电磁场与电磁波：第三章

第3章
四、 恒定电流场的基本方程 电位方程
载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）
积分形式
微分形式
S J dS 0
J 0
l E dl 0
E 0
本构关系
J E
第3章
电位及电位方程
E 0 E
J 0 J E () 0
静电比拟法的理论依据：解的唯一性定理
可利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。
第3章
利用两种场方程，可求两个电极间的电阻及电导与电容的关系为
R C
G C
若已知两电极之间的电容，由上述两式可求得两电极间的电阻及电导。
例如，已知面积为 S ，间距为 d 的平板电容器的电容 C S / d，


dq dt


d dt
V
dV
S
J

dS

V

dV t
V



J


t
dV

0
第3章
V



J


t
dV

0
要该积分对任意的体积V均成立，必须有被积函数为零
J
t
0
电流连续性方程微分形式
J dS dq 电流连续性方程积分形式
10 3 10 5 10 11 10 12 10 15
第3章
按电导率 对介质的分类
理想导体 0 理想介质（绝缘介质） 0 导电媒质
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均 匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性 的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
S
dt
第3章
若电荷分布恒定，即 dq 0 ( 0)
dt
t
恒定电场的电流连续性方程
S J dS 0
J 0
第3章
三、 欧姆定律的微分形式
一段载流I导体，端电压为U， 电阻为R，由欧姆定律
U IR
R L
S
U EL I JS
J E ( 1/ )
第3章
第三章 恒定电流的电场和磁场
§ 3.1 恒定电流的电场
分类：传导电流与运流电流 传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解 液中的离子运动形成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体 中运动形成的电流。
第3章
一、 电流分布
1、（ 体）电流密度 J
设垂直通过ΔS 的电流为ΔI，则该点处的电流密度 为J
导电媒质不均匀, 在媒质中还会有体电荷的存在。
当
2 1 2 1
时， 分界面上的面电荷密度为零。
第3章
六、 恒定电流场与静电场的比拟
第3章
物理量的对偶关系
静电场 E D q C
恒定电场 E J I G
第3章
因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时， 电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据 这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求 解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容 易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电 流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。
可得恒定电流场中不同 导电媒质分界面的边界 条件
第3章
恒定电流场的边界条件为 n (E2 E1) 0 n (J2 J1) 0
即
J1n J2n
E1t E2t
1E1n 2E2n
J1t J2t
1 2
恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向 分量连续，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连
若填充的非理想介质的电导率为 ，则极板间的漏电导为
G S S d d
又如单位长度内同轴线的电容
C1

2π
ln(b / a)
；
若同轴线填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内同轴线的漏电导
G1

2π
ln(b / a)
第3章
第三章 恒定电流的电场和磁场
1
2、矢量磁位 4 5、 6 8
第3章
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且 电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证
明运流电流的电流密度 J 与运动速度v 的关系为
J v
式中 为电荷密度。
第3章
焦耳定律 电功率密度
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间 内电场力对电荷所作的功——电功率
P UI
E2n J2n / 2 0 / 0 E2n 0
第3章
E2 E22n E22t
可知E2不垂直导体表面, 导体表面不是等位面, 导体也不是等 位体, 这是由于σ1有限, 导体中沿电流方向存在电场。而在静电 场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导 体是等位体, 其表面是等位面。在这一点, 恒定电场与静电场有 根本的区别。
在导体中，沿电流线方向取一长度为ΔL、截面为ΔS的体积 元，该体积元内消耗的功率为
P UI (EL)(JS) EJV
第3章
载流导体内任一点的热功率密度为
p lim P EJ E2
V 0 V
p J E E 2 焦耳定律的微分形式
焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场 力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶 格碰撞的热能。
续，但其切向分量不连续。
第3章
应用边界条件，可得分界面处的折射定理
tan1 1 tan2 2
在恒定电场中， 分界面处用电位表示的边界条件为
1 2
1
1
n
2
2
n
第3章
讨论：
1) 两种导电媒质 当一种导电媒质为不良导
体 ( 2 0) ，另一种导电媒质为
良导体，若电导率 2 1 ，
由上知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动。
第3章
4）载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在
J 0பைடு நூலகம்
J E D


J




(
D)


D

0

D 0
即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在， 电荷分布在载流导体的表面。
第3章
4）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度 和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。
J1n J2n Jn
J1n
1E1n

1 1
D1n
J2n
2E2n

2 2
D2n

S

D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
第3章
分界面上的面电荷密度
S

Jn

2 2
1 1

可见,在两种导电媒质分界面上一般有一层自由电荷分布。如果
2
由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，电位满足的方程式为
d 2 d 2
0
此式的通解为
C1 C2
第3章
利用给定的边界条件，求得
2U
导电媒质中的电流密度 J 为
J

E



e
r

e
2U r
由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为
如同轴线的内外导体通常由电导 率很高(107 数量级)的铜或铝制
成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有 很小的漏电导存在，如 聚乙烯的电导率为 10 -10 数量级，由
tan2 tan1
2 1
1010 107
1017
第3章
tan2 tan1
2 1
1010 107
1017 ,
tan2 1017 tan1
当σ1>>σ2，第一种媒质为良导体
时，第二种媒质为不良导体时，
只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在不良导体中， 电力线近似地与界面垂直，这时可
将良导体的表面近似地看作等位面。
第3章
2）理想介质与良导体
J2 0 J1n J2n J1n 0 J1 J1t
4 S/
R3
第3章
2、磁场的几何描述——磁感线 磁感应强度可用一系列有向曲线来表示。曲线上某
点的切线方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为 磁感线（磁力线） 。磁场线的矢量方程为
B dl 0
第3章
3、恒定磁场的基本方程
1） 磁通连续性原理 （磁场的高斯定理）
以线电流的磁场为例，求一闭合曲面的磁通量
m
B dS
S
B
C
dB 0 4
I dl / R
C
R3

m
0 S 4
C
Idl ' R3
R
dS

0Idl ' C 4
R dS S R3
第3章
R R3



1 R
故上式可写为
m
B dS
J E 欧姆定律微分形式
第3章
电导率为无限大的导体称为理想导电体。在理想导电 体中，无需电场推动即可形成电流，所以在理想导电体 中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的 电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有 限的。
电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理 想介质。理想介质内无电流存在。
S
0Idl ' C 4
S


1 R


dS

由矢量恒定式 AdV A dS
V
S
m
B dS
S
C
0 Idl 4
'
V




1 R

dV


I2dl2
[
0 4
I1dl1 R3
R
]
第3章
dF21 I2dl
[ 0 4
I1dl1 R3
R
]
电流元 I2dl2 受的作用实际是电流元 I1dl1 产生的磁场对它的作用,
即电流元 I1dl1 在电流元 I2dl2 处产生的磁场 dB1 为
dB1

0 4
I1dl1 R R3
J lim I n dI n S0 S dS
第3章
载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场， 称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。
电流密度 J 与流过任意面积S的电流强度 I 的关系：
I S J dS S J cosdS
通过面积 S 的电流等于电流密度在 S 上的通量
上式就是熟知的毕——萨 定律
第3章
对于整个线电流产生的磁感应强度为
B
C
dB 0 4
Idl R 叠加原理 C R3
若电流是具有体分布的电流 J ，则为
B(r ) 0
4
J (r ') R
V/
dV ' R3
积分公式
若电流是具有面分布的电流 JS ，则为
B(r ) 0 JS (r ') RdS ' 积分公式
0 对于均匀的导电媒质
2
恒定电场的电位满足拉普拉斯方程
第3章
例 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之
间的电阻。
y
解 选用圆柱坐标系。设两个端面之间
U
t
(r,)
r
的电位差为U，且令 当角度 0 时，电位 1 0 。

0 a
0
x
b
当角度 时，电位 2 U 。
第3章
2、（ 面）电流密度 JS
设垂直通过ΔL 的电流为ΔI，则该点处的电流密度 J为s
JS

lim
S 0
I l
n

dI dl
n
第3章
二、 电流连续性方程
在电流场中有一闭合曲面S，由电荷守恒定律
dq
S J dS dt
电流连续性方程
第3章
q V dV

S
J
dS
2
I
J dS
S
S


e
2U
πr

(e
tdr)
2Ut b dr 2Ut ln b
π a r π a
该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
RV π
I 2t ln b
a
第3章
五、 恒定电流场的边界条件
由积分形式
S J dS 0 l E dl 0
电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为导 电介质。
第3章
表 常用材料的电导率
媒质 银
紫铜 金 铝
黄铜 铁
电导率(S/m)
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107 1.57 107
10 7
媒质 海水 淡水 干土 变压器油 玻璃 橡胶
电导率(S/m) 4
3、磁偶极子
7、互感和自感 9、虚位移法求磁场力
第3章
§ 3.2~ § 3.3 恒定磁场的基本方程
1、电流产生磁场的规律
安培力的实验定律指出：
在真空中载有电流I 1的回
路C1上任一线元 I1dl1 对
另一载有电流I2的回路C2
上任一线元 I2dl2的作用
力为
dF21

0 4
I2dl2 (I1dl1 R) R3