几何学3

《高观点下中学数学-几何学》练习题一

一、填空题

1．公理法的三个基本问题是（ ）、（ ）和（ ）。

2．仿射变换把平行线变成

3．设共线三点()0,2,(2,0),(1,1)A B C ，则()ACB =

4．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性相关，则a b ⨯=( ) 5 如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。 6．欧氏几何与罗氏几何的区别在于它们 公理不同 7．仿射变换把矩形变成

8．设共线三点()0,2,(2,0),(1,3)A B C - ，则()ABC =

9．已知向量{}{}123123,,,,,a x x x b y y y ==，则a 与b 之间的内积a b ⋅= 。 10．空间中三个向量线性相关当且仅当它们 ，空间中的四个向量一定 。

11．公理法的结构是（ ）、（ ）、

（ ）和（ ）。 12．设共线三点()0,2,(2,0),(3,1)A B C - ，则()ABC = 。 13．共点的直线经仿射变换后变成

14．已知向量{}{}1,2,3,3,2,1a b ==，则a 与b 之间的内积a b ⋅=（ ）。 15．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。

二、选择题

1．三角形内角和等于180度与（ ）

A ．欧氏平行公理等价

B ．罗氏平行公理等价

C ．椭圆几何平行公设等价

D ．不可判定 2．在仿射对应下，哪些量不变？（ ）

A ．长度

B ．角度

C ．单比

D ．交比 3．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性无关，则( )。

A．0

a b⋅=B．a与b垂直

C．0

⨯=D．以上三个结论都不正确

a b

4．设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（）。

A．a b a b

⋅>

⋅≥D．a b a b ⋅≤B．a b a b

⋅=C．a b a b

5．下列性质或量中哪些是仿射的( )

（1）线段的中点；（2）角的平分线；

（3）交比；（4）点偶的调和共轭性

（5）角度（6）三角形的面积

（7）两相交线段的比（8）两平行线段的比

（9）对称轴（10）对称中心

6．欧氏几何与黎曼几何的本质区别为（）

A、平行公设不同

B、结合公理相同

C、绝对公设不同

D、结合公理不同

7．正方形在仿射变换下变成（）

A、正方形

B、平行四边形

C、菱形

D、矩形

8．设a与b是两个非零向量，若0

a b⋅=，则（）。

A、a与b平行

B、a与b垂直

C、a与b线性相关

D、a与b的夹角为π

9．下列性质或量中哪些在中心射影下保持不变（）。

A、点与线的结合性

B、角的平分线；

C、共线四点的交比

D、三角形的面积

10．下列关于正交变换的叙述中，正确的有（）

A、正交变换把直线变成直线或点。

B、正交变换保持角的大小不变。

C、正交变换保持点与线的结合性。

D、正交变换保持共线四点的交比不变。

11．欧氏几何与罗氏几何的本质区别为（）

A．平行公设不同B．结合公理相同C．绝对公设不同D．结合公理不同

12．在相似变换下，哪些量不变？（）

A．长度B．角度C．单比D．交比

13．长方形的下列性质中哪些是仿射的（）

（1）对边平行；（2）对角相等；

（3）对边相等；（4）对角线互相平分；

（5）对角线相等；（6）面积

14．设a与b是两个非零向量，若0

a b⋅=，则（）。

()A a与b平行()B a与b垂直

()C a与b线性相关()D a与b的夹角为π

15．下列说法错误的是（）

A.平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；

B.平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直

C.平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行

D.平面上的三个向量一定线性相关

三、简答题

1．试叙述欧几里得的第五公设

2．简述公理系统的完备性。

3试述公理系统的相容性，完备性与独立性。

4试述什么是原始概念，并举例说明。

5．什么是几何公理？试例举中学几何的几个公理。

6．简述公理系统的相容性。

四、计算与证明

1．求出将点(3,1)变成点(1,3)

-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180

--+=上。

y x y

2．（1）求线坐标为[]

2,0,2直线方程

（2）若存在，求下列各点的非齐次坐标

(0,5,6)-， (1,8,0

3.将二次曲线224642310x xy y x y +-+--=化简成标准型。

4．在四边形中ABCD 中，ABD ∆，BCD ∆与ABC ∆的面积比3：4：1，点,M N 分别在,AC CD

上，满足::AM AC CN CD =，并且,,B M N 三点共线，求证：,M N 分别为,AC CD 上的中点。

5. 已知向量{}{}1,2,3,3,4,0a b ==-，分别计算a 与b 的模长与夹角。

6．使直线0x =，0y =，20x y k +-=（0k ≠）分别对应直线''0x y +=，''0x y -=，'2'10x y +-= 的仿射变换。