〖2021年整理〗《小学数学思想方法的梳理四 推理思想》优秀教案

小学数学思想方法的梳理（四）----推理思想

王永春（课程教材研究所）

四、推理思想

1.推理思想的概念。

推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前题为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类化等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真是，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。

（1）演绎推理。

三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。例如：一切奇数都不能被2整除，（23+1）是奇数，所以（23+1）不能被2整除。

选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其他选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以它是个钝角三角形。

假言推理，假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末尾是0，那么这个数能被5整除：这个数的末尾是0，所以这个数能被5整除。这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地阿芳，但它不是三段论。

关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：（1）对称性关系推理，如1米=100厘米，所以100厘米=1米；（2）反对称性关系推理，a大于b,所以b不大于a；（3）传递性关系推理，a>b,b>c,所以a>c。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用了关系推理。

（2）合情推理。

归纳推理，是从特殊到一半的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是更具某类事物中的每个事物或每个子类食物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。数学归纳法是一种特殊的数学推理方法，从表面上看并没有考察所有对象，但是根据自然数的性质，相当于考察了所有对象，因而数学归纳法实际上属于完全归纳推理。

类比推理，是从特殊到特殊的的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。

2.推理思想的重要意义。

我国数学教育几十年来的主要优势或者说成果就是重视培养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力。传统的《数学教学大纲》比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而现行的《数学课程标准》又矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化。近年来课程改革的实践证明，二者不可偏废。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。据了解《数学课程标准（修改稿）》在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习生活中经常使用的思维方式。推理一般包括和清理和演绎推理。……在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”。

数学在当今市场经济和信息化社会有比较广泛的应用，人们在利用数学解决各种实际问题的过程中，虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成，但是救人的思维能力构成而言，推理能力仍然是至关重要的能力之一，因而培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。

3.推理思想的具体应用。

推理思想作为数学的一个重要的思想方法，无论在小学还是在中学都有着广泛的应用，尤其是合情推理作为数学发现的一种重要方法，在小学教学的探究学习和再创造学习中应用更为广泛。在小学数学中虽然没有初中类似于数学证明等严密规范的演绎推理，但是在很多结论的推导过程中间接的应用了演绎推理。如推导出平行四边形的面积公式后，三角形面积公式的推导过程是先把两个

同样的三角形拼成一个平行四边形，再根据平行四边形的面积公式推出三角形的面积公式。这个过程实际上是应用了演绎推理，如下：平行四边形的面积等于底乘高，两个同样的三角形的面积等于平行四边形的面积，所以两个同样的三角形的面积等于底乘高；因而一个三角形的面积就等于底乘高的积除以2。小学数学中推理思想的应用如下表。

4.推理思想的教学。

就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，《数学课程标准（修改稿）》指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。……教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归类、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。

根据以上《数学课程标准》关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。

第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。在小学数学中，除了运算是数学的基本方法外，推理也是常用的数学方法。无论是低年级的找规律、总结计算法则，还是高年级的面积、体积公式的推导，无不用到推理的思想方法。因而，广大教师要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程。

第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论，演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。二者在数学中的作用都是很重要的。

第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机的结合。推理能力的发展与各领域知识的学习是一个有机的结合过程，因而在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。

第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时