配套学案：3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念
3、复数的代数形式：z=a+bi (a,b∈R),
其中a是复数z的实部,b是复数z的虚部.
注意：（1）复数的虚部是 b, 而不是bi；
（2）当复数的实部或虚部为0时，可将其省略。
例如，3+0· i可写作3；0+2i可写作2i.
特例：
P52 1
实数0
（a=0且b=0）
Ex.以2i 5的虚部为实部，以 5i i2
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
P52 2
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
1.数系的扩充
数系的扩充的原则:
(1)要能解决实际问题中或数学内部的矛盾; ①从实际生产需要推进数的发展:
表示具有相
计数的需要
反意义的量 的需要
表示量与 量的比值
自然数
整数
测量的 需要 有理数
有理数与 无理数 无理数
实数
②从解方程的需要推进数的发展
使方程x+5=3
使方程3x=5
有解
有解 负数
分数
使方程x2=2
有解
无理数
问题：x2+1=0在 实数系中无解。
为了解决x2+1=0这样的方程的解的问题,引 入一个新数 i（虚数单位,取自imaginary（想 象的，假想的）词头）,使 i2 =-1, 则x2+1=0就 有解x=i了。
数系的扩充的原则:
3.1.1数系的扩充和复数的概念(教学设计)
§3.1.1数系的扩充和复数的概念（教学设计）教学目标：知识与技能目标：了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等）。
理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。
过程与方法目标：通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。
情感、态度与价值观目标：通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教学过程：一、创设情境、新课引入：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数二、师生互动、新课讲解1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1：请说出复数1132,,,0.222i i i +-的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：它们都是虚数，它们的实部分别是3，21，－3;，0虚部分别是2，-3，-21，-0.2 i -0.2 是纯虚数.例2（课本P103例1）：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.变式训练2：当m 为何实数时，复数（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数解：(1)m=1±；（2）1m ≠±；（3）m=-2例3：已知（x+y ）+（x-2y ）i=（2x-5）+（3x+y ）i ，求实数x,y 的值.略解：x=3,y= -2222(1)Z m m m i=+-+-课堂练习1：（课本P104练习NO ：1；2；3）课堂练习2：1.a=0是复数a+bi(a,b ∈R ）为纯虚数的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.非必要非充分条件2.以3i-2的虚部为实部，以3i 2+3i 的实部为虚部的复数是（ ）A.-2+3iB.3-3iC.-3+3iD.3+3i3.下列n 的取值中，使i n =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n=2B.n=3C.n=4D.n=54.复数z=i+i 2+i 3+i 4的值是（ ）A.-１B.0C.1 Ｄ.i5.我们已知i 是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，那么方程x 2=－1的另一个根是________.6.复数i 2 (1+i)的实部是________.7、：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4 三、课堂小结，巩固反思：这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。
教学设计2：3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计一、教学背景分析1.本课时在教材中的地位与作用本节课在教材中起着承上启下的作用，能够让学生了解数系扩充的历史，感受数学的理性精神及数学在解决生产生活问题中的价值，渗透数学文化.2.学情分析高二学生的理性思维已经得到发展，能够较为理性的分析和解决问题，但是对虚数单位i的理解以及复数的分类是难点也是重点，需要给学生足够的时间去经历知识的生成，而不是灌输式的将结论直接告诉学生、而后通过大量练习进行强化.3.教学目标的确定及依据知识与技能目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件.过程与方法目标：经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充.情感态度与价值观目标：强化理性思维的价值，渗透数学文化.4.教学重点、难点及处理办法教学重点：了解引入复数的必要性，理解复数的基本概念.教学难点：了解数系扩充的过程，理解并接受虚数单位i.二、教法与学法分析教学方法：诱思探究法合作交流法学法分析：建构-探究-归纳-应用.三、教学过程根据以上分析，教学过程从精设问题、引发冲突；引入新数、生成概念；应用举例、强化新知；课堂小结、回顾归纳；布置作业、课外拓展五个环节进行设计：四、教学效果预测学生了解了数系扩充的必要性与合理性，能够类比从自然数系一步步扩充到实数系的过程完成从实数系向复数系的扩充.经历了概念的生成过程，理解复数的代数表达形式，掌握实部、虚部的概念，能够清晰的掌握复数的分类，体会并掌握复数相等的充要条件.享受解决问题的愉悦，感悟数系扩充的历史.但是对虚数单位i的理解和接受是重点也是难点，学生掌握的情况仍需通过课后的作业、练习进行检测和反馈.。
人教版高中数学全套教案导学案3.1.1数系的扩充与复数的概念
3.1.1数系的扩充与复数的概念课前预习学案课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定3)对复数的初步认识及复数概念的理解（3）提出疑惑：通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法学习过程一、自主学习问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、探究以下问题1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-12、虚数单位i有怎样的性质3、复数的代数形式4、复数集C和实数集R之间有什么关系?5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?三、精讲点拨、有效训练见教案反思总结1、你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？2、对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类3、复数相等的概念的理解及应用当堂检测1. m ∈R ，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i ，则z 为纯虚数的充要条件是m 的值为 ( )A.2或5B.5C.2或-5D.-52、设a ∈R.复数a 2-a-6+(a 2-3a-10)i 是纯虚数,则a 的取值为 ( )(A)5或-2 (B)3或-2 (C)-2 (D)33、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x ，y ∈R)则x+y 的值是（ ）A 18BC 3D 9． ． ． ．12-4、x y R (3x +2y)+(x y)i =i [ ]A 5B 5CD ，，且，则的值是 ． ． ． ．∈-+---x yx y 15153.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案 新人教A版选修1-2
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
二合作探究，展示，点评
例2.求适合下列方程的 的值
.
例3实数x取何值时，复数 （1）是实数
（2）是虚数（3）是纯虚数
三总结
四检测
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大( )
3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数( )
3若 ，则 的值是________.
4．．知 是虚数单位，复数 ，当 取何实数时， 是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
5.已知复数 与 相等，且 的实部、虚部分别是方程 的两根，试求： 的值。（讨论 中，k取何值时是实数？
实数 与 相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
1.复数的概念：
①定义复数：复数代数形式
3.1.1数系的扩充与复数的概念(用)
0)
数系的扩充
复数的概念
用图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之 间的关系：
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
数系的扩充
复数的概念
五、两个复数相等的等价条件
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则
z1=z2
a c b d
即实部等于实部，虚部等于虚部
注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较
数系的扩充
复数的概念
3.口答
(1)若2-3i=a-3i,求实数a的值；
(2)若8+5i=8+bi,求实数b的值；
(3)若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。
数系的扩充
复数的概念
4.已知 (x y) x 2yi (2x 5) (3x y)i ，
其中 x, y R, 求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
其中 x, y R, 求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
得 x 5,y4 2
数系的扩充
复数的概念
i 例4.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)
=0，求x的值. x=2
数系的扩充
复数的概念
1.判断真假
(1)若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. （假）
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当m 1 0 ，即m 1 时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即m 1 时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学设计
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学设计一、 问题导入在实数集，像x 2＝－1这样的方程还是无解的二、 知识回顾在研究实际问题和代数方程的过程中，推动了数系的扩充：1.自然数是“数”出来的，产生了自然数集N ；2.为了使类似x ＋5＝3的方程有解，引入了负整数；N3.为了使类似5x ＝3的方程有解，引入了分数；Z Q4.为了使类似x 2＝3的方程有解，引入了无理数；Q R思考：数系的每次扩充有什么共同特点？提问学生① 用图形展示以上数集间的关系：新数集真包含原有数集 ②引入新数③原有数集的加法乘法运算律仍然成立。
三、 新知构建我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，方程x 2＝－1能得到圆满解决呢？引入新数i 满足两点：(1)它的平方等于－1，即i 2＝－1 .(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2.i 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x 2＝－1的一个根。
1.i 叫做虚数单位 。
例举a ＋i ,0＋bi ,a ＋0i ,0＋1i ,归纳得复数的概念2.复数的概念：形如a ＋bi (a 、b ∈R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部， 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即把复数表示成a ＋bi 的形式，叫做复数的代数形式。
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 ，当且仅当b ＝0时，复数a ＋bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，z ＝bi 叫做纯虚数；当且仅当a ＝b ＝0时，z 就是实数0.四、知识拓展介绍复数的发展史，对复数产生有杰出贡献的数学家：卡当，笛卡尔，欧拉，高斯。
五、深化理解请同学们小组讨论：（1）总结复数的分类（2）所有数集间的关系（3）方程的x 2＝－1的所有根六、复数相等在复数集C ＝{}R b a bi a ∈+,中，任取两个数）与R d c b a di c bi a ∈++,,,(,我们规定：,di c bi a ++与相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ，记作,di c bi a +=+）R d c b a ∈,,,(，特殊的⇔=+0bi a a ＝b ＝0 .【例1】说出下列复数的实部和虚部，并说明哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. ①72+； ②i 72； ③0； ④2i ； ⑤85+i ； ⑥i 293-； ⑦)31(-i ； ⑧i 22-； ⑨i ； ⑩22. 实数： ①③④⑩虚数： ②⑤⑥⑦⑧⑨纯虚数： ②⑦⑨【例2】实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
3.1.1数系的扩充和复数的概念教案
3.1.1数系的扩充和复数的概念教案篇一：3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)3.1.1数系的扩充与复数的引入【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
【学情分析】学生为文科普通版班学生，基础较差，理解力一般，且个别学生学习积极性不够高。
【重点难点】教学重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念。
教学难点：复数概念的理解。
【教学过程】【导入】知识形成过程1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程x?1?0，没有实数根。
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？【活动】组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程x?1?0没有实数根。
实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数。
解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题。
即一个什么样的数，它的平方会等于－1。
【讲授】引入新数1．引入新数i，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i??1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。
有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事。
这样，就可以解决前面提出的问题（?1可以开平方，而且?1的平方根是?i）。
2．提出复数的概念根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加。
广东高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念1学案
3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数表示形式及其有关概念．【重点难点】重点：引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．难点：复数概念的理解．【学习过程】一．课前预习阅读教材5052P P -的内容，了解复数概念的建立过程，并注意一下问题：1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集N ，，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .3. 每次数系的扩充，解决了什么问题？（1）分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.（2）负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.（3）无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾.（4）在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程210x +=无解，那么在什么范围内才有解？二．课堂学习与研讨1.独立思考·解决问题1.实系数一元二次方程210x +=没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．要解决这一问题，最根本的问题是要解决1-的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于1-．N Z Q R2.根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做 ，并规定：（1）21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．3．复数的概念：根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数；a 叫做 ，b 叫做 ；这种形式的复数叫做复数的 ．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，有：*N N Z Q R C ．4.实数、虚数、纯虚数：对于复数),(R b a bi a ∈+，当且仅当0b =时，它是 ；当且仅当0a b ==，它是实数0；当0b ≠时，叫做 ；当0a =，0b ≠时，叫做 .5. 复数相等的充要条件：在复数集2{|,,1}C a bi a b R i =+∈=-中任取两个复数：a bi +，c di +，,,,abcd R ∈，规定：a bi c di a c +=+⇔=且b d =.2.师生探索，合作交流例1. 当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；动动手：1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？( 1 ) 217i + ；( 2 )2i - ；( 3 )0 ，( 4 )2i ；( 5 )sin cos 66i ππ- . 2.已知复数2(1)()z m i m i =+-+，当m 为何值时，z 是虚数？是纯虚数？例2.已知i y y i x )3()12(--=+-，其中，,x y R ∈，求x 与y ．动动手：已知2(12)320(,)x i x mi i x m R ++--=∈，求实数m 的值.3．达标检测(1)已知(21)(3)x i y y i -+=--，则,x y 分别是________________.(2)若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为_________________. (3)若()()2223256i 0x x x x --+-+=，则实数x 的值是 .4．归纳与小结(1)在(,)z a bi a b R =+∈中，实部是a ，虚部是b ，易错为虚部是bi ；(2)两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等；(3)在复数集中，如果两个复数中至少有一个是虚数，则这两个数不能比较大小，只有这两个数都是实数才可以比较大小.。
文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入
第三章 数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 。
（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。
（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。
2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。
（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。
三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。
3.1.1_数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
把实数 a与新引入的数i相加,结果记作a +i; 把实数b与i相乘,结果记作bi; 把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果 记作a + bi.
加法和乘 法的运算律仍然成立 ,这些运算的结果 都可以写成 a + bi(a,b∈R)的形式,把这些数都添 加到数集 A中去.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
？
1Hale Waihona Puke 1无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理，发现了 “无理数”. “无理数” 的承认（公元前4世纪） 是数学发展史上的一个里 程碑.
数集扩充到有实数集
毕达哥拉斯 (约公元前560——480年）
数集扩充到实数集
负数是“欠”出来的. 它是由于借贷关系中量的 不同意义而产生的.我国 三国时期数学家刘徽（公 元250年前后）第一给出 了负数的定义、记法和加 减运算法则. 数集扩充到整数集
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）是“分” 出来的.早在古希腊时期， 人类已经对有理数有了非 常清楚的认识，而且他们 认为有理数就是所有的数.
这样的数都可以看作是a + bi(a,b∈R) 的特殊形式,所以实数系经过扩充后
得到的新数集应该是C = a + bi|a,b∈R .
复数的概念
我们把集合 C = a + bi|a,b∈R 中的数,即形
如a + bia,b∈R的数叫做复数(complex number),
其中i叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数 所成的集合 C叫做复数集(set of complex numbers).
数系的扩充与复数的概念教案
3.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原 有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法， 结果记为a i
实数b与i做乘法， 结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数 复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是 纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进 行等分的问题人们引进了分数，为了表示 各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结 果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi
数系的扩充和复数的概念教学设计
3.1.1数系的扩充和复数的概念（人教版）华南师范大学陈栩林（仅供参考）一、教学内容数系的三次扩充过程，复数的引入过程，复数概念的知识二、教学目标引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件四、教学难点虚数单位i的引进和复数的概念五、学生分析学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
六、教学方法及教学用具启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程（一）问题引入问题：若223+=，3x yxy=，求（1）x+y的值；（2）求x和y的值生（独立完成）：求出x+y=3或-3师：既然和能够求出来，那能不能求出x 和y 的值呢？生：30∆=-<的存在，我们求不了x 、y 的值师：事实上在实数范围内x 和y 确实不存在？为什么会这样呢？假设x 和y 是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》（二）回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。
1、 类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？（引导学生找到1-，因为任何一个负数都可以写成正数与-1的乘积）2、 历史重现：在历史上数学家们碰到我们前面这个问题的时候一开始是解决不了的，导致在此问题上徘徊了百年之久，直到18世纪末，数学家才认识到解决21x =-的重要性，于是他们就像我们一样引入新的数，使得引入的数的平方等于1-，并把这个数记为英文字母i ，就是虚构、想象的意思。
高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 选修1-2
3．1.1 数系的扩充和复数的概念s(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解数系的扩充过程．(2)理解复数的基本概念．2．过程与方法(1)通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法．(2)类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念．3．情感、态度与价值观(1)虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；(2)初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题．●重点难点重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．难点：复数的有关概念及应用．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采用自主学习，运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究数系的扩充历程，体会数系扩充的必要性及现实意义，思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定知识基础．本节内容比较简单，通过学生自学加讨论的方式，基本上可以解决基础内容的理解，教师可以启发引导学生辨析实数、虚数、纯虚数及复数相等的概念，达到透彻理解、触类旁通、学以致用的熟练程度．高考对该部分知识要求不高，练习要控制难度，以低中档题目为主．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识虚数单位i，了解复数的概念、分类及复数相等的条件．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数的有关概念，提炼出其中的关键因素、重点、难点．由学生自主分析例题1的各个选项，对应有关概念，确定出正确答案．教师只需指导完善解、答疑惑，并要求学生独立完成变式训练．学生分组探究例题2解法，找出实数、虚数、纯虚数的特征，总结求相关参数的方程、不等式的确定方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解数系的扩充过程．2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点) 3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念．(难点、易混点)复数的有关概念【问题导思】1．为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题？【提示】 引入新数i ，规定i 2＝－1，这样i 就是方程x 2＋1＝0的根．2．设想新数i 和实数b 相乘后再与a 相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？【提示】 a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．(1)复数的定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数．(2)虚数单位：i ，其满足i 2＝－1. (3)复数集：全体复数构成的集合C . (4)复数的代数形式：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．(5)实部、虚部：对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数相等若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .复数分类(1)对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以分类如下：复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0.(2)集合表示．复数的基本概念下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根；⑥若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3 【思路探究】 根据复数的有关概念判断．【自主解答】 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，∴③是假命题． ④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错． ⑤－1的平方根为±i，∴⑤错．⑥当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0是实数，∴⑥错．故选A. 【答案】 A正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数；⑤若a ，b ，c ，d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c ，且b ＝d .其中真命题的个数是________． 【解析】 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0.③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立．【答案】 0复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【思路探究】 根据复数的分类标准→ 列出方程(不等式)组→解出m →结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时， 复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m ≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．把题中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m ＞0，即m ＞0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数．复数相等已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．【思路探究】 根据复数相等的充要条件转化成关于x 的方程组求解．【自主解答】 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x ，y 的值．2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x ，y 的范围． 求使等式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 成立的实数x ，y 的值．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.因忽视虚数不能比较大小而出错求满足条件－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 的实数a ，b 的取值范围．【错解】 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a >－5，－b －a >a ＋2b －6，解得a >－3，b <2.【错因分析】 想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小．所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数．【防范措施】 当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．细心审题，解题前明确每个参数的取值范围，牢记复数相等的充要条件，才能避免此类错误的出现．【正解】 由－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 知，不等号左右两边均为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，a ＋2b －6＝0，－2＋a >－5，解得a ＝b ＝2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况． 2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件． 3．一般来说，两个复数不能比较大小．1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 “a ＝”D ⇒\“a ＋b i 为纯虚数”， “a ＋b i 为纯虚数”“⇒”“a ＝0”， ∴选B. 【答案】 B2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i【解析】 根据复数的代数形式的定义可知(1＋3)i ＝0＋(1＋3)i ， 所以其实部为0，虚部为1＋3，故选C. 【答案】 C3．下列命题中的假命题是( ) A ．自然数集是非负整数集 B ．实数集与复数集的交集为实数集 C ．实数集与虚数集的交集是{0} D ．纯虚数与实数集的交集为空集【解析】 本题主要考查复数集合的构成，即复数的分类．复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，故选项C 中的命题是假命题．【答案】 C4．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.【解析】 ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.【答案】 －1一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 【答案】 D2．i 是虚数单位，1＋i 3等于( ) A ．i B ．－i C ．1＋i D ．1－i【解析】 由i 是虚数单位可知：i 2＝－1，所以1＋i 3＝1＋i 2×i＝1－i ，故选D. 【答案】 D3．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，当a ≠0，b ＝0时，a ＋b i 为实数，当a ＋bi 为纯虚数时⇒a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 B4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1【解析】 由题意可知，当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，即x ＝－1时，复数z 是纯虚数．【答案】 A5．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD ．2＋2i【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，则所求复数为3－3i.【答案】 A 二、填空题6．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． 【解析】 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 【答案】 2＋3，0.618，i 27．已知x －y ＋2x i ＝2i ，则x ＝________；y ＝________. 【解析】 根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.【答案】 1 1 8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为________．【解析】 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2.【答案】 2 三、解答题9．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．10．若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？【解】 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．11．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值． 【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.(教师用书独具)若z 1＝m 2－(m 2－3m )i ，z 2＝(m 2－4m ＋3)i ＋10(m ∈R )，z 1＜z 2，求实数m 的取值． 【思路探究】 由z 1<z 2推出z 1，z 2均为实数，利用复数为实数的条件列出参数m 的方程组，从而求出实数m 的值．【自主解答】 ∵z 1＜z 2，∴z 1，z 2均为实数．∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①m 2－4m ＋3＝0， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝1或m ＝3∴m ＝3.又z 1＝m 2＝9＜z 2，故m ＝3符合题意． ∴m ＝3.复数z ＝a ＋b i 当且仅当其为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小．若用“大于”或“小于”符号联系复数时，则只能是实数，故而本题需将复数问题转化到实数范围内研究讨论．已知集合M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，求实数m 的值．【解】 ∵M ∩N ＝{3}，N ＝{－1,3}， ∴3∈M ，且－1∉M .必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1.。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
三、新知建构，典例分析
我们已经知道：
对于一元二次方程
x 1 0 没有实数根．
2
思考？
x 1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
三、新知建构，典例分析
3. 1.1数系的扩充和复数的概念
一、导学提示，自主学习 二、新课引入，任务驱动 三、新知建构，典例分析 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业
一、导学提示，自主学习
1.本节学习目标 （1）理解数系的扩充是与生活密切相关的，体会 实际需求与数学内部矛盾在数系扩充中的作用． （2）理解复数的概念以及复数相等的充要条件. 学习重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯 虚数，明白各数系的关系 学习难点：复数及其相关概念的理解
自然数
二、新课引入，任务驱动
自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
二、新课引入，任务驱动
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250年前后）
解析：由纯虚数的概念可知：a＝0 且 b≠0 是复数 z＝ a＋ bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条 件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由且字连接的复合命题 “a＝ 0 且 b≠0”的子命题，“a＝0”或“b≠0”．对照各选择项的情况，故选 A.
四、当堂训练，针对点评
3.当m为何实数时，复数
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3.1.1数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数单位i;
2.了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律;
3.了解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念．
【新知自学】
知识回顾：
1.数系的扩充历程：
(1)在自然数集内引入负数,扩充到___________;
(2)在整数集内引入分数,扩充到_____________;
(3)在有理数集内引入无理数,扩充到_________．
2.在实数集内方程x2＋1＝0的解的问题该如何解决？
数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1．由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并由此产生了复数．新知梳理：
1.虚数单位i:
（1）它的平方等于_________，即i2＝－1；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有______________仍然成立．2.复数的定义：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫复数，a叫复数的_______，b叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
3.复数a＋b i（a，b∈R）的分类：
（1）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为实数；
（2）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为0；
（3）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为虚数；
（4）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为纯虚数.
4.复数集与其他数集之间的关系：____________．
5.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d．
对点练习：
1.写出复数4，2－3i，0，
14
23
-+i，5＋2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数？
2.下列说法中正确的是( )
A. 方程012
=+x 没有根
B. 纯虚数和虚数构成实数集合
C. 实数集合由虚数与复数构成
D. 实数是复数 3.已52-i 的虚部为实部，以2
25i i +的实部为虚部的新复数是（ ）
A.i 22-
B.i +2
C.i 55+-
D.i 55+
4. 如果 (x +y )+ (y -1)i = (2x +3y ) + (2y +1)i ，求实数x , y 的值.
【合作探究】 典例精析：
m 取什么数值时，复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是：
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
变式练习：
实数m取什么数值时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
例2.已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，其中x，y∈R，求x与y．
变式练习：
若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+6)i＝0，求x的值．
规律总结：
1.对于复数z= a＋b i，只有在a，b∈R时，a，b才能分别是复数的实部和虚部，并注意虚部是b，而非bi；
2.只有两个实数才可以比较大小，对于两个虚数，或者一个虚数一个实数都不能比较大小；
3.在两复数相等以及复数的分类中，要首先明确实部和虚部.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( )
A.A ∪B =C
B.S C A =B
C.A ∩S C B =∅
D.B ∪S C B =C
2.若i x x x )23()1(2
2+++-是纯虚数，则实数x 的值为（ ）
A .1 B.-1 C. -2 D.1或-1
3.若实数y x ,满足,2)()(=-++i y x y x 求xy 的值.
4.复数,)2()72(21i m m z -++= )()34()8(22R m i m m z ∈++-=，当21z z =时，求m 的值.
【课时作业】
1.复数i z 21+-=的实部是 ，虚部是 ，模为 .
2．已知复数i k k k k z )65(32
2+-+-=),(R k ∈且0<z ，则=k .
3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为 ( )
A.－1
B.－1或4
C.6
D.6或－1
4．若复数i x x x z )2(log 32212-+--=是虚部为正数的纯虚数，求实数x 的值.
5．若i y i x i 91)103()2(-=-++-，求实数y x ,的值.
6.已知m ∈R ，复数z =1
)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =
2
1+4i .
7.如果1)3()(log 2
21->--+i m m n m ，求自然数m ，n 的值.。