高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是4

9

，求点M 的轨迹方程。

解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3

AM y k x x =≠- 由已知有

4

(3)339

y y x x x •=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22

1(3)94

x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。

2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法

通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。

解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得

2

30203

BG CG +=⨯=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点，所以点G 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆。

所以由220,8a c ==

可得10,6a b ==

=

故ABC ∆的重心轨迹方程是

22

1(0)10036

x y y +=≠ 练习：4

．方程|2|x y =++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线

3．点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点

1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为

21

21

y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。

例3．椭圆22

142

x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。

解：设过点(1,1)P 的直线交椭圆于11(,)A x y 、22(,)B x y ，则有

2211142x y += ① 22

22142x y += ② ①-②可得12121212()()()()

042

x x x x y y y y -+-++=

而(1,1)P 为线段AB 的中点，故有12122,2x x y y +=+=

所以

12121212()2()21

0422

x x y y y y x x -⨯-⨯-+=⇒=--，即12AB k =-

所以所求直线方程为1

1(1)2

y x -=-

-化简可得230x y +-= 练习：5．已知以(2,2)P 为圆心的圆与椭圆2

2

2x y m +=交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

6．已知双曲线2

2

12

y x -=，过点(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，使P 为线段AB 的中点？ 4．转移法

转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律。

例4． 已知P 是以12,F F 为焦点的双曲线22

1169

x y -=上的动点，求12F F P ∆的重心

G 的轨迹方程。 解：设 重心(,)G x y ，点 00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F - 则有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

++=++-=30003044y y x x ， 故⎩⎨⎧==y y x x 3030代入

19201620=-y x 得所求轨迹方程 2291(0)16

x y y -=≠

例5．抛物线24x y =的焦点为F ,过点(0,1)-作直线l 交抛物线A 、B 两点,再以AF 、BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程。

解法一：（转移法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1

(,)22

x y P +，

将1y kx =-，代入抛物线方程,得2

440x kx -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则

21212121216160||1444

4k k x x k

x x k x x x x ⎧∆=->>⎧⎪⎪⎪⎪

+=⇒+=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ ① ∴22

22121212

12()24244

x x x x x x y y k ++-+===-， ∵P 为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222

122

22212

1k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442

k y k x ，消去k 得 24(3)x y =+，由①得，||4x >，故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>。

解法二：（点差法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1

(,)22

x y P +，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则有