2019年上海高考数学·第一轮复习讲义 第26讲 排列组合

2019年上海高考数学·第一轮复习

（第26讲 排列组合）

[基础篇]

一、知识梳理

1、乘法原理与排列

乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。

乘法原理的核心：分步

在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。

排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

【说明】

如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。

排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。 排列数公式：!(1)(2)(1)()!

m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合

做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。

【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且

加法原理（分类）或

组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C m

n 表示.

组合数公式C m

n =!

)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

解题技巧：

（1）对附有限制条件的排列组合，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置。

（2）对下列附有限制条件的排列组合，要掌握基本的思考方法：

元素在某一位置或元素不在某一位置；

元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；

元素不相邻——插空法；

比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位。

（3）对附有限制条件的排列组合要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法。

3、二项式定理

二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(

右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，它一共有1+n 项，其中各项的系数r

n C （n r ,2,1,0=）叫做二项式

系数。 式子中的r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项为展开式的第1+r 项：

r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

=. 注：二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别。 二项式系数具有下列性质：

（1）等距性：与首末两端等距离的二项式系数相等；

（2）最值性：若n 为偶数，中间一项（第

2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和2

1+n ＋1项）的二项式系数最大； 在二项式定理中，如果设＝1，＝，则得到公式(公式可以直接利用)：

（3）0122;n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312;n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=

二项式定理的应用

（1）求某些多项式系数的和；

（2）证明一些简单的组合恒等式；

（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；

（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

①(1+x)n≈1+nx ；②(1+x)n≈1+nx+

2

)1(-n n x2； （5）证明不等式。

二、例题解析

排列组合

1、若425

225+=x x C C ，则x 的值是 （ ） A.4 B.7

C.4或7

D.无解 2、210242322C C C C ++++ 的值

（ ） A.990

B.165

C.120

D.55 3、319

84-=m m P P ，则.__________=m

4、5名同学报名参加4项体育活动（每人限报一项），则不同的报名方式共有___________种。

5、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答)

6、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是_________.

7、如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块

里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为_______

8、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，

使总分不少于8分的取法有_____________种 (用数字作答).

9、10个相同的球放入6个盒中，每个盒中至少一个的放法有________种。

10、某校需要在8名男生和8名女生中选出4名参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，则不同选人方式有___________种。

11、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有__________种。

12、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．

13、某班30名同学，一年按365天计算，至少有两人生日在同一天的概率是 （ ）

A ．30303653651A -

B ．3030365365A

C ．30365

11- D ．303651