线面垂直的判定

D

C

B

A

图2

班级___________姓名___________

直线与平面垂直的判定 学案

一、学习目标

1、借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题；

3、了解直线与平面所成的角的求法. 二、重点难点

重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。 三、教学过程

（一）直观感知直线与平面垂直的形象

问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。

（二）直线与平面垂直的定义

问题2：结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义。

（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB 与它在地面上的影子BC 的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB 与影子BC 所成的角度会发生改变吗?

（2）旗杆AB 与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线B ′C ′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？

问题3：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个

平面

垂直？

定义： 记作： 画法：

辨析1：下列命题是否正确？为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面垂直。 （2）如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线与这个平面垂直。 （3）对于问题（2）中的两条直线如果是相交直线呢？

（三）直线与平面垂直的判定定理

问题4：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？ 实验：如图2，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）。 问题5：（1）折痕AD 与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 问题6:当折痕AD ⊥BC 时，上述沿AD 的各种折法中，能使AD 始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么结论？

问题7：（1）如图3，把AD 、BD 、CD 抽象为直线l 、m 、n ,把桌面抽象为平面α，直线l 与平面α垂直的条件是什么？

（2）如图4,若α内两条相交直线m 、n 与l 无公共点且l ⊥m 、l ⊥n ，直线l 还垂直平面α

吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？

a b

\

图5

α

定理：

符号表示 :

辨析2：下列命题是否正确？为什么？

（1） 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面； （2）如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面 （3）如果一条直线和一个平面内的某两条相交直线都垂直，那么该直线垂直于该平面； （四）初步应用

例1：如图5，已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α

思考：如图6，直四棱柱A ′B ′C ′D ′-ABCD （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形

满足什么条件时， A ′C ⊥B ′D ′？

（五）直线与平面所成的角

问题8：如图10，当直线与平面斜交时，怎么来找直线与平面所成的角？ 直线与平面所成角的定义: 范围:

例2

如图7，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，

求直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角

变式：求直线AC 与平面A 1B 1CD 所成的角。

（五）巩固练习

1）如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是 对角线AC 与BD 的交点，且PA=PC ，PB=PD. 求证：PO ⊥平面ABCD

（2）探究：如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径， C 是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥 中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

图6 A D

C A’

C’

D’

图7

C

O

A

P

C

A B

D

O

P