一元二次方程的根系关系
2.4一元二次方程根系关系的专题
专题一：一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++两根的三种特殊情况 1.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数： 设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==+≥∆0b 0a b -x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数 例1：已知关于x 的一元二次方程()()010m 2x 9-m x 3-m 22=+++有两根互为相反数，求m 及两根。
2.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆c a 1a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数 例2：已知关于x 的一元二次方程()02-m 3x 3m x m 22=+++有两根互为倒数，求m 的值。
3.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆0c 0a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0 例3：已知关于x 的一元二次方程()()04-k x 32k -x 2k 22=+++有一根为0，求k 的值及方程的根。
专题二：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的关系求待定系数及两根 例1：已知一元二次方程两根之和是4，两根之积为1，求这两根。
例2：已知关于x 的一元二次方程()05-m x 2m 2x 22=+++有两个实数根，且两根平方和比两根积大16，求m 的值。
例3：已知关于x 的一元二次方程0m 53x x 22=++的两根都小于1，求m 的取值范围。
例4：已知以斜边长为13的直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程()()02m 3x 1-m -x 2=++的两根，求直角三角形两直角边长。
专题三：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根系关系判断根的符号 （1）两根同号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒>⇒>≥∆同号与c a 0a c 0x x 021 （2）两根异号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒<⇒<>∆异号与c a 0a c 0x x 021 例：k 为何值时，方程()03k kx 2x 1-k 2=+++有一正根，有一负根，求k 的取值范围。
一元二次方程之根系关系及应用题
根系关系及应用题题型一：根与系数关系一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.【探究对象】根系关系的进一步应用 【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题： 利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．①当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0b a -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？（2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．题型二：一元二次方程的应用题列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2019年盈利1500万元， 2020年盈利2160万元，且从2019年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． （3）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设 二、三月份平均每月增长率为x ，根据题意，可列出方程为（ ） A ．50（1+x ）2=60 B ．50（1+x ）2=120C ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2=120D ．50（1+x ）+50（1+x ）2=120【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?练习1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
一元二次方程的根的关系
一元二次方程的根的关系一元二次方程是代数中常见且重要的一类方程形式，其一般形式可表示为：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程即是求出满足方程的x值，也就是找到方程的根。
一元二次方程的根的关系可通过判别式和求根公式来探讨。
判别式：一元二次方程的判别式D = b² - 4ac，判别式可以帮助我们判断方程的根的情况。
1. 当判别式大于0时，即D > 0，方程有两个不相等的实根。
这意味着方程所对应的抛物线与x轴有两个交点。
2. 当判别式等于0时，即D = 0，方程有两个相等的实根。
这意味着方程所对应的抛物线与x轴有一个交点，该交点称为方程的重根。
3. 当判别式小于0时，即D < 0，方程没有实根。
这意味着方程所对应的抛物线与x轴没有交点，但是在复数域内仍然存在两个共轭复根。
求根公式：一元二次方程的根可以通过求根公式来计算，求根公式如下：x₁ = (-b + √(b² - 4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b² - 4ac))/(2a)根据求根公式，我们可以得出以下结论：1. 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根，可以直接带入求根公式计算出根的具体值。
2. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。
由求根公式可得到x₁ = x₂ = -b/(2a)，即重根的值。
3. 当判别式小于0时，方程没有实根。
此时，根为复数，分别由x₁ = (-b + i√|D|) / (2a) 以及 x₂ = (-b - i√|D|) / (2a)给出，其中i为虚数单位。
练习题：1. 解方程2x² - 5x + 2 = 0，求出方程的根。
根据判别式，我们可以先计算出判别式的值：D = b² - 4ac = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9由判别式的值可知D大于0，因此方程有两个不相等的实根。
一元二次方程根的判别式与根系关系
一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有 的实数根；△=0方程有 的实数根；△<0方程 实数根；△≥⇔方程 实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。
2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。
3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。
第十二讲 一元二次方程的根系关系(提尖班)
第十二讲一元二次方程的根系关系一、直接应用【韦达定理】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c[证明]使用求根公式，有：1b x a -=，22b x a --=故122222b bb b x x a a a a-+---+=+==-()22124b ac c x x --⋅==【示例】1x 、2x 是方程2560x x -+=的两个根，则12x x +=5，12x x ⋅=6。
1x 、2x 是方程22310x x -+=的两个根，则12x x += 1.5，12x x ⋅=0.5。
1x 、2x 是方程2810x x -++=的两个根，则12x x +=8，12x x ⋅=-1。
【题型】[已知一根，求另一根]已知5、a 是方程250x mx -+=的两个根，则a =_____，m =_____。
解：由韦达定理，得：555a m a +=⎧⎨=⎩，解得：16a m =⎧⎨=⎩。
[对称式]利用韦达定理求诸如：12x x +、12x x ⋅、2212x x +、221212x x x x +、1211x x +、2112x x x x +已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两个根，则2112x x x x +=_____。
解：由韦达定理，得：121231x x x x +=⎧⎨=⎩，故222221121212121212()232171x x x x x x x x x x x x x x ++--⨯+====[根据根系关系求参数的值或范围]已知1x 、2x 是方程22210x kx k ++-=的两个根，且()()12110x x ++=，则k =_____。
解：22(2)4(1)40k k ∆=-⨯-=>，故k 可以取任意值，由韦达定理，得：1221221x x k x x k +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故()()2121212111121x x x x x x k k ++=+++=--+，由题意，得：21210k k --+=，解得：0k =或2[补充题1]已知1x 、2x 是关于x 的方程()()23x x m --=的两个实数根，(1)求m 的取值范围；(2)若121210x x x x --+=，求m 的值。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
(2)设抛物线与x轴交点为(x 1，0)，(x 2，0)，x 1+ x 2=2k ， ∣ x 1-x 2∣ =2 得：（2k）2-4(2k-1)=4 解得k 1＝0，k 2＝2． 所以抛物线为y＝x 2－1 或y＝x 2－4x＋3．
x 1﹒x 2=2k-1
注意：这类题目应注意抛物线与x轴两交点之间的距离就是一元二次方程两根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根． 上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
3、已知⊙ O的面积为π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是三角形三个内 角A、B、C的对边，且a 2＋b 2＝c 2，sinA、sinB是方程
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
Ｊ．特哈依琦妖女音速般地用自己有飘；广州漫沛科技有限公司-麻将 / 广州漫沛科技有限公司-麻将；带的皮肤窃取出淡蓝色壮观摇晃的菱角，只 见她瘦长的嫩黄色细小瓜秧造型的胡须中，突然弹出五簇摆舞着『青丝香神灯泡剑』的仙翅枕头砖状的羽毛，随着女武师Ｊ．特哈依琦妖女的颤动，仙翅枕头砖状的羽毛像鱼 卵一样在双手上高雅地克隆出片片光柱……紧接着女武师Ｊ．特哈依琦妖女又发出八声浅紫色的震撼怒嚷，只见她淡绿色门柱似的舌头中，威猛地滚出五片喷头状的温泉锡肝 鸭，随着女武师Ｊ．特哈依琦妖女的耍动，喷头状的温泉锡肝鸭像报亭一样，朝着月光妹妹雪国仙境一样的玉牙神跃过来……紧跟着女武师Ｊ．特哈依琦妖女也斜耍着兵器像 地砖般的怪影一样向月光妹妹神跃过来月光妹妹飘然像浅黑色的荡泪沙海贝一样狂哼了一声，突然弄了一个盘坐疯耍的特技神功，身上闪眼间生出了六只仿佛排骨般的纯蓝色 手臂。接着忽悠了一个，舞贝柴刀滚一千四百四十度外加凤笑鸭掌转九周半的招数！接着又秀了一个，直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的粗犷招式！紧接着甩动 明爽灿烂的嫩月脸一笑，露出一副虚幻的神色，接着转动轻灵雅秀的妙耳朵，像纯黑色的百心旷野蟒般的一抛，古怪的轻灵似风的玉臂顷刻伸长了五倍，清丽超脱的梦幻气质 也骤然膨胀了六倍……最后晃起空灵玉白的嫩掌一耍，轻飘地从里面跳出一道怪影，她抓住怪影疯狂地一抖，一套蓝冰冰、白惨惨的兵器⊙绿烟水晶笛＠便显露出来，只见这 个这玩意儿，一边蜕变，一边发出“喇喇”的猛声……飘然间月光妹妹音速般地用自己极似玉白色天穹样的额头总结出青兰花色急速闪耀的泳圈，只见她颊如流光樱花般的嫩 月脸中，酷酷地飞出四道颤舞着⊙绿烟水晶笛＠的仙翅枕头剑状的光盘，随着月光妹妹的扭动，仙翅枕头剑状的光盘像刀峰一样在双手上高雅地克隆出片片光柱……紧接着月 光妹妹又发出二声残明色的荒凉大嚷，只见她水嫩香柔的粉颈中，飘然射出五团耍舞着⊙绿烟水晶笛＠的野猫状的旷野银眼狗，随着月光妹妹的甩动，野猫状的旷野银眼狗像 面具一样，朝着女武师Ｊ．特哈依琦妖女怪异的牙齿神跃过去……紧跟着月光妹妹也斜耍着兵器像地砖般的怪影一样向女武师Ｊ．特哈依琦妖女神跃过去随着两条怪异光影的 瞬间
一元二次方程根的判别式及根系关系
一元二次方程根的判别式及根系关系一.根的判别式的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,24b ac =-Δ（1）△＞0, （2）△=0 （3） △＜0,【典范应用】1.不解方程,断定方程根的情形例1,断定下列方程根的情形（1）2312x x += （2）220x mx m -+-=（m 为常数） 演习1.求证方程()222412x m x m m --=+必定有两个不相等的实根 例2.依据m 的取值,断定关于x 的方程()228180mx m x m +-+=的根的情形演习2.已知方程2680x x m +-+=没有实数根求证：方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实根2.已知方程根的情形,求方程式中待定系数的值（取值规模） 例3.若关于x 的方程()222110m x m x --+=有两个实数根 求知足前提的最大整数m 的值演习3.若关于x 的方程()()2212210m x m x -+++=有实根求m 的取值规模留意：应用△时,必须在0a ≠的前提下进行二.根与系数的关系的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,当△≥0时,方程有两根：1x =2x = ,则12x x += ;12x x = ;若10x =,则 ;若12,x x 互为相反数,则 ;若12,x x 互为倒数,则 ;若11x =,则 ;若11x =-,则【典范应用】1.已知方程的一根,求另一根及待定系数的值例4.已知方程250x kx -+=有一个根是2,求另一根及k 的值演习 4.已知方程230x x m ++=的一个根是另一个根的2倍,求m 的值及两根2.不解方程,求关于根的代数式的值例5.已知,m n 是方程227x x +=的两根,求下列各式的值（1）22m n +, （2）m n - （3）22331m m n n ++++（4）2234m n n ++演习5.若实数,a b 知足2850a a -+=,2850b b -+=,且a b ≠,求1111b a a b --+--的值3.已知方程两根知足某种关系,肯定方程中待定系数的值例6.已知关于x 的方程()241210x k x k +++-=（1）求证：此方程必定有两个不等实根（2）若12,x x 是方程的两根且()()122223x x k --=-,求k 的值演习6.已知关于x 的方程230x x k +-=的两根为12,x x ,且()221212149x x x x +++= 求k 的值例7.已知关于x 的方程2230x mx m -+=的两根为12,x x ,且()21216x x -=,假如关于x 的另一个方程22690x mx m -+-= 的两根都在12,x x 之间,求m 的值演习7.已知关于x 的方程()2121402x k x k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭,若等腰△ABC的边a =4,另双方的长,b c 恰为这个方程的两根,求△ABC 的周长。
一元二次方程的根与系数的关系
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两 根 之 和 与 两 根 之 积 直 接 应 用
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点 拔 利 用 两 根 的 和 与 积
利用 根 与 系数 的 关 系 ，求 一元 二次 方程 ２ Ｚ３ 一 ＝ ｘ＋ ｘ １ ０两
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT赏析教学课件
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1x2 1+x2x=22
4
1 , (2)x1·x2= 14
,
(3)( x1 x2 ) 2 12 ,
(4)
.
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12
归纳
知1－导
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
知识点
知1－导
思考2 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
归纳
知1－导
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
（来自《典中点》）
知2－练
2 等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元
二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满 导引：足由xx1122＋＋xx2222＝＝4x，12＋则2kx的1·值x2＋为x_2_2_－k_＝_2_x1_1·_x．2＝(x1＋x2)2－2x1·x2
一元二次方程的根与系数的关系知识点
一元二次方程的根与系数的关系知识点嘿，小伙伴们！今天咱来聊聊一元二次方程的根与系数的关系，这可有意思啦！
比如说方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，它的两个根是$2$和$3$。
那根与系
数有啥关系呢？嘿嘿，它们之间的关系可神奇啦！
咱先来看，如果一个一元二次方程是$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq
0$），那两根之和$x_1 + x_2$就等于$-\frac{b}{a}$呀！就像上面那个例子，$a=1$，$b=-5$，那两根之和$2+3$不就等于$-\frac{-5}{1}=5$嘛，神奇吧！比如再举个例子，方程$x^2 + 3x - 4 = 0$，根据这个关系，两根之和不就得$-3$嘛。
然后呢，两根之积$x_1 x_2$就等于$\frac{c}{a}$呀！还是上面那例子，$c=6$，$a=1$，那两根之积$2 \times 3$不就是$\frac{6}{1}=6$嘛！像方程$2x^2 - 5x - 3 = 0$，两根之积就应该是$-\frac{3}{2}$呀。
这关系多奇妙呀，就好像是方程里隐藏的小秘密！小伙伴们，你们说是不是很有趣呢？
我的观点结论就是：一元二次方程的根与系数的关系真的太神奇啦，能让我们更深入地理解方程，快好好去探索发现吧！。
一元二次方程式的根与系数的关系
125A2 一元二次方程式的根與係數的關係在4-1節的想想看中，我們請同學觀察兩根的和、兩根的積與原方程式的係數之間的關係。
現在，我們來對這些關係做說明。
設α、β為方程式的兩個根，因此20ax bx c ++=20ax bx c ++=可化成()()a x x 0αβ−−=。
我們知道2()(ax bx c a x x )αβ++=−−⇒2()()(b c a x x a x x a a)αβ++=−− ⇒ 2()(b c x x x x a a )αβ++=−− ⇒ 2b c x x a a++2()x x αβα=−++β 經由比較係數，得到兩根的和α+βb a =−及兩根的積αβ⋅c a=。
因此，一元二次方程式的根與係數間有以下的關係：事實上，由公式解也可以得到：22b b a aαβ−+−−+=+ 22b a −=b a=− 和22b b a aαβ−+−−⋅=⋅22()4b a −−=2244ac c a a==126【範例1】設α、β為的兩根，求下列各式的值：238x x +−=02(1) 2+αβ (2) 11αβ+ (3) αβ−【解】 ∵α、β為的兩根238x x +−=0∴ 331αβ+=−=−、881αβ−==− (1) 222222αβααββαβ+=++−2()2αβαβ=+−2(3)2(8)=−−−=25 (2) 11βααβαβ++=3388−==− (3) 2()αβ−= 222ααββ−+= 2()4αβαβ+−= = 412(3)4(8)−−−所以αβ−=若知道某一元二次方程式的兩根，我們能不能反推而求得這個一元二次方程式呢？設α、β為所求方程式20ax bx c ++=的兩根。
等號兩邊同除以a ，得 20b c x x a a++= 由根與係數的關係得知： ba αβ+=−、c a αβ=因此，方程式可以改寫成2()x x αβαβ0−++=。
【範例2】設α、β為的兩根。
一元二次方程根系关系公式
一元二次方程根系关系公式一元二次方程可是初中数学里的一个重要知识点呢，尤其是那根系关系公式，更是解决问题的利器。
咱们先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
在这个方程中，如果方程有两个根 x₁和 x₂，那么就有一个神奇的关系，这就是咱们今天的主角——根系关系公式。
根系关系公式是啥呢？就是 x₁ + x₂ = -b/a，x₁×x₂ = c/a 。
这两个公式看起来简单，但是用处可大啦！比如说，给你一个一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那咱们可以通过因式分解得到 (x - 2)(x - 3) =0 ，所以方程的两个根就是 x₁ = 2 ，x₂ = 3 。
这时候用根系关系公式验证一下，x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5 ，而 -b/a = -(-5)/1 = 5 ，完全符合！再看x₁×x₂ = 2×3 = 6 ，c/a = 6/1 = 6 ，也没错！我记得之前有个学生，叫小李，他刚开始学这部分知识的时候，总是搞不清楚这两个公式怎么用。
有一次做作业，遇到一道题：已知方程 2x² + 3x - 5 = 0 的一个根是 1 ，求另一个根。
小李就懵了，完全不知道从哪里下手。
我就提醒他，可以先把已知的根代入方程，求出系数之间的关系，再用根系关系公式来求另一个根。
小李听了之后，恍然大悟，赶紧动手算起来。
经过一番努力，终于算出了另一个根是-5/2 。
从那以后，小李对这部分知识的掌握就越来越好了。
在实际应用中，根系关系公式能帮我们解决很多问题。
比如，已知两个根的和与积，反过来求方程的系数；或者判断方程根的正负性；还能根据根的情况来确定系数的取值范围。
再比如说，有一道题是这样的：已知方程 x² + mx + n = 0 的两根之差的绝对值是 4 ，而且 x₁ + x₂ = -m ，x₁×x₂ = n 。
一元二次方程组的根与系数的关系
一元二次方程组的根与系数的关系稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊一元二次方程组的根与系数的关系，这可有趣啦！你知道吗，当我们面对一个一元二次方程的时候，比如说ax² + bx + c = 0 ，这里面的 a、b、c 可都有着大作用呢！根与系数之间有着神奇的联系。
假设方程的两个根是 x₁和 x₂，那么它们的和 x₁ + x₂就等于 b/a ，而它们的积 x₁ · x₂则等于c/a 。
是不是感觉有点神奇？想象一下，就好像这几个数字之间在悄悄地传递着秘密信号。
比如说，给你一个方程x² 5x + 6 = 0 ，那两个根是 2 和3 。
算一下，2 + 3 正好等于 5 ，也就是 (5)/1 ；2×3 呢，正好是6 ，也就是 6/1 。
掌握了这个关系，解起方程来可就多了一条捷径呢！有时候，就算方程的根不好直接求出来，通过这个关系也能大概知道根的一些情况。
怎么样，是不是觉得一元二次方程组的根与系数的关系很有意思呀？稿子二亲爱的小伙伴，咱们来唠唠一元二次方程组的根与系数的关系哈。
你看哈，这一元二次方程就像是一个藏着宝藏的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的小钥匙。
比如说一个方程像这样：2x² + 3x 5 = 0 。
这里面的系数 2 、3 、5 ，和它的根有着特别的关联呢。
两个根假设是 x₁和 x₂，那它们相加，也就是 x₁ + x₂，结果就是 3/2 哟，是不是有点意外？这其实就是 b/a 啦。
再看看它们相乘，x₁ · x₂等于 5/2 ，也就是 c/a 。
这就好像是数学世界里的小魔法，是不是很神奇？咱举个实际的例子，假如有个方程x² + 2x 3 = 0 ，很快就能算出根是 1 和 3 。
然后你验证一下，1 + (3) 正好是 2 ，1×(3) 就是 3 。
这种关系在解题的时候可好用啦，能让咱们更快更准地找到答案。
所以呀，别小看这一元二次方程组的根与系数的关系，它能帮咱们在数学的海洋里畅游得更欢快呢！。
第12讲 一元二次方程的判别式及根系关系(教师版)
知识导航经典例题1当2已知关于3若关于1已知2已知知识导航经典例题1已知方程2已知关于1已知2设1已知关于2已知关于三、数学万花筒古代方程趣味题赏析我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗朗上口的诗歌形式表达出来，以下几例供大家欣赏。
（一）周瑜的年龄大江东去浪淘尽，千古风流数人物 。
而立之年督东吴，早逝英年两位数 。
十比个位正小三，个位六倍与寿符 。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜 ？解析：依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由“个位6倍与寿符”可列方程得：6(x+3)=10x+(x+3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁 。
（二）壶中原有多少酒李白街上走 ，提壶去买酒 。
遇店加一倍 ，见花喝一斗 。
三遇店和花 ，喝光壶中酒 。
试问酒壶中 ，原有多少酒？解析：李白的壶中原有x斗酒，第一次遇到店加了x斗酒后变为2x斗酒，第一次赏花喝去1斗酒，此时还剩下（2x-1）斗酒，第二次遇到店时，壶中酒变为2（2x-1）斗酒，第二次赏花又喝去1斗酒，此时壶中还剩下【2（2x-1）-1】斗酒，第三次遇店时，壶中酒变为2【2（2x-1）-1】斗酒，第三次赏花时又喝去1斗酒，这是正好壶中的酒喝完。
因此可得到下面的方程：2【2（2x-1）-1】-1=0，解得x=7/8,所以壶中原有7/8斗酒。
（三）寺内多少僧人巍巍古寺在山林 ，不知寺内几多僧 。
三百六十四只碗 ，看看用尽不差争 。
三人共食一碗菜 ，四人共吃一碗羹 。
一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根的判别式（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．重点：会用判别式判定根的情况．2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．三、教学步骤（二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．注意以下几个问题：（1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．练习．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．又∵不论k取何实数，△≥0，∴原方程有两个实数根．教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．练习：不解方程，判别下列方程根的情况．（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．∵不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴方程无实数解．由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．一元二方程的根的判别式（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．一元二次方程的根与系数的关系（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学步骤（一）明确目标：一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知：一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项（2）已知方程一根，求另一根．例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．∴原方程可变为5x2-7x-6=0比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．一元二次方程的根与系数的关系（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．2．教学难点：某些代数式的变形．3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．1．复习提问（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．2．本节课继续学习它的应用（1）不解方程，求某些代数式的值．例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．解：设方程的两个根是x1，x2，那么（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．总结以下两点：1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．2．格式、步骤要求规范第一步：求出x1+x2，x1x2的值．第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．解：所求方程是例已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：此题可以通过列方程求得．但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．解这个方程，得以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．。
一元二次方程求根公式根与系数关系
一元二次方程求根公式根与系数关系嘿，朋友！咱们今天来聊聊一元二次方程求根公式和根与系数的关系。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开数学世界里的好多扇门。
一元二次方程，形如 ax² + bx + c = 0 （a≠0），它的求根公式就像个魔法咒语，能让咱们找到方程的根。
你想想，这公式是不是特别厉害？就好比你在迷宫里迷路了，这个公式就是那根能带你走出去的红线。
求根公式是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这当中的 a、b、c 就像是方程的三个小伙伴，它们一起决定了方程根的情况。
再说根与系数的关系，那也是妙不可言啊！两根之和等于 -b/a ，两根之积等于 c/a 。
这就好像是两个小伙伴之间的秘密约定，藏着好多数学的小秘密。
比如说，给你一个方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那 a = 1 ，b = -5 ，c = 6 。
用求根公式算一下，根就是 2 和 3 。
再看看根与系数的关系，两根之和 2 + 3 不就正好是 -(-5)/1 也就是 5 嘛，两根之积 2×3 不就是 6/1 也就是 6 嘛。
你看，这是不是很神奇？这就像你有了一双能看透方程的眼睛，不管它怎么变，你都能找到答案。
要是你在做题的时候，能熟练运用这求根公式和根与系数的关系，那简直就是如鱼得水。
别人还在抓耳挠腮，你早就轻轻松松把答案写出来了。
就像打篮球，你掌握了投篮的技巧和团队配合的方法，那得分还不是手到擒来？学数学也是这样，掌握了这些知识，难题都能被你攻克。
所以啊，朋友们，好好琢磨琢磨这一元二次方程求根公式和根与系数的关系，让咱们在数学的海洋里畅游无阻！总之，一元二次方程求根公式和根与系数的关系是数学中的重要工具，只要用心去理解和运用，就能在数学的道路上越走越顺，越来越厉害！。
一元二次方程式两个根之间的关系
一元二次方程式两个根之间的关系嘿，朋友！咱来聊聊一元二次方程两根之间的那些事儿。
就说这个一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）啊，它的两根就像是两个性格迥异却又有着千丝万缕联系的小伙伴。
这两根啊，有个超酷的关系叫韦达定理。
你看啊，两根之和就像两个一起抬重物的小蚂蚁，它们相加等于 -b/a呢。
这就好比说， -b/a是它们两个共同要完成的任务量，一个往左拉一点，一个往右拉一点，最后合起来就完成了 -b/a这么个“工作量”。
再说说两根之积，就像两个小财迷在分宝藏，它们的乘积等于c/a。
这c/a就像是那个宝藏的总量，两个根就商量着怎么把这堆宝藏按照自己的方式瓜分掉。
要是c/a是个正数呢，就好像宝藏是实实在在的金银财宝，两根要么同正，就像两个友好的小财迷都分到了好东西；要么同负，就像两个倒霉蛋分到了负债，不过还是紧紧联系在一起。
要是c/a是个负数呢，那就像一个是宝藏一个是要偿还的债务，两根就一个正一个负，像两个在玩跷跷板的孩子，一边高一边低。
要是方程的判别式Δ=b² - 4ac等于0，那就不得了啦，这两根就像双胞胎一样，一模一样。
就像两个长得超级像的克隆人，完全重合了，都等于-b/2a，这时候两根就像是黏在一起的麦芽糖，怎么分都分不开。
当Δ>0的时候，两根就像两个互相较劲儿的拳击手，各自占据着自己的地盘，一个大一点，一个小一点，但是它们的和与积还是遵循着韦达定理这个“拳击比赛规则”。
你再想啊，如果a是个很大很大的正数，这就像给两根之间的关系设置了一个超级大的舞台，它们的表现会更夸张。
两根之和 -b/a和两根之积c/a的数值会因为这个大舞台变得更有趣，就像在巨大的舞台上，演员的每个动作都被放大了一样。
而当a是个很小很小的正数的时候，就像在一个小盒子里摆弄两根的关系，每个动作都得小心翼翼的，但是它们之间的关系依然稳稳地遵循着韦达定理。
要是b是0呢，两根之和就变成0了，这就像两个在拔河的人，突然都松开了绳子，两边的力量一样大，一正一负，完美地抵消了，只剩下两根之积c/a在那孤零零地显示着它们之间还有点联系。
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一元二次方程的根的判别式（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．重点：会用判别式判定根的情况．2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．三、教学步骤（二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．注意以下几个问题：（1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．练习．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．又∵不论k取何实数，△≥0，∴原方程有两个实数根．教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．练习：不解方程，判别下列方程根的情况．（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．∵不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴方程无实数解．由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．一元二方程的根的判别式（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．一元二次方程的根与系数的关系（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学步骤（一）明确目标：一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知：一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项（2）已知方程一根，求另一根．例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．∴原方程可变为5x2-7x-6=0比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．一元二次方程的根与系数的关系（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．2．教学难点：某些代数式的变形．3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．1．复习提问（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．2．本节课继续学习它的应用（1）不解方程，求某些代数式的值．例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．解：设方程的两个根是x1，x2，那么（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．总结以下两点：1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．2．格式、步骤要求规范第一步：求出x1+x2，x1x2的值．第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．解：所求方程是例已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：此题可以通过列方程求得．但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．解这个方程，得以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．。