南通市2014届高三第三次模拟考试数学试题

一、填空题：
1.已知集合{}
1,2,3,4
=≤≤，{}
B=，则A B=▲．
A x x
|12
2.已知复数z满足i1i
z⋅=+（i是虚数单位），则z=▲．
3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为▲．
4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为▲ ．
考点：球的相关知识．
5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为▲．
6.一组数据2,,4,6,10
x的平均值是5，则此组数据的标准差是▲．
7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C且过点(1,则曲线C的标准方程
为 ▲ ． 【答案】221y x -= 【解析】
试题分析：因为曲线C 的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为22x y λ-=．因为过点
8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．
10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．
11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．
12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．
13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则
数列{b n }的公比为 ▲ ．
则2
21133
60a a a a ++=，所以23311()6()10a a a a ++=，则31
3a a =-±2
2
23332111()b a a q a ===，
且1q >，所以
14.在△ABC 中，BC AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点
在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．
二、解答题：
15.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；
（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．
平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ．因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ．
16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；
（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．
17.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆
弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧
．．边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一．侧．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设ÐBAC=q（弧度），将绿化带总长度表示为q的函数()
s ；
（2）试确定q的值，使得绿化带总长度最大．
由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分
18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>的离心率为12，过椭圆右焦
点F 作
两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；
（2）求AB CD +的取值范围．
参数，一般取直线的斜率，① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=，
将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，
19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；
（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；
若不存在，说明理由．
02
m n
<<<时，
24
24
(2)e e
(2)e e
m
n
m n
n m
⎧-=
⎨
-=
⎩
，两式相除得22
(2)e(2)e
m n
m m n n
-=-．
20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n n
T a =++
+，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．
（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；
（2）设12
n n c na =，求集合(){}
*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k
r m k r +=<<∈N ．
时，
114
2k c c
c c =≥，（*）式不成立．
南通市2014届高三第二次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
21.A选修4—1：几何证明选讲
如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，//
EF CB，EF交AD的
延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．
21.B选修4—2：矩阵与变换
若矩阵
12
a
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
M把直线:20
l x y
+-=变换为另一条直线:40
l x y
'+-=，试求实数a值．
21.C选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（0，1），曲线C的方程为2220
+-=，若直
x y x
线
l与曲线C相交于A，B两点，求PA PB
⋅的值．
21.D 选修4—5：不等式选讲
已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()
2
22ax by a x b y
x y x y
++++≤．
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N
为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；
（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，
设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证：1202k k k +=．
23.各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足1
12n n x x ++<．证明：
（1）1n n x x +<；
（2）1
11n x n -<<．
【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.
【解析】
11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾．
下面先证明1n x ≤．。