几何概型与古典概型的区别
古典概型与几何概型的异同点
古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。
若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。
2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。
它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。
二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。
2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。
三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。
2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。
而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。
3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。
而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。
4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。
而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。
5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。
而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。
6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。
而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。
7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。
四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。
这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
古典概型和几何概型
古典概型和几何概型
古典概型和几何概型是许多文学作品、艺术作品和社会文明之间
共有的概念。
古典概念是一种由古代文学作品引申出来的概念，它描
述了古时候审美美学的影响。
而几何概念则是一种从几何而来的概念，涉及到数学、物理等学科，它们联系在一起，形成规定的模型帮助了
许多学科的发展。
古典概念的主要表达是审美的概念，它一般情况下被归结为美丽
的抽象，这些抽象概念通过雕塑、美术、文学和音乐等艺术形式表达
出来，改变了人们对事物的认知和审美观。
而几何概念则充分发掘了
自然环境和物理现象，提出了数学模型，从而推导出复杂的物理实践
形式，有助于人们对物质结构和运动关系的认知。
古典概念和几何概念之间有各自独特的表现，但它们也被归结为
人类文明的基石，两者的结合往往会激发出更多的美感和独特的文化
氛围。
它们在不同的艺术作品中发挥了精美的功能，也传承着文化遗
产及历史记载，对人类社会有重要的作用。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。
本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
1. 古典概型古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。
简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。
比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。
古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。
它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。
古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。
2. 几何概型几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。
与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。
几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。
几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。
在几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。
几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。
3. 古典概型与几何概型的联系与区别古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。
但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。
古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。
而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。
古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。
例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。
4. 古典概型与几何概型的应用举例古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。
古典概率与几何概率的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。
一、古典概型和几何概型的意义（一）.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型求事件A的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2. 古典概型求事件A的概率公式：P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。
三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。
古典概型和几何概型
一、 古典概型1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 2）基本事件的特点：① 任何两个基本事件是互斥的；② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： ① 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型． 4）基本事件的探索方法：① 列举法：此法适用于较简单的实验．② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索．5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有n 个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法： ① 有放回的抽样每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去． ② 无放回的抽样每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次． 二、 古典概型计算公式1）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n； 2）如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率()m P A n=． 3）事件A 与事件B 是互斥事件()()()P AB P A P B =+4）事件A 与事件B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件()()()()P A B P A P B P A B =+-．古典概型注意：① 列举法：适合于较简单的试验．② 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(),x y 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如()1,2与()2,1相同．三、几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 四、几何概型的计算1）几何概型中，事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量． 2）两种类型线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 五、几何概型具备以下两个特征：1）无限性：即每次试验的结果(基本事件)有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；2）等可能性：即每次试验的各种结果(基本事件)发生的概率都相等．一、古典概型古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值．【题干】甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D.【解析】甲、乙在同一组：113P =.甲、乙不在同一组，但相遇的概率：2111362P =+=.【点评】【题干】有十张卡片，分别写有A 、B 、C 、D 、E 和a 、b 、c 、d 、，（1）从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是或的概率；e A a（2）若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率； 【答案】 【解析】 【点评】【题干】袋子中装有编号为,a b 的2个黑球和编号为,,c d e 的3个红球，从中任意摸出2个球．（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； （3）求至少摸出1个黑球的概率．【答案】（1）,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de ；（2）0.6；（3）0.7. 【解析】（1）,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de .（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含了上一问列举的所有结果，记“恰好摸出1个黑球和1红球”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为,,,,,ac ad ae bc bd be ，共6个基本事件，所以()60.610P A ==. （3）试验发生包含的事件共有10个，记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则B 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad ae bc bd be ，共7个基本事件，所以()70.710P B ==. 【点评】步骤：用列举法求出基本事件的总数n ，求出具体时间包含的基本事件数m ，根据古典概型求出概率.二、一维情形的几何概型（长度）将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 【题干】在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13 B ． 2πC ． 12D ． 23 【答案】A【解析】∵0cos x <<12，∴52,233x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭.当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,,2332x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率133P ππ==.【点评】【题干】平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A.14B ．13 C ． 12D ．23【答案】B【解析】为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠的最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ；线段OM 长度的取值范围就是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只有当132OM <≤时，硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率33110223P ⎛⎫⎛⎫=-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】【题干】在区间[010],中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______． 【答案】25【解析】在区间[010],中，任意取一个数x ，则它与4之和大于10的x 满足4x +>10， 解得610x <≤，所以，概率为1062105-=. 【点评】【题干】在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与812cm 之间的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13D ．16【答案】D.【解析】由题意可得此概率是几何概率模型.因为正方形的面积介于362m 与812m 之间，座椅正方形的边长介于6cm 到9cm 之间，即线段AM 介于6cm 到9cm 之间，所以AM 的活动范围长度为：3.由几何概型的概率公式可得31186=.【点评】【题干】某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ） A ．113 B. 19 C ． 14 D ． 12【答案】B【解析】整个靶子是如图所示的大圆，而距离靶心距离小于2用图中的小圆所示：故此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率226129P ππ==.【点评】【题干】两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（ ） A.12B ．13C ．14D ．23【答案】13. 【解析】设事件A 为“灯与两端距离都大于2m ”，根据题意，事件A 对应的长度为2m 的部分，因此，事件A 发生的概率()2163P A ==. 【点评】三、二维情形的几何概型（面积）数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求．【题干】如图，60AOB ∠=°，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求： （1）AOC ∆为钝角三角形的概率；（2）AOC ∆为锐角三角形的概率．【答案】（1）0.4（2）0.6【解析】如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（1）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形，记“AOC ∆为钝角三角形”为事件M ，则()110.45OD EB P M OB ++===，即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（2）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角形，记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ，则()30.65DE P N OB ===，即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6． 【点评】AOC ∆为直角三角形的概率等于0，但直角三角形AOC ∆是存在的，因此概率为0的事件不一定是不可能事件．【题干】已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．【答案】36【解析】设图中阴影部分的面积为S ，由题意可得6001251000S =⨯，解得36S =. 【点评】【题干】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率． 【答案】 【解析】 【点评】CE DBOA【题干】在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(),x y 满足225x y +≤，从区域W 中随机取点(),M x y ．（1）若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第四象限的概率；（2）已知直线():0l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=求y x b ≥-+的概率． 【答案】（1）17；（2.【解析】（1）若x Z ∈，y Z ∈，则点M 的个数共有21个，列举如下：()2,1--，()2,0-，()2,1-，()1,2--，()1,1--，()1,0-，()1,1-，()1,2-，()0,2-，()0,1-，()0,0，()0,1，()0,2，()1,2-，()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()2,1-，()2,0，()2,1时，点M 位于第四象限.当点M 的坐标为()1,2-，()1,1-，()2,1-时，点M 位于第四象限.故点M 位于第四象限的概率为17. （2）由已知可知区域W 的面积是5π.因为直线:l y x b =-+与圆22:5O x y +=的弦长为，如图，可求得扇形的圆心角为23π，所以扇形的面积为125233S ππ=⨯=，则满足y x b≥-+的点构成的区域的面积为122sin 233S ππ=⨯=，所以y x b≥-+的概率为20125ππ- .【点评】【题干】如图，60AOB ︒∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：（1）AOC ∆为钝角三角形的概率； （2）AOC ∆为锐角三角形的概率． 【答案】（1）0.4 ；（2）0.6 .【解析】如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =.（1）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形，记“AOC∆为钝角三角形”为事件M ，则()110.45OD EB P M OB ++===.（2）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角形，记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ，则()30.65DE P N OB ===. 【点评】【题干】在区间[]1,1-上任取两实数,a b ，求二次方程2220x ax b ++=的两根都为实数的概率． 【答案】()12P A =【解析】方程有实根的条件为22440a b ∆=-≥，即||||a b ≥．在平面直角坐标系中，点(),a b 的取值范围为如图所示，的正方形的区域，随机事件A “方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分．易求得()12P A =．【点评】四、三维情形的几何概型（体积）【题干】在Rt ABC ∆中，30A ∠=，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M，求使CE DBOAAM AC >的概率．【答案】16. 【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM AC >”．在AB 上取点1C 使1AC AC =，因为1A C C ∆是等腰三角形，所以118030752ACC -∠==，907515A μ=-=，90μΩ=，所以()151906P D ==. 【点评】几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在ACB ∠内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因M 在AB 上的落点不是等可能的．【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点． （1）设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ； （2）设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ． 【答案】 【解析】 【点评】【题干】一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ） A ．18 B ．116 C ．127 D ．38【答案】C ；【解析】容易知道，当蜜蜂在边长为10，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的．于是安全飞行的概率为331013027=．【点评】【题干】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 【答案】112π-【解析】点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则()3331421231212P A ππ-⨯⨯==-. 【点评】【题干】在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为（ ）A.2 B ．2 C. 16D ． 16π【答案】C【解析】本题是几何概型问题，与点A 距离等于a 的点的轨迹是一个八分之一个球面， 其体积为：33114836a a V ππ=⨯⨯=，“点P 与点O 距离大于1的概率”事件对应的区域体积为：3314836a a ππ⨯⨯=，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为：33166a a ππ=.【点评】【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点． ①设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ； ②设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ． 【答案】①()2764P X =②18【解析】①分别取,,DA DB DC上的点,,E F G，并3,3,3DE EA DF FB DG GC ===，连结,,EF FG GE ，则平面EFG 平面ABC ．当P 在正四面体DEFG 内部运动时（如图），满足14P ABC V V -≥，故()33327464D EFG D ABC V DE P X V DA --⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②在AB 上取点H ，使3AH HB =，在AC 上取点I ，使3AI IC =，在AD 上取点J ，使3AJ JD =，P 在正四面体AHIJ 内部运动时，满足14P BCD V V -≥．结合①，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动时，亦即P 在正四面体EMNJ 内部运动时（M 是EG 与IJ 的交点，N 是EF 与HJ 的交点），同时满足14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥，于是()331281J EMN D ABC JE D Y V A V P --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝．【点评】五、高考汇编【题干】（2010年江苏理科 3）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率________.【答案】【解析】【点评】【题干】（2010年江苏理科4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[]5,40 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根在棉花纤维的长度小于20mm .【答案】【解析】【点评】【题干】（2011江苏5）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是BAB A另一个的两倍的概率是________. 【答案】13【解析】【点评】【题干】（2011江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s =________. 【答案】165【解析】可以先把这组数都减去6再求方差，【点评】【题干】（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【答案】15.【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因此，由35015334⨯=++知应从高二年级抽取15名学生. 【点评】【题干】（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 【答案】35. 【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，3-，9，27-，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63105=. 【点评】。
古典概型与几何概型的辨别
摇
姨
3
，则AB1=
摇
姨
3
，AC=2，则B1C=2-
摇
姨
3
.
由几何概型的概率公式求得P（A）=
B1C
=
2-
摇
姨
3
.
AC 2
（2）设“作 射 线 BM， 使
B
AM>AB”为事件A，在线段AC
上取一点B1，使得AB=AB1，所
以 △ABB1是 等 腰 三 角 形 ， 可
得∠ABB1=
180°-30° 2
=75°.
图1
分清了概率题所对应的类型后，要正确做对一道概
率题，对题意中的基本事件总数的分析尤为重要.
二、古典概型的解题关键在于搞清基本事 件的个数
古典概型中，同学们在考虑总的基本事件数与所求 事件A包含的基本事件数时，首先要考虑是否需要次序. 若总的基本事件数是有次序的，那么事件A需几步发生， 也需考虑次序.反之，若总的基本事件数是没有次序的， 那么事件A的事件数也无需考虑次序.
12 4 （2）以x轴和y轴分别表示a、b所取实数，设事件A为
“方程有实数根”，即Δ≥0，化简得 y
a≥b（ . a，b）的所有可能结果是长
ห้องสมุดไป่ตู้
（2，2）
（0，2）
与宽分别为3与2的矩形，而a≥b由
图1中阴影部分所表示.所以P（A）
3×2- 1 ×2×2
= S阴影 =
2
=2.
S矩形
3×2
3
O
（3，0） x
3×2×1 个，剩下3名男生即是所要求的.
（2）考虑用次序做就比较容易理解. 解：（1）设“所选3人都是男生”为事件A. 法1：考虑用排序的方法做，则P（A）= 4×3×2 = 1 .
几何概型与古典概型的区别
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6
与长度有关的几何概型 [例 1] (2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取
一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则
该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1
1
A.6
B.3
()
2
4
C.3
D.5
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7
1．在区间－π2，π2上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到12之 间的概率为________．
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11
3．如图所示，边长为 2 的正方形中有一封
闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随
机撒粒豆子，它落在阴影区域内的概
率为23，则阴影区域的面积为
4
8
2
A.3
B.3
C.3
() D．无法计算
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12
x2－4x≤0， 4．若不等式组－1≤y≤2，
x－y－1≥0
表示的平面区域为 M，(x－4)2
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2
2．几何概型和古典概型有什么区别？ 提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能 性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几 何概型的基本事件则有无限个． 2．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度___面__积__或__体__积___.
[例 2] (1)已知平面区域 U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，
y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域 U 内
随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________． (2)(2012·湖北高考)如图所示，在圆心角
古典概型和几何概型
一、古典概型1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件.２)基本事件得特点:①任何两个基本事件就是互斥得;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与.３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是:①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。
②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型.４)基本事件得探索方法:①列举法:此法适用于较简单得实验.②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。
5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法:①有放回得抽样每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去.②无放回得抽样每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.二、古典概型计算公式１)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是;2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率.３)事件与事件就是互斥事件4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。
古典概型注意:①列举法:适合于较简单得试验。
②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、三、几何概型事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型.四、几何概型得计算１)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。
2)两种类型线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。
同为比值,实质不同——区别古典概型与几何概型
会存 在一 个 临界 点 ． 所 谓 的临 界 点 就 是 事件
发 生面 临 突 变 的 关 键 点． 临 界 点 可 能 与 长 度、 角度 ， 也 可能 与面 积 、 体 积 等有关 ．
概 率 应 为 一 譬 ．
哆例 ２ （ 课 本 例 题 变 形 ） 如 图 １ 所 示 ， 在
（ 适用 于有 两 种不 同对 象 的问题 ） 、 树 形 图 ３ ） ， （ ４ ， ４ ） ， ７种 ．
（ 适 用 于有 多种 不 同对 象 的 问 题 ） ． 这些 方 法
（ ２ ）甲抽 到 红 桃 ３ ， 乙抽 到 的牌 只 能 是
归 根 到底 就 是 列 举 ， 但列举 时应特 别注意 ： ２ ， ４ ， ４ ， 因此 乙抽 到 的牌 的牌 面 数 字 比 ３大
联想 掷骰子试 验 ， 把 红 度 为 长度 、 面积、 体积， 与 ｄ的形 状 或 位 置 无 题转 化 为 概 率 模 型． 、 红桃 ３ 、 红桃 ４和方 块 ４分 别 用 数 字 ２ ， 关． 两种概型虽 都是用 比值表达 ， 但 两 者 间 桃 ２ ， ４ ， ４ 表示 ， 抽 象 出基本 事件 ， 把 复 杂 事件 用 却有 质 的不 同．本文 就 古典 概型 与 几何 概 型 ３ 中比例求 解 的不 同进 行分 析 ． 基本 事件 表 示 ， 找 出总 体 ，包含 的基 本 事 件 总 数 及事 件 Ａ 包 含 的基 本事 件 个数 ｍ ， 用
则 一 ９ ｏ 。 ， Ａ一 ６ ７ ・ ５ 。 ， Ｐ（ Ａ） 一 ［ ２ Ａ一
６７ ． ５ 。
一
３
一
’
再 回顾 课 本 例 题 ： “ 如 图 ３所 示 ， 在 等 腰
☆ 二、 几何概型， 临界点的确定是 Ｒｔ △ＡＣ Ｂ中， 在 斜 边 ＡＢ 上 任 取 一 点 Ｍ ， 求
古典概型与几何概型知识点总结
古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中最基础的概率模型，它们分别适用于简单事件和几何事件的计算。
以下是古典概型和几何概型的知识点总结：一、古典概型：1.古典概型是指事件的样本空间具有有限个数的元素，样本点的概率相等。
2.样本空间是指实验中所有可能的结果的集合，例如掷一枚骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
3.事件是样本空间的子集，例如“掷一枚骰子，出现的点数为偶数”的事件为{2,4,6}。
4.古典概型的概率计算公式为：P(A)=n(A)/n(S)，其中P(A)为事件A发生的概率，n(A)为事件A包含的样本点个数，n(S)为样本空间的样本点个数。
5.古典概型的概率计算要求样本点的概率相等，且样本点的个数有限。
二、几何概型：1.几何概型是指事件的样本空间是一个几何图形，而不是有限个元素。
2.在几何概型中，事件的概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。
3.几何概型的概率计算需要使用几何图形的面积或体积的计算方法，例如计算矩形的面积为长乘以宽，计算圆的面积为π乘以半径的平方。
4.几何概型可以应用于连续变量的概率计算，例如计算一些范围内的事件发生的概率。
5.几何概型的概率计算要求事件与样本空间之间存在其中一种几何关系，例如事件发生的可能性与事件所占的几何图形的面积或体积成正比。
综上所述，古典概型适用于简单事件且样本空间的样本点个数有限的情况，其概率计算公式为P(A)=n(A)/n(S)；几何概型适用于事件的样本空间是一个几何图形的情况，概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。
掌握古典概型和几何概型的知识点，能够帮助我们更好地理解和计算事件的概率，为概率论的进一步学习奠定基础。
研修：古典概型和几何概型的意义和主要区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别古典概型特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同；具有以上两个特点的实验是大量存在的，这种实验叫等可能概型，也叫古典概型。
求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。
概率模型的转换：古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。
概率模型会由古典概型转变为几何概型。
简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点。
这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等。
用这种方法处理随机试验，称为几何概型.几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
这个概念在我国初中数学中就开始介绍了。
古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。
几何概型的特点有下面两个：(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等古典概型是概率的来源，利于学生接受和掌握，几何概率有利于学生的发展。
解决概率问题时，拿出一类概率问题要能抽象出本质，看它属于哪种模型，对于具体的某一概率问题，要能寻找它的变式，从感性到理性，从简到繁，从现象到本质，举一反三，触类旁通。
这需要老师耐心引导，学生们之间认真思考交流，抓住问题的本质，促进学生素质的提高和发展。
古典概型与几何概型知识点总结
古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中的两种常见概型，它们分别基于不同的概率空间的划分方式。
下面将对古典概型和几何概型的知识点进行总结。
古典概型（Classical Probability Model）是指概率实验基本样本点是有限个的概率模型。
在古典概型中，样本空间中的每一个样本点发生的机会相同，且样本空间中所有的样本点构成一个有限集合。
在古典概型中，我们通常会利用排列组合的方法来计算事件的概率。
以下是古典概型的一些重要知识点：1.样本空间和事件：样本空间是指一个概率实验中所有可能结果的集合，用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。
2.事件的概率：在古典概型中，事件A的概率P(A)等于A中的样本点数目除以样本空间中的样本点总数。
即P(A)=，A，/，Ω。
3.加法法则：如果A和B是两个互不相容的事件（即A∩B=Ø），那么两个事件的并事件A∪B的概率等于事件A和事件B的概率之和。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4.乘法法则：如果A和B是两个独立事件，即事件A的发生与事件B的发生无关，那么两个事件的交事件A∩B的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率。
即P(A∩B)=P(A)*P(B)。
几何概型（Geometric Probability Model）是指概率实验的样本空间是由几何构造组成的。
在几何概型中，样本空间通常是一个几何形状，概率的计算涉及到几何图形的面积或长度。
以下是几何概型的一些重要知识点：1.区间概率：对于一些连续型随机变量，概率可以通过计算指定区间的长度、面积或体积来求解。
这种类型的概率常常与几何图形的几何属性相关。
例如，对于均匀分布的连续随机变量，一个给定区间[a,b]内事件发生的概率等于区间长度除以总长。
2. 概率密度函数：对于连续型随机变量，其概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述了随机变量的可能取值的相对可能性。
几何概型与古典概型的区别
与长度有关的几何概型 [例 1] (2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取
一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则
该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1
1
A.6
B.3
()
2
4
C.3
D.5
1．在区间－π2，π2上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到12之 间的概率为________．
求解与长度有关的几何概型的两点注意 (1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度 之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题 中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应 特别注意准确表示所确定的线段的长度．
与面积(体积)有关的几何概型
[例 2] (1)已知平面区域 U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，
2．已知集合 A＝{x|－1<x<5}，B＝xx3－ －2x>0 ，在集合 A 中 任取一个元素 x，则事件“x∈A∩B”的概率是_______．
在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，并以线段 AC 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率是多少？
y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域 U 内
随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________． (2)(2012·湖北高考)如图所示，在圆心角
为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为
直径作两个半圆，在扇形 OAB 内随机取一
点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )
B.9
1
1
4．点CA.4为周长等于 3 的圆周上一个D.定2 点，若在该圆周上随
古典概型和几何概型的区别
古典概型和几何概型的区别
相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的。
不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关。
（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
（3）几何概型求事件A的概率公式：
PA=构成事件A的区域长度面积或体积/实验的全部结果所构成的区域长度面积或体积（1）试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
（3）古典概型求事件A的概率公式：
PA=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数
例题：某人午觉醒来发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
分析：收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型一、古典概型 1、定义（1）样本空间的元素只有有限个； （2）每个基本事件发生的可能性相同。
比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。
称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
2、古典概型中事件概率的计算设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1}{n i n P i ==ω若事件A 包含m 个样本点，即{}ωωωi i i A m,,,21 =， 则有 ：中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数发生的基本事件数使A =n m= 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.752．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A ．310B ．15C ．110D ．1123.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .4．（2009·安徽文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
古典概型和几何概型的联系和区别
古典概型和几何概型的联系和区别古典模式和几何模式是几何学中最重要的概念，两者都拥有自己独特的性质和特点，古典模式在几何学中有着重要的地位，而几何模式的作用也是不可忽视的。
本文研究古典模式和几何模式之间的联系和区别，探究它们在几何学中的作用和分别。
古典模式概念的最初来源于古希腊的几何学家，他们提出一种建立在基本几何设定上的认识框架，把它们用来构建古典几何模式。
这种模式考察两个点之间的关系，即连续无穷的直线上可以放置无数个点，而不同点之间可以确定一个角度，即认为两个点之间可以构成一条线，并且可以求出两点之间的距离和它们的点积。
古典模式可以用来定义几何图形的形状，例如圆形和多边形，也可以用来计算各种平面或空间几何形状的面积和体积。
几何模式是20世纪出现的一种新型几何学，它从古典模式出发，使用现代数学理论构建出更为复杂的几何模型。
几何模式以向量论、线性代数和拓扑学作为基础，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。
几何模式是一种抽象的模型，用于表示几何图形的抽象特征和性质，它利用数学函数和抽象空间概念来分析和解释几何形状和空间结构的属性。
这种模型主要用于几何学研究，目的在于更好地理解复杂的几何形状和空间结构。
古典模式和几何模式之间存在着某种关联，古典模式是几何模式的基础。
古典模式的概念在几何学中有着重要的作用，它们为几何学提供了基本的基础和理论，几何学家们可以利用它们来构建和推导几何模型。
另外，古典模式也可以用来计算几何图形的面积和体积，而几何模式则可以深入分析几何形状和空间结构的抽象特征和性质。
虽然古典模式和几何模式有一定的关联，但它们之间也存在着明显的区别。
古典模式是以古希腊的几何学家所提出的一种框架为基础，主要用来定义几何图形形状和计算几何图形的面积和体积；而几何模式则是在古典模式基础上发展而来的，它建立在物理实验、向量论、线性代数和拓扑学等数学理论基础上，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。
由此可见，古典模式主要是用来定义几何图形形状，而几何模式则是运用数学理论深入分析几何形状的性质。
古典概型和几何概型的意义和主要区别
专题六作业：3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明；在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。
一、古典概型1、古典概型的意义如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。
因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型.2.古典概型的两个基本特点（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。
（2）每个基本事件出现的可能性相等.2、常见的三种古典概型基本模型(1) 摸球模型；同类型的问题还有1) 中彩问题；2) 抽签问题；3) 分组问题；4) 产品检验问题；5) 扑克牌花色问题；6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题.(2) 分房问题；同类型的问题还有：1) 电话号码问题2) 骰子问题3) 英文单词、书、报等排列问题.(3) 随机取数问题.同类型的问题还有：1) 球在杯中的分配问题(球→人，杯→房)2) 生日问题；(日→房，N=365天) ( 或月→房，N=12月)3) 旅客下站问题；( 站→房)4) 印刷错误问题；(印刷错误→人，页→房)5) 性别问题(性别→房，N=2)在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。
二、几何概型1 ．几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。
用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等）2 ．几何概型的基本特点：（ 1 ）基本事件的个数，有无限多个。
古典概型与几何概型
设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω,事件A所对应的
区域用A表示(A⊆Ω),则P(A)=②
A的度量 Ω的度量
.
4.几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点:基本事件都是③ 等可能的 . (2)不同点:基本事件的个数一个是无限的,一个是有限的.基本事件可以 抽象为点,对于几何概型,这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域却 是有限的,根据等可能性,这个点落在该区域的概率与该区域的度量成 正比,而与该区域的位置和形状无关.
= =6, C2 4
∴取出的2个集合中各有三个元素的概率P= = .故选A.
m 1 n 6
方法 2 几何概型的概率求法
1.判断试验是否为几何概型,要切实理解并掌握几何概型的两个基本特
点:无限性和等可能性. 2.求解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范 围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考 察的对象在某块区域时,用面积比计算;当考察对象在某个空间时,用体 积比计算. 3.在解决面积型几何概型时,要充分借助线性规划的可行域、定积分等 相关知识进行求解.
高考理数
§11.2 古典概型与几何概型
知识清单
考点一
1.古典概型的两个特点
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 (1)在基本事件总数为n的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相 等的,即每个基本事件的概率都是 .
1 A. 6 1 B. 7
1 C. 8
1 D. 9
解题导引
解析 令ln(x2+1)=0,得x=0,
e 1 , 令ln(x2+1)=1,得x2+1=e,∴x=±
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1 1 C．1－ π
2 D. π
求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事 件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两
个变量，把变量看成点的坐标，找到实验全部结果构
成的平面图形，以便求解．
3．如图所示，边长为 2 的正方形中有一封 闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随 机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概 2 率为 ，则阴影区域的面积为 ( ) 3 4 8 2 A. B. C. D．无法计算 3 3 3
古典概率 与几何概率的区别
[归纳· 知识整合]
1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何 __________________ 概率模型，简称几何概型． [探究] 1.几何概型有什么特点？ 提示：几何概型的特点： ①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限个．
y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域 U 内 随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________．
(2)(2012· 湖北高考)如图所示，在圆心角 为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为 直径作两个半圆，在扇形 OAB 内随机取一 点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )
求解与长度有关的几何概型的两点注意
(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度 之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题 中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应
特别注意准确表示所确定的线段的长度．
与面积(体积)有关的几何概型
[例 2] (1)已知平面区域 U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，
1 x， 则 cos x 的值介于 0 到 之 2
间的概率为________．
2．已知集合
x－2 >0 A＝{x|－1<x<5}，B＝x 3－x
，在集合 A 中
任取一个元素 x，则事件“x∈A∩B”的概率是_______．
在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，并以线段 AC 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率是多少？
1 A. 13
1 B. 9
1 1 C. D. 4 2 4．点 A 为周长等于 3 的圆周上一个定点，若在该圆周上随
AB 的长度小于 1 的概率为_______． 机取一点 B， 则劣弧
5．如图所示，已知正方形的面积为 10，向 正方形内随机地撒 200 颗黄豆，数得落 在阴影外的黄豆数为 114 颗，以此试验 数据为依据，可以估计出阴影部分的面 积约为________．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
2．几何概型和古典概型有什么区别？ 提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能 性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几
何概型的基本事件则有无限个．
2．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 P(A)＝___________________________________________.
2．已知地铁列车每 10 min(含在车站停车时间)一班，在车站 停 1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( 1 1 A. B. 10 9 )
1 C. 11
1 D. 8
3．某人向一个半径为 6 的圆形靶射击，假设他每次射击必 定中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与 靶心的距离小于 2 的概率为 ( )
2．点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到定 点 A 的距离|PA|<1 的概率为 1 1 A. B. 4 2 ( )
π C. 4
D．π
3．两人约定在下午 3 点和 4 点之间会面，要求先去的等后 1 去的不超过 小时，否则先去的可以离开，则两人会面的 2 概率为________．
[例 1]
与长度有关的几何概型 (2012· 辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取
一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则 该矩形面积大于 20 cm2 的概率为 1 A. 6
2 C. 3 1 B. 3 4 D. 5
(
)
π π 1． 在区间－2，2 上随机取一个数
求解与角度有关的几何概型的注意点
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，
应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段 代替，这是两种不同的度量手段．
5．如图，M 是半径为 R 的圆周上一个定点，在 圆周上等可能地任取一点 N，连接 MN，则 弦 MN 的长度超过 2R 的概率是________．
x2－4x≤0， 4． 若不等式组－1≤y≤2， x－y－1≥0
表示的平面区域为 M， (x－4)2
＋y2≤1 表示的平面区域为 N，现随机向区域内抛一粒豆 子，则该豆子落在平面区域 N 内的概率是________．
与角度有关的几何概型
[例 3]
如图所示，在直角坐标系内，
射线 OT 落在 30° 角的终边上， 任作一条射 线 OA， 则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为 ________．