同济版高等数学上册复习资料最终版.ppt

t 0
2
t
(1
t)
1 2
6
例7. 计算
利用等价无穷小
x
解:
原式 lim
x0
4 x2 2x
lim x0 2
1 4
x2
1 4
例8. 计算
解:
1 ln x
原式 lim e 1 x
1 ln(1( x1))
lim e1 x
x 1
x 1
1 ( x1)
lim e1 x
e1
x 1
.
7
例9. 求 lim x arcsin x
y 1, 故
dy d. x
1 x0 2
13
例2. 已知
解：两边取对数，得 ln y x ln a a[ln b ln x ] b[ln x ln a ] b 两边对 x 求导 y ln a a b y bxx
.
14
例3. 证明下述函数在 x = 0 连续且可导
1
f (x) ex2 , x 0
1 2
.
5
1
例5.
计算
lim
x0
e x2 x1000
解:
令
t
1 x2
原式
lim
t
t 500 et
lim
t
500! et
0
例6.
计算
lim [ x
x
x2
ln(1
1 x
)]
解:令 t1
原式
x
lim t 0
1 t
1 t2
ln(1
t
)
lim
t 0
t
ln(1 t2
t
)
lim
1
1 1 t
t0 2t
t
lim.
解: 原式 lim
x1 2 0
x1 x 1
例2. 设 f (x) 处处连续, 且 f (2)=3, 计算
lim sin 3x f sin 2x
x 0 x
x
解: 利用等价关系
原式 lim 3x f 2x 3 f (2) 9
x0 x
x.
4
例3. 计算 lim 2n 1 n
n 2n 1
lim e x tan x x 1 利用等价无穷小
x0 cos x tan x. x
8
例11. 计算 lim n2 arctan a arctan a (a 0)
n
n
n1
解: 利用微分中值定理
原式
lim
n
n2
1
1
2
a n
n
a
1
lim
n
1
1
2
a n2 n(n 1)
a
( 在 a 与 a 之间)
结论?
.
x 0 是否有同样的 x0
15
例4. 已知
x y
t ln(1 arctant
t2)
,
求
dy dx
,
d2 y d x2
.
解:
dy
y
d x x
d( y)
d2 y d x2
dt x
.
16
例5. 设 y ln 1 x 1 x (0 x 1),求 y. 1 x 1 x
解: 原式 ln 2 2 1 x2
n n1
x2
cos x dx
例12. 计算 lim
x0
0
sin x2
这是积分变量
x2
解:
原式 lim 0
x0
cos t dt 洛
lim
x2
.
x0
cos x2 2x
2x
1
9
sin x
tan t d t
例13. 求
lim
x0
0 tan x
sin t d t
0
0 0
解:
洛 原式 = lim
x0
高等数学(上) 总复习
第一部分 复习的重点及题型分析
第二部分
高等数学(上)方法综述
.
1
第一部分
复习的重点及题型分析
复习重点
三个基本计算 — 极限 , 导数 , 积分 两个基本应用 — 导数应用 , 积分应用 一个基本理论 — 有关中值的定理及应用
.
2
一. 三个基本计算 (约 70 % )
1. 极限的计算 (约 24 % ) 主要题型
解: 原式 lim 1 2 n
n 2n 1
化为指数形式 , 利用 ln(1 u) ~ u lim n 2
e n 2n 1 e
例4. 计算
I
lim
n
(n
n 1)2
(n
n 2)2
(n
n n)2
解:
I
lim
n
n
k 1(1
1
k n
)2
1 n
1 dx 0 (1 x)2
1 1 x
1 0
.
b4
11
2. 导数和微分的计算 (约 18%) 主要题型
(1) 计算复合函数的导数和微分 ;
(2) 计算隐函数的导数和微分 ; (包括对数微分法)
(3) 参数方程求一阶、二阶导数 ;
(4) 用导数定义求特殊点的导数值 ;
(5) 计算 n 阶导数 .
例题分析
.
12
例1. 已知
ye y
e x1,
解: 对所给等式左边用洛必塔法则, 得
sin2 x
lim b sin2 x cos x 1
x0
a cos x 1
0 lim(a cos x 1) a 1
x0
a 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
再利用
cos
x
1
~
1 2
x2
,
sin2
x
~
x2, 可知
1
lim
x0
x2
1 2
x2
cos x 2
b sin2 x
b
0 , x0
1
证: 因为 lim f ( x) lim e x2 0 f (0)
令t1
x0
x0
x
1
又
lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim e x2 x0 x
lim
t
t et2
0
f ( x) 在 x = 0 连续且可导.
1
思考: 若函数改为 f ( x) e x , 0,
tansin x cos x sin tan x sec2 x
利用等价无穷小
tansin x ~ sin x ~ x
sin tan x ~ tan x ~ x
lim
x 1
x0 x
.
10
例14. 已知 lim 1
sin x t 2 d t 1 求 a, b .
x0 a sin x x 0 b t 2
(1) 利用基本方法求极限
函数的连续性 ; 四则运算法则 ; 极限存在准则 ; 两个重要极限 ; 等价无穷小替换 ; 洛必塔法则 .
(2) 利用特殊方法求极限
导数定义 ; 定积分定义 ; 微分中值定理 ; 变限积分求导 ; 讨论左右极限 .
(3) 无穷小量的比较
.
3
例题分析
例1. 计算 lim x2 2x 1 x1 x 1
求 dy dx
. x0
解法1. 等式两边对 x 求导, 得 ye y y ye y e x1
y
e
e x1 y (1
y)
由 x 0 得 y 1, 故 dy
1
dx x 0 2
解法2. 等式两边取对数, 得
ln y y x 1
两边对 x 求导, 得
1 y y 1 y
y y 1 y
由x0得
x 2
1 x2
0
解: 令 t 1 , 则
x
原式
=
lim
t 0
2
arcsin t
1 1t 2
洛 tlim0
1 t
(1
t
t
2
3
)
2
1
例10. 计算
lim etan x e x x0 sin x x cos x
直接用洛必塔 法则不方便
解: 原式 lim e x (etan x x 1) x0 sin x x cos x