2012年江西省高考数学试卷(理科)

2012年江西省高考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2012•江西）若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2012•江西）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）
A．y=B．y=C．y=xe x D．y=
3．（2012•江西）若函数f（x）=，则f（f（10））=（）
A．lg101 B．2 C．1 D．0
4．（2012•江西）若tanθ+=4，则sin2θ=（）
A．B．C．D．
5．（2012•江西）下列命题中，假命题为（）
A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1 D．对于任意n∈N，++…+都是偶数
6．（2012•江西）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199
7．（2012•江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A．2 B．4 C．5 D．10
8．（2012•江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
9．（2012•江西）样本（x1，x2…，x n）的平均数为x，样本（y1，y2，…，y n）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y n）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定
10．（2012•江西）如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（）
A． B．C．
D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2012•江西）计算定积分=_________．
12．（2012•江西）设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=_________．
13．（2012•江西）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
14．（2012•江西）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是_________．
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．（2012•江西）（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为_________．
（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为_________．
四．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2012•江西）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣n2+kn（其中k∈N+），且S n的最大值为8．
（1）确定常数k，求a n；
（2）求数列的前n项和T n．
17．（2012•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，
（1）求证：B﹣C=
（2）若a=，求△ABC的面积．
18．（2012•江西）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，2，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望EV．
19．（2012•江西）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
20．（2012•江西）已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•
（+）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．
21．（2012•江西）若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）=（λ＞﹣1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=（n∈N+）时h（x）的中介元为x n，且S n=，若对任意的n∈N+，都有S n＜，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．
2012年江西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2012•江西）若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2
考点：元素与集合关系的判断。

专题：计算题。

分析：根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．
解答：解：由题意，∵集合A={﹣1，1}，B={0，2}，﹣1+0=﹣1，1+0=1，﹣1+2=1，1+2=3
∴{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，1，3}
∴集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3
故选C．
点评：本题考查集合的概念，考查集合中元素的性质，属于基础题．
2．（2012•江西）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）
A．y=B．y=C．y=xe x D．y=
考点：正弦函数的定义域和值域；函数的定义域及其求法。

专题：计算题。

分析：由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案．
解答：解：∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0}，
∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；
对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；
对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；
对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；
综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．
故选D．
点评：本题考查函数的定义域及其求法，正确理解函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．
3．（2012•江西）若函数f（x）=，则f（f（10））=（）
A．lg101 B．2 C．1 D．0
考点：函数的值。

专题：计算题。

分析：通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值．
解答：解：因为函数f（x）=，
所以f（10）=lg10=1；
f（f（10）=f（1）=2．
故选B．
点评：本题考查分段函数的值的求法，考查计算能力．
4．（2012•江西）若tanθ+=4，则sin2θ=（）
A．B．C．D．
考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系。

专题：计算题。

分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．
解答：解：sin2θ=2sinθcosθ=====
故选D．
点评：本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．
5．（2012•江西）下列命题中，假命题为（）
A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1 D．对于任意n∈N，++…+都是偶数
考点：二项式系数的性质；充要条件。

专题：综合题。

分析：通过特例判断A的正误；
通过复数的共轭复数判断B的正误；
通过不等式的基本性质判断C 的正误；
通过二项式定理系数的形状判断D 的正误．
解答：解：例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A正确；
z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数，不正确；
例如z1=2+i，z2=6﹣i，z1+z2为实数，但是z1，z2不是共轭复数，所以B不正确．
若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1，显然正确；
对于任意n∈N，++…+=2n≥2，都是偶数正确；
不正确是命题是B．
故选B．
点评：本题考查充要条件的判断，二项式定理，复数等有关知识，考查基本知识的灵活运用，是基础题．
6．（2012•江西）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199
考点：归纳推理。

专题：阅读型。

分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．解答：解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．
故选C．
点评：本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．
7．（2012•江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）
A．2 B．4 C．5 D．10
考点：向量在几何中的应用。

专题：计算题；综合题。

分析：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出
的值．
解答：解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则
A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，
∴P（rcosα，rsinα）
∴|PA|2=+=+r2cosα，
|PB|2=+=﹣r2cosα，
可得|PA|2+|PB|2=r2
又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|2==r2所以：==10
故选D
点评：本题给出直角三角形ABC斜边AB上中线AD的中点P，求P到A、B距离的平方和与PC平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题．
8．（2012•江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
考点：函数最值的应用。

专题：计算题。

分析：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．
解答：解：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元
由题意可知
一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9x=x+0.9y
作出约束条件如下图阴影部分
平移直线x+0.9y=0，当过点A（30，20）时，一年的种植总利润为z取最大值
故选B
点评：本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于基础题．
9．（2012•江西）样本（x1，x2…，x n）的平均数为x，样本（y1，y2，…，y n）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y n）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）
A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定
考点：众数、中位数、平均数。

专题：计算题。

分析：通过特殊值判断α的范围，是否满足题意即可得到选项．
解答：解：不妨令n=4，m=6，设样本（x1，x2…，x n）的平均数为x=6，样本（y1，y2，…，y n）的平均数为=4，所以样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y n）的平均数=α+（1﹣α）=6α+（1﹣α）4=，
解得α=0.4，满足题意．
故选A．
点评：本题考查众数、中位数、平均数，考查计算能力，特殊值法是解题的常用方法．
10．（2012•江西）如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（）
A． B．C．
D．
考点：函数的图象与图象变化。

专题：计算题。

分析：由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE的线性函数，可采用排除法，排除C，D，进一步可排除B，于是得答案．
解答：解：由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE=x的线性函数，可采用排除法，排除C，D；
又当截面为BDE，即x=时，V（x）=，当侧棱SC上的点E从SC的中点向点C移动时，V（x）越来越小，
故排除B；
故选A．
点评：本题考查函数的图象与图象变化，着重考查排除法的应用，考查学生冷静地分析问题解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2012•江西）计算定积分=．
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．
解答：解：由题意，定积分===
故答案为：
点评：本题考查定积分的计算，确定被积函数的原函数是关键．
12．（2012•江西）设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=35．
考点：等差数列的性质。

专题：计算题。

分析：根据等差数列的通项公式，可设数列{a n}的公差为d1，数列{b n}的公差为d2，根据a1+b1=7，a3+b3=21，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．最后可得a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=2+14=35．
解答：解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，
∴设数列{a n}的公差为d1，设数列{b n}的公差为d2，
∴a3+b3=a1+b1+2（d1+d2）=21，
而a1+b1=7，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．
∴a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35
故答案为：35
点评：本题给出两个等差数列首项之和与第三项之和，欲求它们的第五项之和，着重考查了等差数列的概念与通项公式和等差数列的性质，属于基础题．
13．（2012•江西）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，
|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为．
考点：椭圆的简单性质；等比数列的性质。

专题：计算题。

分析：直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率．
解答：解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，
所以e=．
故答案为：．
点评：本题考查椭圆的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．
14．（2012•江西）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是2．
考点：循环结构。

专题：计算题。

分析：直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可．
解答：解：第1次，满足循环，a=1，T=1，K=2，第2次满足2＜6；sin，不成立，执行a=0，T=1，k=3，第3次有，不满足条件循环，
a=0，T=1，k=4，满足，a=1，T=2，k=5，满足k＜6，
此时不成立，a=0，T=2，k=6，不满足6＜6，退出循环，输出结果T=2．
故答案为：2．
点评：本题考查循环结构的作用，循环中两次判断框，题目比较新，考查学生分析问题解决问题的能力．
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．（2012•江西）（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为．
考点：简单曲线的极坐标方程；绝对值不等式的解法。

专题：计算题。

分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得
（2）利用绝对值的几何意义求解．
解答：解：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，得出ρ2﹣2ρcosθ=0．即ρ=2cosθ
故答案为：ρ=2cosθ
（2）不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6化为不等式|x﹣|+|x+|≤3，如图所示
数轴上点，到点的距离之和为3，所以解集为
故答案为：
点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，绝对值不等式求解，其中（2）利用了绝对值的几何意义，避免了分类讨论．
四．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2012•江西）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣n2+kn（其中k∈N+），且S n的最大值为8．
（1）确定常数k，求a n；
（2）求数列的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式。

专题：综合题。

分析：（1）由二次函数的性质可知，当n=k时，取得最大值，代入可求k，然后利用a n=s n﹣s n﹣1可求通项
（2）由=，可利用错位相减求和即可
解答：解：（1）当n=k时，取得最大值
即==8
∴k=4，S n=﹣n2+4n
从而a n=s n﹣s n﹣1=﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=
又∵适合上式
∴
（2）∵=
∴
=
两式向减可得，
==
∴
点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，及数列求和的错位相减求和方法是数列求和中的重要方法，也是高考在数列部分（尤其是理科）考查的热点，要注意掌握
17．（2012•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，（1）求证：B﹣C=
（2）若a=，求△ABC的面积．
考点：解三角形。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）通过正弦定理以及浪迹花都三角函数化简已知表达式，推出B﹣C的正弦函数值，然后说明B﹣C=．（2）利用a=，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
解答：解：（1）证明：由bsin（+C）﹣csin（）=a，由正弦定理可得sinBsin（+C）﹣sinCsin（）=sinA．
sinB（）﹣sinC（）=．
整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，
即sin（B﹣C）=1，
由于0＜B，C，从而B﹣C=．
（2）解：B+C=π﹣A=，因此B=，C=，
由a=，A=，得b==2sin，c==2sin，
所以三角形的面积S==cos sin=．
点评：本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．
18．（2012•江西）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，2，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望EV．
考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率。

专题：计算题。

分析：（1）基本事件空间即6个点中随机取3个点，共有20种取法，研究的事件即4点共面所占基本事件为先选一个面，再选3个点，共有12种选法，故由古典概型概率计算公式即可得所求；
（2）先确定随机变量V的所有可能取值，再利用古典概型概率计算公式分别计算随机变量取值的概率，最后列出分布列，利用期望计算公式计算V的期望
解答：解：（1）从6个点中随机选取3个点共有=20种取法，选取的三个点与原点在一个平面内的取法有=12
种，
∴V=0的概率P（V=0）==
（2）V的所有可能取值为0，，，，
P（V=0）=
P（V=）==
P（V=）==
P（V=）==
P（V=）==
∴V的分布列为
由V的分布列可得
EV=0×++++=
点评：本题主要考查了古典概型的概率的计算方法和计算公式，利用组合数公式进行计数的方法，离散型随机变量分布列的意义和期望的计算，属中档题
19．（2012•江西）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定。

专题：综合题。

分析：（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在RT△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出EO．
（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），利用，夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
解答：（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，
因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB1C1C，又AO==1，AA1=，
得AE==，
（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）
由，得点E得坐标是（），
设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得
令y=1，得x=2，z=﹣1，所以=（2，1，﹣1），
所以cos＜，＞==
即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为．
点评：本题考查空间直线和平面位置关系的确定，要熟练掌握应用空间有关的性质、定理；还考查了二面角大小求解，本题具有建立空间直角坐标系的良好空间特征，故用向量法为宜．
20．（2012•江西）已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．
考点：圆锥曲线的轨迹问题；利用导数研究曲线上某点切线方程。

专题：综合题。

分析：（1）用坐标表示，，从而可得+，可求|+|，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足|+|=•（+）+2，可得曲线C的方程；
（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=
分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时，，，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．
解答：解：（1）由=（﹣2﹣x，1﹣y），=（2﹣x，1﹣y）可得+=（﹣2x，2﹣2y），
∴|+|=，•（+）+2=（x，y）•（0，2）+2=2y+2．
由题意可得=2y+2，化简可得x2=4y．
（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=
∵﹣2＜x0＜2，∴
①当﹣1＜t＜0时，，存在x0∈（﹣2，2），使得
∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；
②当t≤﹣1时，，，
∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组
，，解得D，E的横坐标分别是，
∴
∵|FP|=﹣
∴=
∵
∴=×
∵x0∈（﹣2，2），△QAB与△PDE的面积之比是常数
∴，解得t=﹣1，
∴△QAB与△PDE的面积之比是2．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，同时考查学生的探究能力，属于难题．
21．（2012•江西）若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）=（λ＞﹣1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=（n∈N+）时h（x）的中介元为x n，且S n=，若对任意的n∈N+，都有S n＜，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．
考点：综合法与分析法(选修）；进行简单的演绎推理。

专题：综合题；新定义；转化思想。

分析：（1）可通过对函数h（x）=（λ＞﹣1，p＞0）进行研究，探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数；
（2）由题意，先根据中介元的定义得出中介元x n通式，代入S n=，计算出和，然后结合极限的思想，利用S n＜得到参数的不等式，解出它的取值范围；
（3）λ=0，x∈（0，1）时，对参数p分灰讨论由函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方这一位置关系进行转化，解出p的取值范围．
解答：解：（1）函数h（x）是补函数，证明如下：
①h（0）==1，h（1）==0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（）==a
③令g（x）=（h（x））p，有g′（x）==，
因为λ＞1，p＞0，
所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数，故h（x）在（0，1）上是减函数
由上证，函数h（x）是补函数
（2）当p=（n∈N*），由h（x）=x得，
（i）当λ=0时，中介元x n=，
（ii）当λ＞﹣1且λ≠0时，由（*）得=∈（0，1）或=∉（0，1），得中介元x n=，综合（i）（ii）：对任意的λ＞﹣1，中介元为x n=，
于是当λ＞﹣1时，有S n===，
当n无限增大时，无限接近于0，S n无限接近于，
故对任意的非零自然数n，S n＜等价于，即λ∈[3，+∞）
（3）当λ=0时，h（x）=，中介元为．
（i）0＜p≤1时，，中介元为≤，所以点（x p，h（x p））不在直线y=1﹣x的上方，不符合条件；
（ii）当p＞1时，依题意只需＞1﹣x在x∈（0，1）时恒成立，也即x p+（1﹣x）p＜1在x∈（0，1）时恒成立
设φ（x）=x p+（1﹣x）p，x∈（0，1），则φ′（x）=p（x p﹣1﹣（1﹣x）p﹣1）
令φ′（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，当x∈（，1）时，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）
=1，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立．
综上，p的取值范围是（1，+∞）
点评：本题考查综合法与分析法，探究性强，难度较大，综合考查了转化的思想，导数在最值中的运用，极限的思想，综合性强，运算量大，对逻辑推理要求较高，极易出错或者找不到转化的方向，解题时要严谨认真，避免马虎出错。