齐次方程组解的情况
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n元齐次线性方程组有非零解的充要条件
n元齐次线性方程组有非零解的充要条件一、n元齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的条件：在微分方程理论中，指x(t)≠0齐次线性方程组有非零解的条件。
一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。
齐次线性方程组只有零解的条件：矩阵的秩=未知量的个数；系数矩阵列满秩；系数矩阵的列向量组线性无关，满足以上三个条件中的一个就只有零解。
二、定义常数项全为0的n元线性方程组称为n元齐次线性方程组。
设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。
若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：1. 当r=n时，原方程组仅有零解；2. 当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。
[3]三、证明对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
示例依照定理n=4>m=3一定是存在非零解。
对系数矩阵施行初等行变换：最后一个矩阵为最简形，此系数矩阵的齐次线性方程组为：令X4为自由变元，X1，X2，X3为首项变元。
令X4=t，其中t为任意实数，原齐次线性方程组的解为四、判定定理定理1齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n。
即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论齐次线性方程组仅有零解的充要条件是r(A)=n。
五、结构齐次线性方程组解的性质定理2：若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理3：若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则x1+x2也是它的解。
定理4：对齐次线性方程组，若r(A)=r<n，则存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。
线性代数教案23
齐次线性方程组的通解
对于齐次线性方程组
当系数矩阵的秩R(A)=r=n时，方程组有惟一解； 当系数矩阵的秩R(A)=r<n时，方程组有无穷多组解. 设 是方程组的一个基础解系，则所有解都可以写成 这种形式的所有解称为齐次线性方程组的通解 通解. 通解 定理 若n个未知量的齐次线性方程组系数矩阵的秩为r，则 基础解系含有n-r个线性无关的解向量.
非齐次方程组的无穷多个解有什么关系？
非齐次方程组的无穷多个解有什么关系？
非齐次线性方程组与对应的齐次线性方程组解之间的关系： 1. x和y是非齐次方程组的解，则x-y是齐次方程组的解； 2. x是非齐次方程组的解，y是齐次方程组的解，则x+y是非齐 次方程组的解； 3. x是非齐次方程组的一个解（称为特解），则非齐次方程组 x+y y . 的任何一个解都可以表示为x+y，其中y是齐次方程组的某个解. 定理： 定理：把非齐次线性方程组的任意一个特解加到对应的齐次 线性方程组的每个解上，就得到非齐次线性方程组的全部解. 线性方程组的每个解上，就得到非齐次线性方程组的全部解 定理 设 是齐次方程组的一个基础解系， 非齐次方程组的一个特解，则非齐次方程组的通解为 是
例题4 求下列齐次线性方程组的通解
(1)确定为齐次线性方程组； 确定为齐次线性方程组； 确定为齐次线性方程组 (2)初等行变换化为行最简形矩阵，得系数矩阵的秩 ； 初等行变换化为行最简形矩阵， 初等行变换化为行最简形矩阵 得系数矩阵的秩r； (3)由行最简形矩阵写出方程组的一般解； 由行最简形矩阵写出方程组的一般解； 由行最简形矩阵写出方程组的一般解 (4)用一般解构造基础解系，从而得到通解 用一般解构造基础解系， 用一般解构造基础解系 从而得到通解.
则非齐次线性方程组可以表示为
对于齐次线性方程组
当系数矩阵的秩R(A)=r=n时，方程组有惟一解； 当系数矩阵的秩R(A)=r<n时，方程组有无穷多组解. 设 是方程组的一个基础解系，则所有解都可以写成 这种形式的所有解称为齐次线性方程组的通解 通解. 通解 定理 若n个未知量的齐次线性方程组系数矩阵的秩为r，则 基础解系含有n-r个线性无关的解向量.
非齐次方程组的无穷多个解有什么关系？
非齐次方程组的无穷多个解有什么关系？
非齐次线性方程组与对应的齐次线性方程组解之间的关系： 1. x和y是非齐次方程组的解，则x-y是齐次方程组的解； 2. x是非齐次方程组的解，y是齐次方程组的解，则x+y是非齐 次方程组的解； 3. x是非齐次方程组的一个解（称为特解），则非齐次方程组 x+y y . 的任何一个解都可以表示为x+y，其中y是齐次方程组的某个解. 定理： 定理：把非齐次线性方程组的任意一个特解加到对应的齐次 线性方程组的每个解上，就得到非齐次线性方程组的全部解. 线性方程组的每个解上，就得到非齐次线性方程组的全部解 定理 设 是齐次方程组的一个基础解系， 非齐次方程组的一个特解，则非齐次方程组的通解为 是
例题4 求下列齐次线性方程组的通解
(1)确定为齐次线性方程组； 确定为齐次线性方程组； 确定为齐次线性方程组 (2)初等行变换化为行最简形矩阵，得系数矩阵的秩 ； 初等行变换化为行最简形矩阵， 初等行变换化为行最简形矩阵 得系数矩阵的秩r； (3)由行最简形矩阵写出方程组的一般解； 由行最简形矩阵写出方程组的一般解； 由行最简形矩阵写出方程组的一般解 (4)用一般解构造基础解系，从而得到通解 用一般解构造基础解系， 用一般解构造基础解系 从而得到通解.
则非齐次线性方程组可以表示为
第二十一讲齐次线性方程组解的结构
8
2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 Am×n x=0的基础解系
及通解的步骤（设 R(A)= r<n）：
1. 用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵 B；
2. 写出 A的行最简形矩阵 B所对应的方程组 Bx=0；
3. 令 n - r 个自由未知量分别取如下 n-r组值：
1，0，…，0； 0，1，…，0；
? ?
????????????
??am 1x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0
（1）
若记
?? a11
A
?
? ?
a21 ?
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ??
a2n ?
??,
???am1 am 2 ? amn ???
?? x1 ??
x
?
? ?
x2 ? ??
??? xn ???
3
例1 求齐次线性方程组
? x1 ? x2 ? x 3 ? x 4 ? 0,
? ?
2
x
1
?
5x2 ?
3x3 ?
2 x4
?
0,
?? 7 x1 ? 7 x 2 ? 3 x 3 ? x 4 ? 0
的基础解系与通解 .
解 对系数矩阵 A 作初等行变换 ，变为行最简形 矩阵，有
?1
A
?
???
2 7
1 ?5 ?7
则上述方程组可写成向量方程
Ax ? 0.
(2)
若 x1 ? ?11 , x 2 ? ? 21 ,? , x n ? ? n1 为方程 Ax ? 0 的解，
则
???11 ??
x
?
2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 Am×n x=0的基础解系
及通解的步骤（设 R(A)= r<n）：
1. 用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵 B；
2. 写出 A的行最简形矩阵 B所对应的方程组 Bx=0；
3. 令 n - r 个自由未知量分别取如下 n-r组值：
1，0，…，0； 0，1，…，0；
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（1）
若记
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3
例1 求齐次线性方程组
? x1 ? x2 ? x 3 ? x 4 ? 0,
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的基础解系与通解 .
解 对系数矩阵 A 作初等行变换 ，变为行最简形 矩阵，有
?1
A
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2 7
1 ?5 ?7
则上述方程组可写成向量方程
Ax ? 0.
(2)
若 x1 ? ?11 , x 2 ? ? 21 ,? , x n ? ? n1 为方程 Ax ? 0 的解，
则
???11 ??
x
?
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
§3齐次线性方程组解的结构
§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关
06 总结与展望
研究成果总结
齐次线性方程组解的判定方法
通过对方程组系数矩阵进行初等行变换，可以判断方程组是否有解，以及解的性质（唯一解、无穷多 解或无解）。
线性组合与线性相关的概念
线性组合是指向量组中向量经过数乘和加法运算后得到的向量；线性相关则是指向量组中至少有一个 向量可以由其他向量线性表示。
03 线性组合与线性相关
线性组合的定义与性质
01
02
03
04
05
定义：设$V$是数域$P$ 上的一个线性空间， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$是$V$ 中的有限个向量，$k_1, k_2, ldots, k_s$是数域 $P$中的数，那么向量 $beta = k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s$称为向量组 $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$的一个
无穷多解条件
当 $r(A) < n$ 时，齐次线性方程组有 无穷多解。
解的判定方法
高斯消元法
通过消元将增广矩阵化为阶梯形矩阵，进而判断解的情况。
克拉默法则
适用于方程个数与未知量个数相等的情况，通过计算系数矩阵的 行列式值来判断解的情况。
矩阵的秩
通过计算系数矩阵的秩来判断解的情况，若 $r(A) = n$ 则有唯 一解，若 $r(A) < n$ 则有无穷多解。
性质：线性组合具有如 下基本性质
1. 零向量是任何向量组 的线性组合（取系数全 为0）。
2. 向量组中任一向量都 可由向量组线性表示 （取系数为1，其余系数 为0）。
3. 若向量组$alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$线性相关，则 它的任意两个非零线性 组合必成比例。
齐次线性方程组有非零解的条件
系数矩阵的行列式为零且系数矩阵的秩小于未知数的个数
如果同时满足这两个条件，则该方程组一定有非零解。这是因为在这种情况下，方程组的解空间一定 是非零空间，即存在至少一个非零解向量。
在实际问题中的应用与展望
解决实际问题
算法优化
齐次线性方程组有非零解的条件在许 多实际问题中都有应用。例如，在经 济学、工程学、物理学等领域中，经 常需要解决一系列线性方程来描述实 际问题的数学模型。在这些情况下， 如果齐次线性方程组有非零解，则可 以通过求解该方程组来找到问题的解 决方案。
详细描述
二元一次方程组的一般形式为 ax + by = c 和 dx + ey = f。可以通过消元法或代入法 求解。例如，方程组 {x + y = 3, 2x - y = 4} 可以消元求解为 x = 2, y = 1。
三元一次方程组的解法实例
总结词
三元一次方程组有三个未知数，解法相 对复杂，需要运用行列式或矩阵方法。
定义与形式
定义
齐次线性方程组是由n个n维向量作为系数矩阵构成的方程组，其中每个方程的常数项都是0。
形式
Ax=0，其中A是一个n×n矩阵，x是一个n维列向量。
解的概念与性质
解的概念
如果一个n维向量x满足方程组Ax=0，则称x是该方程组的一个解。
解的唯一性
如果方程组有解，则解是唯一的。
解的稳定性
如果方程组无解，则对于任意的常数c，c×x也是方程组的解。
在实际应用中，求解齐次线性方程组 的方法有很多种。但是，如果齐次线 性方程组有非零解，则可以通过一些 算法优化技巧来提高求解效率。例如 ，可以利用高斯消元法、LU分解等算 法技巧来加速求解过程。
未来研究方向
如果同时满足这两个条件，则该方程组一定有非零解。这是因为在这种情况下，方程组的解空间一定 是非零空间，即存在至少一个非零解向量。
在实际问题中的应用与展望
解决实际问题
算法优化
齐次线性方程组有非零解的条件在许 多实际问题中都有应用。例如，在经 济学、工程学、物理学等领域中，经 常需要解决一系列线性方程来描述实 际问题的数学模型。在这些情况下， 如果齐次线性方程组有非零解，则可 以通过求解该方程组来找到问题的解 决方案。
详细描述
二元一次方程组的一般形式为 ax + by = c 和 dx + ey = f。可以通过消元法或代入法 求解。例如，方程组 {x + y = 3, 2x - y = 4} 可以消元求解为 x = 2, y = 1。
三元一次方程组的解法实例
总结词
三元一次方程组有三个未知数，解法相 对复杂，需要运用行列式或矩阵方法。
定义与形式
定义
齐次线性方程组是由n个n维向量作为系数矩阵构成的方程组，其中每个方程的常数项都是0。
形式
Ax=0，其中A是一个n×n矩阵，x是一个n维列向量。
解的概念与性质
解的概念
如果一个n维向量x满足方程组Ax=0，则称x是该方程组的一个解。
解的唯一性
如果方程组有解，则解是唯一的。
解的稳定性
如果方程组无解，则对于任意的常数c，c×x也是方程组的解。
在实际应用中，求解齐次线性方程组 的方法有很多种。但是，如果齐次线 性方程组有非零解，则可以通过一些 算法优化技巧来提高求解效率。例如 ，可以利用高斯消元法、LU分解等算 法技巧来加速求解过程。
未来研究方向
线性代数 齐次线性方程组解的结构
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 本节所考虑的齐次线性方程组为 章 线 性 方 程 组 简记为 A X 0 . 主要讨论 A X 0 有非零解的情况。
1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 1. 解的性质 P118 定理4.3 章 (1) 若 1 , 2 为 A X 0 的解，则 1 2 也是 A X 0 的解。 线 (2) 若 为 A X 0 的解，则 k 也是 A X 0 的解。 性 方 证明 (1) 由 A1 0, A 2 0 有 程 组 A(1 2 ) A1 A 2 0 , 故 1 2 也是 A X 0 的解。 (2) 由 A 0 有 A(k ) kA 0 , 即 k 也是 A X 0 的解。 表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。 2
3
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 定义 设 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的一组解， 线 性 P118 满足： 方 定义 4.3 (1) 1 , 2 , , t 线性无关； 程 组 (2) A X 0 的任何一个解都可以由 1 , 2 , , t 线性表出。 称 1 , 2 , , t 为方程组 A X 0 的(一个)基础解系。
4
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基， 线 因此基础解系是不惟一的。 性 方 (2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的， 程 组 其个数即为解空间的维数。 (3) 如果 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的 一组基础解系，那么 A X 0 的通解可表示为
1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 1. 解的性质 P118 定理4.3 章 (1) 若 1 , 2 为 A X 0 的解，则 1 2 也是 A X 0 的解。 线 (2) 若 为 A X 0 的解，则 k 也是 A X 0 的解。 性 方 证明 (1) 由 A1 0, A 2 0 有 程 组 A(1 2 ) A1 A 2 0 , 故 1 2 也是 A X 0 的解。 (2) 由 A 0 有 A(k ) kA 0 , 即 k 也是 A X 0 的解。 表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。 2
3
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 定义 设 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的一组解， 线 性 P118 满足： 方 定义 4.3 (1) 1 , 2 , , t 线性无关； 程 组 (2) A X 0 的任何一个解都可以由 1 , 2 , , t 线性表出。 称 1 , 2 , , t 为方程组 A X 0 的(一个)基础解系。
4
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基， 线 因此基础解系是不惟一的。 性 方 (2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的， 程 组 其个数即为解空间的维数。 (3) 如果 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的 一组基础解系，那么 A X 0 的通解可表示为
齐次线性方程组解的结构
都是向量组 () 的极大无关组.
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
线性代数 齐次线性方程组解的结构
18
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0
x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
因为 r ( A) 2 4 ， 所以齐次线性方程组有无穷多解。 取自由未知量为 x2 , x4 ，
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解， 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解， 且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 ， 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 ， 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 ：
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解， 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解， 且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 ， 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 ， 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 ：
§3齐次线性方程组解的结构
在实际求解时，我们尽量不做交换列的初等变换. 例如在例2中，当把A用初等行变换变为矩阵
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
大学数学高数微积分第三章线性方程组第六节课堂讲解
a21x1
a22x2 a2nxn
b2
,
(9)
as1x1 as2x2 asnxn bs .
若令 b1 = b2 = … = bs =0，就得到齐次方程组 (1).
方程组 (1) 称为方程组 (9) 的导出组.
2. 非齐次线性方程组的解 与其导出组的解之间的关系
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
解时，(10) 就给出 (9) 的全部解.
证明 显然
= 0 + ( - 0 )， 由上面的 1)， - 0 是导出组 (1) 的一个解，令
- 0 = ，
就得到定理的结论.
既然 (9) 的任一个解都能表成
(10) 的形式，由 2) 在 取遍 (1) 的全部解的时候，
= 0 +
就取遍 (9) 的全部解.
是方程组 (1) 的两个解，则有
n
aijkj 0 (i1,2,,s),
j n1
aijlj 0 (i1,2,,s),
j1
把两个解的和
( k1 + l1 , k2 + l2 , … , kn + ln )
(2)
代入方程组，得
n
n
n
aij (k j l j ) aijkj aijlj
j 1
j1
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
证明 设 ( k1 , k2 , … , kn ) 与 ( l1 , l2 , … , ln )
是方程组 (9) 的两个解，则有
n
aijkj bi
j1 n
aijlj bi
j1
(i1,2,,s), (i1,2,,s),
线性代数 河北工业大学
(1) 输入系数矩阵A
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,4,6,19;1,2,5,2,19]
(2) 输入常数列向量b
b=[-2;7;-23;43]
(3) 生成增广矩阵的行最简形R，并将增广矩阵的行最 简形中基准元素所在的列号存入向量s中 [R,s]=rref([A,b]);
0 0 7.3333 0 0.3333
3．线性方程组求解的几何概念
几何概念:空间的点可以 用一个向量来定位 在三维空间R3，没有限位 的点P(x,y,z)具有三个自由 度。 x,y,z三个数字可以在 实数域内任意选择。 线性方程组的求解问题是通过方程组将空间中 自由的点，位置加以限定—施加约束，方程组 个数越多，对这些点位置的限定就越强。
三个方程分别把三维 空间的点限制在三 个平面上
满足三个方程的解 （方程组的解）为 三个平面的公共点， 当该点唯一存在的 时候，方程组有唯 一解。这个点正好 被限位。(m3.m)
8x y z 0 2x y z 0 3x y z 0
对上述方程组求解可 以发现每个方程都把 点限制在某一平面上， 但是公共解被限定在 一条直线上，显示空 面内满足这个方程组 的解不唯一，公共点 没有被唯一地限位， 方程组有无数解。 (m4.m)
s0 = 3 5
A1 = 2 3 0 6 1 6 -2 2 -9 2
K= -1.0000 3.0000 1.0000 -2.0000 0.0000 1.0000
特征值和特征向量
本节内容涉及的MATLAB 命令
命令 orth(A) P=poly(A) root(P) r=eig(A) [V,D]=eig(A) 功能 求矩阵列向量构成空间的正交规范基 求出A的特征多项式，其系数存入行向量P中 求出多项式P的零点 求出A的特征值，存入列向量r中 A的特征向量（列）存入矩阵V A的特征值存入对角阵D的对角线上 [V,D]=schur(A) A的特征向量（列）经标准正交化后存入矩阵 V（V为正交阵） A的特征值存入对角阵D的对角线上
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,4,6,19;1,2,5,2,19]
(2) 输入常数列向量b
b=[-2;7;-23;43]
(3) 生成增广矩阵的行最简形R，并将增广矩阵的行最 简形中基准元素所在的列号存入向量s中 [R,s]=rref([A,b]);
0 0 7.3333 0 0.3333
3．线性方程组求解的几何概念
几何概念:空间的点可以 用一个向量来定位 在三维空间R3，没有限位 的点P(x,y,z)具有三个自由 度。 x,y,z三个数字可以在 实数域内任意选择。 线性方程组的求解问题是通过方程组将空间中 自由的点，位置加以限定—施加约束，方程组 个数越多，对这些点位置的限定就越强。
三个方程分别把三维 空间的点限制在三 个平面上
满足三个方程的解 （方程组的解）为 三个平面的公共点， 当该点唯一存在的 时候，方程组有唯 一解。这个点正好 被限位。(m3.m)
8x y z 0 2x y z 0 3x y z 0
对上述方程组求解可 以发现每个方程都把 点限制在某一平面上， 但是公共解被限定在 一条直线上，显示空 面内满足这个方程组 的解不唯一，公共点 没有被唯一地限位， 方程组有无数解。 (m4.m)
s0 = 3 5
A1 = 2 3 0 6 1 6 -2 2 -9 2
K= -1.0000 3.0000 1.0000 -2.0000 0.0000 1.0000
特征值和特征向量
本节内容涉及的MATLAB 命令
命令 orth(A) P=poly(A) root(P) r=eig(A) [V,D]=eig(A) 功能 求矩阵列向量构成空间的正交规范基 求出A的特征多项式，其系数存入行向量P中 求出多项式P的零点 求出A的特征值，存入列向量r中 A的特征向量（列）存入矩阵V A的特征值存入对角阵D的对角线上 [V,D]=schur(A) A的特征向量（列）经标准正交化后存入矩阵 V（V为正交阵） A的特征值存入对角阵D的对角线上
齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
..., Xt 线性表出. 若 X1, X2,..., Xt 为AX=0的一个基础解系， 由基础解系的定义知
S k1X1 k2 X2 L kt Xt | k1, k2,L , kt P 5
正好就是AX=0的解集合, 称 k1X1+k2X2+...+ktXt 为AX=0的通解. 例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系
1 0 0 1 20
初等 行变换
0
1
0
1
0 0 1 0
5
B
2
Jordan阶梯形
7
现解AX=0的同解齐次线性方程组 BX=0. Jordan阶梯形B有3行不为零， 故rB=3，
首元所在的列为B的第1,2,3列, 故对x4, x5 的任意值代入BX=0都能解出x1, x2, x3. 把BX=0的含x4, x5的项移到等式右边得到
A*=0，也即 (3) 若rA=n－1,
则rA可* 知0.|A|=0，所以
AA*=|A|E=0, 根据前面的例题可知
rA rA* n， 所以 rA* 1.
但 rA* 0,
因为A中至少有一个n－1阶子式不为零.
所以 rA* 1.
28
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r
2
k1n
k2n
M M
M
X1
kr,r 1
1
,
X
2
kr,r2 0
,
...,
X
nr
krn 0
0 1
0
M 0
M 0
M 1
16
为AX=0的一组线性无关的解，要证
明它正好为AX=0的一个基础解系，
S k1X1 k2 X2 L kt Xt | k1, k2,L , kt P 5
正好就是AX=0的解集合, 称 k1X1+k2X2+...+ktXt 为AX=0的通解. 例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系
1 0 0 1 20
初等 行变换
0
1
0
1
0 0 1 0
5
B
2
Jordan阶梯形
7
现解AX=0的同解齐次线性方程组 BX=0. Jordan阶梯形B有3行不为零， 故rB=3，
首元所在的列为B的第1,2,3列, 故对x4, x5 的任意值代入BX=0都能解出x1, x2, x3. 把BX=0的含x4, x5的项移到等式右边得到
A*=0，也即 (3) 若rA=n－1,
则rA可* 知0.|A|=0，所以
AA*=|A|E=0, 根据前面的例题可知
rA rA* n， 所以 rA* 1.
但 rA* 0,
因为A中至少有一个n－1阶子式不为零.
所以 rA* 1.
28
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r
2
k1n
k2n
M M
M
X1
kr,r 1
1
,
X
2
kr,r2 0
,
...,
X
nr
krn 0
0 1
0
M 0
M 0
M 1
16
为AX=0的一组线性无关的解，要证
明它正好为AX=0的一个基础解系，
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齐次方程组解的情况
齐次方程组是指一组具有相同次数的方程。
齐次方程组的解的情况可以分为以下几种：
1.无解：如果齐次方程组无解，则表明无法找到合适的解
决方案。
这种情况可能是因为方程组的系数没有关联，或者
方程组的系数关联但没有合理的解决方案。
2.有唯一解：如果齐次方程组只有一组解，则称为有唯一
解。
这种情况下，方程组的系数是确定的，可以通过解方程
的方法找到唯一的解决方案。
3.有无数组解：如果齐次方程组有无数组解，则表明可以
通过改变方程组的系数得到无数组解决方案。
4.有无穷组解：如果齐次方程组有无穷组解，则表明存在
无限组解决方案，即可以通过改变方程组的系数得到无数组
解决方案。
通常，齐次方程组的解决方法是利用线性代数的知识来求解。
具体方法可能会有所不同，但通常都包括求解增广矩阵、使用高斯消元法或高斯约旦法等步骤。