圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
继续提高
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD，那么OM和ON有什么关系？为什么？
5、已知：如图， ⊙O的两条直径AB⊥CD，四条弦AE//FD//CG//HB。求证：E、F、H、G四等分圆周。
1、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。
2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC的度数为40°，求∠BOD的度数。
O
B
A
D
C
E
练习
O
C
B
D
A
P
3、已知：如图， PB＝PD. 求证： AB=CD 。
变式4
O
B
A
C
D
F
E
4、已知：如图， ⊙O的两条半径OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。求证：CD＝AE＝BF。
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
一般地，n°的圆心角对着n°的弧。
弧的度数
定义辨析
判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧AB和弧CD的度数相等，则有：（1）弧AB和弧CD相等； （ ）（2）弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。 （ ）
注意：等弧的度数一定相等，但度数相等的弧不一定是等弧！
在同圆或等圆中，
O
A
B
C
A'
B'
C'
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
【注意：同圆或等中】一、知识梳理圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理：在中，相等的f对的相等,所对的相等，所对的弦的相等.推论：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组屋都分别相等.eg:在同圆或等圆中，弓玄AB=A f B f,弦心距OD、077,则有:'①(ZA0B=ZA,B,C f)③(4B=48)斗②(佔=AF)®(0D=0,D,)二、讲练结合【圆中相关弦的求解】例1、如图所示，点O是ZEPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A.B和C.D,求证：AB=CD.例2、如图，EF为OO的直径，过EF上一点P作弦AB・CD,且ZAPF=ZCPF.求证：PA=PC・VWA例3、如图，OO的弦CE・ED的延长线交于点A,且EC=DE・求证：AC=AE・【巩固练习】1.下列说法中正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弧所对的圆心角相等C.相等的弦所对的弦心距相等D.弦心距相等，则弦相等2.P为0O内一点，已知OP=lcm,0O的半径r=2cm,则过P点弦中，最短的弦长为（）A・1cmE・JJcmC・cmD・4cm3.在0O中，AE与CD为两平行弦，AE>CD,AB、CD所对圆心角分别为120。
,60。
，若（DO的半径为6,则AB、CD两弦相距（）A・3】B・6C・A/3+1D・3、/J±34.已知：ZAOB=90°,C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F・求证：AE=BF=CD・【圆中相关圆心角的求解】例4、如图所示，在AABC中，ZA=72%OO截AABC的三条边长所得的三条弦等长，求ZEOC.1.1,MBC 内接于OO,ZC=45\AB =4则OO 的半径为（A.2>/2 E.4 C.2^3 D ・5 三. 课堂练例5、如图，在0O 中，弓玄AB=CB>ZABC=120°,OD 丄AB 于D,OE 丄EC 于E ・求证：△ODE 是等边三角形.【巩固练习】1. 如图，在0O 中「AB 的度数是50。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 讲义
九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..
圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。
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CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
08讲 圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系-2021学年九年级数学满分全攻略(沪教版)解析版
第08讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考点定位精讲讲练一、圆的确定1.圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作O．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2.点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，d > R；当点P在圆上时，d = R；≤<．当点P在圆内时，0d R反之亦然．3.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．4.三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.相关概念弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2.半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A 、C 为端点的劣弧记作AC ，读作“弧AC ”；以A 、C 为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC ”．3.等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与''A B 是等弧，记作''AB A B =． 半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．4.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．考点一：圆的确定【例1】若A （a ，27-）在以点B （35-，27-）为圆心，37为半径的圆上，求a 的值．【答案】2或72-．【解析】∵A 点在B 上，∴37BA =，即()()2235272737a ++-+=， 解得12a =，272a =-．【例2】在Rt △ABC 中，90C =∠，3AC =，4BC =，CP 、CM 分别是AB 上的高和中线，如果圆A 是以点A 为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）A ．点P 、M 均在圆A 内；B ．点P 、M 均在圆A 外；C ．点P 在圆A 内，点M 在圆A 外；D ．点P 在圆A 外，点M 在圆A 内．【答案】C【解析】解：如图，∵在Rt △ABC 中，9034ACB AC BC ∠=︒==，，，A B C O∴22345AB =+=， ∵,CP CM 分别是AB 上的高和中线， 1 2.52AM AB ∴==， 11,22AB CP CB CA = 512CP ∴=，2.4CP ∴=，∴22223 2.4 1.8AP AC CP =-=-=，∵AP =1.8＜2，AM =2.5＞2，∴点P 在圆A 内、点M 在圆A 外 ．所以,,A B D 都不符合题意，C 符合题意．故选：C ．【例3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tan B ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，连接CD 交AF 于点 G ，∵AB ＝AC ，BC ＝4，∴BF ＝CF ＝2，∵tan B ＝2，∴2AF BF=，即AF ＝4，∴AB ＝2223=25+， ∵D 为AB 的中点，∴BD ＝5，G 是△ABC 的重心，∴GF ＝13AF ＝43， ∴CG ＝2242132=33+（） ，∴CD ＝32CG ＝13， ∵点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，∴5＜r ＜13，故选B ．【例4】如图，作出AB 所在圆的圆心，并补全整个圆．【答案】如图所示．【解析】在AB 上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心．【例5】如图所示，已知矩形ABCD 的边3cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，4cm 为半径作A ，判断点B ，C ，D 与A 怎样的位置关系．【答案】点B 在A 内，点C 在A 外，点D 在A 上【解析】解：连接AC ，∵3cm AB =，4cm BC AD ==，∴5cm AC =，∵A 的半径为4，34AB =<，∴点B在A内，∵4DA=，∴点D在A上CA=>，54∴点C在A外．【例6】如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．【答案】O′P＞r，点P在⊙O′外；O′Q＜r，点Q在⊙O′内；O′R＝r，点R在⊙O′上．【解析】解：∵OO′＝r＝√12+12＝√2，O′P＝√(−1−1)2+(1−1)2＝2同理可得：O′Q＝1，O′R＝√2，∴O′P＞r，点P在⊙O′外；O′Q＜r，点Q在⊙O′内；O′R＝r，点R在⊙O′上．举一反三1．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A 在y 轴上运动时，△ABC 的外心不可能．．．在（ ）A ．第三象限B ．第一象限C ．第四象限D ．x 轴上【答案】A 【解析】解：∵B （－3，0），C （4，0），∴边BC 的垂直平分线在y 轴的右侧，∴三角形的外心O 在不可能在第二象限或第三象限，故A 错误；当△ABC 为锐角三角形时，三角形的外心O 在三角形内部，并在第一象限，故B 正确； 当△ABC 为钝角三角形时，三角形的外心O 在三角形外部，并在第四象限，故C 正确； 当△ABC 为直角三角形时，三角形的外心O 在三角形斜边中点处，即在x 轴上，故D 正确， 故选：A ．2．已知△ABC 中，AB ＝BC ，若以点B 为圆心，以AB 为半径作圆，则点C 在（ ）A ．在⊙B 上B ．在⊙B 外C ．在⊙B 内D ．不能确定【答案】A【解析】∵AB =BC ，∴点A ，C 均在以点B 为圆心，以AB 为半径的圆上．故选：A ．3．在直角坐标平面内，点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(,0)a ，圆A 的半径为2．下列说法中不．正确．．的是（ ） A ．当1a =-时，点B 在圆A 上B ．当1a <时，点B 在圆A 内C ．当1a <-时，点B 在圆A 外D ．当13a -<<时，点B 在圆A 内 【答案】B【解析】如图：∵A(1,0)，A的半径是2，∴AC=AE=2，∴OE=1，OC=3，A. 当a=−1时，点B在E上，即B在圆A上，正确，故本选项不合题意；B. 当a=−3时，B在A外，即说当a<1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；C. 当a<−1时，AB>2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；D. 当−1<a<3时，B在A内正确，故本选项不合题意；故选:B.4．下列命题中，错误的是（）A．三角形重心是三条中线交点B．三角形外心到各顶点距离相等C．三角形内心到各边距离相等D．等腰三角形重心、内心、外心重合【答案】D试题分析：A、三角形的重心是三条中线的交点，正确；B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故正确；C、三角形的内心是三角平分线的交点，到各边的距离相等，故正确；D、等边三角形的重心、内心和外心才重合，故错误，故选D．5.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是_____．【答案】3＜r＜6【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，∴AB＝6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，点B在圆A外，则r＜6，因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．故答案为3＜r＜6；6．如图，在ABC 中，90C ∠=，5AB cm =，4BC cm =，以A 为圆心，3cm 为半径作圆．试判断：()1点C 与A 的位置关系；()2点B 与A 的位置关系；(3)AB 的中点D 与A 的位置关系．【答案】 (1)点C 在A 上；()2点B 在A 外；()3点D 在A 内．【解析】∵∠C=90°，AB=5cm ，BC=4cm ，∴AC=3cm ，BA=5cm ，DA=2.5cm ，（1）∵AC=r=3cm ，∴点C 在⊙A 上；（2）∵BA=5cm ＞3cm ，∴BA ＞r ，∴点B 在⊙A 外；（3）∵DA=2.5cm ＜3cm ，∴DA ＜r ，∴点D 在⊙A 内．考点二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例7】（1）下列图形中的角是圆心角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B 符合要求．故选：B ．（2）下列说法中，不正确的是（ ）A ．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等B ．同圆中，所有半径都相等C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D ．长度相同的弧是等弧【答案】D【解析】A 、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A 不符合题意．B 、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B 不符合题意．C 、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C 不符合题意．D 、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D 符合题意． 故选：D ．（3）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C ．【例8】一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为______°． 【答案】90．【解析】∵一条弦把圆分成1 : 3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360490︒÷=︒，∴弦所对的圆心角为90︒．【例9】如图，在O 中，AB AC =，70B ∠=︒，则BAC ∠=______．【答案】40︒．【解析】∵在O 中，AB AC =，∴C B ∠=∠，∵70B ∠=︒， ∴18040BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．【例10】如图，已知O 的半径是6，30BOD ∠=︒，BD BC =，CD =______．【答案】6．【解析】∵BD BC =，30BOD ∠=︒，∴30BOD BOC ∠=∠=︒， ∴60COD ∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ∆是等边三角形， ∴6CD =．【例11】如图，1O 和2O 是等圆，P 是12O O 的中点，过点P 作直线AD 交1O 于点A 、B ，交2O 于点C 、D ．求证：AB = CD ． 【解析】作1O E AB ⊥于E ，2O F CD ⊥于F ，∵P 是12O O 的中点，∴1PEO ∆≌2PFO ∆，∴12O E O F =， ∵1O 和2O 是等圆，∴AB CD =．【例12】已知，如图，AB 、CD 是O 的直径，弦AE // CD ，联结CE 、BC ．求证：BC = CE ．AB COAB C DOFA B C D PE【解析】∵OA OE =，∴A OEA ∠=∠，∵AE //CD ，∴BOC A ∠=∠，EOC OEA ∠=∠，∴BOC EOC ∠=∠，∴BC CE =．【例13】如图，O 是ABC ∆的外接圆，AO 平分BAC ∠，AOB BOC ∠=∠，判断ABC ∆的形状，并说明理由．【答案】等边三角形．【解析】∵AO 平分BAC ∠，∴BAO CAO ∠=∠，∵OA OC OB ==，∴ABO BAO CAO ACO ∠=∠=∠=∠，∴AOB AOC ∠=∠，∵AOB BOC ∠=∠，∴AOB AOC BOC ∠=∠=∠，∴AB BC CA ==，∴ABC ∆是等边三角形．【例14】已知，如图，AB 是O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥，DN AB ⊥． 求证：AC BD =． A B C D E O OAB CA B CD ONM【解析】连接OC 、OD ，则OC OD =，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM ON =，∵CM AB ⊥，DN AB ⊥，∴OCM ∆≌ODN ∆，∴COM DON ∠=∠，∴AC BD =．举一反三1.下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确；③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，故选：B ．2.如图，在⊙O 中，=AC BD ，∠AOD =150°，∠BOC =80°，则∠AOB 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】D 【解析】=AC BD ，AC BC BD BC ∴-=-，C ABD ∴=，AOB COD ∴∠=∠．∵∠AOD =150°，∠BOC =80°，()115080352AOB ∴∠=⨯︒-︒=︒， 故选：D ．3．如图，已知AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，联结OA ，AC ，如果∠OAB ＝20°，那么∠CAB 的度数是_____．【答案】35°【解析】连接CB ，OB ,CO .由题意AC ＝ CB ,∴AC ＝CB ,且△ABC 是等腰三角形，∠CAO ＝∠CBO∵AO ＝OB ，在△AOB 中∴∠BAO ＝∠ABO ＝20°∴∠AOB ＝180°－∠BAO －∠ABO ＝140°∵AC ＝CB∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝70° 在△AOC 中，AO ＝CO ，∴∠CAO ＝∠ACO ＝（180°－70°）×12＝55°∴∠CAB ＝∠CAO －∠OAB ＝55°－20°＝35°故答案为35°.4．如图所示，AB CD 、是O 的两条直径，//CE AB ，求证：BC AE ．【解析】证明：连接OE，CE AB，//∴∠=∠∠=∠，BOC C AOE E,=，OC OE∴∠=∠，C E∴∠=∠，BOC AOE∴=．BC AE5．如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE【解析】证明：连接OC．∵AC BC=，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，∴OD=OE，∵OC=OC（公共边），∴△COD≌△COE，∴CD=CE．∠的角平分线PB上的一点，O与PA相交于E，F点，PC相交于6．已知：如图，O是APCG，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．【答案】EF=GH，证明见解析【解析】解：EF=GH．证明：作OM⊥EF于M，ON⊥GH于N．∵O是∠AOB的角平分线PB上的一点，∴OM=ON，∴EF=GH1．（2021·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．2．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知点C在线段AB上（点C与点,A B不重合），过点,A B 的圆记为圆1O，过点,B C的圆记为圆2O，过点,C A的圆记为圆3O，则下列说法中正确的是（）A．圆1O可以经过点C B．点C可以在圆1O的内部C．点A可以在圆2O的内部D．点B可以在圆3O内部【答案】B【分析】根据题意，画出符合题意的示意图，然后求解．【详解】解：∵点C在线段AB上（点C与点,A B不重合），过点,A B的圆记为圆1O，∴点C 可以在圆1O的内部，故A错误，B正确；∵过点,B C的圆记为圆2O，∴点A可以在圆2O的外部，故C错误；∵过点,C A的圆记为圆3O，∴点B可以在圆3O的外部，故D错误．故选B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，画出适当的辅助图形，采用数形结合的方法，更有助于解题.3．（2018·上海宝山·九年级期末）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【答案】A【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【详解】∵圆心A 的坐标是（1，2），点P 的坐标是（5，2），∴＜5，∴点P 在⊙A 内，故选A ．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．4．（2019·上海上海·九年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tan B ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】已知等腰三角形ABC 中tan B ＝2，根据题意可求得△ABC 中过顶点A 的高AF 的长度，进而求得AB 的长度，以及得到AF 和CD 均为中线，故交点为重心，通过重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可求出CD B 点在⊙D 内，即满足r 大于BD 长度；要满足点C 在⊙D 外即r 小于CD 长度.【详解】如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，连接CD 交AF 于点 G ，∵AB ＝AC ，BC ＝4，∴BF ＝CF ＝2，∵tan B ＝2， ∴2AF BF=，即AF ＝4，∴AB∵D 为AB 的中点，∴BD G 是△ABC 的重心，∴GF ＝13AF ＝43，∴CG ，∴CD ＝32CG ∵点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，r故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数求线段长度，三角形重心，点与圆的位置关系；解答本题的关键是发现BC 边上的高和CD 的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可求出CD 的长度.二、填空题5．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是_____．【答案】点B 在⊙C 外【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：如图，∵点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ，∴BC ＞AC ，∴点B 在⊙C 外，故答案为：点B 在⊙C 外．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，当d ＞r 时点P 在圆外；当d ＜r 时点P 在圆内是解答此题的关键．6．（2018·上海金山·九年级期末）如图， AB 是⊙O 的弦，∠OAB=30°．OC ⊥OA ，交AB 于点C ，若OC=6，则AB 的长等于__．【答案】18【详解】连接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案为18.7．（2020·上海松江·二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：MN OM AB OA=．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明BOM AON≅，然后再证明NOM BOA，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE．222222,AD AO OD AE AO OE=-=-，AD AE∴=．,OD AB OE AC⊥⊥，2,2AB AD AC AE∴==，∴AB＝AC；（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴MN OM AB OA=．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四边形ABCD 是菱形（如图），以点B 为圆心，BD 长为半径的圆分别与边AD 、CD 、BC 、AB ，相交于点E 、F 、G 、H ，联结BE ．（1）求证：~BDE ADB △△；（2）联结EG ，如果//EG AB ，求证：2AE DE CB =⋅．【分析】（1）在菱形ABCD 中，AD =AB ，∠ADB =∠ABD ，又在圆B 中，BE =BD ，则∠ADB =∠ABD =∠BED ，即△BDE ∽△ADB ；（2）联结EG ，EG ∥AB ，又AD ∥BC ，四边形ABGE 是平行四边形，则AE =BG =BD ，由（1）得△BDE ∽△ADB ，得到BD DE AD BD=，即BD 2=AD •DE ，则可得出结论． 【详解】解：（1）在菱形ABCD 中，AD =AB ，∠ADB =∠ABD ，又在圆B 中，BE =BD ，∴∠BDE =∠BED ，∴∠ADB =∠ABD =∠BED ，∴△BDE ∽△ADB ；（2）如图，∵EG ∥AB ，又AD ∥BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形，∴AE =BG ，∵BG =BD ，∴AE=BD，又由（1）得△BDE∽△ADB，∴BD DE AD BD=，∴BD2=AD•DE，又在菱形ABCD中，AD=BC，∴AE2=DE•C B．【点睛】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等内容，熟知各种判定定理是解题基础．9．（2018·上海普陀·一模）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．求证：BD=CD．【分析】根据AB=AC，得到AB AC=，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论．【详解】证明：∵AB=AC，∴AB AC=，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是⊙O的直径，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴BD CD=，∴BD=CD．10．（2019·上海长宁·一模）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA= 35．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．【答案】（1）5（2【分析】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，设OH＝3k，AO＝5k，则AHAB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到结论；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，在 Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sinA＝35 OHAO=，设OH＝3k，AO＝5k，则AH∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半径长为5；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sinA ＝35CG AC =， ∵AC ＝8，∴CG ＝245，AG 325=，BG ＝85， 在Rt △CGB 中，∠CGB ＝90°，∴BC = 11．（2019·上海市南塘中学中考模拟） 如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接,CE CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且FAB ABC ∠=∠，连接BF ．（1）求证：BCD BEC ∠=∠；（2）若2BC =，1BD =，求CE 的长及sin ABF ∠的值．【答案】（1）证明见解析；（2），sin ABF ∠= 【分析】（1）利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出BDC ∆∽BCE ∆得出比例式求出4BE =，3DE =，利用勾股定理求出,CD CE ，再判断出AFM ∆∽BAC ∆，可求出FM ；进而判断出四边形FNCA 是矩形，求出,FN NC ，即可求出BN ，再用勾股定理求出BF ，即可得出结论．【详解】解：（1）∵90ACB ∠=，∴90BCD ACD ∠+∠=，∵DE 是⊙A 的直径，∴90DCE ∠=，∴90BEC CDE ∠+∠=，∵AD AC =，∴CDE ACD ∠=∠，∴BCD BEC ∠=∠；（2）∵BCD BEC ∠=∠，EBC EBC ∠=∠，∴BDC ∆∽BCE ∆， ∴CDBDBCCE BC BE ==，∵2BC =，1BD =，∴4BE =，2EC CD =，∴3DE BE BD =-=，在Rt DCE ∆中，2229DE CD CE =+=，∴CD =CE =，过点F 作FM AB ⊥于M ，∵FAB ABC ∠=∠，90FMA ACB ∠=∠=，∴AFM ∆∽BAC ∆， ∴FMAFAC AB =，∵3DE =， ∴32AD AF AC ===，52AB =， ∴910FM =，过点F 作FN BC ⊥于N ，∴90FNC ∠=，∵FAB ABC ∠=∠，∴//FA BC ，∴90FAC ACB ∠=∠=，∴四边形FNCA 是矩形， ∴32FN AC ==，32NC AF ==， ∴12BN =，在Rt FBN ∆中，BF =，在Rt FBM ∆中，sin FM ABF BF ∠==故答案为（1）证明见解析；（2），sin ABF∠=【点睛】本题主要考查圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．12．（2021·上海杨浦·二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD//OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；（2）如果3=，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．AD CD【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．【详解】证明：（1）如图１，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，在△DAC和△EAC中，AD AEDAC EAC AC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAC ≌△EAC （SAS ），∴CE ＝CD ；（2）如图2，连接CA ，∵3AD CD =，∴∠AOD ＝3∠COD ，∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠DOC ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵∠AOD +∠OAD +∠ADO ＝180°，∴5∠ADO ＝180°，∴∠ADO ＝36°，∴∠AOD ＝108°，∠DOC ＝36°，∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝72°，∴∠ADC ＝108°，∵△DAC ≌△EAC ，∴∠ADC ＝∠AEC ＝108°，∴∠AOD ＝∠AEC ，∴OD ∥CE ，又∵OC ∥AD ，∴四边形OCFD是平行四边形，又∵OD＝OC，∴平行四边形OCFD是菱形．【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，平行线的性质，三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握圆的基本性质，菱形的判定是解题的关键．。
九年级数学圆第四节圆心角知识梳理及典例分析
第四节圆心角知识点梳理【知识点一】圆心角定理1.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心2.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
【知识点二】圆心角与它所对弧的度数关系1.1o 圆心角所对的弧叫做1o 的弧，n o 圆心角所对的弧叫做n o的弧2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。
【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等典例分析【题型一】利用圆心角的关系说明弧的关系【例1】 如图,在⊙O 中,D,E 分别是半径OA ,OB 上的点,且AD=BE,C 为AB 上的一点,且CD= CE,那么AC =BC 吗?为什么?【变式1】 如图,在⊙O 中,AB 为直径，CO ⊥AB ，D 为CO 的中点，DE ∥AB ，求证：2EC EA【题型二】利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明【例1】如图,⊙O 的弦 AB, CD 相交于点 P ,P0平分∠APD.求证:AB=CD【变式1】小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在图中，若∠AOB=2∠COD，则2，AB=2CD，你同意吗？说明理由。
AB CD【题型三】与圆心角有关的实际问题【例1】已知来庄、李庄分别位于直径为300 m的半圆弧上的三等分点的位置,现在要在河(半圆弧所在圆的直径所在的直线)修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最少需要多少米水管。
【变式1】某村想在村口建如图形状的门, 已知AB的度数为120°,立柱AC高2m.若要使高3 m，宽2m的集装箱货车能通过该门.问：AB的半径应大于于多少？【题型四】弧、弦之间的关系与垂径定理的综合应用【例1】如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连结PA，PB。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）1. 弧在前文中我们已经介绍了圆心角和弧之间的关系。
在这篇文章中，我们将进一步探讨弦和弦心距与圆心角、弧之间的关系。
首先，我们先来了解一下什么是弧。
在一个圆上，两个点之间的曲线部分叫做弧。
弧的长度可以通过圆心角来计算，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。
假设圆的半径为r，圆心角为θ，那么弧长L可以表示为：L = r * θ2. 弦接下来，我们来介绍一下弦。
弦是连接圆上的两个点的线段。
弦的长度可以通过圆心角来计算，通过以下公式计算：S = 2 * r * sin(θ/2)其中S表示弦的长度。
3. 弦心距弦心距是指从圆的中心点到弦的距离。
弦心距可以通过以下公式计算：D = 2 * r * cos(θ/2)其中D表示弦心距。
4. 圆心角与弦、弦心距的关系圆心角与弦和弦心距之间有一定的关系。
当圆心角的大小固定时，弦和弦心距的大小也是固定的。
具体可以通过以下公式进行计算：•弦长S与圆心角θ之间的关系：S = 2 * r * sin(θ/2)•弦心距D与圆心角θ之间的关系：D = 2 * r * cos(θ/2)可以看出，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距都与半径r成正比。
也就是说，如果增加半径r的大小，弦长和弦心距也会增加；减小半径r的大小，弦长和弦心距也会减小。
另外，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距之间也有一定的关系。
根据三角函数的性质，可以得到以下关系：S^2 + D^2 = (2r)^2该关系也被称为勾股定理。
5. 总结综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一定的关系。
圆心角决定了弧的长度，可以通过半径和圆心角的关系进行计算；弦的长度和弦心距都与圆心角成正比，可以通过圆心角和半径的关系进行计算。
另外，弦和弦心距之间也满足勾股定理。
通过理解和掌握这些关系，我们可以在解决相关问题时更加灵活和准确。
实际应用中，这些关系经常用于计算圆中的各个要素，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。
圆心角、弧、弦、弦心-36页PPT精选文档
(( ((
( (
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（1）如果AB＝CD ,那么O_E_=O_F_,_AB_=_C_D,∠__AO_B_=_∠_C_O_D
（2）如果OE＝OF，那么A_B_=_CD_,A_B_=_C_D,_∠_A_O_B_=_∠_C_OD （3）如果AB＝CD，那么_A_B_=C_D,_O_E_=O_F,_∠_A_O_B_=∠_C_O_D
，
M
O
（
∠ＡＯＢ连同AB绕
圆心Ｏ旋转且使射
观察
线ＯＡ与ＯＡ，重合，
发现什么？
，
，
A与A 重合，B 重合
， B
， A
， M
O
（
∠ＡＯＢ连同AB绕
圆心Ｏ旋转且使射
观察
线ＯＡ与ＯＡ，重合，
发现什么？
，
，
A与A 重合，B与B 重合
，，
∵∠AOB=∠AOB
， B
， M
， A
，
∴ 射线OB与OB 重合
由圆的旋转不变性知
圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系
A
M
B
∟
o
作者：杜贵祥
1.举例说明什么是中心对称图形？ 如何判定一个图形是中心对称图形？
A
O A
O
B B
D C
1.举例说明什么是中心对称图形？ 如何判定一个图形是中心对称图形？
A
O A
O
B B
D C
1.举例说明什么是中心对称图形？ 如何判定一个图形是中心对称图形？
A
O A
O
B B
D C
1.举例说明什么是中心对称图形？ 如何判定一个图形是中心对称图形？
A
O A
O
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握在同圆或等圆中，四组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，两条弦的弦心距之间的关系及其它们在解题中的应用．3.理解反证法的意义，并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.要点二、圆的确定（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.要点三、反证法反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种重要的数学证明方法，而且有些命题只能用它去证明．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；（3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；（4）肯定原来命题的结论是正确的．【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系及应用1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证»»AD BC=或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴»»AB CD=．∴»»»»AB BD CD BD-=-，即»»AD BC=，∴ AD＝BC．证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，∵ AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】（2015秋•丹阳市月考）已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是．【答案】解：连结OA、OB，如图，∵弦AB把圆周分成1：3两部分，∴∠AOB=×360°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=4．故答案为4．2.如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）.A.这两条弦所对的圆心角相等B. 这两条弦所对的弧相等C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分相等D. 这两条弦所对的弦心距相等【思路点拨】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，但在不同圆中则另当别论.【答案与解析】C；解：A.这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，所以本选项错；B.这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，所以本选项错；C.这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，所以本选项是对的；D. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，所以本选项错；所以选C.【总结升华】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距间的关系，注意在同圆和等圆找个条件，审题要仔细，不要盲目解答.类型二、圆的确定3.已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．【思路点拨】要求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心，只要证明AE=BE=DE即可，可以根据等角对等边可以证得．【答案与解析】证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴AE=DE．又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．∴∠EBD=∠EDB．∴BE=DE．∴AE=B E=DE．∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等，反之，到一个点距离相等的点在同一个圆上.举一反三：【变式】已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．【答案与解析】解：如下图，连接AB，作出AB的垂直平分线交直线a于O点，以O为圆心，OA为半径作圆．类型三、反证法4、（2014秋•定陶县期中）用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．【思路点拨】首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．【答案与解析】已知如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，求证：BN、CM不能互相平分．O NMCBA证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，所以BN、CM能互相平分结论不成立，故BN、CM不能互相平分.【总结升华】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．举一反三：【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 .【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．。
九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距的关系人教四年制知识精讲
九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距的关系人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：圆心角、弧、弦、弦心距的关系二. 重点、难点：1. 等弧对等角、对等弦、对等弦心距。
2. 在同圆或等圆中，等角、等弦、等弦心距对等弧。
∴ 点A 、B 到DC 距离相等 ∴ AB ∥CD[例3] ABC ∆中，A ∠为直角，⊙O 与三边交于P 、Q 、R 、S 、K 、L ，若PQ=RS=KL ，求BOC ∠大小。
由勾股定理，2222)47(1)47(--=-x x 整理得02742=--x x 21=x ，412-=x （舍） ∴42==x AB[例6] 如图，C 、D 在以AB 为直径的半圆上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，DH ⊥OC 于H ，若AE=2cm ，EO=3cm ，求HF 长。
解：作出⊙延长DH ∴ HF=NK 21∵ CM ∥DK ∴⋂⋂⋂==CN MK CD∴⋂⋂=NK CM ∴ CM=NK ∴HF CM CE ==21又 ∵ OC=OA=5cm OE=3cm ∴ CE=4cm ∴ HF=4cm【模拟试题】（答题时间：45分钟）4. 如图3，在半径为2cm 的⊙O 内有长为cm 32的弦AB ，则此弦所对的圆心角AOB ∠为（ ）A. ︒60B. ︒90C. ︒120D. ︒1507. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（ ） A. cm 3 B. cm 2 C. cm 1 D. cm 38. 已知⊙O 的弦AB 长为8cm ，⊙O的半径为5cm ，则弦心距为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 39cm D. 392cm9. 如图6，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ） ︒=60AOB ；正确的是（ ）A. ①②③④⑤B. ①②④⑤C. ①②D. ②④⑤二. 填空题：11. 在圆中︒80的弧所对的圆心角的度数是。
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。
2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。
二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
cm。
2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。
其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。
（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题 （第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题） （第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。
24.1.3-弧、弦、圆心角、弦心距终极版
知 在同圆或等圆中，两条弧、
一 两条弦、两个圆心角、两条
推
弦心距四组量中，有一组量 相等，那么所对应的其它各
三 组量都分别相等．
例题
已知：在⊙O中，A⌒B=A⌒C ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
A 证明：∵A⌒B=A⌒C
∴AB=AC．
又∠ACB=60°，
O·
∴AB=BC=CA．
③AB=A′B′ 两条弦相等
④ OD=O′D′
两条弦心距相等
这四组关系 分别轮换，其它 关系是否成立?
弧、弦、圆心角关系定理的推论
②A⌒B=A′⌒B′
①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
弧、弦、圆心角关系定理的推论
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
课堂小结
1． 圆心角
A
顶点在圆心的角．
O· B
2． 弦心距
圆心到弦的距离（即圆
O·
心到弦的垂线段的距离）．
┓
AC
B
3． 弧、弦、圆心角、弦心距的关 系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
A C
B
●O
┏ A′ C′ B′
A
E
B
O·
D
F C
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
OE与OF相等吗？为什么？
A
E
B
OE OF ,
O·
D
证明： OE AB,OF CD
F
圆中知识结构图
关于《圆》的知识结构整理一.主要定理及其作用：1.圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角②两条弧，③两条弦④两条弦心距中，有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧一等角-一等弦……）用的最多的依据：①在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等②等弧所对的圆心角相等：③在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等④等弧所对的两条弦相等2.垂径定理：如果一条直线①过圆心；②垂直于弦：③平分弦：④平分劣弧：⑤平分优弧•只要具备其中两个条件，就可推岀其余三个结论. （直角三角形一等弧……）用的最多的依据：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所的两条弧②平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.③一条弦的垂直平分线I I经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦.3.圆周角定理：（1）直径所对的圆周角是直角：（2） 90°的圆周角所对的弦是直径。
（3）—条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半：（4）同弧所对的圆周角相等：（5）等弧所对的圆周角相等：（6）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等：（等弧——等角——直角三角形）4.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。
（垂直关系）5.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线O6.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（等弦一-等弧一-等角）7.相切和相交两圆的性质定理：如果两圆相切，连心线必过切点。
如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦二.主要辅助线及其作用：1.作弦心距：弦的中点.弧的中点。
2.过某一点作弦：构造相等的圆周角。
3.作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。
4.连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”。
初中数学《圆周角定理及点圆关系》讲义及练习
内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题一、圆周角定理圆心角和圆周角1． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2． 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4． 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．圆是平面几何中的一个重要内容．由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经常出现在数学竞赛中． 圆的基本性质有：⑴ 直径所对的圆周角是直角． ⑵ 同弧所对的圆周角相等．⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，其它各组量都相等。
三、点与圆的位置关系点与圆的位置关系知识点睛中考要求第十讲圆周角定理及点与圆关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r<.=；点在圆内⇔d r确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B 的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心是线段AB、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆⑷过n()4心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4. 三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.四、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O⋅=⋅．⊙内一点P，则PA PB PC PDP ODC BA相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．一、圆周角定理【例1】 (08山西太原)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为 ．【解析】 直径所对圆周角是90°且同弧所对圆周角相等． 所以得55°． 【巩固】⑴(08龙岩)如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．⑵ 如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠==，，则O ⊙的半径为______cm ．O1BAOCBAOCBA【解析】 ⑴ ()117040152∠=︒-︒=︒． ⑵ 连接OA ，OB∵30C ∠=︒，∴260O C ∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴2OA AB ==，即O 的半径为2．【巩固】⑴ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．⑵ (06年安徽课改)如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )A.22B.4C.23D.5CBD OA重、难点例题精讲BABA【解析】 ⑴ 连接OA 、OB ，设弦AB 所对的圆周角为ACB ∠．∵AB OA OB ==∴AOB ∆是等边三角形 ∴60AOB ∠=︒∴当点C 在AB 上时(劣弧上)，1(360)2ACB AOB ∠=︒-∠1(36060)1502=⨯︒-︒=︒．当点C 在AmB 上时(优弧上)，1302ACB AOB ∠=∠=︒故该弦所对的圆周角为30︒或150︒． ⑵ 如右图所示连接OA 、OB ，因为45C ∠=︒，290AOB C ∠=∠=︒4AB=，所以半径为OA OB ==．【例2】 (07年威海中考题)如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．B ABA【解析】 连接AC 、BC∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒， 又∵D CBA ∠=∠，E CAB ∠=∠，∴90D E ∠+∠=︒， 又∵DCE D E ∠=∠=∠，∴45DCE D E ∠=∠=∠=︒，∴9045135DAB EBA DCB ECA ACB DCE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒， 即135A B +=︒∠∠【巩固】(08年济宁改编)如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【解析】 以A 为圆心，AB 为半径作辅助圆则C D 、均在A ⊙上，∴1382CBD CAD ∠=∠=︒，226BAC BDC ∠=∠=︒．【例3】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．EE【解析】 连结OD∵AB 是直径，2AB DE =，∴12DE AB OD ==∴18DOE E ∠=∠=︒，∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒， ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．【巩固】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠ 的度数．DD【解析】 连结OB∵AB OC =，OB OC =，∴OB AB = 设A x ∠=，则BOA x ∠=． ∴2OBE BOA A x ∠=∠+∠=． ∵OE OB =，∴2OEA OBE x ∠=∠=．∴387EOD E A x ∠=∠+∠==︒ ∴29x =︒，即29A ∠=︒．【巩固】如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．B【解析】 连结AC ．设∠DCA ＝x°，则∠DBA ＝x°，所以∠CAB ＝x°＋20°．因为AB 为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA ＋∠CAB ＝90°．又 ∠DBC ＝50°，∴ 50＋x ＋(x ＋20)＝90． ∴ x ＝10．∴∠CBE ＝60°．所以答案是60°．【例4】 (07重庆)已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【解析】 由题意可知122.52EBC BAC ∠=∠=︒，故①正确，连接AD 可得90ADB ∠=︒，由等腰三角形三线合一的性质可知BD DC =，故②正确；2ABE EBD ∠=∠，由弧的度数和它所对的圆心角是相等的，可知2AE DE =，故④正确， ∴正确结论的序号是：①②④．【例5】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【解析】 延长AC 交BD 的延长线于E ，∵AB 是半圆的直径，AD 平分CAB ∠， 则可得10AE AB ==，BD ED =， ∴4CE AE AC =-=，∵90ACB ∠=︒，∴8BC =，在RtBCE ∆中，BE =，∴BD DE ==∴AD =【例6】 (08乌鲁木齐)如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例7】 ⑴(09河北)如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BAB⑵(09四川成都)如上右图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．⑶(09山东泰安)O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且AB =AB 所对圆周角的度数为_____________．【解析】 ⑴45︒；⑵60︒或120︒．【例 1】 (07年枣庄中考题)如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .A【解析】 连接CD .证明ABD CDB ∆∆≌，∴6BC AD ==.【例8】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵ AM BN =．【解析】 ⑴ ∵AC BF =，∴AC BF =， ∵AB 是直径，∴AEB ADB =，∴AEB AC ADB BF -=-，即BEC ADF =． ⑵ 由⑴可知CAM FBN ∠=∠，∵CD EF ∥，∴CMA DMB FNB ∠=∠=∠，又AC BF =，∴ACM BFN ∆∆≌，∴AM BN =．【例9】 如图，点A B C 、、是O ⊙上的三点，AB OC ∥．⑴ 求证：AC 平分OAB ∠；⑵ 过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P ．若230AB AOE =∠=︒，，求PE 的长．【解析】 ⑴ ∵AB OC ∥，∴BAC C ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC C ∠=∠，∴BAC OAC ∠=∠，∴AC 平分OAB ∠．⑵ ∵OE AB ⊥，∴112AE AB ==，在Rt AOE ∆中，9030OEA AOE ∠=︒∠=︒，，∴22AO AE OE ==，以下可以用两种不同方法解答：解法一：∵AB OC ∥，∴12AE PE OC OP ==∴13PE OE =解法二：由⑴得AC 平分OAB ∠，∴2OA OPAE PE==，∴13PE OE =【例10】 ⑴如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．O PFEDC B A⑵ 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．⑶ 已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．【解析】 ⑴1；⑵40︒；⑶作B 点关于MN 的对称点B ′，连结AB ′与MN 交于点P ， 易证得，此时PA PB +取得最小值．根据圆的对称性，B ′点在O ⊙上，且B N BN =′， ∵A 是半圆的三等分点，∴13AN MAN =，∴60AON ∠=︒，∵B 是AN 的中点，∴1302BON AON ∠=∠=︒，∴30B ON ∠=︒′，∴90AOB AON B ON ∠=∠+∠=︒′′， ∵O ⊙半径为1，∴1OA OB ==′，∴AB ′，∴PA PB +【巩固】(09浙江衢州)如图，AD 是O ⊙的直径．⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3B B 2【解析】 ⑴ 22.567.5︒︒，；⑵ ∵圆周被6等分，∴111223360660B C C C C C ===÷=︒．∵直径11AD B C ⊥，∴1111302AC B C ==︒，∴()()12311153060453060607522B B B ∠=︒∠=⨯︒+︒=︒∠=⨯︒+︒+︒=︒，，．⑶ ()()90451136036012222n n B n n n n -︒︒︒⎡⎤∠=⨯+-⋅=⎢⎥⎣⎦(或3604590908nB n n ︒︒∠=︒-=︒-)【例11】 已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【解析】 ∵ACB BCN ∠=∠，又∵ACB ADB ∠=∠；BCN BAD ∠=∠， ∴BAD BDA ∠=∠， ∴BA BD =．【巩固】已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，过B 作BM AC ⊥于M ，BN CD ⊥于N ，则下列结论中一定正确的有 ．①CM CN =；②MBN ABD ∠=∠；③AM DN =；④BN 为⊙O 的切线．【解析】 可证得BCM ∆≌BCN ∆．∴CM CN =，故①正确；四边形BMCN 的内角和为360︒可知，180MBN MCN ∠+∠=︒， 又∵180MCN ACD ∠+∠=︒， ∴MBN ACD ∠=∠， ∵ACD ABD ∠=∠，∴MBN ABD ∠=∠，故②正确；利用外角平分线易证AB BD =，又∵BM BN =，AMB DNB ∠=∠， ∴ABM DBN ∆∆≌，∴AM DN =，故③正确；若BN 为⊙O 的切线，则NBC BAC ∠=∠， ∵90NBC BCN ∠+∠=︒，而BCN ACB ∠=∠， ∴90BAC ACB ∠+∠=︒， ∴AC 为O ⊙直径．而AC 不一定为O ⊙直径，故④不正确．【巩固】(09辽宁)已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑵ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2∆ABC 外接圆的面积．AB CD【解析】 ⑴ 如图，设F 为AD 延长线上一点∵D 在∆ABC 外接圆上(A B C D 、、、四点共圆) ∴∠=∠CDF ABC又=AB AC ，∴∠=∠ABC ACB ， 且∠=∠ADB ACB ，∴∠=∠ADB CDF对顶角∠=∠EDF ADB ，故∠=∠EDF CDF ， 即AD 的延长线平分∠CDE ．⑵ 设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则⊥AH BC ． 连接OC ，由题意15∠=∠=︒OAC OCA ，75∠=︒ACB ， ∴60∠=︒OCH ．设圆半径为r，则2+=r 2=r ，外接圆的面积为4π．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例12】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么( )A.2AB CD >B.2AB CD <C.2AB CD =D.AB 与2CD的大小关系不能确定【解析】 如图所示，作DE CD =，则2CE CD =，∵在CDE ∆中CD DE CE +>，∴2CD CE >， ∵2AB CD =，∴AB CE >，∴AB CE >，即2AB CD >． 故选A ．【例13】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【解析】 过O 点分别作OF AC OG DE ⊥⊥，，垂足分别为F G 、．∵DE AB ∥，∴BAD D ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠， ∴AE CD =，∴AE EC CD EC +=+，即AC DE = ∴AC DE =， ∵OF AC OG DE ⊥⊥，，∴OF OG =，∴点O 在APD ∠的平分线上，即OP 平分APD ∠．【巩固】已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBAQPNMOFEDCBA【解析】 连接CN AN ，，ON OM ，，连接MN 并延长，交PA 的延长线于Q ．∵M N ，三等分AB ，∴AM BN =，故MN AB ∥，由AE EF =，可证得QM MN =， 由AM MN =得AM MN =， ∴MA MQ MN ==， ∴QAN ∠为直角，∴90CAN ∠=︒，故CN 为O 直径， 故O 在CN 上∴22AON ACN MON ∠=∠=∠∴MON ACN ∠=∠，故OM AP ∥， 同理可证：ON AB ∥于是可证得：MON APB ∠=∠，∵3AOB MON ∠=∠，∴3AOB APB ∠=∠．【例14】 (2008年广州市数学中考试题)如图，射线AM 交一圆于点B C ，，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC DE =．⑴ 求证：AC AE =⑵ 分别作线段CE 的垂直平分线与MCE ∠的平分线，两线交于点F ．求证：EF 平分CEN ∠．NME【解析】 ⑴ 作OP AM ⊥，OQ AN ⊥，由BC DE =，得OP OQ =，证APO AQO ∆∆≌，可得AP AQ =， 由BC CD =，得CP EQ = ∴AC AE =． ⑵ ∵AC AE =，∴ACE AEC ∠=∠，∴MCE NEC ∠=∠， ∵F 在线段CE 的中垂线上， ∴FC FE =，∴FCE FEC ∠=∠，∵12FCE MEC ∠=∠，∴12FEC NEC ∠=∠，即EF 平分CEN ∠．三、点与圆的位置关系【例15】 一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．【解析】 ⑴ 当点在圆外时，512cm 2r -==，⑵ 当点在圆内时，513cm 2r +==．【例16】 已知：四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC =，135BAD ∠=︒，20AB =，40CD =，以A 为圆心，AB 长为半径作圆．求证：在A ⊙上，在A ⊙内，A ⊙外都有线段DC 上的点.C【解析】 如图所示，作AE CD ⊥于E∵ABCD 是等腰梯，AE CD ⊥，135BAD ∠=︒，20AB =，40CD =∴20AD =<，20AC = ∴D 点在A ⊙内，C 点在A ⊙外，圆内一点与圆外一点的连线，必与圆有一交点， 所以A ⊙上，A ⊙内， A ⊙外都有线段DC 上的点.【例17】 在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，5为半径作O ⊙，已知A ，B ，C 三点的坐标分别为()34A ，，()33B --，，(4C ，，试判断A ，B ，C 三点与O ⊙的位置关系.【解析】∵5OA =5OB =5OC >∴点A 在O ⊙上，点B 在O ⊙内，点C 在O ⊙外.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.【例18】 在ABC ∆ 中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴ 当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵ 当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶ 是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA【解析】 如右图所示在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，根据勾股定理得：3BC ==⑴ 当4r =时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内.因为4AC r ==，所以点A 在C ⊙上，34BC r =<=，所以B 在C ⊙内； ⑵ 当34r <<时，点A 在C ⊙的外部，且点B 在C ⊙的内部.由于3BC =，要使点B 在C ⊙的内部，必须C ⊙的半径3r >；又由于4AC =，要使点A 在C ⊙的外部，必须C ⊙的半径4r <. 综合上述两方面可知，34r <<.⑶ 不存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部.因为3BC =，要使点B 在C ⊙上，必须3r =，此时，由于4AC r =>，所以点A 在C ⊙的外部，点A 不在C ⊙的内部，所以这样的实数r 不存在.【例19】 已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴ 以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵ 若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C ⊙半径r 的取值范围．M CBA【解析】 如右图所示⑴ ∵2AC =，且C ⊙的半径也为2，即AC r =∴点A 在C ⊙上.又∵3BC =，2R =，BC r > ∴点B 在C ⊙外.在ABC ∆中，AB = ∵M 为AB 的中点∴122MC AB ==<∴点M 在C ⊙内； ⑵ ∵2AC =，3BC =，MC ∴BC AC MC >>∴要使A ，B ，M 三点中至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，则C ⊙的半径r 的3r <<.【点评】⑴ 要判定点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系，只要比较AC ，BC ，MC 的长度与C ⊙的半径的大小关系即可；⑵ 由⑴求得AC ，BC ，MC 的长度即可确定C ⊙的半径r 的取值范围.【例20】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【解析】 作高AD ，设点O 是ABC ∆OB∵AB AC =，AD BC ⊥，∴16BD BC ==在Rt ABD ∆中，8AD 设O ⊙的半径为R ，则OB AO R ==，8OD R =-. 在Rt OBD ∆中， 222OB BD OD =+∴2226(8)R R =+-，解得254R =.∴外接圆的半径为254.【点评】运用外心到三角形的三个顶点的距离相等这一性质，注意，三角形的外心在等腰三角形底边的中垂线上.四、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PCPD ⋅=⋅．相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 【例21】 ⑴ 如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．⑵ 如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =，若 1.54AM BM ==，，则OC 的长为( )A． BC． D ．⑶ 如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( )A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅C ．2PA PB PC =⋅D ．2PB PA PC =⋅【解析】 ⑴6；⑵D ；⑶B ．【例22】如图，圆的半径是A C 、两点在圆上，点B 在圆内，6AB =，2BC =，90ABC ∠=︒求点B到圆心的距离．【解析】 连结OB ，则线段OB 的长就是所求点B 到圆心的距离．连结OA ，延长AB 交O ⊙于D ，过O 点作OE AD ⊥于E ，延长CB 交O ⊙于F ． 设BD x =，由相交弦定理可得AB BD BC BF ⋅=⋅，则3AB BDBF x BC⋅==，∵OE AD ⊥，∴()()11166222AE AD x BE x ==+=-，，()()11132232222OE CF BC x x =-=+-=-，在Rt AOE ∆中，90AEO ∠=︒，∴222OE AE OA +=，即()()22113265044x x -++=，解得4x =，∴()()1134256412OE BE=⨯-==-=，，OB =【例23】 如图，正方形ABCD 内接于O ⊙，点P 在劣弧AB 上，连结DP 交AC 于点Q ．若QP QO =，则QCQA的值为___________．【解析】 连结DO ，设O ⊙半径为r ，QO m =，则QP m QC r m QA r m ==+=-，，．在O ⊙中，根据相交弦定理得QA QC QP QD ⋅=⋅，即()()r m r m mQD -+=，∴22r m QD m-=，由勾股定理得222QD DO QO =+，即22222r m r m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得33m r =． ∴313231QC r m QA r m ++===+--．【习题1】 (2007浙江温州)如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是( )A ．40︒B ． 50︒C ． 80︒D ． 100︒【解析】 考察同弧所对圆心角圆周角关系．答案选：D ．【习题2】 如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB 等于 ．A ． 60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°mBAO【解析】 答案选C ．【习题3】 (09四川凉山)如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．OCBA【解析】 40︒．【习题4】 (09四川南充)如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．OD CBA家庭作业【解析】 40︒．【习题5】 如果两条弦相等，那么( )A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对【解析】 考察圆心角定理，关键是这些条件成立的前提是在同圆或等圆中．所以选D ．【习题6】 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD =BD ，∠C =70°． 现给出以下四个结论：①∠A =45°； ②AC =AB ； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ED C BAO【解析】 考察利用圆中角可推出等弧，等弦，相似．答案选 C ．【习题7】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为( )A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】 考察同弧所对圆心角是圆周角的2倍．答选 B ．【习题8】 (首师大附中2008-2009初三月考)定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．GEK DB A【解析】 连结KE AK 、，由题意可知K ⊙的半径为6cm ，6cm EK AB BE ⊥=，，∴8cm AE =，∴2210cm AK AE EK =+=， ∴点A 与K ⊙的距离为1064cm -=．【备选1】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是 A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒O EDCA【解析】 A ．【备选2】 (08泰安)如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．OEDCBA【解析】 ()136018022mD E m ∠+∠=︒-=︒-．【备选3】 如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，AC 的度数为60°，BD 的度数为100°，则AEC∠等于( )A ． 60°B ． 100°C ． 80°D ． 130°EDC BO A【解析】 连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝21×60°＋21×100°＝80°．所以答案是C ．【备选4】 设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为【解析】 内切圆半径为1()12r a b c =+-=；外接圆半径为 2.52cR ==.【备选5】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍．月测备选A ．23B ．33C ．3D ．21【解析】 考察等边三角形与外接圆半径的关系，所以选B【备选6】 (08山东滨州)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE相等的角有( )BAA ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个【解析】 考察同弧，等弧所对圆周角相等，所以选B ．【备选7】 (宜宾)已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒P【解析】 连接BO ，CO ，可得90BOC ∠=︒，∴1452BPC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【备选8】 (09浙江温州)如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【解析】 A ．【备选9】 Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA【解析】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，∴5AB =由面积相等得，AC BC AB CD ⋅=⋅.∴122.45AC BC CD AB ⋅===∴ 2.4d CD ==∴1d r >， 2d r =， 3d r <∴点D 与三个圆的位置关系分别是：在圆外，在圆上，在圆内.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.。
弦,圆心角,弧,弦心距关系定理及内接四边形
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。
求证：PA=PC 。
例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。
弧、弦、圆心角练习题及答案
弧、弦、圆心角1/、. 圆心角，弦心距的概念.顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还有：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。
【典型例题】例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图所示：因为∠AOB=∠A′OB′，所以=.（2）在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么=。
例2. 已知：如图所示，AD=BC。
求证：AB=CD。
圆周角一、基础知识填空1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．二、选择题5．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．10题图11题图12题图13题图A．64°B．48°C．32°D．76°6．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°9．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．。
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圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练
习
1、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
若∠AOB=∠A ＇OB ＇,则 AB ⌒ = A'B' ⌒ ,AB=A ＇B ＇,AM=A ＇M ＇
2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么
它们所对应的其余各组量都分别相等.
特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中；
②同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或
优弧,一般选择劣弧。
③“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等”, 这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而
不是角与弧相等,在书写时要防止出现“∠=⋂
AOB AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个不能比较变量
的概念。
相等的弧一定是相同度数的弧,但相同度数的弧却不一定是相等的弧；④在同圆或等圆中,如果弦不等,那么弦心距也就不等,大弦的弦心距较小,小弦的弦心距反而大,反之弦心距较小时,则弦较大。
当弦为圆中的最大弦（直径）时,弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时,趋近于零时,弦心距逐步增大,
趋近于半径。
⑤在同圆或等圆中,如果弧不等,那么弧所对的弦、圆心角也不等,且大弧所对的圆心角较大,反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大,只有当弧是劣弧时,这一命题才能成立,半圆对的弦最大,当弧为
优弧时,弧越大,对的弦越短。
3、应用
（1）在解答圆的问题时,若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距,利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外,证
明两弦相等也常作弦心距。
（3）在计算弧的度数时,或有等弧的条件时,或证等弧时,常作弧所对的圆心角。
（4）有弧的中点或证弧的中点时,常有以下几种引辅助线的方法：
（I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。
例：如图，为⊙的弦，，、交于、。
CD O AC BD OA OB CD F E ⋂=⋂
求证：OE ＝OF
∴≅∆∆OFN OEN ∴=OF OE
练习
一、选择题
1、下列说法中正确的是（ ）
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、相等的弧所对的圆心角相等
C 、相等的弦所对的弦心距相等
D 、弦心距相等,则弦相等 2、半径为4cm,120°的圆心角所对的弦长为（ ）
A. 5cm
B. 43cm
C. 6cm
D. 33cm
3、在同圆或等圆中,如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍,则下列式子中能成立的是（ ）
A. AB CD =2
B. AB CD ⋂>⋂2
C. AB CD ⋂<⋂2
D. AB CD ⋂=⋂2
4. 在⊙O 中,圆心角∠AOB ＝90°,点O 到弦AB 的距离为4,则⊙O 的直径的长为（ ） A. 42 B. 82 C. 24 D. 16
5. 在⊙O 中,两弦AB ＜CD,OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距,则OM 、ON 的关系是（ ） A. OM ON > B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定
6、如图1,ABC ∆内接于⊙O ,445==∠，AB C
则⊙O 的半径为（ ）. A ．22
B ．4
C ．32
D ．5
7、如图2,在⊙O 中,点C 是AB 的中点,
40=∠A ,则BOC ∠等于（ ）.
如图
4 如图5
如图6 A ．
40 B ．
50 C ．
70 D ．
80 8、如图3,AB 为⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的两点,∠=︒BAC 20,AD CD ⋂=⋂
,则∠DAC 的
度数是（ ）
D
A
O
B
C
二、填空题
1、如图3,A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点,且D 是AB 的中点,CD 交OB 于E, 55,100=∠=∠OBC AOB ,OEC ∠= 度.
130=,则BAC ∠的度数是 .
3、如图5,AB 是半圆O 的直径,E 是BC 的中点,OE 交弦BC 于点D,已知BC=8cm,DE=2cm,则AD 的长为 cm.
4、 一条弦把圆分成1：3两部分,则劣弧所对的圆心角的度数为____________。
5、一条弦等于其圆的半径,则弦所对的优弧的度数为____________。
6、在半径为R 的圆中,垂直平分半径的弦长等于____________。
4. 在⊙O 中,弦CD 与直径AB 相交于E,且∠AEC ＝30°,AE ＝1cm,BE ＝5cm,那么弦CD 的弦心距OF ＝_______cm,弦CD 的长为________cm 。
7、 已知⊙O 的半径为5cm,过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm,则OP ＝_______。
8‘已知A 、B 、C 为⊙O 上三点,若AB BC CA ⋂⋂⋂
、、度数之比为1：2：3,则∠AOB ＝_______,
∠BOC ＝________,∠COA ＝________。
9、 已知⊙O 中,直径为10cm,AB ⋂
是⊙O 的1
4,则弦AB ＝_______,AB 的弦心距＝______。
三、解答题 1. 如图1：已知,OA 为⊙O 的半径,AC 是弦,OB ⊥OA 并交AC 延长线于B 点,OA ＝6,OB ＝8,求AC 的长。
2. 如图2,∆ABC 中,∠=︒A 70,⊙O 在∆ABC 的三边上所截得的弦长都相等,求∠BOC 的度数。
如图3 如图2 1
度数。
O
A
C
B O
A
B
C
O
C A
B
D
E
四、证明题
1、已知：如图1,∠AOB=90°,C 、D 是弧AB 的三等分点,AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。
求证：AE=BF=CD 。
O C
B
A
D N
M O
A C E
B
D
1
2
3。