第四章梁的弯曲详解
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例题4 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
1 2
ql
qx
M (x)
FAy x
1 9x2 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
解：1.根据平衡条件求出约束力反力
FAy 2kN FBy 4kN
2.求指定截面上的剪力和弯矩 截面C：根据截面左侧梁上的外力得： FQC Fy FAy 2kN Mc MO FAy 2m Me 2kN 2m 8kN m 4kN m 截面B左、B右：取右侧梁计算，得：
第4章 梁的弯曲
解：1.根据平衡条件求约束反力
FAy
5 4
F，FBy
1 4
F
2.求截面1-1的内力
Fy 0 : F FQ1,得FQ1 F
M1 0 : 2Fl M1 0， 得M1 2Fl
3.求截面2-2的内力
Fy
0:
FAy
F
FQ 2
0，
得FQ2
FAy
F
5 4
F
F
1 4
F
M 2 0 : 2Fl M 2 0， 得M 2 2Fl
截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
上节课内容回顾
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面 上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
二、单跨静定梁的类型
梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为静定梁。根 据约束情况的不同，单跨静定梁可分为以下三种常见形式：
（1）简支梁(Simple Beam )。梁的一端为固定铰支 座， 另一端为可动铰支座。
（2）悬臂梁(Cantilever beam )。梁的一端固定， 另一端自由。
（3）外伸梁(Overhanging beam )。简支梁的 一端或两端伸出支座之外。
第4章 梁的弯曲
4.求截面3-3的内力
Fy
0:
FQ3
FBy
0，
得FQ3
FBy
F 4
M 3
0
:
M3
Me
2FByl
0，
得M 3
Fl
2
F 4
l
3 2
Fl
5.求截面4-4的内力
Fy
0 : FQ4
FBy
0，
得FQ4
FBy
F 4
M 4
0
:
M 4
FBy
ຫໍສະໝຸດ Baidu2l
0，
得M 4
2FByl
1 2
Fl
比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧
M M0 (Fi )
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的 变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正 号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯 矩正”或“左顺，右逆弯矩正” ，相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题2 一外伸梁，所受荷载如图示，试求 截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。
第4章 梁的弯曲
第一节 平面弯曲的概念
一、梁平面弯曲的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲 (Bending)。 以弯曲为主要变形的杆件称为梁(beam )。
第4章 梁的弯曲
当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线 也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与 外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。
FQ
F yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
FQB左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m
在集中力作用截面处， 应分左、右截面计算剪力；
在集中力偶作用截面处 也应分左、右截面计算弯矩。
第4章 梁的弯曲
第4章 梁的弯曲
第二节 梁的内力—剪力和弯矩
一、梁的剪力(Resisting shear )和弯矩(Resisting moment ) 梁在外力作用下，其任一横截面上的 内力可用截面法来确定。现分析距A端 为x处横截面m-m上的内力。如果取左 段为研究对象，则右段梁对左段梁的 作用以截开面上的内力来代替。存在 两个内力分量：内力FQ与截面相切， 称为剪力，内力偶矩M称为弯矩。
第4章 梁的弯曲
二、剪力和弯矩的正负号规定
即微段有左端向上而右端向下的相对错动时， 横截面上的剪力FQ为正号，反之为负号。
当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受 拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号。
第4章 梁的弯曲
三、计算指定截面上的剪力和弯矩
例题1 外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近 于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各 截面的剪力和弯矩。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
三、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数
梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于 梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表 示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定 正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F (0 ≤ x ≤ l )
M (x) Fx (0≤x ≤ l)
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ max F M Fl
max
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
1 2
ql
qx
M (x)
FAy x
1 9x2 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
解：1.根据平衡条件求出约束力反力
FAy 2kN FBy 4kN
2.求指定截面上的剪力和弯矩 截面C：根据截面左侧梁上的外力得： FQC Fy FAy 2kN Mc MO FAy 2m Me 2kN 2m 8kN m 4kN m 截面B左、B右：取右侧梁计算，得：
第4章 梁的弯曲
解：1.根据平衡条件求约束反力
FAy
5 4
F，FBy
1 4
F
2.求截面1-1的内力
Fy 0 : F FQ1,得FQ1 F
M1 0 : 2Fl M1 0， 得M1 2Fl
3.求截面2-2的内力
Fy
0:
FAy
F
FQ 2
0，
得FQ2
FAy
F
5 4
F
F
1 4
F
M 2 0 : 2Fl M 2 0， 得M 2 2Fl
截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
上节课内容回顾
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面 上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
二、单跨静定梁的类型
梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为静定梁。根 据约束情况的不同，单跨静定梁可分为以下三种常见形式：
（1）简支梁(Simple Beam )。梁的一端为固定铰支 座， 另一端为可动铰支座。
（2）悬臂梁(Cantilever beam )。梁的一端固定， 另一端自由。
（3）外伸梁(Overhanging beam )。简支梁的 一端或两端伸出支座之外。
第4章 梁的弯曲
4.求截面3-3的内力
Fy
0:
FQ3
FBy
0，
得FQ3
FBy
F 4
M 3
0
:
M3
Me
2FByl
0，
得M 3
Fl
2
F 4
l
3 2
Fl
5.求截面4-4的内力
Fy
0 : FQ4
FBy
0，
得FQ4
FBy
F 4
M 4
0
:
M 4
FBy
ຫໍສະໝຸດ Baidu2l
0，
得M 4
2FByl
1 2
Fl
比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧
M M0 (Fi )
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的 变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正 号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯 矩正”或“左顺，右逆弯矩正” ，相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题2 一外伸梁，所受荷载如图示，试求 截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。
第4章 梁的弯曲
第一节 平面弯曲的概念
一、梁平面弯曲的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲 (Bending)。 以弯曲为主要变形的杆件称为梁(beam )。
第4章 梁的弯曲
当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线 也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与 外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。
FQ
F yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
FQB左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m
在集中力作用截面处， 应分左、右截面计算剪力；
在集中力偶作用截面处 也应分左、右截面计算弯矩。
第4章 梁的弯曲
第4章 梁的弯曲
第二节 梁的内力—剪力和弯矩
一、梁的剪力(Resisting shear )和弯矩(Resisting moment ) 梁在外力作用下，其任一横截面上的 内力可用截面法来确定。现分析距A端 为x处横截面m-m上的内力。如果取左 段为研究对象，则右段梁对左段梁的 作用以截开面上的内力来代替。存在 两个内力分量：内力FQ与截面相切， 称为剪力，内力偶矩M称为弯矩。
第4章 梁的弯曲
二、剪力和弯矩的正负号规定
即微段有左端向上而右端向下的相对错动时， 横截面上的剪力FQ为正号，反之为负号。
当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受 拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号。
第4章 梁的弯曲
三、计算指定截面上的剪力和弯矩
例题1 外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近 于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各 截面的剪力和弯矩。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
三、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数
梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于 梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表 示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定 正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F (0 ≤ x ≤ l )
M (x) Fx (0≤x ≤ l)
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ max F M Fl
max
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算