几何学3
初等数学研究 几何部分 第三章 初等几何变换
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设G 是一个非空集合，在G存在一种运算·，有
⑴ 封闭性；——广群（代数系统） 半群 ⑵ 结合律； ⑶ 单位元；
单胚
⑷ 逆元（非单位元的元素都有逆元）。
则称 G关于·是一个群。
例如① 正ABC变为自身的变换集合记为G．
第一类：旋转对称．令
A
f0
A
B
f1
B
B C
C
A
⑤ 关于同一旋转中心的两次旋转的乘积是一个旋转；
⑥ 旋转变换的逆变换是旋转变换；
⑦ 同一个旋转中心的所有旋转变换构成一个群，称为
旋转群．旋转群是合同变换群的子群。
例2 设 P 为正ABC内一点，PC 3，PA 4，PB 5 ，
求 ABC的边长． 解 如图3-2-4所示，令 BCP R(C,60o) ACP， 则BCP ≌ ACP， ∴ PC PC ，3 PA PB ，5 B
链接
⑴
⑵ 图3-2-1
第一类合同变换 （真正合同） （定向相同）
（运动群）
第二类合同变换 （镜像合同） （定向相反） （不构成群）
二、合同变换的特例——平移、旋转、反射
1．平移
⑴ 定义
定义6 平面到其自身的变换，如果对于每一个点P 以
及对应点
P，都有
uuur PP
a（其中a
为给定的已知向量），
那么这个变换叫做平面上的平移变换，简称平移，记
⑵ 表述：令 P R(O, ) P或令图形 F R(O, )图形 F，则
图形 F 图形F．
特别地，当 时为点反射。
⑶ 性质
① 旋转变换下，两点间距离保持不变；
② 角度是旋转变化下的不变量；
③ 旋转把任意图形变换成与它真正合同的图形；
初中数学经典几何模型03-一线三垂直模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求BD证：CE=12【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰R t△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=1∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB2DF.交于点F，求证：BE=125、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。
3-3球面上的几何
2012年8月
46
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
47
《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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《高中数学选修课程专题研究》
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球面三角形的其它性质
定理
球面三角形两边之和大于第三边。
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《高中数学选修课程专题研究》
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的其它性质
推论
高中数学选修课程 专题研究
3-3 球面上的几何
1
1.《普通高中数学课程标准 （实验）》
4
《高中数学选修课程专题研究》
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《普通高中数学课程标准 （实验）》
10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面， 球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
11.初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。 12.完成一个学习总结报告。
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
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三角形相似的判定 (第3课时)
三角形相似的判定（第3课时）引言在几何学中，相似是一个重要的概念。
相似指的是两个或多个几何图形在形状上相似，尺寸可能不同。
在本文中，我们将讨论与三角形相似性相关的判定方法。
什么是相似的三角形？两个三角形被认为是相似的，当且仅当它们的相应边比例相等，并且对应的角度相等。
这可以表示为以下条件：1.两个三角形的边比例相等：$\\frac{AB}{DE} = \\frac{BC}{EF} =\\frac{AC}{DF}$其中AB、BC和AC是一个三角形的边长，DE、EF和DF是另一个三角形的相应边长。
2.两个三角形的对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F三角形相似的判定方法以下是几种常见的判定方法用于确定两个三角形是否相似。
AAA判定法AAA判定法是基于对应角度相等的原则，其中AAA代表三个对应角度的首字母。
如果两个三角形的三个对应角度相等，那么它们是相似的。
这可以表示为以下条件：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠FAA判定法AA判定法是基于两个对应角度相等和一个对应边长比例相等的原则，其中AA代表两个对应角度的首字母。
如果两个三角形的两个对应角度相等，并且一个对应边的比例相等，那么它们是相似的。
这可以表示为以下条件：∠A = ∠D，∠B = ∠E，并且$\\frac{AB}{DE} = \\frac{BC}{EF} = \\frac{AC}{DF}$SAS判定法SAS判定法是基于一个对应边长比例相等和两个对应边之间的夹角相等的原则，其中SAS代表边-角-边。
如果两个三角形的一个对应边的比例相等，并且两个对应边之间的夹角相等，那么它们是相似的。
这可以表示为以下条件：$\\frac{AB}{DE} = \\frac{BC}{EF} = \\frac{AC}{DF}$，且∠B = ∠ESSS判定法SSS判定法是基于三个对应边的比例相等的原则，其中SSS代表三个对应边的首字母。
【数学概观】三种几何学的并存
【数学概观】三种⼏何学的并存三种⼏何并存⼀、泰勒斯——推理⼏何学的⿐祖⼏何学四千年前发源于古埃及，当时主要是⼈对⾃然界的有意识的改造与创新（发明车轮，建筑房屋、桥梁、粮仓，测量长度，确定距离，估计⾯积与体积等）⽽出现的实验⼏何学。
公元前七世纪， “希腊七贤”之⼀的泰勒斯到埃及经商，掌握了埃及⼏何学，传回希腊。
那时，希腊社会安定，经济繁荣，⼈类对仅仅知道“如何”之类的问题已不满⾜，他们还要穷究“为何”。
于是演绎推理⽅法应运⽽⽣，以泰勒斯为⾸的爱奥尼亚学派将⼏何学由实验⼏何学发展为推理⼏何学。
关于泰勒斯的学术⽣平虽然没有确切的可靠材料，但下述五个命题的发现应归功于泰勒斯：（1）圆被任⼀直径⼆等分；（2）等腰三⾓形两底⾓相等；（3）两条直线相交，对顶⾓相等；（4）如果两个三⾓形有⼀条边和这条边上的两个⾓对应相等，则这两个三⾓形全等；（5）内接于半圆的⾓是直⾓。
泰勒斯的重要贡献不仅仅在于他发现了上述命题，更重要的是他提供了某种逻辑推理⽅法。
这样，泰勒斯成为第⼀个在数学中运⽤证明的⼈，他的贡献是数学发展史上的⼀个⾥程碑。
关于泰勒斯，还有很多有趣的传说故事。
⽐如（1）骡⼦打滚据说，泰勒斯在其早年的商务活动中，经常⽤骡⼦运盐做买卖，有⼀次过河时，这头骡⼦滑倒了，盐被河⽔溶解了⼀部分，起来后感觉负担减轻很多。
从此以后，这头骡⼦每次过河都要打⼀个滚。
为了改变这头骡⼦的恶习，有⼀天，泰勒斯让这头骡⼦驮着海绵过河。
这样，骡⼦越打滚越沉，骡⼦因此再也不敢故伎重演了。
（2）不结婚免痛苦有⼀天，也是当时 “希腊七贤”之⼀的雅典执政官梭伦（Solon, 约公元前630---前560）问泰勒斯为什么⼀辈⼦不结婚，泰勒斯当时没有回答。
⼏天之后，泰勒斯让⼈找到梭伦家，传给他⼀个假消息，声称⾃⼰⼏天前曾去过雅典，听说梭伦在雅典游历的⼉⼦被杀⾝亡，梭伦听了很伤⼼。
正当梭伦异常伤⼼时，泰勒斯跑来告诉他说：“您的⼉⼦根本没有事，我只是想告诉您我为什么⼀辈⼦不结婚。
罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)
罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)数学几何作为数学的一个重要分支，其研究对象是空间中的图形和它们之间的关系。
在数学几何的学习过程中，几何基础是至关重要的一部分，它包括了几何中的基本概念、基本定理以及基本推理方法。
在本文中，将继续介绍几何基础的内容，帮助读者更好地理解和掌握几何学的基本知识。
一、线段与直线线段是几何中最基本的一个概念，它是由两个不同的点确定的，可以表示为AB。
直线是由无数个点连成的，可以用有向线段或者符号表示。
在线段和直线之间有以下的基本关系：1. 一个点只能在唯一的一条直线上，一个点在一条线段上当且仅当它在这条线段所在的直线上并且它在这条线段的两个端点之间。
2. 如果两条直线有一个公共的点，则这两条直线可以重合。
二、角的概念与分类在几何中，角是由两条射线共同起点所确定的，可以用∠ABC来表示，其中A为顶点，B和C为射线。
根据角的大小可以将其分为以下几类：1. 零角：零角是指两条射线重合在一起的情况，可以用∠ABC=0表示。
2. 锐角：锐角是指两条射线之间的夹角小于90°的角，可以用0<∠ABC<90°表示。
3. 直角：直角是指两条射线之间的夹角等于90°，可以用∠ABC=90°表示。
4. 钝角：钝角是指两条射线之间的夹角大于90°但小于180°的角，可以用90°<∠ABC<180°表示。
5. 平角：平角是指两条射线之间的夹角等于180°，可以用∠ABC=180°表示。
三、图形的性质与分类图形是几何中的重要内容，不同的图形有着不同的性质和分类。
下面介绍一些常见的图形及其相关性质：1. 三角形：三角形是由三条线段所围成的图形。
根据边长的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
晶体结构与晶体化学-晶体几何学理论基础3
螺旋旋转由两个基本操作——旋转和平移构成。该旋转轴称为螺旋轴。在 点阵中，螺旋轴被限制在旋转轴允许的位置上。为了与点阵相容，平移分 量的量值必须是平行于轴的单位平移的约数。
1.5.2 滑移反映
包含有平移及反映的复合对称操作称为滑移反映。反映面称滑移面，限制 在与镜面相同的位置上。滑移的平移分量必须与在平面中的单位平移t平 行，且其量值为t/2。如果平行于晶胞的棱，称之为轴滑移。如果指向 晶胞的中心或晶胞的任一面的中心，称之为对角线滑移。金刚石型滑移的 值是对角线滑移量的一半，且只限于有心的晶胞。
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
3、空间格子（点阵）
晶体结构的基本特征是其中的质点在三维空间作有规律的重复排列；表示这种 晶体结构基本规律性的集合图形，就是空间格子。
二维空间中平移等效点的集合产生了一个“网格”，而在三维空间中其基本平 移矢量终点的集合组成一个空间格子，常称为“晶格”或“点阵”
C：面心 三维情况的晶胞： P：无心（原始的或素的） I：体心 F：面心 A、B、C：底心。即（b,c）、（c,a）及（a,b）上带心或称A面心、B面心、C面心。 R：菱面体按六方定向时的带心情况 三斜晶系中不存在带心点阵。 单斜晶系中，A面心和C面心是相同的（a轴和c轴可以互换）。B面心可以选为P。I、 F点阵也可以选成A及C。因此，在标准定向中，单斜晶系只有P、C两种。 正交晶系中，原始的P、C面心（A及B面心可用换轴的方法选为C），体心I及面心F 都有。 四方晶系，点阵类型只有P及I两种（C可选成P，F可改选成I）。 三方、六方晶系有P及R两种点阵。 立方晶系有P、I、F点阵。
三的数学符号
三的数学符号【最新版】目录1.引言：介绍“三”的特殊性和其在中文中的象征意义2.“三”的数学符号：详述“三”在不同数学领域的符号表示3.“三”在几何学中的应用：描述“三”在几何学中的重要性和应用4.“三”在代数学中的应用：描述“三”在代数学中的重要性和应用5.“三”在其他数学领域的应用：简述“三”在其他数学领域的应用6.结论：总结“三”在数学中的重要性和象征意义正文一、引言在阿拉伯数字中，“三”是一个独特的数字，它代表着一种特殊的含义和象征。
在东方文化中，特别是中国文化中，“三”具有丰富的象征意义，如三足鼎立、三生有幸等。
因此，“三”不仅仅是一个简单的数字，更是一种文化符号。
本文将探讨“三”在数学领域的符号表示及其应用。
二、“三”的数学符号“三”在不同的数学领域中有不同的符号表示。
在几何学中，“三”表示为三角形；在代数学中，“三”表示为三次方程；在统计学中，“三”表示为三个变量的关系等。
这些符号表示不仅体现了“三”的数量特征，更反映了其在数学领域的重要地位。
三、“三”在几何学中的应用在几何学中，“三”具有举足轻重的地位。
三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有稳定性、角度和边长关系等特性。
在实际应用中，三角形被广泛应用于建筑、工程和设计等领域。
此外，四面体、三棱锥等三维图形也以“三”为基础，进一步展现了“三”在几何学中的重要性。
四、“三”在代数学中的应用在代数学中，“三”同样具有重要意义。
三次方程是代数学中的一个基本课题，它描述了三个变量之间的关系。
解三次方程可以运用韦达定理、卡尔丹公式等方法。
此外，三次多项式、三次函数等概念也与“三”密切相关。
五、“三”在其他数学领域的应用除了在几何学和代数学中，“三”在其他数学领域也有广泛应用。
例如，在组合数学中，三元组是一种基本的组合形式；在概率论中，三个变量的联合分布概率是研究概率分布的一个重要课题。
这些应用都充分体现了“三”在数学领域的重要性。
六、结论综上所述，“三”在数学领域具有举足轻重的地位，它不仅在不同的数学领域中有不同的符号表示，还具有丰富的应用。
高中数学选修三
高中数学选修三高中数学选修三：一、课程简介1、高中数学选修三是一门必修课程，其主要内容包括几何学、概率、统计学以及科学计算技术。
它位于高中数学课程体系的中心，是高中数学学习的重要组成部分。
2、课程主要包括：几何学重点学习解析几何、体积、面积计算，概率学理解概率的概念，统计学理解数据的分布现象，科学计算技术在日常生活中运用以及处理与其它数学软件的应用。
3、课程的目的在于：让学生熟悉数学知识的内容，能够更好的理解和应用，以培养学生的分析能力和思维能力。
二、课程的学习方法与技巧1、认真学习：对比学习中重点掌握的知识点，用脑力与实践把知识点做到深入地掌握。
2、多联系：创造一定条件让学生在理论和实际中联系起来，总结出相应的解题思路和技巧。
3、多问答：在具体的知识点上，重点引导学生多参与问答，反复论证、推理，从而深刻理解习题解答思路。
4、多实践：运用有关软件编制程序，通过不断修改练习程序，熟练掌握计算的技巧和方法，使其成为解决实际问题的有效工具。
三、课程的考核方法1、定期考核：定期考核是评价学生学习程度的基本形式，包括单元测试、小测验。
2、作业考核：对计划完成的作业质量和完成时间进行评分，考核学生的理解能力和效率。
3、实践中的考核：它包括实验考核和实践环节的考核，能够有效的评价学生的实操能力和编程技能。
4、期末考核：期末考核是期末考试，以考查学生的知识掌握程度和综合运用能力。
四、总结高中数学选修三是一门必修课程，其重点学习内容包括几何学、概率、统计学以及科学计算技术。
它是高中数学学习中一个中心环节，考核学习成绩的也是一个重要环节。
学习需要认真理解、多联系实际，在实践中多练习编程技能以及数学有关软件的应用，通过定期小测验、作业考核和期末考试，来评价学生的掌握程度和实际能力。
八年级几何专题学习3(参考答案)
JG几何专题学习3姓名1．（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE＝AD．（2）如图2，在△BCD中，若∠BCD＜120°，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD＝BE＝CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ABC+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB＝BC，CD＝BE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，同理：△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，即AD＝BE＝CF；②解：结论：PB+PC+PD＝BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC＝∠BQP，由①知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACQ中，∠CAD+∠AQC＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠CBE+∠BQP＝120°，在△BPQ中，∠APB＝180°﹣（∠CBE+∠BQP）＝60°，∴∠DPE＝60°，同理：∠APC＝60°，∴∠CPD＝120°，在PE上取一点M，使PM＝PC，∴△CPM是等边三角形，∴CP＝CM，∠PCM＝∠CMP＝60°，∴∠CME＝120°＝∠CPD，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠PCM，∴∠PCD＝∠MCE，∴△PCD≌△MCE（SAS），∴PD＝ME，∴BE＝PB+PM+ME＝PB+PC+PD．2．已知：△ABC为等边三角形．（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．i）求证：△ABD≌△BCE；ii）求∠AFE的度数；（2）如图2，点D为△ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC ＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．【解答】（1）i）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）．ii）解：如图1中，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，∴△CDJ是等边三角形，∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，∴∠BCJ＝∠ACD，∵CB＝CA，∴△BCJ≌△ACD（SAS），∴BJ＝AD，∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，∴∠TCB＝∠DCA，∴△TCB≌△DCA（SAS），∴BT＝AD，∵CT＝CD＝2，BD＝3，∴3﹣2≤BT≤3+2，∴1≤BT≤5，∴1≤AD≤5．∴AD的最小值为1，最大值为5．当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°．3．已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE＝，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①如图1，过F作FN⊥BD于点N，∵△BED为等腰直角三角形，DE＝，∴在Rt△EBD中，，设FN＝x，在Rt△FBN与Rt△FDN中，，∵BN+ND＝BD，∴，∴；②证明：如图2，在ED上截取EH＝DG，连接BH，∵DG⊥DE，BD＝BE，∴∠E＝45°，∠BDG＝∠EDG﹣∠EDB＝45°，∵在△EBH与△DBG中，∴△EBH≌△DBG（SAS）∴BH＝BG，∠EBH＝∠DBG，∴∠HBG＝∠DBG+∠HBD＝∠EBH+∠HBD＝90°，又∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠HBA＝45°，∵在△FHB与△FGH中，∴△FHB≌△FGB（SAS），∴HF＝FG，∴DG＝EH＝EF﹣HF＝EF﹣FG，∴DG＝EF﹣FG；（2）PE＝PG+DG．证明：如图3，在EP上截取EM＝DG，连接BM，∵DG⊥BD，EP⊥BE，∴∠PEB＝∠BDG＝90°，∵在△DBG与△MEB中，∴△DBG≌△MEB（SAS），∴BG＝BM，∠DBG＝∠EBM，∴∠MBC＝∠MBD+∠DBG＝∠MBD+∠MBE＝90°，∴∠MBP＝∠PBC＝45°，∵在△GBP与△MBP中，∴△GBP≌△MBP（SAS），∴PG＝PM，∴PE＝PM+EM＝PG+DG，∴PE＝PG+DG．4．如图①，在▱ABCD中，AD＝BD＝2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）若BF所在的直线交AC于点M，求OM的长度；（3）如图②，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．【解答】证明：（1）∵DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，∵AD＝BD，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴BF＝AE；（2）过D作DN⊥AO于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO＝1，∵△ADE≌△BDF，∴∠DAE＝∠DBF，∵∠ADB＝90°，∠AOD＝∠BOC，∴∠DAE+∠AOD＝∠DBF+∠BOC＝90°，∴∠BMO＝90°，∵∠DNO＝∠BMO＝90°，∠DON＝∠BOM，BO＝DO，∴△DON≌△BOM（AAS），∴OM＝ON，∵AD＝2，DO＝1，∠ADB＝90°，∴AO＝＝＝，∵S△ADO＝AD×DO＝×AO×DN，∴DN＝＝，∴NO＝＝＝，∴OM＝ON＝；（3）如图，将△DEN绕点D逆时针旋转90°得到△DFG，∴DG＝DN，∠DNE＝∠DGF＝90°，∠DEN＝∠DFG，∵∠EDF＝∠FME＝90°，∴∠DEM+∠DFM＝180°，∴∠DFG+∠DFM＝180°，∴点G，点F，点M三点共线，∵∠DGF＝∠DNM＝∠FMN＝90°，∴四边形DNMG是矩形，又∵DN＝DG，∴四边形DNMG为正方形，∴S四边形DEMF＝S四边形DNNG＝（）2＝．5．综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，DH⊥AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝CE'，∴CF＝E'F；（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE＝＝＝3．6．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，∵∠DGF＝∠BGC，∴∠GBC＝∠EDC，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE；（2）证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，∴DF＝EF，∴CF是Rt△DCE的中线，∴CF＝EF，∴∠E＝∠FCE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBE＝∠ACB＝45°，∵BF平分∠DBE，∴∠FBE＝∠DBE＝22.5°，∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE＝67.5°，∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ACF＝∠FEC，∴CF平分∠ACE；（3）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，∵G为DC中点，∴CG＝GD＝CD＝1，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝＝＝，设GF＝x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，∴（2）2﹣（+x）2＝12﹣x2，解得：x＝，∴DF2＝12﹣（）2＝，∴DF＝，由（1）知：△BCG≌△DCE，∴BG＝DE＝，∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．。
高中数学史课件：第五章-几何学的发展课件人教版选修三
其中圆锥曲线的定义方法如下： [插入图5.25]
5.5 坐标几何与曲线方程思想
17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起
如图5.11抛物线有内接三角形PQq，其中P与Qp中 点V的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法 发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形的面积，与三角 形QPq的面积之比是4：3。阿基米德进而使用穷竭法证 明
5.2.3 多边形数
[插入图5.12] [插入图5.13] [插入图5.14]
最早的演绎几何学
能在R和B之间选AB上的点S，使得RS＜r－OR，但是，因 为OS＜OR+RS，这意味着谬论：OS＜r。类似地，能证明： OR不大于r。因此，我们必定有OR = r，于是定理得证。
5.8.3 公理集合的相容性
形式公理体系的相容性证明的模型方法 例如，平面几何公理系统的解析模型
5.6.2 非欧几何学的先兆
从反面证明第五公设，意大利耶稣会 教士、数学家萨凯里（1667~1733） 于1733年第一次发表了其极具特色的 成果。 [插入图5.30] 离开了求证第五公设的目标，朝向创 造非欧几何的目标靠拢但是，他们没 有认识到欧几里得几何并不是在经验 可证实的范围内描述物质空间性质的 唯一几何
5.4 三大作图问题与《圆锥曲线》
三个作图问题： 倍立方，即求作一立方体的边，使
该立方体的体积为给定立方体的两倍； 三等分角，即分一个给定的任意角
高中数学2-1学案：第三章 空间向量与立体几何3
3．1。
1空间向量及其线性运算［学习目标］1。
了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2。
掌握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．知识点一空间向量的概念在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．知识点二空间向量的加减法（1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)错误!＝错误!＋错误!＝a＋b;错误!＝错误!－错误!＝a－b.(2）运算律交换律：a＋b＝b＋a;结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）．知识点三空间向量的数乘运算（1)定义实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同;当λ〈0时,λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0。
λa的长度是a的长度的|λ｜倍．如图所示．(2）运算律分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ（μa）＝(λμ)a。
知识点四共线向量定理（1）共线向量的定义与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b。
(2)充要条件对空间任意两个向量a，b(a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.思考（1）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同．对吗？(2）零向量没有方向．对吗？(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗?答案(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．(2）错误．不是没有方向，而是方向任意．（3）正确．题型一空间向量的概念例1判断下列命题的真假．(1）空间中任意两个单位向量必相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若｜a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(4)向量错误!与错误!的长度相等．解（1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．（2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．（3）假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．(4)真命题．因为错误!与错误!仅是方向相反，但长度是相等的．反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,（1)试写出与错误!相等的所有向量；(2)试写出错误!的相反向量；（3）若AB＝AD＝2,AA1＝1，求向量错误!的模．解（1）与向量AB，→相等的所有向量（除它自身之外)有错误!，错误!及错误!共3个．(2)向量错误!的相反向量为错误!，错误!，错误!，错误!。
立体几何学案3
立体几何学案三空间点、直线、平面之间的位置关系主备人：施震宏 辅备人：常广胜一、考点关注考纲点击：1.了解空间直线、平面位置关系的定义； 2．了解可以作为推理依据的公理和定理； 3．理解两条异面直线所成的角；4．能证明一些空间位置关系的简单命题。
考情分析：从近两年的考考试题来看，异面直线所成的角，异面直线的判定都是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题；客观题主要考查异面直线所成的角，主观题较全面考查立体几何的有关知识、异面直线所成的角的求法及异面直线的判定等。
二、考点梳理平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2：过________________________的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线 异面直线所成角的范围是______________三、经典例题：题型一 平面的基本性质及平行公理的应用 例1.（1）如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1,CG:GD=3：1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H (2)在空间四边形ABCD 中，E 、G 分别是BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF:FC=2:3，DH:HA=2:3,求证：EF 、GH 、BD 交于一点题型二 直线位置关系的判定5.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是______ A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④C题型三 异面直线所成的角例3．(1)如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ABCD ⊥底面，2OA =，M 为OA 的中点．（1）求四棱锥O ABCD -的体积；（2）求异面直线OB 与MD 所成角的大小．（2）（2010，江西）过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条四、限时训练1.如图，已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AD 、BC 、 CD 上的点，且EF 交GH 于P ． 求证：P 在直线BD 上．2.若a ，b 是异面直线，则只需具备的条件是_______ A.a ⊂平面α，b ⊄平面α，a 与b 不平行 B.a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β=l ，a 与b 无公共点 C.a ∥直线c ，b ∩c =A ，b 与a 不相交 D.a ⊥平面α，b 是α的一条斜线3.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B．3C ．3D ．234.直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成60°角，过点O 与a 、b 都成60°角的直线有_____________条变式1：异面直线a 、b 所成的角为60°,直线l 与a 、b 所成的角均为θ,则θ的范围是_____________变式2：异面直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成80°角，过点O 与a 、b 都成50°角的直线有___________条11。
这个世界上有三种几何学
这个世界上有三种几何学一、泰勒斯——推理几何学的鼻祖几何学四千年前发源于古埃及，当时主要是人对自然界的有意识的改造与创新（发明车轮，建筑房屋、桥梁、粮仓，测量长度，确定距离，估计面积与体积等）而出现的实验几何学。
公元前七世纪，“希腊七贤”之一的泰勒斯到埃及经商，掌握了埃及几何学，传回希腊。
那时，希腊社会安定，经济繁荣，人类对仅仅知道“如何”之类的问题已不满足，他们还要穷究“为何”。
于是演绎推理方法应运而生，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派将几何学由实验几何学发展为推理几何学。
关于泰勒斯的学术生平虽然没有确切的可靠材料，但下述五个命题的发现应归功于泰勒斯：（1）圆被任一直径二等分；（2）等腰三角形两底角相等；（3）两条直线相交，对顶角相等；（4）如果两个三角形有一条边和这条边上的两个角对应相等，则这两个三角形全等；（5）内接于半圆的角是直角。
泰勒斯的重要贡献不仅仅在于他发现了上述命题，更重要的是他提供了某种逻辑推理方法。
这样，泰勒斯成为第一个在数学中运用证明的人，他的贡献是数学发展史上的一个里程碑。
二、欧几里得——公理化思想的先驱欧几里得（Euclid, 约公元前330---前275年）是希腊亚历山大里亚时期的著名数学家。
在那个时期，经过历代数学家的努力，几何学已经积累了异常丰富的材料，但其内容是繁杂、混乱的，当务之急是如何把这些看起来孤立无关的结论联系起来。
许多数学家做过许多尝试，而欧几里得则是唯一的成功者。
他将收集、整理得到的数学成果，以命题的形式作出表述并给予严格证明。
然后他做出了伟大的创造：筛选定义，选择公理，合理编排内容，精心组织方法，就像一位建筑师，利用他人的数学材料，建起了一座宏伟的数学大厦——《几何原本》（Elements），这构成了欧几里得几何学。
这项工作是在公元前300年左右完成的，其重要意义之一就是奠定了数学的公理化思想。
三、几何原本——数学的圣经《几何原本》问世后，马上吸引了人们的注意力，其影响力超过了其它任何一部科学著作。
罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)
罗胖子数学几何韬略之几何基础罗胖子是一位数学家，他以其深厚的数学几何知识而闻名。
在数学几何领域，他有着独特的韬略，尤其在几何基础方面，他的见解更是独到而深刻。
几何基础是数学几何学习的起点，也是数学几何的基石。
罗胖子认为，几何基础的学习应该从最基本的概念开始，如点、线、面等。
这些概念是几何学习的基础，只有对这些概念有深刻的理解，才能够在后续的学习中建立起坚实的基础。
在几何基础的学习中，罗胖子强调了几何图形的认识和构造。
他认为，通过观察和分析几何图形的特点和性质，可以更好地理解几何学的基本原理。
他经常鼓励学生们亲自动手画出各种几何图形，通过实际操作来加深对几何图形的认识。
他认为，通过亲自动手画图，可以更好地理解几何图形的构造和性质，从而更好地掌握几何学的基础知识。
除了几何图形的认识和构造，罗胖子还注重几何定理的理解和应用。
他认为，几何定理是几何学习的核心内容，只有对几何定理有深刻的理解，才能够在解决实际问题时灵活运用。
他经常通过举例和解题来讲解几何定理的应用，引导学生们掌握几何定理的本质和应用方法。
他还鼓励学生们多做几何题，通过实际操作来加深对几何定理的理解和应用。
在几何基础的学习中，罗胖子还注重几何推理的训练。
他认为，几何推理是几何学习的重要环节，只有通过几何推理，才能够深入理解几何学的原理和方法。
他经常通过举例和解题来讲解几何推理的方法和技巧，引导学生们培养几何推理的能力。
他还鼓励学生们多做几何证明题，通过实际操作来加深对几何推理的理解和应用。
罗胖子的数学几何韬略之几何基础，不仅注重基本概念的学习，更注重几何图形的认识和构造，几何定理的理解和应用，以及几何推理的训练。
他通过举例和解题，引导学生们深入理解几何学的原理和方法，培养他们的几何思维能力。
他的教学方法深受学生们的喜爱和赞赏，他的学生们在几何学习中取得了优异的成绩。
总之，罗胖子的数学几何韬略之几何基础，为学生们打下了坚实的数学几何基础。
他的教学方法独特而深入，通过举例和解题，引导学生们深入理解几何学的原理和方法。
3的实际意义数学初一
3的实际意义数学初一我们来看看在数学中，数字3与几何学的关系。
几何学是研究空间和形状的一门学科，而数字3在几何学中有着重要的地位。
我们都知道，三角形是最基本的几何形状之一，它由三条边和三个角组成。
我们可以通过三角形的边长和角度来解决各种实际问题，比如测量一个房间的面积或者计算一个三角形的高度。
数字3还在统计学中有着重要的应用。
统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，而数字3在统计学中用来表示百分比。
例如，当我们说某个班级有30%的学生是女生，这里的30就是数字3的一种应用。
通过统计数据，我们可以了解不同群体的特点和趋势，进而做出合理的决策。
数字3还在概率论中扮演着重要的角色。
概率论是研究随机事件发生的可能性的学科，而数字3被用来表示事件发生的概率。
例如，当我们掷一个均匀的骰子时，每个数字出现的概率都是1/6，而其中数字3出现的概率就是1/6。
通过概率论，我们可以预测和计算各种事件发生的可能性，从而做出相应的决策。
除了在几何学、统计学和概率论中的应用，数字3还在数列和函数中扮演着重要的角色。
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数字3可以是数列中的一个成员。
函数是一种将一个数映射到另一个数的规则，而数字3可以是函数的定义域或值。
通过数列和函数，我们可以描述和解决各种实际问题，比如预测未来的趋势或计算复杂的数值。
数字3在数学中有着丰富的实际意义。
它与几何学、统计学、概率论、数列和函数等方面都有着密切的关系，并在解决实际问题时发挥着重要的作用。
无论是测量形状的面积，分析数据的趋势，还是计算事件发生的可能性，数字3都是我们不可或缺的工具。
因此，我们初一的数学学习中，要认真学习和理解数字3的实际意义，将其应用到实际问题中，提高我们的数学能力和解决问题的能力。
3维立体和矩阵维度
3维立体和矩阵维度
3维立体和矩阵维度是数学中的两个概念。
在几何学中，三维立体是指由三个不同的坐标轴所围成的空间。
它可以被表示为一个三维坐标系，其中包含了一个横轴、一个纵轴和一个垂直轴。
三维立体可以被用于描述物体的形状和空间位置。
矩阵维度则是指矩阵中的行和列的数量。
一个m×n矩阵就是有m行和n列的矩阵。
矩阵维度是非常重要的，因为它决定了矩阵的运算和性质。
在数学中，我们可以用矩阵来表示三维立体。
例如，一个3×3的矩阵可以表示一个三维立体的三个坐标轴。
我们可以使用矩阵运算来对三维立体进行旋转、平移和缩放等操作。
除了在几何学中，三维立体和矩阵维度在计算机图形学和机器学习中也有广泛的应用。
在计算机图形学中，三维立体被用于创建三维模型，而矩阵则被用于表示图像和颜色。
在机器学习中，矩阵则经常被用于表示数据和计算模型参数。
综上所述，3维立体和矩阵维度都是数学中非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
了解这些概念可以帮助我们更好地理解数学和应用数学知识。
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《高观点下中学数学-几何学》练习题一一、填空题1．公理法的三个基本问题是（ ）、（ ）和（ ）。
2．仿射变换把平行线变成3．设共线三点()0,2,(2,0),(1,1)A B C ，则()ACB =4．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性相关，则a b ⨯=( ) 5 如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。
6．欧氏几何与罗氏几何的区别在于它们 公理不同 7．仿射变换把矩形变成8．设共线三点()0,2,(2,0),(1,3)A B C - ，则()ABC =9．已知向量{}{}123123,,,,,a x x x b y y y ==，则a 与b 之间的内积a b ⋅= 。
10．空间中三个向量线性相关当且仅当它们 ，空间中的四个向量一定 。
11．公理法的结构是（ ）、（ ）、（ ）和（ ）。
12．设共线三点()0,2,(2,0),(3,1)A B C - ，则()ABC = 。
13．共点的直线经仿射变换后变成14．已知向量{}{}1,2,3,3,2,1a b ==，则a 与b 之间的内积a b ⋅=（ ）。
15．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。
二、选择题1．三角形内角和等于180度与（ ）A ．欧氏平行公理等价B ．罗氏平行公理等价C ．椭圆几何平行公设等价D ．不可判定 2．在仿射对应下，哪些量不变？（ ）A ．长度B ．角度C ．单比D ．交比 3．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性无关，则( )。
A．0a b⋅=B．a与b垂直C．0⨯=D．以上三个结论都不正确a b4．设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（）。
A．a b a b⋅>⋅≥D．a b a b ⋅≤B．a b a b⋅=C．a b a b5．下列性质或量中哪些是仿射的( )（1）线段的中点；（2）角的平分线；（3）交比；（4）点偶的调和共轭性（5）角度（6）三角形的面积（7）两相交线段的比（8）两平行线段的比（9）对称轴（10）对称中心6．欧氏几何与黎曼几何的本质区别为（）A、平行公设不同B、结合公理相同C、绝对公设不同D、结合公理不同7．正方形在仿射变换下变成（）A、正方形B、平行四边形C、菱形D、矩形8．设a与b是两个非零向量，若0a b⋅=，则（）。
A、a与b平行B、a与b垂直C、a与b线性相关D、a与b的夹角为π9．下列性质或量中哪些在中心射影下保持不变（）。
A、点与线的结合性B、角的平分线；C、共线四点的交比D、三角形的面积10．下列关于正交变换的叙述中，正确的有（）A、正交变换把直线变成直线或点。
B、正交变换保持角的大小不变。
C、正交变换保持点与线的结合性。
D、正交变换保持共线四点的交比不变。
11．欧氏几何与罗氏几何的本质区别为（）A．平行公设不同B．结合公理相同C．绝对公设不同D．结合公理不同12．在相似变换下，哪些量不变？（）A．长度B．角度C．单比D．交比13．长方形的下列性质中哪些是仿射的（）（1）对边平行；（2）对角相等；（3）对边相等；（4）对角线互相平分；（5）对角线相等；（6）面积14．设a与b是两个非零向量，若0a b⋅=，则（）。
()A a与b平行()B a与b垂直()C a与b线性相关()D a与b的夹角为π15．下列说法错误的是（）A.平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B.平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C.平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D.平面上的三个向量一定线性相关三、简答题1．试叙述欧几里得的第五公设2．简述公理系统的完备性。
3试述公理系统的相容性，完备性与独立性。
4试述什么是原始概念，并举例说明。
5．什么是几何公理？试例举中学几何的几个公理。
6．简述公理系统的相容性。
四、计算与证明1．求出将点(3,1)变成点(1,3)-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180--+=上。
y x y2．（1）求线坐标为[]2,0,2直线方程（2）若存在，求下列各点的非齐次坐标(0,5,6)-， (1,8,03.将二次曲线224642310x xy y x y +-+--=化简成标准型。
4．在四边形中ABCD 中，ABD ∆，BCD ∆与ABC ∆的面积比3：4：1，点,M N 分别在,AC CD上，满足::AM AC CN CD =，并且,,B M N 三点共线，求证：,M N 分别为,AC CD 上的中点。
5. 已知向量{}{}1,2,3,3,4,0a b ==-，分别计算a 与b 的模长与夹角。
6．使直线0x =，0y =，20x y k +-=（0k ≠）分别对应直线''0x y +=，''0x y -=，'2'10x y +-= 的仿射变换。
7．（1）求线坐标为[]3,4,6的直线方程。
（2）若存在，求点()4,6,9与()1,2,0的非齐次坐标。
8．试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。
==，分别计算a与b的模长与夹角。
1,1,1,1,2,0a b10．将二次曲线22-+-++=化简成标准型。
x xy y x y102417448478011．求出将点(3,1)变成点(1,3)-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180y x y--+=上。
12．求仿射变换'71'22x x yy x y=-+⎧⎨=++⎩的二重直线。
13．（1）求线坐标[]2,2,2-所表示的直线方程。
（2）若存在，试求点3)-与点的齐次坐标14．试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。
15．将二次曲线221202x xy y x y ++++=化简成标准型。
《高观点下中学数学-几何学》练习题二一、填空题1．几何公理系统中的原始概念是指 。
2．正交变换群与仿射变换群的蕴含关系是 。
3．仿射变换把正三角形变成4．设共线三点()3,1,(2,1),(1,1)A B C ，则()ACB =5．已知向量{}1,2,3a ={}3,2,1b =，则a 与b之间的向量积的模长为a b ⨯=6．公理法的结构是（ ）、（ ）、（ ）和（ ）。
7．仿射变换把正方形变成( )。
8．设共线三点()0,2,(1,2),(3,2)A B C ，则()ACB =( )。
9．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。
10．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性相关，则a × b =( )。
二、简答题1．简述公理系统的完备性。
2．简述公理法的基本思想。
3．简述公理系统的独立性。
4．简述公理法的基本思想。
三、选择题1．欧氏几何与黎曼几何的本质区别为（）A．平行公设不同B．结合公理相同C．绝对公设不同D．结合功理不同2．设点,,A B C，则',','A B C三点（）A B C共线，且在仿射变换下分别变成',','A．共线B．三角形顶点C．可能不共线D．可能重合3．设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（）。
A．a b a b⋅>⋅≥D．a b a b ⋅≤B．a b a b⋅=C．a b a b4．下列说法错误的是（）A．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D．平面上的三个向量一定线性相关5．下列性质或量中哪些是仿射的( )（1）线段的中点；（2）角的内角平分线；（3）交比；（4）共线四点的调和共轭性（5）角度（6）平行四边形的面积（7）共线三点的介于关系（8）两平行线段的比（9）对称轴（10）对称中心6．三角形内角和等于180度与（）。
(A)欧氏平行公理等价(B)罗氏平行公理等价(C)椭圆几何平行公设等价(D)不可判定7．矩形在仿射变换下变成（）。
(A)正方形(B)平行四边形(C)菱形(D)三角形8．设a与b是两个非零向量，若0a b⋅=，则（）。
()A a与b平行()B a与b垂直()C a与b线性相关()D a与b的夹角为π9．设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（）。
()A a b a b ⨯≤()B a b a b ⨯=()C a b a b ⨯≥()D a b a b ⨯>10．正方形的下列性质中哪些是仿射的( )。
（1）对边平行； （2）四角相等； （3）四边相等； （4）对角线互相平分；（5）对角线互相垂直； （6）角被对角线平分； （7）对角线相等； （8）面积四、计算与证明题1．设平面上的点变换1σ和2σ分别由⎩⎨⎧-+='++='15232:1y x y y x x σ和⎩⎨⎧+='-='2:2x y yx x σ表示，求 12(1) σσ；12(2) σ-。
2．试确定仿射变换，使y 轴、x 轴的像分别为直线10x y ++=和10x y --=，且点(1,1) 的像为原点。
3．将二次曲线22++++=化简成标准型。
x xy y x y220 Array4．求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。
5． （1）求线坐标[]2,2,2-所表示的直线方程。
（2）若存在，求 (0,5,6)-与 (1,8,0)的非齐次坐标。
6．求出将点(2,3)变成点(0,1)-的平移变换，在这个平移变换下，抛物线28180y x y --+=变成什么曲线？7．设平面上的点变换1σ和2σ分别由⎩⎨⎧-+='++='15232:1y x y y x x σ和⎩⎨⎧+='-='2:2x y yx x σ 表示，求 12(1) σσ；11(2) σ-。
8．将二次曲线22220x xy y x y ++++=化简成标准型。
9．证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换。
10．（1）求线坐标[]1,1,1-所表示的直线方程。
（2）若存在，求点3)-与点(0,1,0)的非齐次坐标。