南通市2014届高三第三次模拟考试数学试题

一、填空题：

1.已知集合{}

1,2,3,4

=≤≤，{}

B=，则A B=▲．

A x x

|12

2.已知复数z满足i1i

z⋅=+（i是虚数单位），则z=▲．

3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为▲．

4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为▲ ．

考点：球的相关知识．

5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为▲．

6.一组数据2,,4,6,10

x的平均值是5，则此组数据的标准差是▲．

7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C且过点(1,则曲线C的标准方程

为 ▲ ． 【答案】221y x -= 【解析】

试题分析：因为曲线C 的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为22x y λ-=．因为过点

8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．

10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．

11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．

12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．

13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则

数列{b n }的公比为 ▲ ．

则2

21133

60a a a a ++=，所以23311()6()10a a a a ++=，则31

3a a =-±2

2

23332111()b a a q a ===，

且1q >，所以

14.在△ABC 中，BC AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点

在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．

二、解答题：

15.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；

（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．

平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ．因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ．

16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；

（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．

17.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆

弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧

．．边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一．侧．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设ÐBAC=q（弧度），将绿化带总长度表示为q的函数()

s ；

（2）试确定q的值，使得绿化带总长度最大．

由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分

18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>的离心率为12，过椭圆右焦

点F 作

两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；

（2）求AB CD +的取值范围．

参数，一般取直线的斜率，① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=，

将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，

19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；

（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；

若不存在，说明理由．

02

m n

<<<时，

24

24

(2)e e

(2)e e

m

n

m n

n m

⎧-=

⎨

-=

⎩

，两式相除得22

(2)e(2)e

m n

m m n n

-=-．

20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n n

T a =++

+，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．

（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；

（2）设12

n n c na =，求集合(){}

*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k

r m k r +=<<∈N ．

时，

114

2k c c

c c =≥，（*）式不成立．