高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法
轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。

学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。

本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

1．直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是4
9
，求点M 的轨迹方程。

解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3
AM y k x x =≠- 由已知有
4
(3)339
y y x x x •=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22
1(3)94
x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。

2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。

解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得
2
30203
BG CG +=⨯=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点，所以点G 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆。

所以由220,8a c ==
可得10,6a b ==
=
故ABC ∆的重心轨迹方程是
22
1(0)10036
x y y +=≠ 练习：4
．方程|2|x y =++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线
3．点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为
21
21
y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。

例3．椭圆22
142
x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。

解：设过点(1,1)P 的直线交椭圆于11(,)A x y 、22(,)B x y ，则有
2211142x y += ① 22
22142x y += ② ①-②可得12121212()()()()
042
x x x x y y y y -+-++=
而(1,1)P 为线段AB 的中点，故有12122,2x x y y +=+=
所以
12121212()2()21
0422
x x y y y y x x -⨯-⨯-+=⇒=--，即12AB k =-
所以所求直线方程为1
1(1)2
y x -=-
-化简可得230x y +-= 练习：5．已知以(2,2)P 为圆心的圆与椭圆2
2
2x y m +=交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

6．已知双曲线2
2
12
y x -=，过点(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，使P 为线段AB 的中点？ 4．转移法
转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律。

例4． 已知P 是以12,F F 为焦点的双曲线22
1169
x y -=上的动点，求12F F P ∆的重心
G 的轨迹方程。

解：设 重心(,)G x y ，点 00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F - 则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=++-=30003044y y x x ， 故⎩⎨⎧==y y x x 3030代入
19201620=-y x 得所求轨迹方程 2291(0)16
x y y -=≠
例5．抛物线24x y =的焦点为F ,过点(0,1)-作直线l 交抛物线A 、B 两点,再以AF 、BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程。

解法一：（转移法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1
(,)22
x y P +，
将1y kx =-，代入抛物线方程,得2
440x kx -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则
21212121216160||1444
4k k x x k
x x k x x x x ⎧∆=->>⎧⎪⎪⎪⎪
+=⇒+=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ ① ∴22
22121212
12()24244
x x x x x x y y k ++-+===-， ∵P 为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222
122
22212
1k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442
k y k x ，消去k 得 24(3)x y =+，由①得，||4x >，故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>。

解法二：（点差法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1
(,)22
x y P +，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则有
2114x y = ① 2224x y = ②
由①-②得12121212()()4()4l x x x x y y x x k -+=-⇒+= ③
而P 为AB 的中点且直线l 过点(0,1)-，所以121
1
322,22
l y x y x x x k x x ++++=⨯===
代入③可得34y x x +=⨯，化简可得22
124124
x x y y -=+⇒=④
由点1
(,
)22
x y P +在抛物线口内，可得221()48(1)22x y x y +<⨯
⇒<+⑤ 将④式代入⑤可得22
212
8(1)16||44
x x x x -<+⇒>⇒> 故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>。

练习：7．已知(1,0),(1,4)A B -，在平面上动点Q 满足4QA QB ⋅=，点P 是点Q 关于直线
2(4)y x =-的对称点，求动点P 的轨迹方程。

5．参数法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。

在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

例6．过点(2,0)M -作直线l 交双曲线22
1x y -=于A 、B 两点，已知OP OA OB =+。

（1）求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）是否存在这样的直线l ，使OAPB 矩形？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

解：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，代入方程22
1x y -=， 得2222
(1)4410k x k x k ----=
因为直线l 与双曲线有两个交点，所以2
10k -≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，则
22121222441
,11
k k x x x x k k ++==-- ①
212121222
44(2)(2)()4411k k k
y y k x k x k x x k k k k
⋅+=+++=++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+ 得2121222
44(,)(,)(,)11k k
x y x x y y k k =++=--
∴22
24141k x k
k y k ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩
所以x k y =，代入2
41k y k =-可得2
41()x y y x y =-，化简得 2240x y x -+=即22(2)4x y +-= ②
当直线l 的斜率不存在时，易求得(4,0)P -满足方程②，故所求轨迹方程为
22(2)4(0)x y y +-=≠，其轨迹为双曲线。

（也可考虑用点差法求解曲线方程） （2）平行四边OPAB 为矩形的充要条件是0OA OB ⋅=即12120x x y y += ③ 当k 不存在时，A 、B
坐标分别为(-
、(2,-，不满足③式
当k 存在时，222121212121212(2)(2)(1)2()4x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++
2222222(1)(14)244011k k k k k k k ++⋅=-+=--化简得22101
k k +=-，
此方程无实数解，故不存在直线l 使OPAB 为矩形。

练习：8．设椭圆方程为14
2
2
=+y x ,过点(0,1)M 的直线l 交椭圆于点A 、B ,O 是坐标原点,点P 满足)(21OB OA OP +=
,点N 的坐标为)2
1
,21(,当l 绕点M 旋转时,求: (1)动点P 的轨迹方程； (2)||NP 的最小值与最大值。

9．设点A 和B 为抛物线2
4(0)y px p =>上原点O 以外的两个动点，且OA OB ⊥，过O 作
OM AB ⊥于M ，求点M 的轨迹方程。

6．交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例7．已知MN 是椭圆122
22=+b
y a x 中垂直于长轴的动弦，A 、
B 是椭圆长轴的两个端点，求直线MA 和NB 的交点P 的轨迹方程。

解1:(利用点的坐标作参数)令11(,)M x y ，则11(,)N x y -
而(,0),(,0)A a B a -.设AM 与NB 的交点为(,)P x y 因为,,A M P 共线，所以
a x y a x y +=+11 因为,,N B P 共线，所以a
x y a x y
--=-11 两式相乘得22121222
a
x y a x y --
=-①， 而1221221=+b y a x 即2)212(221a x a b y -=代入①
得22222
a b a x x =-， 即交点P 的轨迹方程为 122
22=-b
y a x
解2: (利用角作参数)设(cos ,sin )M a b θθ，则(cos ,sin )N a b θθ-
所以
a a
b a x y +=+θθcos sin , a
a b a x y --
=-θθ
cos sin 两式相乘消去θ 即可得所求的P 点的轨迹方程为 12222=-b
y a x 。

练习：10．两条直线01=++y ax 和)1(01±≠=--a ay x 的交点的轨迹方程是___ ______。

总结归纳
1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明,x y 的取值范围。

2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。

练习参考答案
1．22(2)11648x y --= 2．解：设P 点的坐标为(,)x y ，则由方程22
24x y +=，得242
x y -=± 由于直线l 与椭圆交于两点A 、B ，故22x -<<
即A 、B 两点的坐标分别为22
44(,),(,)22x x A x B x ---
∴22
44(0,),(0,)22
x x PA y PB y --=-=--
由题知1PA PB ⋅=即22
44(0,)(0,)122
x x y y ---⋅--=
∴22
412x y --= 即22
26x y += 所以点P 的轨迹方程为221(22)63
x y x +=-<< 3．D 【解析】在长方体1111ABCD A BC D -中建立如图所示的空间直角坐标系，
易知直线AD 与11D C 是异
面垂直的两条直线，过直线AD 与11D C 平行的平面是面ABCD ，设在平面ABCD 内动点(,)
M x y 满足到
直线AD 与11D C 的距离相等，作1MM MP =于1M ，MN CD ⊥于N ，11NP D C ⊥于P ，
连结MP ， 易知MN ⊥平面111
,CDDC MP DC ⊥，则有1MM MP =，222||y x a =+(其中a 是异面直线AD 与11D C
间的距离)，即有222y x a -=，因此动点M 的轨迹是双曲线，选D. 4．A 5．解 设(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y 则1212
2,2x x x y y y +=+=，由m y x =+21221，m y x =+22
222 两式相减并同除以12()x x -得
121212121122y y x x x
x x y y y -+=-=-
-+ , 而1212
AB y y k x x -=- 2
2
PM y k x -=
-, 又因为PM AB ⊥所以1AB PM k k ⋅=- 12
122
x y y x --
•=-- 化简得点M 的轨迹方程240xy x y +-= 6．先用点差法求出210x y --=，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。

中点
． M O ．P
B
A y
x
弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。

7．解：设(,)Q x y ，则(1,),(1,4)QA x y QB x y =---=--
由4(1,)(1,4)4(1)(1)()(4)4QA QB x y x y x x y y ⋅=⇒---⋅--=⇒---+--= 即222(2)3x y +-= 所以点Q 的轨迹是以(0,2)C 为圆心，以3为半径的圆。

∵点P 是点Q 关于直线2(4)y x =-的对称点。

∴动点P 的轨迹是一个以000(,)C x y 为圆心，半径为3的圆，其中000(,)C x y 是点(0,2)C 关于直线
2(4)y x =-的对称点，即直线2(4)y x =-过0CC 的中点，且与0CC 垂直，于是有
00002
210202422
y x y x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨
⎪++=⨯-⎪⎩即0000002408
21802y x x y x y +-==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故动点轨迹方程为22(8)(2)9x y -++=。

8．解：(1)解法一:直线l 过点(0,1)M ，设其斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+ 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+
+=141
2
2y x kx y 的解 将①代入②并化简得,032)4(22=-++kx x k , 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,422212
21k y y k k x x 于是 ).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+-=.44,422k y k
k x 消去参数k 得0422=-+y y x
③
当k 不存在时, A 、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P 的轨迹方程为
2240x y y +-=
解法二:设点P 的坐标为),(y x ,因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上,所以
,14212
1
=+y x ④.142
22
2=+y x ⑤ ④—⑤得0)(41222122
21=-+-y y x x ,所以 .0))((4
1
))((21212121=+-+
+-y y y y x x x x 当
2
1x x ≠时,有
.0)(41
2
1212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥
① ②
并且⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧--=-+=+=.
1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧
当21x x =时,点A 、B 的坐标为(0,2),(0,2)-，这时点P 的坐标为(0,0)
也满足⑧,所以点P 的轨迹方程为2
2
1
()2111164y x -+= (2)解:由点P 的轨迹方程知2
116x ≤，即1144
x -≤≤所以
12
7
)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP
故当41
=x ,||NP 取得最小值,最小值为61;41-=x 当时,||NP 取得最大值,
6
9．解法1 ：(常规设参)设(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，则
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧-=•---=•==x py y y p y y x
y x x y y x y x y px
y px
y 42
12162112121
1221124221421 （※） 由,,A M B 共线得)421(2141p
y x y y p
y y -+=
- 则2121214y y y y x y y p y +++= 把（※）代入上式得y
px y x y 42+-=化简得M 的轨迹方程为2240(0)x y px x +-=≠) 解法2： (变换方向) 设OA 的方程为(0)y kx k =≠，则OB 的方程为1
y x k
=-
由⎩⎨⎧==px y kx y 22 得222(,)p p A k k ， 由⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=px
y x k y 221 得2
(2,2)B pk pk -
所以直线AB 的方程为 2
(2)1k
y x p k =
--①
因为OM AB ⊥，所以直线OM 的方程为2
1k y x k
-=- ② ①×②即得M 的轨迹方程: 2240(0)x y px x +-=≠
解法3： (转换观点) 视点M 为定点,令00(,)M x y ，由OM AB ⊥可得直线AB 的方程为
0000()x y y x x y -=-
-, 与抛物线24y px =联立消去y 得222
00000
44()0py p y y x y x x +-+=,设1122(,),(,)A x y B x y ，则22
12000
4()p y y x y x =-
+ 又因为OA OB ⊥，所以21621p y y -= 故222000
4()16p x y p x -
+=-即22
00040x y px +-= 所以M 点的轨迹方程为
2240(0)x y px x +-=≠
10．)0,0(022≠≠=+-+y x y x y x。