多元函数极值问题的答案详解

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多元函数的极值与最值例题极其解析

多元函数的极值与最值1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。

步骤：1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)2)再求ABCA=f xx(x0, y0)B=f xy(x0, y0)C=f yy(x0, y0)3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.=3x2−3y=0解：∂z∂x∂z=3y2−3x=0∂y联立得驻点为(0,0),(1,1)A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处无极值。

在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (1, 1) =x3+y3−3xy=−12.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。

解：f x’=2x=0F y’=2y-2=0联立得驻点为(0,1)A=f xx(x0, y0) =2B=f xy(x0, y0) =0C=f yy(x0, y0) =2在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (0, 1) = 03.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z故xyz=a, z=axyS=xy+2(x axy +y axy)=xy+2(ay+ax)S x’=y+2(−ax2)=0S y ’= x+2(−ay2)=0解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。

多元函数求极值

多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。

一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。

多元函数极值问题的答案详解

x x0 y y0
方法 2：对
f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
0
充分条件 2：设则点多元函数极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点一元函数极值多元函数极值
一元函数可能极值点一元函数可能拐点多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点多元函数驻点或不可偏导点
2
1 无条件极值多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件多元函数极值 3 充分条件 4 驻点
2-1-1 定义一元函数极值
一元函数拐点
多元函数极值
必要条件一元函数极值一元函数拐点多元函数极值设点
x , f x 为曲线 y f x 的拐点，且 f x 存在，则 f x =0
x x 2 重点（2015 数二）已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称性，作减法后不止 x y 能求解.

多元函数的极值

x yz xy z x y z定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′y x f y x f yx 取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有),(),(00y x y x f z 在点=存在),(),(00y x y x f z 在点因=在),(0y x f z =0x x =故在),(0y x f z =0y y =zox y对于三元函数，若M 0是f (x , y , z )的驻点，f (x , y , z )在M 0处所有的二阶偏导数连续，则当矩阵在M 0处为正定阵时( )，M 0为极小值点，为负定阵时( )，M 0为极大值点.类似的，可以将以上结论推广到三元以上的函数.H=xx xy xz xyyy yz xz yz zz f f f f f f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦112233H 0,H 0,H 0>>>112233H 0,H 0,H 0<><αcos 24x αcos 22x −)sin (cos 222−+ααx =x A αsin 24αsin 4x −0cos sin 2=+ααx =αA 解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin ≠α0≠x ααααsin cos sin 2sin 2422x x x A +−=)0,120:(2πα<<<<x D 0cos 212=+−αx x 0)sin (cos cos 2cos 2422=−+−ααααx x (cm)8,603===x D πα作业P121 4, 6, 7, 13。

多元函数的极值与最优化问题

与 m0 , M 0的大小，则最大者为最大值M，
最小者为最小值m .
例6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大. 解设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 ( 24 2 x 2 x cos α 为 ) x sin α 2 2 2 24 x sin α 2 x sin α x cos α sin α
z x y, z y x ,
z x ( 0, 0 ) 0 z ( 0, 0 ) 0 y
(0,0)是 z xy 的驻点. 但当 xy 0时，z ( x , y ) z(0,0) 0 当 xy 0时，z( x , y ) z(0,0) 0 (0,0)不是 z xy 的极值点.
2 2) 当 AC B 0 时,
不是极值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.Βιβλιοθήκη 有0 00
f ( x0 , y0 )
A 0, 极小值
A 0, 极大值
是极值
非极值不定(需用其他方法确定 )
A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) ( AC B 2 )
2 z f ( x , y ) x y(4 x y ) 求二元函数例7 在直线 x y 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
解如图,
z x
y
1º先求函数在 D 内的驻点， o
y
x y6
D
o
x
解方程组

(完整word版)多元函数的极值及其求法

第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的观点，会用充足条件判断二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

问题提出：在实质问题中，常常会碰到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相近似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有亲密的关系，所以以二元函数为例，来议论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义设函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，关于该邻域内的所有( x, y) (x 0 , y0 ) ，假如总有 f (x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值；假如总有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数获得极值的点称为极值点．例 1．函数z xy 在点(0,0) 处不获得极值，由于在点(0,0) 处的函数值为零，而在点(0,0) 的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例 2．函数z 3x2 4 y 2在点 (0,0) 处有极小值．由于对任何 ( x, y) 有 f (x, y) f (0,0) 0 ．从几何上看，点( 0,0,0) 是张口向上的椭圆抛物面z 3x 2 4 y2的极点，曲面在点(0,0,0) 处有切平面z0 ，进而获得函数获得极值的必需条件．定理1（必需条件）设函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 拥有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必定为零，即 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ．几何解说若函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 获得极值z0，那么函数所表示的曲面在点(x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )是平行于 xoy 坐标面的平面z z0．近似地有三元及三元以上函数的极值观点，对三元函数也有获得极值的必需条件为f x ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f z ( x0 , y0 , z0 ) 0说明上边的定理固然没有完整解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的门路，即f x ( x0 , y0 ) 0( x n , y n ) ，那么极值点必包只需解方程组，求得解 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )f y (x0 , y0 ) 0含在此中，这些点称为函数z f ( x, y) 的驻点．注意 1．驻点不必定是极值点，如z xy 在(0,0)点．如何鉴别驻点是不是极值点呢？下边定理回答了这个问题．定理 2（充足条件）设函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，令 f xx (x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy (x0 , y0 ) C ，则（ 1）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 获得极值，且当 A 0 时，有极大值 f ( x0 , y0 ) ，当 A 0 时，有极小值 f ( x0 , y0 ) ；（ 2）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 没有极值；（ 3）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可能有极值，也可能没有极值，还要另作议论．求函数 z f ( x, y) 极值的步骤：（1）解方程组 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，求得一确实数解，即可求得全部驻点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )( x n , y n ) ；（2）关于每一个驻点( x , y )(i 1,2,L n) ，求出二阶偏导数的值A,B, C；i i（3）确立AC B2 的符号，按定理 2 的结论判断 f ( x i , y i ) 是不是极值，是极大值仍是极小值；（4）观察函数 f ( x, y) 能否有导数不存在的点，如有加以鉴别能否为极值点．例 3．观察解由于z x 2 y2能否有极值．z x，z y在x0, y0 处导数不存在，可是对所x x2y 2y x 2y2有的 (x, y) (0,0) ，均有 f ( x, y) f (0,0) 0 ，所以函数在( 0,0) 点获得极大值．注意 2．极值点也不必定是驻点，若对可导函数而言，如何？例 4．求函数f ( x, y) x3 y3 3x 2 3y2 9x 的极值．解先解方程组f x 3x 2 6x 9 03,0), ( 3,2) ，f y 3y2 6 y 0，求得驻点为 (1,0), (1,2), (再求出二阶偏导函数fxx 6x 6 ， f xy， f yy 6 y 6 ．在点 (1,0) 处， AC B 2 12 6 72 0 ，又 A 0 ，所以函数在点(1,0) 处有极小值为f (1,0) 5 ；在点 (1,2) 处， AC B2 72 0 ，所以 f (1,2) 不是极值；在点 ( 3,0) 处， AC B2 72 0 ，所以 f ( 3,0) 不是极值；在点 ( 3,2) 处， AC B2 72 0，又A 0，所以函数在点( 3,2) 处有极大值为f ( 3,2) 31．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴将函数 f ( x, y) 在地区D内的所有极值点求出；⑵求出 f ( x, y) 在D界限上的最值；即分别求一元函数 f ( x, 1 (x)) ， f ( x, 2 ( x))的最值；⑶ 将这些点的函数值求出，而且相互比较，定出函数的最值．实质问题求最值依据问题的性质，知道函数 f ( x, y) 的最值必定在地区 D 的内部获得，而函数在 D 内只有一个驻点，那么能够必定该驻点处的函数值就是函数 f ( x, y) 在D上的最值．例 4．求把一个正数 a 分红三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解设 x, y 分别为前两个正数，第三个正数为 a x y ，问题为求函数u xy(a x y) 在地区D ：x， y 0 ，x y a内的最大值．0由于u y(a x y) xy y(a 2x y) ，ux(a 2 y x) ，x y解方程组a 2x y 0 a， ya．a 2y x，得 x30 3由实质问题可知，函数必在 D 内获得最大值，而在地区 D 内部只有独一的驻点，则函数必在该点处获得最大值，即把a 分红三等份，乘积 ( a) 3 最大．z a x y ，则 3 此外还可得出，若令u xyz( a)3 ( x y z ) 33 3 即3xyz x y z．3三个数的几何均匀值不大于算术均匀值．三．条件极值，拉格朗日乘数法引例求函数 zx 2y 2 的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前方求过在(0,0) 获得极小值；若求函数 zx 2 y 2 在条件 xy 1下极值，这时自变量遇到拘束，不可以在整个函数定义域上求极值，而只好在定义域的一部分x y1 的直线上求极值，前者只需求变量在定义域内变化，而没有其余附带条件称为无条件极值，后者自变量遇到条件的拘束，称为条件极值．如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出 y 1 x ，代入 z x 2 y 2 中，得 zx 2 (1 x)2 2x 2 2x 1 成为一元函数极值问题，令z x 4 x 21 1 1 10 ，得 x，求出极值为 z(, )2 ．22 2可是在好多情况下，将条件极值化为无条件极值其实不这样简单，我们还有一种直接追求条件极值的方法，可不用先把问题化为无条件极值的问题，这就是下边介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数获得极值的必需条件．求函数 zf ( x, y) 在条件( x, y) 0下获得极值的必需条件．若函数 zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 获得所求的极值，那么第一有(x 0, y 0 )0 ．假设在 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内函数 z f ( x, y) 与均有连续的一阶偏导数，且 y ( x 0 , y 0 )0 ．有隐函数存在定理可知，方程(x, y) 0 确立一个单值可导且拥有连续导数的函数y (x) ，将其代入函数 zf ( x, y) 中，获得一个变量的函数z f (x,( x))于是函数 zf ( x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 获得所求的极值，也就是相当于一元函数 z f (x, ( x)) 在x x 0 获得极值．由一元函数获得极值的必需条件知道dz f x (x 0 , y 0 ) f y (x 0 , y 0 ) dy0 ，dx x x 0dx x x 0而方程(x, y) 0 所确立的隐函数的导数为dyx( x 0, y 0 )．dx x x 0y ( x 0 , y 0 )将上式代入 f( x , y ) f (x , y )dy0 中，得x 0 0 y0 0dx x xf x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)0 ，y (x 0 , y 0 )所以函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0 下获得极值的必需条件为 f x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)y (x 0 , y 0 )．(x 0 , y 0 ) 0为了计算方便起见，我们令f y ( x 0 , y 0 )，y (x 0 , y 0 )则上述必需条件变成f x ( x 0 , y 0 )x ( x 0 , y 0 ) 0 f y ( x 0 , y 0 )y ( x 0 , y 0 )0 ，( x 0 , y 0 ) 0简单看出，上式中的前两式的左正直是函数F ( x, y) f ( x, y)(x, y)的两个一阶偏导数在(x 0 , y 0 ) 的值，此中是一个待定常数．拉格朗日乘数法求函数 zf ( x, y) 在条件 (x, y) 0 下的可能的极值点．⑴ 组成协助函数F (x, y) f (x, y)(x, y) ，（为常数）⑵求函数 F 对x，对 y 的偏导数，并使之为零，解方程组f x ( x, y)x ( x, y)0f y ( x, y)y ( x, y)0(x, y)0得 x, y,，此中x, y就是函数在条件(x, y)0 下的可能极值点的坐标；⑶ 如何确立所求点能否为极值点？在实质问题中常常可依据实质问题自己的性质来判断．拉格朗日乘数法推行求函数 u f ( x, y, z,t ) 在条件(x, y, z, t) 0 ，(x, y, z, t) 0 下的可能的极值点．组成协助函数F (x, y, z, t ) f ( x, y, z, t) 1 ( x, y, z,t ) 2 ( x, y, z,t )此中1 , 2为常数，求函数 F 对 x, y, z 的偏导数，并使之为零，解方程组f x 1 x 2 x f y 1 y 2 y f z 1 z 2 z f t 1 t 2 t0 0 0 0(x, y, z,t )0( x, y, z, t)0得 x, y, z 就是函数u f (x, y, z, t) 在条件( x, y, z,t) 0 ，( x, y, z,t )0 下的极值点．注意：一般解方程组是经过前几个偏导数的方程找出x, y, z 之间的关系，而后再将其代入到条件中，即能够求出可能的极值点．例 6. 求表面积为 a 2而体积为最大的长方体的体积．解设长方体的三棱长分别为x, y, z ，则问题是在条件(x, y, z) 2xy 2yz 2xz a 20下，求函数 v xyz (x0, y 0, z0) 的最大值．组成协助函数 F (x, y, z) xyz(2xy 2 yz 2xz a 2 ) ，求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组yz 2 ( y z) 0 (1)xz 2 (x z) 0 (2)xy 2 ( x y) 0 (3)2xy 2yz 2xz a2 0 (4)由 (2) ，得x x z ，由(3) ，得y x y ，(1) y y z ( 2) z x z即有，x( y z) y( x z), x y ， y(x z) z( x y), y z ，可得 x y z ，将其代入方程2xy 2 yz 2xz a2 0 中，得x y z6a ．6这是独一可能的极值点，由于由问题自己可知最大值必定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处获得，即在表面积为a2的长方体中，以棱长为6a 的正方体的体积为最大，6最大概积为 v 6 a3．36例 7．试在球面x2 y2 z2 4 上求出与点 (3,1, 1) 距离近来和最远的点．解设 M (x, y, z) 为球面上随意一点，则到点(3,1, 1) 距离为d (x 3)2 ( y 1)2 (z 1)2可是，假如考虑d2，则应与d有同样的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取f (x, y, z) d 2 ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2，又由于点 M ( x, y, z) 在球面上，附带条件为( x, y, z) x2 y2 z2 4 0 ．组成协助函数 F (x, y, z) ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2 (x2 y2 z2 4) ．求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组2(x 3) 2 x 0 (1)2( y 1) 2 y 0 (2)2(z 1) 2 z 0 (3)x2 y2 z2 4 (4)以前三个方程中能够看出x, y, z 均不等于零（不然方程两头不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有x 3y 1 z 1 3 1 1xyz 或xy，z故 x 3z, yz ，将其代入 x 2 y 2 z 24 中，得( 3z)2( z)2 z 2 4 ，2，再代入到 x 3z, yz 中，即可得求出 z11x m6， y m2，1111进而得两点 (62 26 22,,) ， (,,) ，11 1111 1111 11比较表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以近来点为( 6 , 2 ,2) ，最远点为 (6 , 2,2)．11 11 11111111。

§7多元函数Taylor公式和极值问题练习参考解答

887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=；（2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=；（3） )0(333>−−=a y x axy z ；（4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。

高等数学《多元函数的极值》

1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
z2 6,
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
0 0
,
求出实数解，得驻点.
第二步对于每一个驻点( x0 , y0 )，
6 x0 y0z0
a2
y02 b2
z02 c2
1下的最小值,
即求u
x0
y0
z0
在条件
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下的最大值,
令
G( x0 ,
y0 , z0 )
x0
y0 z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1)
Gx0 0,
由
x02 a2
讨论．
例4 求f (x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
[解] fx (x, y) 3x2 6x 9 0, 解得 x 1 或 x 3,
fy (x, y) 3 y2 6 y 0,
y0或 y2
得到驻点为 (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2).
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广：如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为

多元函数微分法应用-极值与最值

2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
目录上页下页返回结束
例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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结束
如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组

09-10_多元函数的极值

2 f 2 f 2 x 1 x 2 Q xy R2 (x, y ) 2! f 2 f y yx y 2 余项 (x , y )
0 0
f 记 A 2 x
2
2 f ( x0 , y0 ) , B xy
z 1 x y z
2
2
z x y z
2
2
y x z
o
y
x
o x y
z xy
先以二元函数为例, 叙述结果, 然后将它推广到一般的 n 元函数.
若 X 0 ( x0 , y0 ) 是函数 f ( x , y ) 的极值点, 则
x0 是一元函数 f ( x , y0 ) 的极值点; y0 是一元函数 f ( x0 , y) 的极值点,
但函数 f ( x , y ) 在极值点 X 0 ( x0 , y0 ) 处偏导数可能存在, 也可能不存在, 故可得到结论: 如果偏导数存在, 则极值点处的偏导数必为零. 使偏导数不存在的点, 也可能是函数的极值点.
定理
(二元可导函数取极值的必要条件)
若 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在
故
•
( 2 ,1 )
= 36 x - y ）（
2 2
> 0 , A ( 2,1) = 12 > 0,
点 ( 2, 1) 是极小点, 极小值为 f ( 2 ,1 ) 28
•
( - 2 , -1 )
>0, A(
- 2, -1)
= 12 < 0,
点 (2,1) 是极大点, 极大值为 f ( 2, 1) 28 .
当 AC B 2 0 时, 二次型 Q 是半定的, 运用二阶泰勒公式已不能判定 f ( x0 , y0 ) 是否为函数的极值.

（整理）多元函数的极值及其求法.

（整理）多元函数的极值及其求法.第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.内容分布图示★ 引例★ 二元函数极值的概念例1-3★ 极值的必要条件★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 条件极值的概念★ 拉格郎日乘数法★ 例12★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例 16*数学建模举例★ 最小二乘法★ 线性规划问题★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题6-6 ★ 返回内容提要：一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值；如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ?在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ?的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ?的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ?λ?λ?λ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲：二元函数极值的概念例1（讲义例1）函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.例2（讲义例2）函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，22y x z +-=表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）. 例3（讲义例3）函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）例4（讲义例4）求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.例5 证明函数y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值例6（讲义例5）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.。

多元函数求极值

解令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
解将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4 z y 0 2 y 2 z z x 2 4 z y 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 A z xx | P , 2 z
例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和使得 3 2 u x y z 为最大.
2 2 Fx 3 x y z 0 3 F 2 x yz 0 y 3 2 F x y 0 z x y z 12
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
例２函数 z x 2 y 2
在 (0,0) 处有极大值．
(1)
(2)
例３函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
每天的收益为 f ( x , y )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )

多元函数的极值解读

r
3
又
定义域为 r 0, h 0. 解方程组
S 2 rH 2 r r 2 h2 2V 4 rh 2 r r 2 h2 r 3
S 2V 4 4 r 2 2 h 2 2 h 0 2 2 r 3 r r h S 4 r 2 rh 0 3 r 2 h2 h
所以 B AC 4 0, 而A 0, 故函数在点（0，1）取得极小值，为0。
2
例2 求函数z x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 的极值。解：此函数的定义域为 {( x, y) | x R, y R}
解方程组
z 3 4 x 2x 2 y 0 x z 4 y3 2 x 2 y 0 y
z 62 (8)2 12 6 16 (8) 100
在D的边界上，将 x 5 cos , y 5 sin , 0 2 代入函数中得
由于 0 2 , 所以在边界上函数的最大值为 125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上的最大值为125，最小值为-100。例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆锥形中空浮标，如图。在体积V是一定量的情况下，如何选择圆柱和圆锥的尺寸，才能使制作的材料最省？
( 1)
k
( 1)
k
2 1 e 1 )(1) k 2
k为奇数 k为偶数 k为奇数 k为偶数
2 e 1 [(1) k (1) k 1 2] 1
2 2 2 B AC 0 ( 1 e ) ( e ) 0, z无极值。 k 故当为奇数时，
二多元函数的最值

多元函数的极值问题 (2)

A<0 (C< 0 )时取极大值; A>0 (C >0 )时取极小值.
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值. 3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
第四节多元函数的极值问题
一、二元泰勒公式二、多元函数的极值三、多元函数的最值四、条件极值
一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f
( x0

h)

f
(x0 )
f
(x0 )h
f
(x0 ) h2 2!

f (n) (x0 ) hn n!
推广
(0 1)
多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续):
•
(h
x

k
) y
f
(x0 ,
y0 )
表示
h
f x (x0 ,
y0 )

k
f y (x0 ,
y0 )
•
(h
x

k
)2 y
f
( x0
,
y0
)
表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
f xx (x0 h, y0 k) A
f x y (x0 h, y0 k) B
f y y (x0 h, y0 k) C
其中 , , 是当h →0 , k →0 时的无穷小量 ,于是

清华大学微积分A习题课3_多元函数微分学及应用(泰勒公式、极值)

AC −B
i i
2 i
16
−32
−32
−32
64
64
−32
由极值的充分条件可知，函数 f 在 ( x1 , y1 ) 点取局部极大值，
( x5 , y5),( x 6 , y 6 )( x8 , y8 )( x 9 , y 9 )
取局部极小值，其它点均为鞍点（非极值点）. 例6 函数 z ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 内部偏导数存在, z ( x, y ) 在 D 的边界上的值为零，在 D 内部满足
dz = −
4 x + 8z 4y dx − dy 2 z + 8x − 1 2 z + 8x − 1 ∂z 4 x + 8z =− =0 ∂x 2 z + 8x − 1 ∂z 4y =− =0 ∂y 2 z + 8x − 1
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz − z + 8 = 0
。
cosθx − 1 1 + θy 【答案】 f ( x, y ) = 1 − y + ( x, y ) sin θx 2 (1 + θy )2
sin θx x (1 + θy )2 , θ ∈ (0,1) 2 cosθx y (1 + θy )3
2 2
t
(
2
2
)
Hale Waihona Puke − x2 + y2
(
)在
曲线 x 2 + y 2 = 1 上取到极大值 e ．例8 （隐函数的极值）设 z = z ( x, y ) 由 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz − z + 8 = 0 确定，求该函数的极值．解：

12-6多元函数极值及应用

可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
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当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有在(0,0)点邻域内的取值
z
o x
y
正
可能为负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此为极小值.
机动目录
当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
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0 0
－
+
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
1 ( Ah B k ) 2 Q ( h , k ) 则若 A≠0, A
+ ( x0 , y0 )
o x Q(h, k )可能
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
故 Q(h, k ) 与 A 同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
y
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
结束
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来方法：

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？一、问题的提出每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.二、多元函数的极值和最值播放1、二元函数极值的定义(1)(2)(3)例1例２例３2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？解3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.解如图,解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．解则解可得即四、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法思考题思考题解答练习题练习题答案二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；不妨设在点处有极大值,都有,则对于的某邻域内任意定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.必有;有,类似地可证.说明一元函数在处有极大值,推广如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为，，.故当，时，但不是极值点.定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，例如,点是函数的驻点，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．又,，令，，，将上方程组再分别对求偏导数,将方程两边分别对求偏导由函数取极值的必要条件知, 驻点为,例4求由方程确定的函数的极值当时，,所以为极小值；将代入原方程,故,当时，,有,函数在有极值.所以为极大值.第一步解方程组第二步对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出的符号，再判定是否是极值.求函数极值的一般步骤：求出实数解，得驻点.先求函数在内的驻点，例5求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值. 在边界和上,且,再求在边界上的最值，解方程组得区域内唯一驻点,得于是,比较后可知为最大值,为最小值.由,在边界上，即得驻点和,例6求的最大值和最小值.所以最大值为，最小值为.即边界上的值为零.因为拉格朗日乘数法要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数，其中为某一常数，可由解出，其中就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数在条件下的极值，先构造函数其中均为常数，可由偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标.令,解得唯一驻点，故最大值为例7将正数12分成三个正数之和使得为最大.则，，设为椭球面上一点,过的切平面方程为令,例8在第一卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.，，,化简为,所围四面体的体积,该切平面在三个轴上的截距各为,由令,在条件下求V的最小值,，四面体的体积最小.当切点坐标为(，，)时,若及在点均取得极值，则在点是否也取得极值？当时，在取极小值;例如,但在不取极值.当时，在取极大值;不是.在平面上求一点,使它到及三直线的距离平方之和为最小.求内接于半径为的球且有最大体积的长方体.填空题:函数在_______点取得极_________值为___________.函数在附加条件下的极______值为_____________.方程所确定的函数的极大值是___________,极小值是_____________.在第一卦限内作球面的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求切点的坐标.一、1、(3,2),大,36；2、大,；3、7,-1.二、.三、当长,宽,高都是时,可得最大的体积.四、。