第24章 24.1 第3课时平面直角坐标系中的旋转

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人教版九年级数学上第24章24.1圆的基本性质教案

圆基本性质1、圆的定义(1)圆的定义点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．(2)弦与直径①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．②直径：经过圆心弦，称为直径．（注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．）(3)弧、优弧、劣弧、半圆①弧：圆上任意两点问的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．②半圆．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．3、垂径定理及推理定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．4、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．6、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．二、重难点知识归纳重点：垂径定理、三组量之间的关系、圆周角定理．难点：以上定理的综合应用．三、典例剖析例1、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB=2DE，∠E=18°．求∠AOC的度数．例2、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．例3、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC距离为6cm，圆的半径为10cm．求腰AB的长．例4、要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h=8mm(如图)，求此小孔的直径d．例5、已知，如图，AD=BC．求证：AB=CD．例6、已知：如图，A点是半圆上一个三等份点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值是多少？例7、如图，半圆O的直径是AB，CF⊥AB，弦AC的垂直平分线交CF于点D，连结AD并延长AD交半圆O于点E，相等吗？请证明你的结论．例8、如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．例9、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连结DE．求证：DE=AB．课堂练习与作业：圆：1、已知，⊙O的半径为3cm，P是⊙O内一点，OP=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是______cm，最大距离是_________cm．2、如图，已知OA、OB是圆的两条半径，∠OAB=45°，OA=8cm，则AB=__________．3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=__________．4、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，分别以A、B为圆心，AC、BC为半径画弧，交斜边于E、F，则EF的长是__________．图2图3图4图65、平面直角坐标系中有一个点M（2，3），⊙M的半径为r，若⊙M上的点不全在第一象限内，则r的取值范围是（）A．r=2 B．r=3 C．r≥2 D．r≥36、如图，点C在以AB为直径的半圆上，O是圆心，连接OC，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．不能确定7、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式正确的是（）A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b ＞c＞a8、如图，BD、CE分别是△ABC的两条高，试说明点E、B、C、D四点在同一个圆上，并画出这个圆．9、如图所示，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3千米内的水域为危险区域．有一渔船误入与A距离2千米的B处．为了尽快驶离危险区域，该船应怎样航行？并说明理由．垂径定理：1、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是__________．2、如图，水平铺设的圆柱形排水管的截面半径是0.5m，其中水面宽为AB=0.6m，则水的最大深度为_____m．3、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=__________．4、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O 的半径是（）5、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm图1图2图3图4图65、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm6、如图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分 D．随点C的移动而移动7、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．8、离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米．问这条公路在免疫区内有多少千米？9、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．10、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．弧、弦、圆心角：1、如果⊙O的半径为R，则⊙O中60°的圆心角所对的弦长为_______，90°的圆心角所对的弦长为_____．2、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦DE∥AB，则AC与AE的大小关系是__________．3、如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE．则的大小关系是________．4、如图，在半径为2cm的⊙O内有长为的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）A．60°B．90° C．120° D．150°图2图3图4图55、如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确6、AD是⊙O的直径，弦AB、AC交于A点，且AD平分∠BOC，则下列结论不一定成立的是（）A．AB=AC B． C．AD⊥BC D．AB=BC9、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于D、E，求证：BD=DE=EC．10、已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦且∠DPB=∠EPB，求证：（1）CD=EF；（2）．圆周角：1、如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．2、如图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．3、如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．4、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．5、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．6、如图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B． C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC图1图2图3图4图5图6图77、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50° C．40°D．20°8、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．9、如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CN为⊙O的直径，CM⊥AB，交⊙O于M，点F 为的中点．求证：（1）；（2）CF平分∠NCM．10、如图（1），已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图（2），若∠A=60°，AB≠AC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．。

沪科版九年级下册数学第24章圆旋转作图

本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等．
1.必做:完成教材P10-11习题24.1T3-T5. 2.补充:.
知2－讲
②以旋转中心为角的顶点，以①中的连线作为旋转角的一边，运用尺规作图，作出图中所有的旋转角，且旋转角的方向一致； ③确定旋转后图形的对应点，即根据旋转的基本性质：旋转前后图形的对应点到旋转中心的距离相等，在上述旋转角的另一边上分别截取对应线段相等，这样就确定了旋转后图形的对应点．
知2－讲
3如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是( ) A．点AB．点BC．点CD．点180°后，得到的图案是( )
知识点 2 用旋转变换设计图案
知2－讲
要点精析： (1)确定旋转角的大小和方向：根据图形和已知条件，若没有直接给出旋转角，则应找出旋转前后图形的一对对应点，并将它们与旋转中心相连，由此确定旋转角的大小和方向． (2)确定每对对应点： ①准确找出旋转前图形的各个顶点(通常指图中所有线段的两个端点)，并把它们与旋转中心依次连接；
知2－练
1如图所示的4个图案，能通过基本图形旋转得到的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
知2－练
2 (中考•河北)如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )
A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以D．甲可以，乙不可以
知2－讲
导引：根据图形可知∠BAE＝120°，AB边绕点A顺时针旋转120°得到AE边，所以菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心顺时针旋转120° 得到的．

2021年沪科版九年级数学下册第二十四章《图形在坐标系中的变换》公开课课件

九年级数学下册（沪教版）
第24章圆
24．1 旋转第4课时图形在坐标系中的变换
1．坐标平面内一点(x，y)，以原点为旋转中心，按逆时针方向旋转 90°，180°，270°，360°后，对应点坐标分别为__(－y，x)__，__(－x，－y)__，__(y，－x)__，__(x，y)__．
3，2)
9．如图，点 B 在 x 轴上，∠ABO＝90°，∠A＝30°， OA＝4，将△OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 120°得到 △OA′B′，则点 A′的坐标是 ( B )
A ． (2 ，－ 2 2 ) B ． (2 ，－ 2 3 ) C ． (2 2 ，－ 2) D．(2 3，－2)
2．一个图形绕原点作 360°旋转是一个__恒等变换__．
平面直角坐标系中的旋转
1．(5 分)(2015·天津)在平面直角坐标系中，把点 P(－3， 2)绕原点 O 顺时针旋转 180°，所得到的对应点 P′的坐标为 (D)
A．(3，2) B．(2，－3) C．(－3，－2) D．(3，－2) 2．(5 分)如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，得到△A′B′ O，则点 A′的坐标为( D ) A．(3，1) B．(3，2) C．(2，3) D．(1，3)
解：(1)A1(4，－1) (2)(3)图形如图：
12．(12 分)如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， △AOB 的三个顶点均在格点上，点 A，B 的坐标分别为 A(－ 2，3)，B(－3，1)．
(1)画出△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°后的△A1OB1；解：图略 (2)点 A1 的坐标为__(3，2)__； (3)四边形 AOA1B1 的面积为__8__．

2025年沪科版九年级下册数学第24章专题1 旋转在解几何题中的六种常见技巧

专题
(2)连接BG交CH于点O，若AB＝5，BC＝13，求BO的长．【解】由(1)易得 BH＝CD＝CG. ∠OHB＝∠OCG＝90°，在△HBO 和△CGO 中，∠HOB＝∠COG， BH＝CG， ∴△HBO≌△CGO(AAS).∴OH＝OC.
专题
在 Rt△BCH 中， BH＝AB＝5，BC＝13， ∴由勾股定理得 CH＝ BC2－BH2＝ 132－52＝12. ∵OH＝OC，∴OH＝12CH＝6. 在 Rt△OHB 中，由勾股定理得 BO＝ BH2＋OH2＝ 52＋62＝ 61.
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专题
2．[2024·上海嘉定区期末]已知在△ABC 中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转得到△CDE，使点B恰好落在边AB上的点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为1等80腰° 三角形，则∠A的度数为_3_6_°_或___7_．
专题
【点拨】如图，设∠B＝x. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝x. ∴∠A＝180°－2x. ∵△ABC绕点C旋转得到△CDE，使点B恰好落在边AB 上的点D处，∴CB＝CD，∠2＝∠B＝x. ∴∠1＝∠B＝x.∴∠5＝180°－2x. ∴∠3＝∠A＋∠5＝360°－4x.
专题
(1)若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重
叠部分的面积为____4____；当一条直角边与正方形的一
边垂直时，重叠部分的面积为 ____4___．
(2)若正方形的面积为S，重叠部分的程中S1与S的关系为__S_1＝__14_S__．
面积为
S1，在旋转过
专题
【类比探究】如图①，若等腰直角三角板的直角顶点与点 O 重合，在旋转过程中，两条直角边分别交正方形 ABCD 两边于 E，F 两点，小宇经过多次实验得到结论 BE＋DF＝ 2OC，请你帮他进行证明．

人教版九年级数学第24章《圆》24.1. 1-4导学案

第1课时 24.1.1 圆一、新知导学1.圆的定义:把线段op 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在旋转，另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 .2.圆的集合定义：圆是到的点的集合. 3、从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于____ __；②到定点的距离等于定长的点都在____ _.4、圆的表示方法：以O 点为圆心的圆记作______，读作______.5、要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的大小.6；如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧有；劣弧有。

二、合作探究1．判断下列说法是否正确，为什么？（1）直径是弦.（）（2）弦是直径.（）（3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( )2．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB ＝，AB ＝ 3．已知：如图2，OA OB 、为O 的半径，C D 、分别为OA OB 、的中点，求证：（1）;A B ∠=∠ (2)AE BE =4.对角线互相垂直的四边形的各边的中点是否在同一个圆上？并说明理由.三、自我检测1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以为圆心，为半径的圆.2.正方形的四个顶点在以为圆心，以为半径的圆上.3.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是4．下列说法正确的有（）①半径相等的两个圆是等圆； ②半径相等的两个半圆是等弧；③过圆心的线段是直径； ④ 分别在两个等圆上的两条弧是等弧. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5.如图3，点A O D 、、以及点B O C 、、分别在一条直线上，则圆中有条弦. 6、下列说法正确的是（填序号）①直径是弦 ②弦是直径 ③半径是弦 ④半圆是弧，但弧不一定是半圆 ⑤半径相等的两个半圆是等弧 ⑥长度相等的两条弧是等弧 ⑦等弧的长度相等 7.圆O 的半径为3 cm ，则圆O 中最长的弦长为8.如图4，在ABC ∆中，90,40,ACB A ∠=︒∠=︒以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求ACD ∠的度数.9、已知：如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．（图1）ED CB A （图2） D BCA（图4） DC ABE（图3）（图5）第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径一、新知导学1．阅读教材p80有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p80“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳：圆是__ __对称图形， ____________ ________都是它的对称轴；3. 阅读教材p80“思考”内容，自己动手操作：按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的一条弦AB ；第二步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂足为E ；第三步，将⊙O 沿着直径折叠. 你发现了什么？归纳：（1）图1是对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有，相等的弧有 .二、合作探究活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且的两条弧. 定理的几何语言：如图2CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥____________,____________,_____________∴推论：___________________________________________________________________________．活动2 ：垂径定理的应用垂径定理的实际应用怎样求p80赵州桥主桥拱半径？解：如图3小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。

2024春九年级数学下册第24章圆24.1旋转4关于原点对称的点的坐标作业课件新版沪科版

对应点的坐标为(1, 3)，再根据关于原点对称的点的坐标特点得A′的坐标为(－1，－3)．
【答案】C
5 点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴对称的点是点C，则点C的坐标是( ) A．(3，2) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(－2，3)
【点拨】点A(－3，2)关于原点对称的点B的坐标是(3，－
(2)画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2. 【解】如图，线段 A2B2即为所求．
7 [2023·人大附中月考]如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；【解】如图，△A1B1C1 即为所求．
第24章圆
24.1.4 关于原点对称的点的坐标
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1D
6
25
7
3D
4C
பைடு நூலகம்5A
答案呈现
1 [2023·凉山州]点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是( D ) A．(2，3) B．(－2，－3) C．(－3，2) D．(－2，3)
2 [2022·怀化]已知点A(－2，b)与点B(a，3)关于原点对称，则a－b＝___5___.
【点拨】根据关于原点对称的点的坐标特点可知a＝2，
b＝－3，∴a－b＝5.
3 (母题：教材P11习题T7)如图，▱ABCD的两条对角线 AC 与 BD 交于平面直角坐标系的原点，点 A 的坐标为 (－2，3)，则点C的坐标为( ) A．(－3，2) B．(－2，－3) C．(3，－2) D．(2，－3)
【点拨】平行四边形是中心对称图形，故点A与点C关于

2019春九年级数学下册第24章圆24.1旋转课时作业新版沪科版129

第24章圆24.1旋转第1课时旋转的概念与性质知识要点基础练知识点1旋转的相关概念1.下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是(B)2.下列现象属于旋转的是(C)A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的过程C.幸运大转盘转动的过程D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车知识点2旋转的性质3.一个图形经过旋转变换后,有以下结论:①对应线段的长度不变;②对应角的大小不变;③位置不变;④各点旋转的角度相同.其中正确的结论有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个4.(宜宾中考)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是60°.知识点3旋转对称图形5.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合,那么n的值可能是(D)A.45B.60C.90D.120知识点4简单的旋转作图6.如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.在图中画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的△ECD.并指出点A的对应点,∠A的对应角,旋转中心及旋转角.答案图解:如图所示,△ECD即为所求.其中点A的对应点为点E,∠A的对应角为∠E,点C为旋转中心,∠ACE,∠DCB均为旋转角.综合能力提升练7.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是(B)A.10°B.20°C.50°D.70°8.(天津中考)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接A D.下列结论一定正确的是(C)A.∠ABD=∠EB.∠CBE=∠CC.AD∥BCD.AD=BC9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(D)A.12B.6C.6√2D.6√310.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为(D)A.5B.√23C.7D.√2911.如图,O为正方形的旋转中心,正方形的边长是6 cm,一个足够大的直角∠AOB的顶点与点O重合,直角的两边与正方形的边分别交于点A,B,则图中阴影部分的面积为9 cm2.12.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为15°.13.如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=FF,则AB的长为3√2.14.(宁波中考)在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;(画出一个即可)(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的三角形.解:(1)如图所示.(答案不唯一,画出一个即可)(2)△A'CB'如图所示.15.已知在△ABC中,AB=10,DE∥AC交AB于点D,交BC于点E.(1)将△BDE 顺时针旋转到△BD'E'的位置,连接DD'和EE',如图1,试探究∠BDD'与∠BEE'之间的数量关系,并说明理由;(2)将△BDE 顺时针继续旋转,点D 的对应点D'落在边BC 上,如图2,若BE'=8,D'C=6,求BC 的长.解:(1)∠BDD'=∠BEE'.理由:由旋转知△BDE ≌△BD'E',∴BD=BD',BE=BE',∠DBE=∠D'BE',∴∠DBD'=∠EBE',又∵∠BDD'=180°-∠DDD '2,∠BEE'=180°-∠DDD '2,∴∠BDD'=∠BEE'.(2)∵DE ∥AC ,∴△BDE ∽△BAC ,∴DD DD =DDDD .由题意可得BE=BE'=8,BD=BD'=BC-D'C=BC-6,AB=10.设BC=x ,则D -610=8D,解得x 1=3+√89,x 2=3-√89(不合题意,舍去),故BC 的长为3+√89.拓展探究突破练16.【问题解决】数学课上,老师提出了一个这样问题:如图1,P 是正方形ABCD 内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB 的度数吗? 小明他通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△P'BA ,连接PP',求出∠APB 的度数; 思路二:将△APB 绕点B 顺时针旋转90°,得到△CP'B ,连接PP',求出∠APB 的度数. 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图2,若P 是正方形ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC=√11,求∠APB 的度数.解:【问题解决】如答图1,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵PB=P'B=2,∠P'BP=90°,∴PP'=2√2,∠BPP'=45°.又∵AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.【类比探究】如答图2,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵PB=P'B=1,∠P'BP=90°,∴PP'=√2,∠BPP'=45°.又∵AP'=CP=√11,AP=3,∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.第2课时中心对称与中心对称图形知识要点基础练知识点1中心对称概念及性质1.下列说法正确的是(C)A.全等的两个图形成中心对称B.能够完全重合的两个图形成中心对称C.旋转180°后能够完全重合的两个图形成中心对称D.旋转后能够重合的两个图形成中心对称2.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,下列结论中不成立的是(D)A.OC=OC'B.OA=OA'C.BC=B'C'D.∠ABC=∠A'C'B'知识点2中心对称图形3.下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(B)【变式拓展】在等边三角形、等腰梯形、平行四边形和正五边形中,是中心对称图形的是(C) A.等边三角形 B.等腰梯形C.平行四边形D.正五边形4.如图,已知图形是中心对称图形,则对称中心是(D)A.点CB.点DC.线段BC的中点D.线段FC的中点知识点3中心对称(图形)的画法5.如图1,在10×10网格中,四边形ABCD是格点四边形(顶点在网格线的交点上).(1)以点A为对称中心,画出四边形ABCD关于点A成中心对称的四边形AB1C1D1;(2)点N是四边形ABCD内一格点,如图2,以点N为对称中心,画出四边形ABCD关于点N成中心对称的四边形A2B2C2D2.(3)若格点四边形ABCD与格点四边形EFGH关于点O成中心对称,点A的对称点是点E,如图3,请在网格中标出点O的位置.解:(1)如图1,四边形AB1C1D1即为所求.(2)如图2,四边形A2B2C2D2即为所求.(3)如图3,点O即为所求.图1图2图3综合能力提升练6.(长沙中考)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)7.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中属于中心对称图形的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个8.(呼和浩特中考改编)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC进行了一次变换之后得到的,其中是通过中心对称得到的是(C)A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)9.如图所示,已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称,则点B的对称点是(D)A.点EB.点FC.点GD.点H10.(乐山中考)如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为6.11.(安徽中考)如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上的三点.(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标,若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.解:(1)△A1B1C1如图所示.(2)点B2的坐标为(2,-1).观察可知,h的取值范围为2<h<3.5.12.如图,在▱ABCD中,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以B,F为圆心,大于12BF 的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF 是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是中心对称图形;(2)若四边形ABEF的周长为16,AE=4√3,求∠C的大小.解:连接BF,设BF与AE交于点O.(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分∠BAD.∴∠BAE=∠EAF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴∠AEB=∠EAF,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=AF.∵∠BOE=∠FOA,∴△BOE≌△FOA,∴OB=OF,OE=OA,即点B与点F,点E与点A都关于点O对称,∴四边形ABEF为中心对称图形.(2)由(1)得OB=OF,OE=OA,∴四边形ABEF为平行四边形,又∵AB=AF,∴四边形ABEF为菱形,∴BF与AE互相垂直平分,∠BAE=∠FAE,∴OA=12AE=2√3.∵菱形ABEF的周长为16,∴AF=4,∴cos∠OAF=DDDD =√32,∴∠OAF=30°,∴∠BAF=60°.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=∠BAD=60°.拓展探究突破练13.如图,中心对称图形圆(图1)和平行四边形(图2),图1中过圆心的一条直线将圆分成A,B 两部分,图2中过平行四边形的中心(对角线的交点)任作两条直线形成A,B两部分.(1)图1、图2中的A,B两部分的面积相等吗?(2)利用(1)中的结论,工人师傅需把图3所示的一块木板分成面积相等的两部分,你认为应该怎样分?请画出示意图,并做简要说明.解:(1)图1、图2中的A,B两部分的面积都相等.(2)如图,先将木板分成两个矩形,过这两个矩形的对角线的交点作直线即可.(答案不唯一)第3课时平面直角坐标系下的旋转变换知识要点基础练知识点1用坐标表示旋转1.(绵阳中考)在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为(B)A.(4,-3)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-3,-4)【变式拓展】在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,√3),以原点O为中心,将点A顺时针旋转150°得到点A',则点A'的坐标为(D)A.(0,-2)B.(1,-√3)C.(2,0)D.(√3,-1)知识点2图案设计2.如图,按要求涂阴影:(1)将图形①平移到图形②;(2)将图形②沿图中虚线翻折到图形③;(3)将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④.解:(1)如图②所示.(2)如图③所示.(3)如图④所示.3.如图是一个4×4的正方形网格,每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形,通过平移、对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足:①既是轴对称图形,又是以点O为对称中心的中心对称图形;②所作图案用阴影标识,且阴影部分的面积为4.答案图解:如图所示.(答案不唯一)综合能力提升练4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4),把线段AB绕点A旋转后得到线段AB',使点B的对应点B'落在x轴的正半轴上,则点B'的坐标是(B)A.(5,0)B.(8,0)C.(0,5)D.(0,8)5.(宜昌中考)如图,在平面直角坐标系中,把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA,点A,B,C 的坐标分别为(-5,2),(-2,-2),(5,-2),则点D的坐标为(A)A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,5)D.(-2,5)6.(聊城中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的点A1处,则点C 的对应点C1的坐标为(A)A.(-95,125) B.(-125,95)C.(-165,125) D.(-125,165)7.如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为(D)A.(-a,-b)B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b+2)8.如图,把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ(0°<θ<90°)角得到另一条数轴y,x 轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定:过点P作y轴的平行线,交x轴于点A,过点P作x轴的平行线,交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标,在某平面斜坐标系中,已知θ=60°,点M的斜坐标为(3,2),点N与点M关于y轴对称,则点N的斜坐标为(-3,5).9.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴,y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是(-2,0)或(2,10).10.(温州中考)如图,P,Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.(1)在图1中画出一个面积最小的▱PAQB.(2)在图2中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.解:(1)画法不唯一,如图①,②等.(2)画法不唯一,如图③,④等.11.如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动:第一步:点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步:点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步:点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;(2)所画图形是轴对称图形.解:(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示.12.(黑龙江龙东地区中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,2).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标;(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,并写出点A3的坐标.答案图解:(1)△A1B1C1如图所示,此时点A1的坐标为(-2,2).(2)△A2B2C2如图所示,此时点A2的坐标为(4,0).(3)△A3B3C3如图所示,此时点A3的坐标为(-4,0).拓展探究突破练13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后的△A1B1C;(2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),画出平移后的△A2B2C2;(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标.解:(1)△A1B1C如图所示.(2)△A2B2C2如图所示.(3)如图所示,旋转中心的坐标为(-1,0).。

平面直角坐标系中的旋转

在数学活动课中，小辉将边长为 2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF 还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
旋转专题(一)
利用旋转的性质求点的坐标例1.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到 △A'B'C,设点A'的坐标为(a,b),则点A的坐标为( D )
y B' A' -b+1)
B.(-a,-b-1) D.(-a,-b-2)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(－1，0)，B(－2，0)，C(－3，1)．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（ A ）． A．(2，1) B．(2，3) C．(4，1) D．(0，2)
A．点 M
图 28－9 B．格点 N C．格点 P
D．格点 Q
(4)如图 29－18，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， △AOB 的三个顶点均在格点上，点 A、 B 的坐标分别是(3， 2)， (1， 3)． △AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△A1OB1.(直接填写答案) ．．．
2 [2011· 舟山]如图 28－8，点 A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( C )
A．30°
B．45°
图 28－8 C．90°
D．135°
3[2010· 徐州]如图 28－9，在 6×4 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( B )

九年级数学下册 24.1 旋转 24.1.2 旋转课件

B
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简单的旋转作图 (jiǎndān)
例3 : 如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A得对应点为点D. 试确定顶点B对应点的位置 (wèi zhi)以及旋转后的三角形.
图形的旋转(xuánzhuǎn)作法
E A
作法：
1. 连接CD;
D
2. 以CB为一边，作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD ；
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长相等，这个图案可以看作是哪个(nǎ
ge)“基本图案”通过旋转得到的．
E
A
D
F
o
H
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B
C
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同学们再见 (tóng xué)
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内容总结 (nèiróng)
九年级(下册)。（5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系。AO=DO，BO=EO。∠AOD=∠BOE。∠AOD和
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旋转对称图形： (xuánzhuǎn)
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定角度后，就能够
与原图形重合，这样的图形叫做(jiàozuò)旋转对称图形。这个定点就是旋转中心。
中心对称图形与旋转(xuánzhuǎn)对称图形有什么关系？
中心对称图形是特殊的旋转对称图形，不同之处在于旋转角度不一样，中心对称图形的旋转角度是180°，而旋转对称图形的旋转角度是在0°到 360°之间，一个
相等，都等于旋转角。（3）旋转中心是唯一不动的点
（4）旋转(xuánzhuǎn)不改变图形的大小和形状．
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人教版九年级数学第24章圆 24.1 ---24.4章节复习题(含答案)

人教版九年级数学第24章24.1 ---24.4复习题（含答案） 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A ，B ，C ，给出三角形ABC ，则这块玻璃镜的圆心是 ( )A .AB ，AC 边上的中线的交点 B .AB ，AC 边上的垂直平分线的交点 C .AB ，AC 边上的高所在直线的交点D .∠BAC 与∠ABC 的角平分线的交点3.如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．80°D ．100°4. 如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A．5B．4C．13D．4.85.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( )A．20°B．35°C．40°D．55°6. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为() A．3 B．2.5 C．4 D．3.57. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点．若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为()A．60°B．50°C．40°D．20°8. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°9. 如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 210. 如图，⊙P与x 轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C.若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为( )A.13＋ 3B ．2 2＋ 3C ．4 2D ．2 2＋2二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，AB 为☉O 的直径，点C 在☉O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC=65°，连接AD ，则∠BAD= 度.12. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD __________．13. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.14. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．15. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．16. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．17. 当宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切于点A 时，另一边与⊙O 的两个交点B ，C 处的读数如图所示(单位： cm)，那么该圆的半径为________cm.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在⊙O 中，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA 交⊙O 于点C ，DN ⊥OB 交⊙O 于点D .求证：AC ︵＝BD ︵.20. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．(1)尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E (不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)； (2)探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．21. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．22. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课后训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】D2. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B .3. 【答案】D[解析] 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠α＝2∠BCD ＝260°. 而∠α＋∠BOD ＝360°，所以∠BOD ＝100°.4. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】B[解析] 如图，连接AD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠A 和∠BCD 都是BD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BCD ＝40°，∴∠ABD ＝90°－40°＝50°.故选B.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接AO.∵OE ⊥AB ，∴AE ＝12AB ＝4.在Rt △OAE 中，OA ＝5，由勾股定理可得OE ＝3，同理得OF ＝3.又∵AB ⊥CD ，∴四边形OEPF 是正方形，∴PE ＝OE ＝ 3.在Rt △OPE 中，由勾股定理可得OP ＝3 2.10. 【答案】B[解析] 如图，连接PA ，PB ，PC ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE⊥OC 于点E.∵∠ACB ＝60°，∴∠APB ＝120°. ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°. ∵A(－5，0)，B(1，0)， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3，∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝2 3. ∵PD ⊥AB ，PE ⊥OC ，∠AOC ＝90°，∴四边形PEOD 是矩形，∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝3－1＝2， ∴CE ＝PC2－PE2＝12－4＝2 2， ∴OC ＝CE ＋OE ＝2 2＋3， ∴点C 的纵坐标为2 2＋ 3. 故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ， ∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ， ∴∠BAD=20°.12. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=．故答案为：1．13. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.14. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°，从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.15. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.16. 【答案】52°[解析] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠D ＝180°.∵∠B ＝64°，∴∠D ＝116°.又∵点D 关于AC 的对称点是点E ， ∴∠AEC ＝∠D ＝116°.又∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠BAE ＝52°.17. 【答案】25618. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A 作直径AD ，连接BD ，则∠ABD ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：如图，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON .∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ，∴∠OMC ＝∠OND ＝90°. 在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎨⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND (HL)， ∴∠MOC ＝∠NOD ，∴AC ︵＝BD ︵.20. 【答案】(1)如图所示：(2)OE AC ∥，12OE AC =．理由如下：∵AD 平分BAC ∠， ∴12BAD BAC ∠=∠， ∵12BAD BOD ∠=∠，∴BOD BAC ∠=∠， ∴OE AC ∥，∵OA OB =，∴OE 为ABC △的中位线， ∴OE AC ∥，12OE AC =．21. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成立的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°， ∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ， ∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .又∵OC ＝OQ ， ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°， ∴∠OCP ＝2x ＝20°. (3)如图③.∵QO ＝QP ，∴∠QOP ＝∠QPO . ∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ .设∠QPO ＝y ，则∠OQC ＝∠OCQ ＝∠QPO ＋∠AOC ＝y ＋30°，∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.22. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，有下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)求证：∠CDF＝∠EDC；(3)若DE＝10，DF＝8，求CD的长．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，可得点A，B，C所在的圆的圆心为O′(2，0)．只有当∠O′BF＝∠O′BD＋∠DBF＝90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF＝DB＝2，此时点F的坐标为(5，1)．作过点B，F的直线，直线BF经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求．即与点B的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5. 【答案】B【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠COP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC ＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ 的中点为F ，⊙F 与AB 的切点为D ，连接FD ，FC ，CD .∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴∠ACB ＝90°， ∴PQ 为⊙F 的直径．∵⊙F 与AB 相切，∴FD ⊥AB ，FC ＋FD ＝PQ ，而FC ＋FD ≥CD ，∴当CD 为Rt △ABC 的斜边AB 上的高且点F 在CD 上时，PQ 有最小值，为CD 的长，即CD 为⊙F 的直径．∵S △ABC ＝12BC ·AC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝4.8.故PQ 的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，则OB⊥AB ，∠OAB ＝12×(180°－60°)＝60°. ∵AB ＝3，∴OA ＝6，OB ＝3 3， ∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2 [解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5 [解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③ [解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°， ∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵.又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交．理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝8.∵AB ＝AC ＝10，∴AD ＝6.∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°.∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.24.3正多边形和圆一、选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（）．A．140°B．40°C．70°D．50°2．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°3．如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，AB＞AC．E为BAC的中点，过E 作EF⊥AB于F．若AF＝1，AC＝4，∠C＝60°，则⊙O的面积是（）A．8πB．10πC．12πD．18π4．如图，四边形ABCD 内接于O ，9AB =，15AD =，120BCD ∠=︒，弦AC 平分BAD ∠，则AC 的长是（）A ．73B ．83C ．12D ．135．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC ＝20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则弧AD 的度数等于（）A ．40°B ．50C ．80°D ．1006．如图，等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF 平分∠EAC ；（3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，Q 为CD 上任意一点，AQ 交BD 于M ，过M作MN ⊥AM 交BC 于N ，连AN 、QN ．下列结论：①MA=MN ；②∠AQD=∠AQN ； ③S △AQN =12S 五边形ABNQD ；④QN 是以A 为圆心，以AB 为半径的圆的切线．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．只有①③④C ．只有②③④D ．只有①② 8．如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，连结AP ，AP 的垂直平分线交BD 于点G ，交 AP 于点E ，在P 点由B 点到C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是( )A ．变大B ．先变大后变小C ．先变小后变大D ．不变9．如图，矩形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB ＝2，BC ＝3，点E 为BC 上一点，且BE ＝1，延长AE 交⊙O 于点F ，则线段AF 的长为（）A ．755B ．5C ．5+1D ．35210．在四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、BC 的中点，且AM ⊥CD ，AN ⊥BC ，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB 度数为（）．A ．15°B ．17°C ．16°D ．32°二、填空题11．如图，C 为半圆O 上一点，AB 为直径，且AB 2a =，COA 60∠=．延长AB 到P ，使1BP AB 2=，连CP 交半圆于D ，过P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ，则PH 的长度为________．12．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF=90°，连接GH，有下列结论：①弧AE=弧BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+22．其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.15．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝12BD；③BN＋DQ＝NQ；④AB BNBM2是_____．三、解答题16．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，42BC =，45BAC ∠=，75ABC ∠=，求AB 的长．17．如图，已知∠MON=120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA =OB =a ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0120α≤<︒︒且60α≠︒），作点A 关于直线OM′的对称点C ，画直线BC 交于OM′与点D ，连接AC ，AD ．有下列结论：有下列结论：①∠BDO + ∠ACD = 90°；②∠ACB 的大小不会随着a 的变化而变化；③当 30︒=α时，四边形OADC 为正方形；④ACD ∆23a ．其中正确的是________________．(把你认为正确结论的序号都填上） 18．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：②如图1，四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD 与等边垂直，求CD的长．19．定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=52，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+14(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度．（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值．20．如图，O 是ABC 的外接圆，ABC 的外角DAC ∠的平分线交O 于点E ，连接CE 、BE .（1）求证：BE CE =；（2）若60CAB ∠=︒，23BC =，求劣弧BC 的长度.21．（1）已知：如图1，AB 是O 的直径，点P 为O 上一点（且点P 不与A 、B 重合）连接PA ，PB ，APB ∠的角平分线PC 交O 于点C ． ①若86PA PB ==，，求AB 的长 ②求证：2PA PB PC +=（2）如图2，在正方形ABCD 中，52AB 2=，若点P 满足3PC =，且90APC ∠=︒，请直接写出点B 到AP 的距离.22．如图(1) ，折叠平行四边形ABCD ，使得,B D 分别落在,BC CD 边上的,B D ''点，,AE AF 为折痕(1)若AE AF =，证明:平行四边形ABCD 是菱形; (2)若110BCD ︒∠= ，求B AD ''∠的大小;(3)如图(2) ，以,AE AF 为邻边作平行四边形AEGF ，若AE EC =，求CGE ∠的大小23．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在3y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【参考答案】1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．A 10．C 113 12．①②④ 13．411014．64 15．①②③④ 16．317．①②④18．（1）①正方形；②略；（2）③＝；④等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”；（3）CD 的值为2或4． 19．（1）正方形、矩形；（2）3；（3）49． 20．（1）略；（2）43π21．（1）①10AB =，②略；（2）72或12 22．（1）略；（2）30°；（3）45°.23．（1）3AP ≥；（2）QAP ∠为定值，QAP ∠=30°；（3）1(234,0)Q +，2(234,0)Q -，3(23,0)Q -，423(,0)3Q24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，） 1. 如图是一圆锥的侧面展开图，其弧长为，则该圆锥的全面积为A.B.C.D.2. 一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是（） A.B.C.D.3. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（） A.B.C.D.4. 如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.5. 如果圆柱的底面直径为，母线长为，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）A. B. C. D.6. 一个扇形占其所在圆的面积的，则该扇形圆心角是（）A. B. C. D.无法计算7. 如图，圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A. B. C. D.8. 一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，它的侧面展开图的圆心角的度数是（）A. B. C. D.9. 已知一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图圆心角为，则这个圆锥的底面半径为A. B. C. D.10. 如图，边长为米的正方形池塘的周围是草地，池塘边、、、处各有一棵树，且米．现用长米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）A.处B.处C.处D.处二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是________．12. 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇形，则这个圆锥的高是________．13. 一个圆柱体底面积直径是高的倍，如果底面积半径是分米，则它的表面积是________平方分米．14. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为________．15. 用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于，则这个圆锥的母线长为________．16. 已知圆锥的底面周长为，母线长为，那么这个圆锥的侧面积是________（结果保留）．17. 如图，已知的半径，弦，且，点在上，则图中的阴影部分的面积是________．18. 如图，为的弦，点为的中点，，当点、在上运动一周时，点所走过的路径与围成的图形面积是________．19. 如图所示，已知的半径，，则所对的弧的长为________．20. 现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，扇形的圆心角，半径，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面面积的半径．22. 如图，圆锥的底面半径为，高为，求这个圆锥的侧面积和表面积．23. 如图，圆锥的底面半径，高．求这个圆锥的表面积．取24. 如图，在中，，，以腰为直径作半圆，分别交，于点，．求，的长．25. 有一直径为圆形纸片，从中剪出一个圆心角是的最大扇形（如图所示）．（1）求阴影部分的面积（2）用所剪的扇形纸片围城一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？26. 如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．求圆锥的母线长与底面半径之比；求的度数；求圆锥的侧面积（结果保留）．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，根据题意得，解得，，解得，所以该圆锥的全面积．故选．2.【答案】A【解答】解：设扇形圆心角的度数为，∴，∴．即扇形圆心角度数为．故选．3.【答案】C【解答】圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：＝．4.【答案】D【解答】解：如图所示，．故选．5.【答案】A【解答】解：圆柱的侧面积，故选．6.【答案】B【解答】解：∵一个扇形占其所在圆的面积的，∴该扇形的圆心角占它所在圆的圆心角的，即．故选．7.【答案】C【解答】解：圆锥的母线长，设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据题意得，解得，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为．故选．8.【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为，弧长为，代入扇形弧长公式，即，解得，即扇形圆心角为度．故选．9.【答案】【解答】此题暂无解答10.【答案】B【解答】解：①；②；③；④，故选二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：这个圆柱的侧面积．故答案为：．12.【答案】【解答】解：设母线长为，底面圆的半径为，，解得：，底面圆的周长为：，解得：，∴这个圆锥的高是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：∵一个圆柱体底面直径是高的倍，如果底面半径是分米，∴高为分米，底面周长为：（分米），则其侧面积为：（平方分米），上下两底面积为：（平方分米）．故它的表面积是：平方分米．14.【答案】【解答】解：设这个扇形的半径是．根据扇形面积公式，得，解得（负值舍去）．故半径为．弧长是：．故答案为．15.【答案】【解答】解：设圆锥的母线长为，根据题意得：，解得：.故答案为：.16.【答案】【解答】解：圆锥的侧面积．17.【答案】【解答】解：连接，，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，故答案为：．18.【答案】【解答】解：如图，连接、，点所走过的路径为小圆，∵点为的中点，，∴，且，∴点所走过的路径与围成的图形面积是，故答案为：．19.【答案】【解答】解：所对的弧的长，故答案为：．20.【答案】【解答】解：解得：，∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是∴剪去的扇形纸片的圆心角为．剪去的扇形纸片的圆心角为．故答案为．三、解答题（本题共计 6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】圆锥的底面圆的半径为．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得．22.【答案】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．【解答】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．23.【答案】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．【解答】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．24.【答案】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．【解答】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．25.【答案】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．【解答】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．26.【答案】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．【解答】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．。

沪科版数学九下24.1旋转精品课件(共3课时94页)

O
C
3. 旋转中心是唯一不动的点.
例 2 下图为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，将 △OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，你能画出 △OAB 旋转后的图形 △OA′B′ 吗？
B
A′
A
B′
O
例 3 如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE，
BE，CE，将△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90° 到△CBE′
度 θ (0°＜θ＜360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.
做一做下图中不是旋转对称图形的是
( B)
例5 如图是一个标准的五角星，若将它绕中心旋转一定
的角度后能与自身重合，则至少应将它旋转
( B)
A．60° B．72° C．90° D．144°
解析：如图，点 O 是五角星的中心，则∠AOB =∠BOC =∠COD =∠DOE =∠AOE． A
处，若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝_1_3_5_度.
解析：连接 EE′. 由旋转性质知 AE = CE′ = 1，BE = BE′，∠EBE′ = 90°，
A
D
E
∴∠BE'E = 45°，EE′ = 2 2.
在△EE′C 中，CE′2 + EE′2 = 9 = CE2，
∴∠EE′C = 90°.
第24章圆
24.1 旋转
(共3课时94页)
第24章圆
24.1 旋转
第1课时旋转的概念和性质
导入新课
情境引入
这些运动有什么共同的特点？
新课讲授
观察与思考
旋转的概念
问题观察下面的现象，它有什么特点？ O

沪科版数学九年级下册《第24章圆 24-1 旋转第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换》

知识拓展
图形变换的基本方式有哪些？
平移
轴对称
旋转
思考：我们可以将这些图形变换的方式组合起来吗？
你能利用上述方式设计出美丽的图案吗？
课堂小结
1.在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心把一个图形按逆时针方向旋转，原图上任意一点坐标(x，y)旋转特定角度后对应点的坐标如下表：
旋转角度
90°
180°
已知如图，△ABC与 △DEF关于原点O成中心对称，A（-1，2），C（-1， 1），E（4，-3），则B、 D、F的坐标分别为B （_-4_，__3_），D（_1_，__-_2）， F（_1_，__-1_）.
随堂练习
1.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段 A′B′，那么A(－2,5)的对应点A′的坐标是（ B ） A.(2,5) B.(5,2) C.(2,－5) D.(5,－2)
推进新课
如图，△ABC的顶点坐标分别是A（2,1），B
（0,0），C（2,0）.
y
2
1
A
B
-2 -1 O
C
1 2x
-1
-2
（1）分别画出△ABC以点O（0,0）为旋转中心，在图（1）中旋转90°、在图（2）中旋转180°、在图（3）中旋转270°、在图（4）中旋转360°而得到的 △A′B′C′；
[解析] (1)根据轴对称的概念先找到图形上的关键点关于AB所在直线的对称点，然后顺次连接起来即可； (2)将图形的各个顶点绕旋转中心O逆时针旋转90°后的对应点描出来，然后顺次连接起来即可；(3)根据自己的想象恰当地涂色．
解：如图：
[归纳] 利用平移、轴对称、旋转等变换设计图案，一般都是先找“关键点”，再作关键点的对应点，然后顺次连接起来即可．

2022秋九年级数学上册第24章圆24.1 圆的有关性质 3弧、弦、圆心角说课稿新人教版

24.1.3 《弧、弦、圆心角》说课稿教材分析：本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。

主要研究弧，弦，圆心角的关系。

教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。

在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。

同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。

教学目标分析：1、让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性.2、结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角.3、引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题.4、培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。

由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。

2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。

这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。

在最后小结时运用自学模式。

3．教学手段：学生动手，现场板演，多媒体辅助教学.教学过程分析：一、创设情景，引入新课1.看一看、思考（1）多媒体动态演示：平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？（2）多媒体动态演示：圆绕圆心O旋转180度后，你发现了什么？这两个问题设置是让学生感性认识，发现平行四边形和圆旋转180度后都能与自生重合，是中心对称图形。

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解：(1)画图略，点 E 的坐标是(3,3)，点 F 的坐标是(3，－1)；唯一，如 B(－2,0)等．
(2)答案不
4．如图所示的花朵图案，至少要旋转
45 度后，才能与原来的图形重合．
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3,4)，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90° 至 OA′，则点 A′的坐标是 (－4,3) .
3．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(0,3)，点 B 在 x 轴上，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到△AEF，点 O、B 对应点分别是 E、F.
(1)若点 B 的坐标是(－4， 0)，请在图中画出△AEF，并写出点 E、 F 的坐标； (2)当点 F 落在 x 轴上方时，试写出一个符合条件的点 B 的坐标．
图案设计我们已学过平移、轴对称、旋转，利用这些图形变换中的一种或几种组合，可进行图案设计 .
1．在平面直角坐标系中，点(3，－2)关于原点的对称点的坐标是( C ) A．(3,2) C．(－3,2) B．(－3，－2) D．(－3，－2)
2．如图是某药业公司商品标志图案，则下列说法中，正确的说法有( B ) ①图案是按照轴对称设计的；②图案是按照旋转设计的；③图案的外层“S” 是按照旋转设计的；④图案的内层“A”是按照轴对称设计的． A．1 个 C．3 个 B．2 个 D ．4 个
第24章圆
24.1 旋转第3课时平面直角坐标系中的旋转
平面直角坐标系中点的旋转规律点(x，y)以点 O 为旋转中心按逆时针方向旋转 90° 、180° 、270° 、360° 后的点的坐、 (x，y) .
自我诊断 1.点(－2,5)绕坐标原点 O 顺时针旋转 90° 、180° 后得到的点的坐标分别为 (5,2) 、 (2，－5) .
6．如图所示是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作： (1)作出关于直线 AB 的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点 O 逆时针旋转 90° ，画出得到的图形； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．
解：(1)运用轴对称的方法，按照要求进行作图如图①所示；变换的方法，按照要求进行作图如图②所示； (3)略．
(2)运用旋转

第24章 24.1 第3课时 平面直角坐标系中的旋转

人教版九年级数学上第24章24.1圆的基本性质教案

最新人教版九年级上册数学第24章圆第1节圆的有关性质 第3课时弧、弦、圆心角

沪科版九年级下册数学第24章 圆 旋转作图