上课用高中数学选修4-4极坐标系

A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
思考？ 平面内一点P的直角坐标是 ( 3 ,1)， 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 2 为 (5, )，其直角坐标如何表示？
3
5 5 3 答案： P ( 2, ) Q( , ), 2 2 6

三、极坐标与直角坐标的互化 公式
41 20 。 3 |AB|=
O B x A
（2）在极坐标系中，与点 ( 3, ) 关 3
3, 3
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的 5 ，则顶点C的 两个顶点 A( 2, ), B( 2, ) 4 4 坐标是＿＿＿＿＿＿。
• 5 4 3 3 9 7 10 在图中描出点P(3, ), Q(5,), R(6, ) 4 6 3
•R
G
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
y 直 化 极 ： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： cos , y sin x
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
( 4, ) 6
(0,1)
(ห้องสมุดไป่ตู้,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 ) 极坐标
M

X
指出：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0
， 可取任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标： 2 4 5 6 D •Q C •P • B A E 。 • • x O
F
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 ) 5 D(5, ) 6 E(4.5, )
小
结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
(5,0)
探索？
1、极坐标系中点的对称关系? , 关于极轴所在直线对称的点为 , , 关于极点对称的点为 , 2、已知极坐标系中两点 P(3, ) 6 如何求线段|PQ|的长？ Q ( 2, ),
右图为某校园的平面示意图。 假设某同学在教学楼处， 请回答下列问题： 办公 （1）他向东偏北60 °方向 楼E 走120m后到达什么位置？ （2）如果有人打听体育馆 和办公楼的位置，他应 如何描述？
办公楼E
D实验楼
C图书馆
120m 45° 50m 60° 60m A教学楼 B体育馆
从这里向东走 1000米就到了
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
Q 2、已知极坐标系中两点 P ( 3, )， ( 2, ), 2 6 如何求线段|PQ|的长？


| PQ | 19 推广：极坐标系内两点 P( 1 ,1 ),Q( 2 , 2 ) 的距离公式：| PQ | 12 2 2 21 2 cos(1 2 )
D C
A(0,0)
E
120m 50m
45o 60o B A O 60m
C (120, ) D(60 3 , ) 3 2 3 E (50, ) 4
X

B(60,0)

想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标
(, ) 与
( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P [1]给定（,）,就可以在极坐标 M (ρ,θ)… 平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有 O X
无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
,
2
推广：极坐标系内两点 P( 1 ,1 ),Q( 2 , 2 ) 的距离公式：| PQ | 12 2 2 21 2 cos(1 2 )
| PQ | 19
四、拓展：
1、在极坐标系中,O是极
5 点，设点A(4, )，B(5, )， 6 3
则△OAB的面积是______， 5
请问：去西华三 高怎么走？
好心人
问路人
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 东 走 1 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
试一试？ 请大家回忆直角坐标系的建立过 程，试着建立一个用距离与角度 确定平面上一点位置的坐标系.
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )

10 2 A、5, ( ) B、5, ) C、5, ) ( ( 3 3 3
8 D(5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A( 2, ), B( 2 , ), 2 4 O(0,0) ,则 ABO 为( D )
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。