){2,4}U A B = ð，()(){6}U U A B = 痧．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ；（2）23______N ；（3）π_______Q ；（4R ；（5Z ；（6）2_______N ． 1．（1）237Q ∈ 237是有理数；（2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数；（4R（5Z3=是个整数；（6）2N ∈ 2)5=是个自然数． 2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ；（2）7_______A ；（3）10-_______A ．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ． 6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥ ，{|34}A B x x =≤< ．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B = ，{3,4,5,6}A C = ，而{1,2,3,4,5,6}B C = ，{3}B C = ，则(){1,2,3,4,5,6}A B C = ，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C = ．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅ ．（1）{|}A B x x = 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x = 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð． 9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x = 是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}A B x x =<< ，{|37}A B x x =≤< ， {|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥ 或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥ 或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤< 或ð， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥ 或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B = ，则集合B 有个． 1．4 集合B 满足A B A = ，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集． 2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ． 3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅ ；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B == ；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B == ；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅ ．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤ ，(){1,3,5,7}U A B = ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B = ，得U B A ⊆ð，即()U UA B B =痧，而(){1,3,5,7}U A B = ð，得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+；（2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象． 3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与AB 中的元素是什么？与B中的元素2相对应的A 中元素是什的么？4．解：因为sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B；因为sin 45=，所以与B相对应的A 中元素是45．（A ）（B ）（C ）（D ）1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-；（2）()f x =（3）26()32f x x x =-+；（4）()f x =1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）267y x x =-+． 3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，值域是(,0)(0,)-∞+∞ ；（3）域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定义（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-，（1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩；（2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？ 8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y=>，由对角线为d ，即d =，得0)d x =>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=，显然0x h ≤≤，即240v t h d π≤≤，得204h d t vπ≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)- ；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即1235xt -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()355t h -=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．整个上午(8:0012:00) 天气越来越暖，中午时分(12:0013:00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00 期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+；（2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=；（4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--；（2）29y x =-. 1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.120x x <<，而2．证明：（1）设2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间；（2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC == 的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC == 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B = ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅ ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =- . 6.求下列函数的定义域：（1）y ；（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞ ． 7.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B = ð，(){2,4}U A B = ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B = ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B = ，集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

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第7章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD⃘平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交答案：B解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD⃘平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面，故选B.2. [原创题]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若n⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m α，n β，则α∥β答案：B解析：A错，两平面也可相交；B正确，垂直于同一条直线的两平面平行；C错，直线n可能在平面α内；D错，不符合面面平行的判定定理．故选B.3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；②若α∥β，l α，m β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0答案：C解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.②中l与m也可能异面．③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确． 4. [2012·广东质检]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线()A. 不存在B. 有1条C. 有2条D. 有无数条答案：D解析：由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行，故选D.5．如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值． A ．① B ．①② C ．①③ D ．②③答案：C解析：①中由已知可得面A ′FG ⊥面ABC ， ∴点A ′在面ABC 上的射影在线段AF 上． ②当A ′点与F 点重合时不符题意．③当面A ′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A ′－FDE 的体积达到最大．6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1，BC 的中点．点P 在对角线BD 1上，且BP →＝23BD 1→，给出下列四个命题：(1)MN ∥平面APC ；(2)C 1Q ∥平面APC ；(3)A ，P ，M 三点共线；(4)平面MNQ ∥平面APC .其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(3)D ．(3)(4)答案：C解析：设E 、F 分别为AC 、MN 的中点，G 为EF 与BD 1的交点，显然△D 1FG ∽△BEG ，故D 1G BG ＝D 1F BE ＝12，即BG ＝23BD 1，又BP →＝23BD 1→，即BP ＝23BD 1，故点G 与点P 重合，所以平面APC 和平面ACMN 重合，MN 平面APC ，故命题(1)不正确，命题(4)也不正确，结合选项可知选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是△ABC 的重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.答案：2393解析：BC ∥平面α，MN ∥BC ，D 为BC 中点，从而MN BC ＝AG AD ＝23，∴MN ＝23BC .在△ABC 中，BC 2＝52＋72－2×5×7×cos60°＝39， ∴BC ＝39. ∴MN ＝2393.8. 在空间中，下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线互相平行；②平行于同一个平面的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一个平面的两条直线互相平行，其中真命题有__________(写出所有真命题的序号)．答案：③⑤解析：①过一点必须强调“过直线外一点”，当点在直线上时，不存在直线与已知直线平行，故①为假命题；②平行于“同一条直线”的两条直线平行，而不是“同一个平面”，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能平行、相交或异面，故②为假命题；③平行公理4阐述的是直线平行关系的传递性，无论在平面内还是在空间中都成立，故③为真命题；④在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线，不一定平行，故④为假命题；⑤为真命题．9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈FH解析：∵HN ∥DB ，FH ∥D 1D ，∴面FHN ∥面B 1BDD 1.故M ∈FH . 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [改编题]如图，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12AF ，G 、H 分别是F A 、FD 的中点．(1)证明：CH ∥平面BEF A ；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？解：(1)由题意，知FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．所以CH ∥BG ，又CH ⃘平面BEF A ，BG 平面BEF A ，所以CH ∥平面BEF A .(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．11. [2011·江苏]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .证明：(1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⃘平面PCD ，PD 平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF 平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .12．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．(1)求证：BP ⊥AC ；(2)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC? (3)求三棱锥B －NMC 的体积．分析：本题考查三视图与直观图，线面垂直与平行的判断、证明．解： (1)连接BD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，又SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC ，∵BD ∩SD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵BP 平面SDB ，∴AC ⊥BP .(2)取SD 的中点P ，连接PN ，AP ，MN ，则PN ∥DC 且 PN ＝12DC .∵底面ABCD 为正方形，∴AM ∥DC 且AM ＝12DC ，∴AM 綊PN ，∴四边形AMNP 为平行四边形，∴AP ∥MN . 又AP ⃘平面SMC ，MN 平面SMC ，∴AP ∥平面SMC .(3)V B －NMC ＝V N －MBC ＝13S △MBC ·12SD ＝13·12·BC ·MB ·12SD ＝16×1×12×12×2＝112.。

精选题库高一数学课堂训练7-7

第7章第7节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案：D解析：若l ∥α，则a ·n ＝0. 而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1，只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2答案：C解析：∵α∥β，∴(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， ∴－2＝λ，k ＝－2λ，∴k ＝4.3．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案：D解析：如图建立坐标系，设AB ＝AD ＝1，AA 1＝2， cos 〈A 1B →，AD 1→〉＝A 1B →·AD 1→|A 1B →|·|AD 1→|＝(A 1A →＋AB →)·(AD →＋DD 1→)|A 1B →|·|AD 1→|＝0－2×2＋0＋05·5＝－45.故选D.4. [2012·辽宁沈阳]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面答案：B解析：设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1,1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，EF ∥BD 1.5. [2012·安徽调研]在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )A. 64 B. －64 C.104D. －104答案：A解析：取AC 中点E ，连结BE ，则BE ⊥AC ，如图，建立空间直角坐标系B －xyz ，]则A (32，12，0)，D (0,0,1)，则AD →＝(－32，－12，1)．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C .∴BE →＝(32，0,0)为平面AA 1C 1C 的一个法向量，∴cos 〈AD →，BE →〉＝－64，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α， ∴sin α＝sin(〈AD →，BE →〉－π2)＝64.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12 B.23 C.33D.22答案：B解析：以A 为原点建系，设棱长为1.则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)， A 1E →＝(1,0，－12)，设平面A 1ED 的法向量为n 1＝(1，y ，z ) 则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)，∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0.1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.二、填空题(每小题7分，共21分)7．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为________．答案：3010解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)， BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝ (－1,2,1)，cos 〈BC 1→·AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010.8．四棱锥P —ABCD 的底面为边长2的正方形，顶点在底面的射影为底面的中心O ，且PO ＝1，则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为________．答案：－13解析：如图，建立坐标系．则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，∴PB →＝(1,0，－1)，BC →＝(－1,1,0)，PC →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1，－1，0)．设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PB →＝x 1－z 1＝0n 1·BC →＝－x 1＋y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝y 2－z 2＝0n 2·CD →＝－x 2－y 2＝0.令x 1＝1，则z 1＝1，y 1＝1；令y 2＝1，则z 2＝1，x 2＝－1， ∴n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,1,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1＋1＋13·3＝13. 由题意可知，所成二面角余弦值为－13.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________．答案：120°解析：如下图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )．∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )，设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0， ∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令x ＝z ＝1，则n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)， cos 〈n ，m 〉＝n·m |n |·|m |＝－12.而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2011·陕西]如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值．解：(1)∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以DB →，D C →，D A →所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，32，0)，∴AE →＝(12，32，－3)，DB →＝(1,0,0)，∴AE →与DB →夹角的余弦值为cos 〈AE →，DB →〉＝AE →·DB →|AE →||DB →|＝121×224＝2222.11．在三棱锥V －ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ(0<θ<π2)．(1)求证：平面VAB ⊥平面VCD ；(2)当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．解：(1)以射线CA ，CB ，CV 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，D (a 2，a 2，0)，V (0,0，22a tan θ)．于是，VD →＝(a 2，a 2，－22a tan θ)，CD →＝(a2，a 2，0)，AB →＝(－a ，a,0)．从而AB →·CD →＝(－a ，a,0)·(a 2，a 2，0)＝－12a 2＋12a 2＋0＝0，即AB ⊥CD ；同理AB →·VD →＝(－a ，a,0)·(a 2，a 2，－22a tan θ)＝－12a 2＋12a 2＋0＝0，即AB ⊥VD .又CD ∩VD ＝D ，∴AB ⊥平面VCD.又AB平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD .(2)设直线BC 与平面VAB 所成的角为φ，平面VAB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB →＝0，n ·VD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，a 2x ＋a 2y －22az tan θ＝0.可取n ＝(1,1，2tan θ)，又BC →＝(0，－a,0)，于是sin φ＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n ·BC →||n |·|BC →|＝a2＋2tan 2θ·a ＝22sin θ，∵0<θ<π2，∴0<sin θ<1， 0<sin φ<22.又0≤φ≤π2，∴0<φ<π4.即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为(0，π4)． 12. [2011·四川]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1.D 是棱CC 1上的一点，P是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．解：(1)连接AB 1与A 1B 交于点F ，且F 为AB 1的中点，再连接DF .∵PB 1∥平面BDA 1，PB 1 平面PB 1A ，平面PB 1A ∩平面BDA 1＝DF ， ∴PB 1∥DF ， ∴D 为AP 的中点．在△P AA 1中，DC 1∥AA 1， ∴C 1为A 1P 的中点， ∴△ACD ≌△PC 1D ， ∴CD ＝DC 1.(2)以A 1B 1、A 1C 1、A 1A 分别为x 、y 、z 轴建立空间坐标系． ∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴B 1(1,0,0)，P (0,2,0)，D (0,1，12)，B (1,0,1)，A (0,0,1)，C (0,1,1)，由于A 1B 1⊥平面AA 1D ，∴平面AA 1D 的一个法向量n 1＝(1,0,0)．设平面BA 1D 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．∵A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝(0,1，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B →＝0，n 2·A 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＋12z ＝0.取z ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1，∴n 2＝(－2，－1,2)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23＝－23. 由图形可得，二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.(3)设平面B 1DP 的法向量为n 3＝(x ′，y ′，z ′)， B 1P →＝(－1,2,0)，B 1D →＝(－1,1，12)，⎩⎪⎨⎪⎧n 3·B 1P →＝0，n 3·B 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ′＋2y ′＝0－x ′＋y ′＋12z ′＝0，取z ′＝2，则y ′＝1，x ′＝2， ∴n 3＝(2,1,2)，CD →＝(0,0，－12)，∴点C 到面B 1DP 的距离d ＝|CD →·n 3||n 3|＝122＋1＋22＝13.。

7-3加乘原理综合应用.题库版

7 计数综合 7-3 加乘原理综合运用7-3-1简单加乘原理综合运用7-3-2加乘原理与数字问题 7-3-3加乘原理与图论1.复习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：教学目标知识要点加乘原理综合运用⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不．．．可的．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．模块一、简单加乘原理综合应用【例 1】商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友．⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？（2级）【解析】 ⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从2种巧克力糖中选一种有2种办法；第二类是从3种水果糖中选一种，有3种办法．因此，小明有235+=种选糖的方法． ⑵小明完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，因此有326⨯=种方法．【例 2】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？（2级）【解析】从北京转道上海到广州一共有339⨯=种方法，从北京转道武汉到广州一共也有339⨯=种方法供选择，从北京直接去广州有2种方法，所以一共有99220++=种方法．例题精讲【例 3】从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？（2级）王明家张老师家学而思学校【解析】根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共有326⨯=种方法，从学而思学校直接去张老师家一共有3条路可走，根据加法原理，一共有639+=种走法．【巩固】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？（2级）丁丙乙甲【解析】从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有428⨯=种方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有339⨯=种方法．根据加法原理，一共有8917+=种走法．【巩固】王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？（2级）【解析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有236⨯=(种)走法；第二类不经过武汉，有2种走法．根据加法原理，从重庆到南京一共有268+=种不同走法．【例 4】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？（6级）FE DCBA【解析】走完6个顶点，有5个步骤，可分为两大类：①第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点．有412118⨯⨯⨯⨯=种(从F到C的话，是不能到E的)；②第二次不走C：有4222132⨯⨯⨯⨯=种(同理，F不能到E)；共计：83240+=种．【例 5】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？（4级）【解析】因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=47．【例 6】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？（6级）【解析】1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张．【例 7】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？（6级）【解析】分两类情况讨论：⑴都会的这1人被挑选中，则有：①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有339⨯=种方法；②同样，这人做电工，也有9种方法．⑵都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法；从3名电工中选2人，也有3种方法，一共有339⨯=种方法．所以，根据加法原理，一共有99927++=种方法．【例 8】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？（6级）【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：第一类第二类第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法；第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有4312⨯=种表示法；第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法．根据乘法原理，共有43224⨯⨯=种表示法．根据加法原理，一共可以表示出4122440++=种不同的信号．【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（6级）【解析】分3种情况：⑴取出一面，有5种信号；⑵取出两面：可以表示5420⨯=种信号；⑶取出三面：可以表示：54360⨯⨯=种信号；由加法原理，一共可以表示：5206085++=种信号．【例 9】五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（6级）【解析】方法一：取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类⑴一种颜色：5种可能；⑵两种颜色：54360（）⨯⨯=⑶三种颜色：54360⨯⨯=所以，一共可以表示56060125++=种不同的信号方法二：每一个位置都有5种颜色可选，所以共有555125⨯⨯=种．【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？（6级）【解析】(一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；第二类，两种颜色：(43)336⨯⨯=第三类，三种颜色：43224⨯⨯=所以，根据加法原理，一共可以表示2362462++=种不同的信号．(二)白棋打头的信号，后两面旗有4416-=种．⨯=种情况．所以白棋不打头的信号有621646【例 10】(2008年清华附中考题)小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁赢．共有种可能的情况．（6级）【解析】小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者赢，此时共2种情况；如果没有人胜头两局，即头两局中两人各胜一局，则最少再进行两局、最多再进行三局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则这两局的胜者为同一人，对此共有224⨯=种情况；如果还需进行三局，则后三局中有一人胜两局，另一人只胜一局，且这一局不能为最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有2228⨯⨯=种情况，所以共有24814++=种情况．【例 11】（2009年“数学解题能力展示”中年级复赛试题）过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么，妈妈送出这5件礼物共有种方法．（6级）【解析】若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外3个孩子在剩余5件礼物中任选3件，有⨯⨯=种方法；若将遥控车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有60种方法；若遥控车既54360不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有60种方法．所以共有606060180++=种方法．【例 12】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法？（6级）【解析】可以分三种情况来考虑：⑴3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有336P=种不同的排列，此时有6212⨯=种订法．⑵3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有326⨯=种订法．⑶3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．由加法原理，不同的订法一共有126119++=种．【例 13】玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产________种颜色不同的玩具棒．（8级）【解析】每节有3种涂法，共有涂法333381⨯⨯⨯=(种)．但上述81种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有33119⨯⨯⨯=(种)．故玩具棒最多有(819)245+÷=种不同的颜色．【例 14】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由5个字母a、b、c、d、e组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母e不打头，⑵单词中每个字母a后边必然紧跟着字母b，⑶c和d不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？（8级）【解析】分为三种：第一种：有两个a的情况只有abab1种第二种，有一个a的情况，又分3类第一类，在第一个位置，则b在第二个位置，后边的排列有4416⨯=种，减去c、d同时出现的两种，总共有14种，第二类，在第二个位置，则b在第三个位置，总共有34210⨯-=种.第三类，在第三个位置，则b在第四个位置，总共有34210⨯-=种.第三种，没有a的情况:分别计算没有c的情况:233354⨯⨯⨯=种.没有d的情况：233354⨯⨯⨯=种.没有c、d的情况：12228⨯⨯⨯=种.由容斥原理得到一共有54548100+-=种.所以，根据加法原理，一共有1141010100135++++=种．【例 15】从6名运动员中选出4人参加4100⨯接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6级）【解析】⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下的四人中随意选择2个人跑第二、第三棒，有4312⨯⨯=种参赛⨯=种，由乘法原理，共有：5412240方案⑵先不考虑甲乙的特殊要求，从6名队员中随意选择4人参赛，有6543360⨯⨯⨯=种选择.考虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应54360⨯⨯=种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应54360⨯⨯=种选择，但是从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的4312⨯=种方案，所以，一共有36060212252-⨯+=种不同参赛方案．模块二、加乘原理与数字问题【例 16】由数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的数？（4级）【解析】因为有1，2，3共3个数字，因此组成的数有3类：组成一位数；组成二位数；组成三位数．它们的和就是问题所求．⑴组成一位数：有3个；⑵组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有3种方法；第二步排个位数也有3种方法，因此由乘法原理，有326⨯=个；⑶组成三位数：与组成二位数道理相同，有326⨯=个三位数；所以，根据加法原理，一共可组成36615++=个数．【例 17】由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？（6级）【解析】满足条件的数可以分为4类：一位、二位、三位、四位数．第一类，组成0和一位数，有4个（0不是一位数，最小的一位数是1）；第二类，组成二位数，有339⨯=个；第三类，组成三位数，有33218⨯⨯=个;第四类，组成四位数，有332118⨯⨯⨯=个．由加法原理，一共可以组成49181849+++=个数．【巩固】用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？（6级）【解析】小于1000的自然数有三类．第一类是0和一位数，有5个；第二类是两位数，有4520⨯=个；第三类是三位数，有455100++=个．⨯⨯=个，共有520100125【巩固】用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？（6级）【解析】分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为4416⨯⨯=⨯=个，三位数时，为：44348个，由加法原理，一共可以组成5164869++=个小于1000的没有重复数字的自然数．【例 18】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数．（6级）【解析】无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.（方法一）分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法；第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法；由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个．（方法二）组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个；第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个．由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个．【巩固】用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？（6级）【解析】分为两类：个位数字为0的有326⨯=个，由加法原理，一共有：⨯=个，个位数字为2的有 224+=个没有重复数字的四位偶数．6410【例 19】在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？（6级）【解析】若相同的数是2，则另一个2可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有3×9×8=216（个）；若相同的数是1，有3×8＝24（个）；同理，相同的数是0，3，4，5，6，7，8，9时，各有24个，所以，符合题意的数共有216＋9×24=432（个）．【例 20】在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个? （6级）【解析】(方法一)解决计数问题常用分类讨论的方法．设在1000至1999这些自然数中满足条件的数为1abc (其中c a>)；(1)当0a=时，c可取1～9中的任一个数字，b可取0～9中的任一个数字，于是一共有91090⨯=个．(2)当1a=时，c可取2～9中的任一个数字，b仍可取0～9中的任一个数字，于是一共有81080⨯=个．(3)类似地，当a依次取2，3，4，5，6，7，8时分别有70，60，50，40，30，20，10个符合条件的自然数．所以，符合条件的自然数有9080702010450+++++=个．(方法二)1000至1999这1000个自然数中，每10个中有一个个位数等于百位数，共有100个；剩余的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为-÷=个.(1000100)2450【例 21】某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜至少要试多少次？（6级）【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，只要考虑6的位置即可，6可以随意选择四个位置，其余位置方1，共有4种选择．第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，有3种选择，剩下的位置放1，共有4×3=12种选择，同理，第三、第四、第五种都有12种选择，最后一种与第一种相似，3的位置有四种选择，其余位置放2，共有4种选择.由加法原理，一共可以组成4+12+12+12+12+4=56个不同的四位数，即为确保打开保险柜至少要试56次．【例 22】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个? （6级）【解析】从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8972⨯=个数不含4．三位数只有100．所以一共有889181+⨯+=个不含4的自然数．【巩固】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个? （6级）【解析】从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有⨯⨯=个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共399243有3991244⨯⨯+=个．所以一共有8893991324+⨯+⨯⨯+=个不含4的自然数．【巩固】从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个? （6级）【解析】从1到300的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含2的有8个，它们是1、3、4、5、6、7、8、9；两位数中，不含2的可以这样考虑：十位上，不含2的有1、3、4、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8972⨯=个数不含2；三位数中，除去300外，百位数只有1一种取法，十位与个位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九种取法，根据乘法原理，不含数字2的三位数有：19981⨯⨯=个，还要加上300；根据加法原理，从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数一共有87282162++=个．【例 23】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个．【2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛】（8级）【解析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有++++=（个）．236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129【巩固】从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少种不同的乘积？（6级）【解析】取2有8、12、16、18四种，取4增加24、32、36三种，取6增加48、72两种，一共有9种【例 24】自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同．这样的数共有多少个？（6级）【解析】两个相同的数字是8时，另一个8有3个位置可选，其余两个位置有98 72⨯⨯=⨯=种填法，有 398216个数；两个相同的数字不是8时，相同的数字有9种选法，不同的数字有8种选法，并有3个位置可放，有983216⨯⨯=个数．由加法原理，共有398983432⨯⨯+⨯⨯=个数．【巩固】在1000到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？（6级）【解析】若相同的数是1，则另一个1可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有398216⨯⨯=个；若相同的数是2，有3×8＝24个；同理，相同的数是0，3，4，5，6，7，8，9时，各有24个，所以，符合题意的数共有216924432+⨯=个【例 25】如果一个三位数ABC满足A B<，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个>，B C数．（8级）【解析】当B为0时，A、C可以为1～9中的任何一个，此时有99⨯种；当B为1时，A、C可以为2～9中的任何一个，此时有88⨯种；……；当B为8时，有11⨯种；所以共有199881191019285⨯+⨯++⨯=⨯⨯⨯=(个)．6【例 26】用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？（6级）【解析】将4个1看成一个整体，其余4个数有5种情况：4个2、3个2、2个2、1个2和没有2；①4个2时，4个1可以有5种插法；②3个2时，3个2和1个1共有4种排法，每一种排法有4种插法，共有4416⨯=种；③2个2时，2个2和2个1共有6种排法，每一种排法有3种插法，共有6318⨯=种；④1个2时，1个2和3个1共有4种排法，每一种排法有2种插法，共有428⨯=种；⑤没有2时，只有1种；所以，总共有：516188148++++=个．答：至少连续四位都是1的有48个．【例 27】七位数的各位数字之和为60，这样的七位数一共有多少个？（6级）【解析】七位数数字之和最多可以为9763-=．七位数的可能数字组合为：⨯=．63603①9，9，9，9，9，9，6．第一种情况只需要确定6的位置即可．所以有6种情况．②9，9，9，9，9，8，7．第二种情况只需要确定8和7的位置，数字即确定．8有7个位置，7有6个位置．所以第二种情况可以组成的7位数有7642⨯=个．③9，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3个8的位置确定即7位数也确定．三个8的位置放置共有765210⨯⨯=种．三个相同的8放置会产生3216⨯⨯=种重复的放置方式．所以3个8和4个9组成的不同的七位数共有210635÷=种．所以数字和为60的七位数共有3542784++=．【例 28】从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？（6级）【解析】2个数的和能被4整除，可以根据被4除的余数分为两类：第一类：余数分别为0，0．1~40中能被4整除的数共有40410÷=（个），10个中选2个，有⨯÷=（种）取法；109245第二类：余数分别为1，3．1~40中被4除余1，余3的数也分别都有10个，有1010100⨯=（种）取法；第三类：余数分别为2，2．同第一类，有45种取法．根据加法原理，共有4510045190++=（种）取法．【例 29】在1~100的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？（6级）【解析】将1～100按照除以3的余数分为3类：第一类，余数为1的有1，4，7，…100，一共有34个；第二类，余数为2的一共有33个；第三类，可以被3整除的一共有33个．取出两个不同的数其和是3的倍数只有两种情况：第一种，从第一、二类中各取一个数，有34331122⨯=种取法；第二种，从第三类中取两个数，有33322528+=⨯÷=种取法．根据加法原理，不同取法共有：11225281650种．【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？（6级）【解析】两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2．1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的有3个数，各取1个有3412⨯=种取法．根据加法原理，共有取法：31215+=种．【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？（6级）。

高一数学练习题及答案

高一数学练习题及答案高一数学集合练习题及答案（通用5篇）导读：数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果。

下文应届毕业生店铺就为大家送上了高一数学集合练习题及答案，希望大家认真对待。

高一数学练习题及答案篇1一、填空题.(每小题有且只有一个正确答案,5分×10=50分)1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 ( )2 . 如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是 ( )A.0B.0 或1C.1D.不能确定3. 设集合A={x|1A.{a|a ≥2｝B.{a|a≤1｝C.{a|a≥1｝.D.{a|a≤2｝.5. 满足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是 ( )A.8B.7C.6D.56. 集合A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，| a-2 |，3a2+4}，A∩B={-1}，则a的值是( )A.-1B.0 或1C.2D.07. 已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则 ( )A.I=A∪BB.I=( )∪BC.I=A∪( )D.I=( )∪( )8. 设集合M= ，则 ( )A.M =NB. M NC.M ND. N9 . 集合A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为 ( )A.A BB.A BC.A=BD.A≠B10.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4}，( UA)∩( UB)={1，5}，则下列结论正确的是( )A.3 A且3 BB.3 B且3∈AC.3 A且3∈BD.3∈A且3∈B二.填空题(5分×5=25分)11 .某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.12. 设集合U={(x，y)|y=3x-1}，A={(x，y)| =3}，则 A= .13. 集合M={y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N={y∣ y=5- x2,x∈ R｝,则M∪N=_ __.14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=_15、已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为三.解答题.10+10+10=3016. 设集合A={x, x2,y2-1｝,B={0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值17.设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} ，A∩B=B，求实数a的值.18. 集合A={x|x2-ax+a2-19=0｝，B={x|x2-5x+6=0｝，C={x|x2+2x-8=0｝.?(1)若A∩B=A∪B，求a的值;(2)若A∩B，A∩C= ，求a的值.19.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2-4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A, 求m的取值范围.21、已知集合，B={x|2参考答案C B AD C D C D C B26 {(1,2)} R {4,3,2,-1｝ 1或-1或016、x=-1 y=-117、解：A={0，-4} 又(1)若B= ，则，(2)若B={0}，把x=0代入方程得a= 当a=1时，B=(3)若B={-4}时，把x=-4代入得a=1或a=7.当a=1时，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1.当a=7时，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7.(4)若B={0，-4}，则a=1 ，当a=1时，B={0，-4}，∴a=1综上所述：a18、.解：由已知，得B={2，3｝，C={2，-4｝.(1)∵A∩B=A∪B，∴A=B于是2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根，由韦达定理知：解之得a=5.(2)由A∩B ∩ ，又A∩C= ，得3∈A，2 A，-4 A，由3∈A，得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2?当a=5时，A={x|x2-5x+6=0｝={2，3｝，与2 A矛盾;当a=-2时，A={x|x2+2x-15=0｝={3，-5｝，符合题意.∴a=-2.19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).(1)当2(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠ .若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,此时B={x|x2-2x+1=0}={1} A;若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,此时B={2,-1} A.综上所述，当2≤a<10时，均有A∩B=B.20、解：由已知A={x|x2+3x+2 }得得.(1)∵A非空，∴B= ;(2)∵A={x|x }∴ 另一方面，，于是上面(2)不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B= .由已知B= 结合B= ,得对一切x 恒成立，于是，有的取值范围是21、∵A={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1}，B={x|1∵ ，(A∪B)∪C=R，∴全集U=R。

高一数学易错题习题集

一试题部分1 试题来源洛阳一中2017-2018学年高一上学期期中考试分值12得分率65%知识点奇偶性与单调性易错题19.设函数()Rxaxxxf∈+--=,322.（1）王鹏同学认为：无论a取何值，()xf都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若()xf是偶函数，求a的值；（3）在（2）的情况下，画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.推荐题1题目来源：福建省华安中学2017-2018学年高一上学期期末考试用时建议：8min 已知函数()()221xf x a a R=-∈+（1）判断函数()f x的单调性并给出证明；（2）若存在实数a使函数()f x是奇函数，求a；（3）对于（2）中的a，若()2xmf x≥，当[]2,3x∈时恒成立，求m的最大值．推荐题2题目来源：黑龙江省大庆中学2017-2018学年高一上学期期末考试用时建议：8min 设函数()y f x=的定义域为R，并且满足()()()f x y f x f y-=-，且()21f=，当0x>时，()0f x>.（1）求()0f的值；（2）判断函数()f x的奇偶性；（3）如果()()22f x f x++<，求x的取值范围.推荐题3题目来源：湖北省孝感市八校联考2017-2018学年高一上学期期中考试用时建议：8min 已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0x≤时，()22f x x x=+．（1）求函数()()f x x R∈的解析式；（2）现已画出函数()f x在y轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数()f x的图象；（3）求使()0f x>的实数x的取值集合.2试题来源洛阳一中2017-2018学年高一上学期期中考试分值12得分率42%知识点实际应用，求函数的最值易错题20.某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：月份1月2月3月数量（万件）1为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x 的关系.模拟函数可选择二次函数y=px2+qx+r(p,q,r为常数，且p≠0)或函数y=ab x+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.推荐题1题目来源：2017-2018学年山东省潍坊市高一第一学期期中考试用时建议：12min 经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位:元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量满足()()Ntttttxf∈⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+=，10061,21150601,60，价格满足()g t=题3（1）画出()f x图象；（2）求出()f x的解析式；（3）若函数()y f x=与函数y m=的图象有四个交点，求m的取值范围.4试题来源洛阳一中2017-2018学年高一上学期实验班测验分值5得分率33%知识点新概念题易错题12.对于函数()xf，若任给实数a、b、c R∈，f(a)、f(b)、f(c)为某一三角形三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数()xf=1++xxete是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是()A.?[21,2]B.?[0,1]C.?[1,2]D.?[0,+∞)推荐题1题目来源：浙江省91高中联盟2017-2018学年高一上学期期中联考用时建议：3min在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b≥时，a b a⊕=；当a b<时，2a b b⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x=⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m+≤的实数的取值范围是（）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦推荐题2题目来源：江西省南昌二中2017-2018学年度高一上学期期中考试用时建议：3min 若函数满足对任意的[]()mnmnx<∈,，都有成立，则称函数在区间[]()mnmn<,上是“被约束的”.若函数()22aaxxxf+-=在区间()0,1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡aaa上是“被约束的”，则实数的取值范围是（）,3213⎛⎤⎥⎝⎦，](12，3223⎛⎤⎥⎝⎦，(]22，推荐题3题目来源：2017-2018学年江西省南昌二中高一上第三次考试用时建议：3min 在直角坐标系中，如果两点(,),(,)A a bB a b--在函数)(xfy=的图象上，那么称[,]A B为函数()f x的一组关于原点的中心对称点（[,]A B与[,]B A看作一组）．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=),1(log,0,2cos)(4xxxxxgπ关于原点的中心对称点的组数为（）A．1B．2C．3D．45试题来源洛阳一中2017~2018学年第一学期高一月考分值5得分率35%知识点斜二测画法易错题2.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形推荐题1题目来源：2017-2018学年辽宁省大连市高一上学期期末考试用时建议：2min 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是（）522523推荐题题目来源：重庆市第一中学2018届高一11月月考用时建议：2min 已知一个三棱柱高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示)，则此三棱柱的体积为（）22621332推荐题3题目来源：辽宁省大连市2017-2018学年高一上学期期末考试用时建议：2min 如图，ABC∆水平放置的直观图为'''A B C∆，''A B，''B C分别与'y轴、'x轴平行，'D是''B C边中点，则关于ABC∆中的三条线段,,AB AD AC命题是真命题的是（）A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB，最短的是ADD.最长的是AC，最短的是AD6试题来源洛阳一中2017~2018学年第一学期高一月考分值5得分率60%知识点三视图；求空间几何体的表面积和体积易错题5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.?B.?C.?D.?推荐题1题目来源：甘肃省张掖市2017-2018学年高一上学期期末质量检测联考用时建议：3min 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是（）290cm2129cm2132cm2138cm推荐题2题目来源：河南省中原名校2017-2018学年高一上学期第二次联考用时建议：3min 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）3108cm384cm392cm3100cm推荐题3题目来源：云南省玉溪第一中学2018届高一上学期第三次月考用时建议：3min 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）438219++.438419++838419++.838219++7试题来源洛阳一中2017~2018学年第一学期高一月考分值5得分率57%知识点棱锥的外接球问题易错题12.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，22=AD，2===ABPDPA，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（）ππππ推荐题1题目来源：辽宁省实验中学、大连八中等五校2017-2018学年高一上期末考试用时建议：3min 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC-为鳖臑，PA⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC===，三棱锥P ABC-的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）17π25π34π50π推荐题2题目来源：2017届山西省高三3月高考考前适应性测试（一模）用时建议：3min 如图，在ABC∆中，AB BC==6，90ABC∠=︒，点D为AC的中点，将ABD∆沿BD折起到PBD∆的位置，使PC PD=，连接PC，得到三棱锥P BCD-，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（）π3π5π7π推荐题目来源：辽宁省葫芦岛市六校协作体2017-2018学年高一12月月考用时建议：3min 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D-中，3AB=，4BC=，15AA=，E、F为线段11A C上的动题3点，且1EF=，P，Q为线段AC上的动点，且2PQ=，M为棱1BB上的动点，则四棱锥M EFQP-的体积（）A.不是定值，最大为254B.不是定值，最小为6C.是定值，等于254D.是定值，等于68试题来源洛阳一中2017~2018学年第一学期高一月考分值5得分率38%知识点直线方程的问题易错题14.过点（1,2）且到点A（-1,1），B（3，-1）距离相等的直线的一般式方程是.推荐题1题目来源：辽宁省大连市2017-2018学年高一上学期期末考试用时建议：2min 已知直线l经过点()2,5P-，且与直线4320x y++=平行，则直线l的方程为．推荐题2题目来源：七天网络名校题库用时建议：2min 若直线2240x my m+-+=与直线220mx y m+-+=平行，则实数m=.推荐题3题目来源：七天网络名校试题库用时建议：2min 已知圆()()22:131C x y-+-=和两点()()0,,0,(0)A mB m m->，若圆C上存在点P，使得90APB∠=o，则实数m的取值范围为．9试题来源洛阳一中2017~2018学年第一学期高一月考分值5得分率38%知识点两点间距离公式的应用易错题16.()()()()22225133-+-+-++=xxxxy的最小值为.推荐题1题目来源：福建省闽侯第六中学2017-2018学年高一12月月考用时建议：3min 已知点()()()2,2,2,6,4,2A B C----，点P坐标满足224x y+≤，求222PA PB PC++的取值范围是.推荐题2题目来源：安徽省全椒中学2017－2018学年高一第一学期期中考试用时建议：2min 已知定点A(0，1),点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是.推荐题3题目来源：七天网络名校试题库用时建议：2min m R∈，动直线110l x my+-=：过定点A，动直线2:230l mx y m--+=：过定点B，若1l与2l交于点P(异于点,A B)，则PA PB+的最大值为（）52510210试题来源洛阳一中2017~2018学年高一月考分值12得分率45%知识点直线方程；根据四边形性质求点的坐标易错题18.如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B坐标为（2，-1），C、D均在第一象限.?19.（1）求直线CD的方程；?20.（2）若13=BC，求点D的横坐标.二答案部分1知识点：奇偶性与单调性易错题【解析】19.（1）我同意王鹏同学的看法，理由如下f(a)=a2+3，f(?a)=a2?4|a|+3若f(x)为奇函数，则有f(a)+f(?a)=0∴a2?2|a|+3=0显然a2?2|a|+3=0无解，所以f（x）不可能是奇函数（2）若f（x）为偶函数，则有f（a）=f（?a）∴2|a|=0从而a=0，此时f（x）=x2?2|x|+3，是偶函数.（3）由（2）知f（x）=x2?2|x|+3，其图象如图所示其单调递增区间是(?1,0)和(1,+∞).推荐题1【分析】（1）根据单调性定义：先设再作差，变形化为因子形式，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性；（2）根据定义域为R且奇函数定义得f(0)＝0，解得a＝1，再根据奇函数定义进行验证；（3）先根据参变分离将不等式恒成立化为对应函数最值问题：()221321xxm≤++-+的最小值，再利用对勾函数性质得最小值，即得m的范围以及m的最大值．【解析】（1）不论a为何实数，f(x)在定义域上单调递增．证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则()()1212222121x xf x f x a a⎛⎫⎛⎫-=---=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()12122222121x xx x-++由12x x<可知12022x x<<，所以12220x x-<,12210,210x x+>+>所以()()120,f x f x-<()()12f x f x<所以由定义可知，不论a为何值，()f x在定义域上单调递增；（2）由f(0)＝a－1＝0得a＝1，经验证，当a＝1时，f(x)是奇函数．（3）由条件可得：m≤2x＝(2x＋1)＋－3恒成立．m≤(2x＋1)＋－3的最小值，x∈[2, 3]．设t＝2x＋1，则t∈[5,9]，函数g(t)＝t＋－3在[5,9]上单调递增，所以g(t)的最小值是g(5)＝，所以m≤，即m的最大值是.推荐题2【分析】（1）利用赋值法，求f（0）的值；（2）利用函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，即可求解．【解析】（1）令0x y==，则()()()0000f f f-=-，∴()00f=；所以()f x =35,22x x +∈N ，由已知得⎩⎨⎧=+=+734b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2523b a .（2）2015年预计年产量为()357713,22f =⨯+=2015年实际年产量为13×(1-30%)＝，答：最适合的模型解析式为()f x =35,22x x +∈N ，2015年的实际产量为万件. 推荐题 3【分析】（1）对于A ，当0≤x ≤2时，因为图象过（2，）和原点，当x ＞2时，图象过（2，）和（3，1），可得函数的解析式；对于B ，易知y ＝2x (x ≥0)．（2）设投入B 产品x 万元，则投入A 产品（18-x ）万元，利润为y 万元．分16≤x ≤18时，0≤x ＜16时两种情况求出函数的最大值，比较后可得答案．【解析】（1）对于A ，当02x ≤≤时，因为图象过()2,0.5，所以14y x =，当2x >时，令y kx b =+，因图象过()2,0.5和()3,1，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=bk bk 31221，解得12k =，12b =-，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤=2,212120,41x x x x y ，对于B ，易知()20y x x =≥．（2）设投入B 产品x 万元，则投入A 产品()18x -万元，利润为y 万元．若1618x ≤≤时，则0182x ≤-≤，则投入A 产品的利润为()1184x -，投入B 产品的利润为2x ，则()11824y x x =-+，令x t =，4,32t ⎡⎤∈⎣⎦，则219242y t t =-++，此时当4t =，即16x =时，max 8.5y =万元；当016x ≤<时，21818x <-≤，则投入A 产品的利润为()111822x --，投入B 产品的利润为2x ，则()1118222y x x =-+-，令x t =，[)0,4t ∈，则2117222y t t =-++，当2t =时，即4x =时，max 10.5y =万元；由10.58.5>，综上，投入A 产品14万元，B 产品4万元时，总利润最大值为10.5万元．3 知识点：对称性的应用，单调性函数的零点综合易错题22.【解析】（1）()1122)(-+-++-=x x e em x x x f 从而有()()x f x f -=+11，即f(x)关于x=1对称，因为()F x 有唯一的零点，所以()F x 的零点只能为1x =，即()()2111111210F a ee --+=-⨯++=，解得12a =. 当12a =时，()()211122x x F x x x e e --+=-++，令121x x >≥，则121211212120,20,0,10x x x x x x x x e e e --+-->+->->->，从而()()()()121212112121221202x x x x x x e e e x x x x e --+-+---=-+-+>，即函数()F x 是[)1,+∞上的增函数，而()10F =，所以，函数()F x 只有唯一的零点，满足条件. 故实数a 的值为12. 推荐题 2【分析】（1）对任意(2x x ≠)，都有()()22f x f x ++-=2m ，即可求出m 的值；（2）由题意()()22f x f x ++-=0，即()()4f x f x +-=()()022f x f x -++--；=2，即()()4f x f x +--=2，两式相减化简可得()f x =()82f x ++，则结论易得.【解析】（1）()f x =212x x -+-的定义域为{|2}x x ≠，对任意(2x x ≠),都有()()22f x f x ++-=2m ，即()()2212212222x x x x -++--+++---=2m ，解得2m =-. （2）因为函数()y f x =的图象既关于点()2,0对称，所以()()22f x f x ++-=0，即()()40f x f x +-=；①，函数()y f x =的图象既关于点()2,1-对称，所以()()22f x f x -++--=2，即()()4f x f x +--=2，② 由①②得，()()442f x f x -=---，即()f x =()82f x ++，所以()5f -=()3322332f +=+⨯+=19.推荐题 3【分析】（1）先画出0x ≥时，()24f x x x =-的图象，根据()f x 图象关于y 轴对称画图即可；（2）设0x <，则0x ->，根据偶函数的性质可得()()24f x x x f x -=+=，从而可得求出()f x 的解析式；（3）同一坐标系内画出函数()y f x =与函数y m =的图象，结合图象得到答案. 【解析】（1）（2）当x<0时-x>0,,为偶函数,()()x x x f x f 42+=-=∴，()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=∴0,40,422x x x x x x x f .易错题16.172推荐题1【答案】[]72,88【解析】设(),P a b∵点()()()2,2,2,6,4,2A B C----∴()()()()()()22222222222++22264233468 PA PB PC a b a b a b a b b=++++++-+-++=+-+∵点P坐标满足224x y+≤∴224a b+≤，即22b-≤≤把224a b=-代入到2222334681233468480a b b b b b b+-+=-+-+=-+∵22b-≤≤∴7248088b≤-+≤∴222++PA PB PC的取值范围是[]72,88故答案为[]72,88.推荐题2【答案】B(-12，12)【解析】定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，就是直线AB和直线x+y=0垂直，AB的方程为：y-1=x，它与x+y=0联立解得x=-12，y＝12所以B的坐标是(-12，12)故答案为(-12，12).推荐题3【答案】B【解析】由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥()22PA PB+．即25PA PB+≤.故选B.10知识点：直线方程；根据四边形性质求点的坐标易错题【解析】（1）根据题意，21-==CDABkk，直线CD的方程为mxy+-=21，即022=-+myx,?58==ABS，Θ,?58412=+∴m，?4±=∴m,?由图可以知道m>0,直线CD的方程为mxy+-=21，即082=-+yx；? （2）设()baD,，若13=BC，则13=AD,?⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+∴138222baba,点D的横坐标a=或2.推【分析】4402MNt l tx y ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即()4102y x t y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0102y y x 可解得定点坐标. 【解析】（1）设点P 坐标为(),x y 由2PA PB =，得：()()2222421x y x y ++=++整理得：曲线的E 轨迹方程为224x y += （2）依题意圆心到直线l 的距离2421d k==+，7k ∴=±.（3）由题意可知：,,,O Q M N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设1,42Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其方程为()1402x x t y y t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，即：22402t x tx y y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭ 又,M N 在曲线22:4E x y +=上，4402MN t l tx y ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即()4102y x t y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0102y y x 得⎪⎩⎪⎨⎧-==121y x ，∴直线MN 过定点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.11知识点：直线的倾斜角与斜率；三角形的性质易错题19.【解析】（1）由已知直线的斜率，因为倾斜角οο6045≤≤α，且αtan =k ，所以31≤≤k ，即311≤-≤m ，解得031≤≤-m .?????（2）在直线l ：y=（1-m ）x+m 中，令，得，所以点；令y=0，得1-=m mx ，所以点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,1m m A . 由题意知，m>1，因此AOB ∆的面积()()()121121121212-+-+-=-⋅=⋅=m m m m m m OB OA S . 则()()22221211121=+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=m m S .当且仅当()112=-m ，即m=2时S 取得最小值2，此时直线的方程为x+y-2=0.?????推荐题 1【分析】（1）设过两直线的交点的直线系方程，再根据点到直线的距离公式，求出λ的值，得出直线l 的方程；（2）先求出交点P 的坐标，由几何的方法求出距离的最大值。

高一数学化简题

一、选择1.的值为( ).A. B. C. D.答案：B..2.已知，则( ).A. B. C. D.答案：C.解析：由，得，∴.∵，∴，∴.3.若，则的值为( ).A. B. C. D.答案： C.解析：∵，得，∴4.化简的结果是( ).A. B. C.4 D.8.答案：D.原式5.已知，，则的值等于( ).A. B. C. D.答案：C.由得，化简得，∴，即.∵，∴，即.6.函数的值域为( ).A. B. C. D.答案：B.解析：∵，∴．.7.若直线平行于直线，则实数等于( ).A.-2B.-1C.1D.2答案：D.解析：利用两条直线平行斜率相等，或一般式方程表示的直线平行的条件来求.8.直线的倾斜角为.A. B. C. D.答案：C.解析：∵直线可化为，∴它的斜率，倾斜角.9.若直线过点(-1，2)且与直线垂直，则直线的方程是( ).A. B. C. D.答案：A.解析：由直线的斜率为得，直线的斜率为，∴直线的方程为，整理得.二、填空题1.计算： .答案：.解析：.2.化简： .原式.3.已知是的最小内角，则函数的值域为.答案：.解析：，∵，∴，∴，∴.4.当函数取得最大值时， .答案：.∵，∴当且仅当时，函数取得最大值2.5.若，，，，则.解析：∵，，，，∴，.∵，∴三、解答题1.在中，，试判断的形状.答案：钝角三角形.解析：由得.又∵，∴，∴，∴为钝角三角形.2.已知，且，，求的值.答案：.解析：∵，∴，.又∵，，∴，，∴.3.若直线平行于直线，则实数等于( ).A.-2B.-1C.1D.2 答案：D4.化简：.答案：.解析：.5.求函数的单调区间.解析：∵，令得，∴的单调增区间为，单调递减区间为．6.已知函数，，且.⑴求的值；⑵设，，，求的值.答案：⑴2；⑵.解析：⑴∵，∴；⑵∵，∴.由得.∵，∴，，∴.7.已知函数.⑴求函数的最大值；⑵求函数零点的集合.解析：⑴∵，∴当且仅当时，有最大值１；⑵令，得，∴或，∴或.∴函数零点的集合为.8.已知函数.⑴求函数的最小正周期；⑵求函数在区间上的最大值和最小值.解析：⑴∵，∴函数的最小正周期．⑵∵，∴，∴，∴，∴函数在区间上的最大值为，最小值为.9.已知函数.⑴求的值；⑵求的最大值和最小值.解析：⑴；⑵∵，∴当时，，当时，.1.已知，则与方向相同的单位向量为.答案：.解析：∵，∴与方向相同的单位向量.2..已知：，与的夹角为，则在方向上的投影为.答案：.解析：在方向上的投影为.3.已知，若，试求实数的值.解析：∵，∴，即，得.4.若向量，满足条件，则＝( ).A.6B.5C.4D.3 解析：∵，∴.5.已知向量，若，则实数的值为________.解析：由题意得，，∴，∴.1.已知，则的值是( ).A. B. C. D.或解析：∵，∴，∴.2.若，则的值为( ).A. B. C. D.1答案：C.解析：∵，∴，∴. 3..已知，计算的值.解析：对分子、分母同时除以得，. 4．已知的值为（）A．－2 B．2 C． D．－答案：D5.若，则( ).A. B. C. D.解析：∵，∴，又∵，，∴，解得，由得，.6.若满足，则的值为.解析：由得，∴，而，∴，∴.7.已知，.⑴求的值；⑵求的值.解析：⑴∵，∴，∴.⑵.8.已知，则( ).A. B. C. D.答案：A.解析：.9.已知，则等于( ).A. B. C. D.解析：∵，又∵，∴，∴.10.若，那么的值为( ).A.0B.1C.D.答案：C.解析：.11.=解析：.12.= .解析：利用倒序相加可得：上式=.13.函数在上既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则的值为( ).A. B. C. D.解析：.14.已知函数，，则 .解析：∵，，∴.15.函数的一个对称中心是( ).A. B. C. D.解析：的零点是，即，∴选C.16.函数的定义域是解析：由得，.17.函数，，若对任意，都有，则解析：依题意知，是的对称轴，∴，即，∴.18.下图是()的一段图象，则函数的解析式为答案：.解析：依题意得，∵，∴.又∵，∴.19．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形答案:B20．已知，那么的值为（）A． B．－ C．或－ D．以上全错答案：C 21．已知则22.已知，则=23.已知,则 ( )A. B. C. D.答案：B24.若函数，则下列等式恒成立的是（）A． B．C． D．答案:D25.已知, 则 ( )A. B. C. D.答案：B26.已知,则 ( )A.0B.2C.D.答案：D27..化简的结果为 ( )A. B. C. D.答案：D28.ABC中,已知,则ABC的形状为 ( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案：C29.函数R部分图象如图,则函数的表达式为 ( )A. B.C. D. 答案：C30.将函数图象上的所有点的横纵坐标都伸长到原来的2倍,再按向量平移后得到的图象与的图象重合,则函数的解析式为 (B)A. B. C. D.1.求函数的最大值和最小值解：当时，有最大值当时，有最小值－４.2.求函数的定义域、最小正周期及单调增区间.解：由得.故的定义域为，故最小正周期为由得故单调增区间为、3.的值为( ).A. B. C. D.答案：B.解析：原式.4.已知，，则等于( ).A. B. C. D.答案：C.解析：由得5.函数的最小值是( ).A. B. C. D.答案：B.解析：∵，∴的最小值为.6.若，，则.解析：.7.已知均为锐角，且，则 1解析：∵，∴，∴，∴.8.若的内角满足，则( ).A. B. C. D.答案：A.解析：∵，又∵，，∴.9.若则的值为( ).A.2B.C.D.答案：B.解析：由得，解得，∴.10.若，则的值为( ).A. B. C. D.答案：C.解析：.11.已知，则等于( ).A. B. C. D.答案：D.解析：两式平方得，两式相加得，∴.12.函数的最小值是.答案：.解析：．13.函数的最大值为.答案：.解析：14.若，则.解析：∵，∴..15.已知是两个不共线的向量，而与是两个共线向量，则实数＝或.解析：由题设知，∴，解得或.16.已知向量满足，且，则与的夹角为解析：由得，即，∴.17.已直线与圆O：相交于A、B两点，且，则＝.解析：∵，∴，∴.18.在平面直角坐标中，已知点和点，其中，若，求的值.答案：或.解析：∵，∴，即，整理得，∴或0.又∵，∴或.19.已知，则.解析：由得，.20.在中，，则这个三角形的形状是等腰三角形或直角三角形.解析：由题意得，或，∴为等腰三角形或直角三角形.21.函数的定义域是.解析：由题意得，根据图象可得.22..ABC中,已知则下列正确的结论为 ( )A. B. C. D.答案：C23.已知函数,则的值域为 ( )A.[－4，4]B.［－5，5］C.［－4，5］D.［－5，4］答案：C24.已知.（1）求的值; (2) 求的值.解: (1) .(2)原式25.若为锐角,求.解：且,否则,若而则与条件不符26. 已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求.（Ⅱ）====.1.在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域面积等于2，则的值为( ).A.-5B.1C.2D.3. 答案：D.解析：直线的斜率为，恒过定点(0，1)，由作图可知，只有当时，不等式组表示的平面区域才是封闭的，如图，可求得点坐标为(1，)，∴，解得.2.已知，则的最小值是( ).A.2B.C.4D.5 答案：C.解析：，当且仅当，且，即时取“＝”号.3.若正数满足，则的最小值是( ).A. B. C.5 D.6 答案：C.解析：∵，，∴，∴，当且仅当时取“＝”号.4.已知，则( ).A. B. C. D.答案：A.解析：∵，且函数在上是减函数，∴.又∵指数函数在是是增函数，∴，∴答案应选A.5.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.答案：A.解析：∵表示数轴上坐标为的点到坐标分别为的两点的距离之差，∴对，，当时，. ∵不等式对任意实数恒成立，∴，解得，或.6.若的三个内角满足，则的形状( ).A.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案：C 解析：由及正弦定理得；由余弦定理得，∴角C为钝角，∴是钝角三角形.7.若的内角所对的边满足，且，则的值为( ).A. B. C. D.答案：A.解析：由得，由余弦定理得，∴，∴.8.在中，，则的取值范围是( ).A. B. C. D.答案：C.解析：由已知条件及正弦定理得，∴，即，∴.9.在中，角所对的边分别为，且满足，若．则的面积为( ).A. B. C. D.答案：C.解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面积为.10. 方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D11. 若0<a<1，则不等式的解是（）A. B. C. D. 答案：D12. 一元二次不等式ax＋bx＋20的解集是(－, )，则a＋b的值是( )A.10B.－10C.14D.－14 答案：A13. a,b是正数，则三个数的大小顺序是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：C14. 设的最小值是( )A. 10B.C.D. 答案：D15．如果，那么的最小值是（）A．4 B． C．9 D．18 答案：D16.若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A．=﹣8 =﹣10 B．=﹣4 =﹣9 C．=﹣1 =9 D．=﹣1 =2 答案：B 17.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形答案：B18.设变量、满足约束条件，则的最大值为1819.△ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若=4，，求的值。

高等数学复习题库和答案

高等数学试题库（制作陈玄令）
第五套题（上学期）
一、是非判断题
1、为（）上的任意函数，则必是奇函数。 [ ]
2、若在x0处不可导，则在x0处必不连续。 [ ]
3、若 [ ]
4、若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该
曲线方程为__________ 。
5、 f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。[ ]
8、设有非零向量，若，则必有
（A）、 = + （B）、 =
（C）、（D）、
9、下列极限存在的是（）
（A）、（B）、（C）、（D）、
第四套题（上学期）
单项选择题
1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是
（A）（B）（C）（D）
2设在处可导，则。
(A) (B)
(C) (D)
3、若 .
（A）
（B）
（C）（为中任一点）
（D）、（，为中任一点）
三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。
1、 y=
2、 y=
二、填空题
1、若在区间上，则F(x)叫做在该区间上的一个 , 的
所有原函数叫做在该区间上的__________。
2、定积分的几何意义知 = ， = 。
3、 f(x,y)= ,则。。
5、由二重积分的几何意义得到 = .
6、使用Mathematica软件作函数y=x3 图象的输入格式是；
１０．使用Mathematica软件写出ｘ 0时求x3极限的输入格式是 ;

(精选试题附答案)高中数学第七章复数知识点题库

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数知识点题库单选题1、在复平面内，复数z=1+i2−i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案：A分析：根据复数除法运算化简z，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.因为z=1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+3i+i24−i2=1+3i5=15+35i，∴z̅=15−35i，对应点为(15,−35)，在第四象限，故选：A．2、设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．z=x+yi,z−i=x+(y−1)i,|z−i|=√x2+(y−1)2=1,则x2+(y−1)2=1．故选C．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3、复数1−3i(1−i)(1+2i)=（）．A．−1B．−i C．35−45i D．35−i答案：B解析：根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.根据复数的运算法则，可得1−3i (1−i)(1+2i)=1−3i 3+i =(1−3i)(3−i)(3+i)(3−i)=−10i 10=−i .故选：B.4、i 为虚数单位，已知复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，则a 等于（）A ．±1B ．1C ．−1D ．0答案：C解析：根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解.复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，所以{a 2−1=0a −1≠0，得a =−1. 故选：C.5、复数z 满足(1+2i )z =3−i ，则|z |=（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√5答案：A分析：先求出复数z ，再求|z |.因为(1+2i )z =3−i ，所以z =3−i 1+2i =(3−i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=15−75i ，所以|z |=√(15)2+(−75)2=√2.故选：A6、已知z =2+i ，则z̅−i1+i =（）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z̅=2−i ，所以z̅−i1+i =2−i−i1+i=2(1−i)×(1−i)(1+i)×(1−i)=2×(1−2i+i2)2=−2i.故选：D.7、设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（）A．0B．−1C．1D．√2答案：B分析：利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有a+1=0，即可得答案. ∵复数(1+i)(a+i)=(a−1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上，∴a+1=0，即a=−1．故选：B8、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.9、已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．−1B．1C．−3D．3答案：C分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值. (1+ai)i=i+ai2=i−a=−a+i=3+i，利用复数相等的充分必要条件可得：−a=3,∴a=−3.故选：C.10、若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：D分析：由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.填空题11、已知复数z=|3−4i|2−i（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第_____象限. 答案：一解析：化简得到z=2+i，得到复数对应象限.z=|3−4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数z在复平面内对应的点位于第一象限.所以答案是：一.小提示：本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12、已知复数z＝√3+i(1−√3i)2，则z·z̅＝________.答案：14分析：化简z,计算z·z̅即可.z＝√3+i(1−√3i)2＝√3i2(1−√3i)2＝√3i)(1−√3i)2＝1−√3i＝√3i)(1−√3i)(1+√3i)＝−√34+i4z̅=−√34−i 4z ⋅z̅=316+116=14 所以答案是：1413、已知关于x 的实系数方程x 2−2ax +a 2−4a +4=0两个虚根为x 1，x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a =______. 答案：12解析：根据关于x 的实系数的方程有两个虚根，由Δ<0解得a 的范围，再根据|x 1|+|x 2|=3及两根互为共轭，由|x 1|=|x 2|=√a 2−4a +4=32求解. 由Δ=16a −16<0，得a <1，因为|x 1|+|x 2|=3，所以|x 1|=|x 2|=√a 2−4a +4=32即a 2−4a +74=0，解得a =12或72(舍)，所以a =12.所以答案是：1214、复数12+√32i 的三角形式是______．答案：cos π3+i sin π3分析：直接利用辅助角公式计算得到答案.12+√32i =cos π3+i sin π3.所以答案是：cos π3+i sin π3.15、设z =52+i ，其中i 为虚数单位，则Imz =________答案：−1解析：直接利用复数的除法运算化简得到z的代数形式，再根据定义即得结果.因为z=52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)22−(−1)=2−i所以Imz=−1.所以答案是：−1.解答题16、已知z1=3−4i，z2=3−2i.求：(1)z1⋅z2；(2)z1z2；(3)(1+i)2n+(1−i)2n（n为正整数）；(4)(1+i)15+(1−i)15(1+i)14−(1−i)14.答案：(1)1−18i(2)1713−613i(3)(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N(4)i分析：（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.（1）根据复数的加减法和乘法运算规则得，z1·z2=(3−4i)·(3−2i)=1−18i. （2）根据复数的四则运算规则得，z1z2=3−4i3−2i=(3−4i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=17−6i13=1713−6i13.（3）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i)2n+(1−i)2n=(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N （4）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i)15+(1−i)15 (1+i)14−(1−i)14=(1+i)14·(1+i)+(1−i)14·(1−i)(2i)7−(−2i)7=(2i)7·(1+i)+(−2i)7·(1−i)−28i=−27i+27+27i+27−28i=i17、已知复数z=(m2+2m)+(m2−2m−3)i, m∈R，其中i为虚数单位．（I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；（II）若z满足z⋅z̅−4i z=9−12i，求m的值．答案：（I）m的取值范围是−2<m<−1；（II）m=1．分析：（I）由实部小于0且虚部大于0，联立不等式组求解即可；（II）设出z=x+y i(x,y∈R)，先利用复数的共轭的概念和负数的乘法运算化简已知等式的左端，利用两个复数相等的充要条件可求出z的两个值,进而根据题设条件对应得到两个关于m的方程组，分别求解即得．解：（I）∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，∴{m2+2m<0m2−2m−3>0，解得：−2<m<−1，所以m的取值范围是−2<m<−1；（II）设z=x+y i(x,y∈R)，∵z⋅z̅−4i z=9−12i，∴(x2+y2)−4i(x+y i)=9−12i，即(x 2+y 2+4y )−4x i =9−12i ，∴{x 2+y 2+4y =9−4x =−12， ∴{x =3y =0 或{x =3y =−4， ∴z =3或z =3−4i .∵z =(m 2+2m )+(m 2−2m −3)i ，∴当z =3时，{m 2+2m =3m 2−2m −3=0，无解；当z =3−4i 时，{m 2+2m =3m 2−2m −3=−4，解得m =1，综上可知：m =1．18、已知复数z =b i (b ∈R)，z+31−i 是实数.(1)求复数z ；(2)若复数(m −z)2−8m 在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围.答案：(1)z =−3i(2)(0,9)分析：（1）先将z =b i 代入z+31−i 化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ，（2）先对(m −z)2−8m 化简，再由题意可得{m 2−8m −9<0,6m >0, 从而可求得结果 (1)因为z =b i ，所以z+31−i =3+b i 1−i =(3+b i )(1+i )2=3−b+(b+3)i 2，因为z+31−i 是实数，所以b +3=0，解得b =−3.故z =−3i .(2)因为z =−3i ，所以(m −z)2−8m =(m +3i )2−8m =(m 2−8m −9)+6m i .因为复数(m −z)2−8m 所表示的点在第二象限，所以{m 2−8m −9<0,6m >0,解得0<m <9，即实数m 的取值范围是(0,9).19、已知i 是虚数单位，设复数z 满足|z −2|=2.（1）求|z +1−4i |的最小值与最大值；（2）若z +4z 为实数，求z 的值. 答案：（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析解析：（1）根据题意|z −2|=2，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，|z +1−4i |表示点(x,y)到(−1,4)的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据z +4z 为实数，列出等量关系式，求得结果.（1）设z =x +yi ，根据|z −2|=2，所以有(x −2)2+y 2=4，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以|z +1−4i |=|(x +1)+(y −4)i |=√(x +1)2+(y −4)2，其表示点(x,y)到(−1,4)的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离减半径，所以最大值为√(2+1)2+42+2=7，最小值为√(2+1)2+42−2=3；（2）z +4z =x +yi +4x+yi =x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=(x +4x x 2+y 2)+(y −4y x 2+y 2)i ，因为z +4z 为实数，所以y −4y x 2+y 2=0，即y(1−4x 2+y 2)=0，所以y =0或x 2+y 2=4，又因为(x −2)2+y 2=4，所以{x =0y =0 （舍去），{x =4y =0 ，{x =1y =√3 ，{x =1y =−√3，所以z =4或z =1+√3i 或z =1−√3i .小提示：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.。

高一数学含绝对值不等式的解法练习题

含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。

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迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修 1、4）（特别适合按 14523 顺序的省份）必修 1 第一章集合测试A.学校篮球水平较高的学生A ．{ (1,1)} M N{0}加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 A.A ∩BB.A BC.A ∪B7.集合 A={x x 2k,k Z } ,B={ x x 2k 1,k Z } ,C={ x x 4k 1,k Z }D.A B）D. (a+b) A 、B 、C 任一个={1，2，3，4，5}，则 x=（C. 4D. 5A.（a+b ） AB. (a+b)BC.(a+b)CA B 9.满足条件{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是10.全集 U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 A. B. A B11.设集合M {m Z | 3 m 2}， N {n Z | 1 n 3}， M I N ( C. C A C BD. C AC BA BUUUU≤ ≤ A ． 0，1B ． 1，0 1，C ． 0，1，2D ． 1，01，，2A ．0{xba ，又可表示成{a ,ab ,0} ，则2 aa200316.已知集合U {x | 3 x 3} ，M {x | 1 x 1}，C N {x | 0 x 2}那么集合UNU，集合 B {x a 1 x 2a 5}，若满足 A B {x 3 x 7}，求实数 aA {x1 x 7} 的值．19. 已知方程 x 2 ax b 020. 已知集合 A {x 1 x 3}，， C {y y 2x a , x A}B22x 22.函数f(x)=4x－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函2D．25A．(3，8)ax1x211D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)222aD{a|1a2}B．f(13)＜f(9)＜f(－1)D．f(13)＜f(－1)＜f(9)9．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是在区间,4上是减函数，则实数a的取值范围（f x x22a1x2A．a≤311. 函数y x4x c，则2B f(1)c f(2)D c f(2)f(1)f(x)，且在区间[0,4]上是减函数则f(x4)B．f(13)f(10)f(15)D．f(15)f(13)f(10)-214．函数 f（x）＝2x －mx＋3，当 x∈－2，＋时是增函数，当 x∈－，－2时是减函2f(x)(k2)x 2(k1)x3是偶函数，则f(x)的递减区间是_____________.217．证明函数 f（x）＝在（－2，＋）上是增函数3在［3,5］上单调递减，并求函数在［3,5］的最大值和最小值。

同济大学数学系《高等数学》第7版上册配套题库【课后习题(第7章)】【圣才出品】

y′＝x2
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此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为 y＝y（x），因它在点 P（x，y）处的切线斜率为 y′，所以该点处
法线斜率为 . 由条件知 PQ 之中点位于 y 轴上，所以点 Q 的坐标是（－x，0），则有
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4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：
解：（1）根据 y|x＝0＝5，将 x＝0，y＝5 代入函数关系中，得 C＝－25，即 x2－y2＝－25
（2）根据
，得
将 x＝0，y＝0 及 y′＝1 代入以上两式，得
所以 C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据 y＝C1sin（x－C2），得
将 x＝π，y＝1 及 y′＝0 代入以上两式，得
根据①2＋②2 得
，不妨取 C1＝1，根据①式得
，所以
5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点 P（x，y）处的法线与 x 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 y 轴平分．解：（1）假设曲线方程为 y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为 y′，依条件有
即微分方程为 yy′＋2x＝0．
6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压 P 对于温度 T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．
解：因为与 P 成正比，与 T2 成反比，如果比例系数为 k，则有
7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积 A 成正比，比例系数 k＞0．假
设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，

精选题库高一数学检测7北师大版

单元质量检测(七)一、选择题1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．答案：B2．如下图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()解析：由三视图及空间想象可知选A.答案：A3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D4．已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是()A．(4＋2π)cm2B．(6＋2π)cm2C．(4＋3π)cm2D．(6＋3π)cm2解析：由三视图可知，该几何体是底面直径和高均为2 cm的放倒的半个圆柱，其中轴截面的面积为4 cm2，半个侧面的面积为2πcm2，两底面的面积之和为π cm2，所以这个几何体的表面积是(4＋3π)cm2，故应选C.答案：C5．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12，则小圆锥的高与大圆锥的高的比是() A.12B．1C.22 D. 2解析：设小圆锥的高，底面半径，母线长分别为h，r，l，大圆锥的高，底面半径，母线长分别为H，R，L，则122πrl122πRL＝12，∴rlRL＝(rR)2＝12，∴rR＝22，∴hH＝rR＝22.答案：C6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，则l⊥β，又直线m⊂平面β，∴l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m相交和异面的情况，故②错误；对于③，可知正确．故正确命题的个数为2.答案：C7．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析：对于选项A：垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B：设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C：应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D：由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．答案：D8．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为() A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶2解析：由题意可知三棱锥V B－GAC＝V P－GAC，V B－GAC＝V G－BAC，V D－GAC＝V G－ADC，又因为三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，综上可知V D－GAC∶V P－GAC＝2∶1，故选C.答案：C9．如右图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等解析：选项A 、B 、C 均可推出EF ⊥平面ABCD ，从而可推出BD ⊥EF ；而由选项D 并不能推出BD ⊥EF ，故选D.答案：D10．若二面角M －l －N 的平面角大小为2π3，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是( )A ．[π6，π2]B ．[π4，π2]C ．[π3，π2]D ．[0，π2]解析：直线m 与平面N 内的直线所成角最小为m 与平面N 所成的角π6，显然m 与N 内直线所成角最大为π2，因为N 内一定有直线与m 垂直．答案：A11．如下图所示，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图中的( )A ．四个图形都正确B ．只有(2)(3)正确C ．只有(4)错误D ．只有(1)(2)正确解析：在面ABCD 上的射影为图(2)；在面B 1BCC 1上的射影为图(3)，在任何一个面上的射影都不会是图(1)和图(4)．答案：B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为( )①A 1C 1和AD 1所成角为π3；②点B 1到截面A 1C 1D 的距离为233；③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶ 2 A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∴∠A 1C 1B 为异面直线A 1C 1与AD 1所成角，显然∠A 1C 1B ＝π3. 到平面A 1C 1D 的距离为233的点是B 不是B 1.正方形的内切球与外接球半径之比为1232＝1∶ 3.答案：C 二、填空题13．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．解析：由三视图可知，原几何体为底面直径为1，母线长也为1的圆柱，故由圆柱侧面积公式可得S ＝2π×12×1＝π.答案：π14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上移动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．解析：由题意，当P 点移动时，AP 确定的平面与BD 1垂直，∴点P 应在线段B 1C 上．答案：线段B 1C15．如下图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．解析：取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，由题中条件易得四边形ABEF 为平行四边形，从而进一步可推出BE ∥AF ，根据线面平行的判定定理可得BE ∥平面P AD (或取CD 的中点M ，连接EM ，BM ，由条件可推出平面BEM ∥平面P AD ，进一步也可得出BE ∥平面P AD )．答案：平行16．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中点P 的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________．解析：连接PD ，可得PD ＝1，即点P 的轨迹为以点D 为球心，半径为1的球截直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的部分(如右图所示)．由DD 1⊥平面ABCD 及∠ADC ＝2π3，可得该几何体为球体的13×12＝16，所以其体积为V ＝16×43π×13＝2π9. 答案：2π9三、解答题17．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：设正方体棱长为a . 如右图作出组合体的轴截面．则OS ＝h ，OP ＝r ，OA ＝2a 2， ∵△SO ′A ′∽△SOP ， ∴O ′A ′OP ＝SO ′SO ，即2a 2r ＝h －ah，∴a ＝2rh 2r ＋2h ，即正方体的棱长为2rh2r ＋2h.18．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3.(1)求证：AC ⊥DE ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB .E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PDB ，所以AC ⊥DE . (2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PDB ， EF ⊂平面PDB ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .此时S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1.由△PDB ∽△FEB ，得PD EF ＝PBFB .由于EF ＝1，FB ＝4，所以PB ＝4PD .又PB ＝PD 2＋64，∴PD 2＋64＝4PD ，解得PD ＝81515.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD＝13×24×81515＝641515.图甲19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直(右图甲)，图乙为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图乙所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积．图乙(2)图丙中，E 为棱PB 上的点，F 为底面对角线AC 上的点，且BE EP ＝CFF A ，求证：EF ∥平面PDA .图丙解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如下图．其面积为36 cm 2.(2)连接BF 并延长交AD 于G ，连接PG ，则在正方形ABCD 中，BF FG ＝CF F A .又CF F A ＝BE EP ，∴BF FG ＝BE EP， ∴在△BGP 中，EF ∥PG .又EF ⊄平面PDA ，PG ⊂平面PDA ， ∴EF ∥平面PDA .20．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求证：平面SCD ⊥平面SCE . 证明：(1)连结AC 、AF 、BF 、EF . ∵SA ⊥平面ABCD ，∴AF 为Rt △SAC 斜边SC 上的中线， ∴AF ＝12SC .又∵ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB . 而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA ，又AB ∩SA ＝A ，∴CB ⊥平面SAB .∴CB ⊥SB ， ∴BF 为Rt △SBC 斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC . ∴△AFB 为等腰三角形，EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝CE ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .21．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中点，点F ，G 分别是棱C 1D 1，AA 1的中点．设点E 1，G 1分别是点E ，G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解：(1)由题意知EE 1⊥平面DCC 1D 1，且四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为四边形FG 1DE 1.∵点E 是正方形BCC 1B 1的中心，∴EE 1＝1.∵SFG 1DE 1＝SDCC 1D 1－S △FD 1G 1－S △E 1C 1F －S △DCE 1，由题设知点E 1、G 1分别是CC 1、DD 1的中点，∴SFG 1DE 1＝22－12×1×1－12×1×1－12×1×2＝2. 故所求的四棱锥体积为VE －FG 1DE 1＝13SFG 1DE 1×EE 1＝13×2×1＝23. (2)由(1)知，△E 1C 1F 与△G 1D 1F 均为等腰直角三角形，∴∠G 1FE 1＝π2⇒G 1F ⊥FE 1. ∵EE 1⊥平面DCC 1D 1，FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.又∵EE 1∩FE 1＝E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)由(1)的解答知E 1G 1∥AB ，∴∠EAB 即为E 1G 1与EA 所成的角．连接EB ，由题意得EB ＝ 2.∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴△EBA 为直角三角形， ∴EA ＝EB 2＋AB 2＝(2)2＋22＝6，∴sin ∠EAB ＝EB EA ＝26＝33. 22．已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1(如右图)中，底面ABCD 是正方形，且DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD 1A 1中确定一个点F ，使得FB 1⊥平面BCC 1B 1；(3)求二面角F －CC 1－B 的余弦值(F 满足(2))．解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，D 1(0,0，a )，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，C 1(0，a ，a )．(1)∵AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0,0，a )，∴cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝a 23a 2 a 2＝33，即直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)设F (x,0，z )，∵BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a,0,0)，FB 1→＝(a －x ，a ，a －z )，由FB 1⊥平面BCC 1B 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ FB 1→·BB 1→＝0FB 1→·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a (a －x )－a 2＋a (a －z )＝0－2a (a －x )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a z ＝0， ∴F (a,0,0)，即F 为DA 的中点．(3)由(2)知FB 1→＝(0，a ，a )为平面BCC 1B 1的一个法向量．设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的一个法向量， CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a,2a,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0－ax 1＋2ay 1＝0. 令y 1＝1得x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)，cos 〈n ，FB 1→〉＝n ·FB 1→|n ||FB 1→|＝ a ＋a 6·2a2＝33，即二面角F －CC 1－B 的余弦值为33.。

同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分方程)【圣才出品】

同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。

高一精选题库习题数学5-3

第5模块第3节[知能演练]一、选择题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是( )A ．3B ．1C ．0D ．－1解析：可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1.答案：B2．设a 1，a 2，a 3，a 4 成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.12C.18D ．1解析：由题意得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，a 4＝8a 1. ∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.答案：A3．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25解析：a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的两项积为定值，可知T 17为定值．答案：C4．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6等于( )A ．240B ．±240C ．480D ．±480解析：∵{a n }为等比数列，∴数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列，∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)，∴a 5＋a 6＝120230＝480.答案：C 二、填空题5．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得 a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18 ∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n .答案：a n ＝24－n6．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 7＝4，数列{b n }是等比数列，已知b 2＝a 3，b 3＝1a 2，则满足b n <1a 80的最小自然数n 是________．解析：{a n }为等差数列a 1＝1，a 7＝4,6d ＝3，d ＝12.∴a n ＝n ＋12，{b n }为等比数列，b 2＝2，b 3＝23，q ＝13. ∴b n ＝6×(13)n －1，b n <1a 80＝281，∴81<26×⎝⎛13n －1，即3n －2>81＝34. ∴n >6，从而可得n min ＝7. 答案：7 三、解答题7．设数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n . (1)求a 3，a 4；(2)证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列； (3)求{a n }的通项公式．(1)解：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，所以a 1＝2，S 1＝2. 由2a n ＝S n ＋2n知2a n ＋1＝S n ＋1＋2n ＋1＝a n ＋1＋S n ＋2n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋2n ＋1，①所以a 2＝S 1＋22＝2＋22＝6，S 2＝8， a 3＝S 2＋23＝8＋23＝16，S 3＝24. a 4＝S 3＋24＝40.(2)证明：由题设和①式知 a n ＋1－2a n ＝(S n ＋2n ＋1)－(S n ＋2n )＝2n ＋1－2n ＝2n.所以{a n ＋1－2a n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)a n ＝(a n －2a n －1)＋2(a n －1－2a n －2)＋…＋2n －2(a 2－2a 1)＋2n －1a 1＝(n ＋1)·2n －1.8．设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列，lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求通项a n 、b n .解：∵5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列， ∴(5b n )2＝5a n ·5a n ＋1，即2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 又∵lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列， ∴2lg a n ＋1＝lg b n ＋lg b n ＋1，即a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1.② 由②及a i >0，b j >0(i 、j ∈N *)可得 a n ＋1＝b n b n ＋1.③ ∴a n ＝b n －1b n (n ≥2)．④将③④代入①可得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1(n ≥2)， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)． ∴数列{b n }为等差数列．∵b 1＝2，a 2＝3，a 22＝b 1b 2，∴b 2＝92.∴b n ＝2＋(n －1)( 92－2) ＝12(n ＋1)(n ＝1也成立)．∴b n ＝(n ＋1)22.∴a n ＝b n －1·b n ＝n 22·(n ＋1)22＝n (n ＋1)2(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝1也成立．∴a n ＝n (n ＋1)2.[高考·模拟·预测]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2，因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设等比数列{a n }的首项为a 1公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n ，即a 21·q 2n －2＝22n ⇒(a 1·q n －1)2＝22n ⇒(a n )2＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2，故选C.答案：C3．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )．若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n <m 时，a n 等于( )A ．－12n －2 B.12n －2C ．－12n －1D.12n －1解析：∵n <m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1.答案：C4．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.解析：由a n ＝b n －1，且数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．经分析判断知{a n }的四项应为－24,36，－54,81.又|q |>1，所以数列{a n }的公比为q ＝－32，则6q ＝－9.答案：－95．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(Ⅰ)求r 的值；(Ⅱ)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(Ⅰ)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1，当b ＝2时，a n ＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1.12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1. [备选精题]6．已知数列{a n }满足a 1＝a (a ≠0且a ≠1)，前n 项和为S n ，且S n ＝a1－a (1－a n )．(1)求证：{a n }是等比数列；(2)记b n ＝a n lg|a n |(n ∈N *)，当a ＝－73时，是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有b n ≥b m ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．解：(1)当n ≥2时，S n ＝a 1－a (1－a n )，S n －1＝a1－a (1－a n －1)，a n ＝S n －S n －1＝a 1－a －a n )－(1－a n －1)]＝a1－a (a n －1－a n )，即a n ＝aa n －1.又a 1＝a ≠0，所以a na n －1＝a ，所以{a n }是首项和公比都为a 的等比数列． (2)由(1)知，a n ＝a n，则b n ＝a n lg|a n |＝na nlg|a |. 又a ＝－73∈(－1,0)，则lg|a |<0. 所以当n 为偶数时，b n ＝na n lg|a |<0；当n 为奇数时，b n >0. 可见，若存在满足条件的正整数m ，则m 为偶数． b 2k ＋2－b 2k ＝[(2k ＋2)a2k ＋2－2ka 2k ]lg|a |＝2a 2k [(k ＋1)a 2－k ]lg|a |＝2a 2k [k (a 2－1)＋a 2·a 2－1a 2－1]lg|a |＝2a 2k (a 2－1)(k －a 21－a2)lg|a |(k ∈N *)．当a ＝－73时，a 2－1＝－29，∴2a 2k (a 2－1)lg|a |>0.又a 21－a 2＝72，当k >72时，b 2k ＋2>b 2k ，即b 8<b 10<b 12<…；当k <72时，b 2k ＋2<b 2k ，即b 8<b 6<b 4<b 2.故存在正整数m ＝8使得对于任意正整数n ，都有b n ≥b m .。

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第7模块第3节
[知能演练]
一、选择题
1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b
() A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
解析：a，b是异面直线，直线c∥直线a.因而cb，
否则，若c∥b，则a∥b与已知矛盾，因而cb.
答案：C
2．四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线
() A．互不相交B．至多有两条直线相交
C．三线相交于一点D．两两相交有三个交点
解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点．
答案：C
3．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则
() A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
解析：对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；
对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；
对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；
对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．
答案：B
4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
()
A.1
5
B.
2
5
C.35
D.45
解析：连接D 1C ，AC ，易证A 1B ∥D 1C ，∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，
∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45
.
∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4
5.
答案：D 二、填空题
5．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．
解析：取CB 中点G ，连接EG 、FG ， ∴EG ∥AB ，FG ∥CD .
∴EF 与CD 所成的角为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG 中，EG ＝1
2
AB ＝1，
FG ＝1
2CD ＝2，
∴sin ∠EFG ＝1
2
，
∴∠EFG＝30°.
∴EF与CD所成的角为30°.
答案：30°
6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．
①矩形
②不是矩形的平行四边形
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体
④每个面都是等边三角形的四面体
⑤每个面都是直角三角形的四面体
解析：分两种情况：4个顶点共面时，几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．
答案：①③④⑤
三、解答题
7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF ＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.
(1)求BD的距离；
(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．
(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．
因为AE，EF，EB两两垂直，
所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．
所以BD＝AE2＋EF2＋EB2
＝42＋22＋1＝21.
(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.
所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．
所以AC、BD交于一点且被该点平分．
8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明．
解：设AP ＝x (0≤x ≤2)，利用PF 与BC 所成的角是60°来构建以x 为元的方程，再解x 就确定了点P 的位置．
如下图，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴AC ＝2.设AP ＝x (0≤x ≤2)，作PQ ⊥AB 交AB 于Q ，则PQ ∥BC ，相交直线PF 与PQ 所成的角是异面直线PF 与BC 所成的角．
∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，
∴AF ⊥AC ，AF ⊥平面ABCD ，AF ⊥PQ . ∵AB ∩AF ＝A ，
∴PQ ⊥平面ABF ，PQ ⊥FQ . 要使PF 与BC 所成角是60°，
只需使∠FPQ ＝60°，即只需使PF ＝2PQ ， ∵PQ ＝
22AP ＝2
2
x ， ∴只需使PF ＝2x .
又在Rt △APF 中，PF ＝AP 2＋AF 2＝x 2＋1， ∴2x ＝x 2＋1. ∴x ＝1.
∴当P 点是线段AC 的中点时PF 与BC 所成的角为60°.
[高考·模拟·预测]
1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到异面直线AB ，CC 1的距离相等的点的个数为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线AB 、CC 1的距离相等的点为点D ，B 1，线段BC 的中点E ，线段A 1D 1中点F ，总共4个，故选C.
答案：C
2．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为
( )
A.3
4 B.54
C.7
4
D.34
解析：设棱长为2，BC 的中点为D ，由题意，得 AD ＝ 3.
在Rt △A 1AD 中，
A 1D ＝AA 21－AD 2
＝22－(3)2＝1. 在Rt △A 1BD 中， A 1B ＝A 1D 2＋BD 2＝ 2. ∵AA 1∥CC 1，
∴AB 与AA 1所成的角∠A 1AB 即为AB 与CC 1所成的角．
在△A 1AB 中，由余弦定理，得cos ∠A 1AB ＝AA 2
1＋AB 2
－A 1B 2
2AA 1·AB ＝4＋4－22×2×2＝34.
答案：D
3．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为
( )
A.10
10
B.15
C.
310
10
D.35
解析：如下图所示，连接A 1B ，因A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，
所以A 1B ∥D 1C ，则异面直线BE 与CD 1所成的角即为BE 与BA 1所成的角．不妨设AB ＝1，则AA 1＝2，设∠ABE ＝α，∠ABA 1＝β，则sin α＝12，cos α＝
1
2，sin β＝25，cos β＝1
5
. ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝1
2·15＋12·25＝310
＝31010.故选C.
答案：C
4．在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种，已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l 1，l 2在α上的射影是直线s 1，s 2；l 1，l 2在β上的射影是直线t 1，t 2，利用s 1与s 2，t 1与t 2的位置关系写出一个总能确定l 1，l 2是异面直线的充分条件________．
解析：当s 1∥s 2且t 1与t 2相交时，可推得l 1与l 2总是异面直线，当l 1，l 2在α内的射影s 1，s 2平行时，我们可断定l 1与l 2一定不相交，同理当l 1，l 2在β内的射影t 1，t 2相交时，也可推得l 1，l 2一定不平行，故l 1与l 2一定是异面直线．同理当t 1∥t 2且s 1与s 2相交时，也符合题意．
答案：s 1∥s 2，且t 1与t 2相交；(t 1∥t 2，且s 1与s 2相交)
5．空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________．解析：如下图①所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如下图②，故AC 的取值范围是0<AC < 3.
答案：(0，3)
6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1上)．
(1)过P 点在空间中作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈(0，π
2]，这样
的直线有几条，应该如何作图？
解：(1)连接B 1D 1，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线． ∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥直线BD . (2)在平面A 1C 1内作直线m ，使直线m 与B 1D 1相交成α角， ∵BD ∥B 1D 1，
∴直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD 所成的角α∈(0，π
2
]．
当α＝π
2m 有且只有一条，
当α≠π
2
时，这样的直线m 有两条．。