高中数学2.3变量间的相关关系(教、学案)
人教版高中数学(必修3)导学案：2.3变量间的相关关系(无答案)
高二数学SX-G2-B3-U2-L2.32.3 《变量间的相关关系》导学案编写人：审核：高二数学组编写时间：一、教学目标：1.了解相关关系与函数关系的异同点；2.会画散点图,能用不同的估算方法描述两变量的线性相关关系, 并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断; 3.会求回归直线方程.二、教学重、难点：重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系,会求回归直线方程.难点：理解变量间的相关关系.三、使用说明及学法指导:1．引导学生课前做好预习，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，牢记基础知识。
2．要求学生把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，用双色笔进行整理，便于复习记忆。
四、知识链接:客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？五、探究新知：(阅读课本第84页至91页，完成下列导学案)知识探究（一）：变量之间的相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性关系，如函数关系；另一类是不确定性关系，即当自变量的取值一定，因变量取值带有一定的随机性，这样的两个变量之间的关系称为____________。
思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄；（4）正方体的体积和边长.知识探究（二）：散点图1.定义： 将样本中的n 个数据点()(),1,2,,i i x y i n =描在平面直角坐标系中，以表示具有的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.2.从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为 ，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量相关关系为_ ， 思考2：5个学生的数学和物理成绩如下表：画出散点图，并判断数学成绩与物理成绩是否有相关关系。
高中数学 第2章 2.3 变量间的相关关系 学案
§2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相互关系 2.3.2 两个变量的线性相关【明目标、知重点】1．理解两个变量的相关关系的概念．2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线的方程． 【填要点、记疑点】 1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．(3)回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^是截距． 3．最小二乘法通过求Q ＝ i ＝1n(y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 【探要点、究所然】[情境导学] 在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么关系？下面我们共同来研究. 探究点一 变量之间的相关关系思考1 当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间是怎样的关系？考察下列问题中两个变量之间是什么关系？为什么？ (1)商品销售收入与广告支出经费；(2)粮食产量与施肥量；(3)人体内的脂肪含量与年龄．答当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，这两个变量是一个函数关系．(1)、(2)、(3)都不是函数关系，因为当其中一个变量变化时，另一个变量的变化还受其它因素的影响．思考2“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？为什么？答不是函数关系．因为学生的成绩提高的原因是多个因素的共同结果，并不由老师这一个因素唯一确定．况且一个老师教几十个学生，也有成绩差的．小结思考1、思考2中两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系．思考3函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的？答函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系．函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化．例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．反思与感悟如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．跟踪训练1有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否一定会引起健康问题？有人认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？解从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题．但吸烟引起健康问题的可能性大．因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的．探究点二散点图问题在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：思考1答随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也有所增加．思考2以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？答思考3阅读教材85页，你能说出散点图的定义吗？答在平面直角坐标系中，表示两个变量的一组数据图形，称为散点图．思考4阅读教材86页上半页后，你能说出正相关是如何定义的吗？类比正相关的定义，你能给负相关下个定义吗？答在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．一个变量随另一个变量的变大而变小称为负相关，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．思考5你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗？答成正相关的如：商品销售收入与广告支出经费；作文水平与课外阅读量；粮食产量与施肥量．成负相关的如：在一定范围内汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程．例2以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋面积的数据：解散点图如下：由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量正相关．反思与感悟画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？解(1)散点图如下：(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．探究点三回归直线思考1在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？答 这些点大致分布在一条直线附近．小结 回归直线的定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．思考2 在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？答 不能用直尺准确画出回归直线．用计算机中Excel 可以方便地画出回归直线(见教材)．探究点四 回归方程问题 在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程．对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计，那么如何求出回归直线的方程呢？思考1 回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？答 整体上最接近．选择能反映直线变化的两个点．思考2 对一组具有线性相关关系的样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设其回归方程为y ^＝bx ＋a ，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？答 可以用|y i －y ^i |或(y i －y ^i )2，其中y ^i ＝bx i ＋a .(如图)思考3 为了从整体上反映n 个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？ 答 Q ＝∑i ＝1n(y i －y ^i )2＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2.小结 根据有关数学原理分析，当b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x 时，总体偏差Q ＝ i ＝1n(y i －y ^i )2为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．思考4 回归方程中，a ^，b ^的几何意义分别是什么？答 b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．思考5 利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程y ^＝0.577x－0.448，由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值．若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？答 将x ＝37代入方程y ^＝0.577x －0.448， 得0.577×37－0.448＝20.901.所以其体内脂肪含量的百分比约为20.901%.例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数． 解 (1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮． 反思与感悟 对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a ，b 的计算公式，算出a ，b .由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的计算顺序：计算平均数x ，y ；计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ；计算∑x 2i ；将结果代入公式求b ^；用a ^＝y －b ^x 求a ^；写出回归直线方程．思考6 气温为2℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？答 小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：(1)回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差．(2)即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x 的预报值，能够与实际值y 很接近．我们不能保证点(x ，y )落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近．跟踪训练3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.系，说明理由；(2)如果具有线性相关关系，求出回归直线方程． 解 (1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图．直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系． (2)计算相应的数据之和：∑i ＝18x i ＝1 031，∑i ＝18y i ＝71.6，∑i ＝18x 2i ＝137 835，∑i ＝18x i y i ＝9 611.7. 将它们代入公式计算得b ^≈0.077 4，a ^≈－1.024 9，所以，所求回归方程为y ^＝0.077 4x －1.024 9. 【当堂测、查疑缺】1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系( )A ．正方体的棱长和体积B ．圆半径和圆的面积C ．正n 边形的边数和内角度数之和D ．人的年龄和身高 答案 D解析A 、B 、C 都是函数关系，对于A ，V ＝a 3；对于B ，S ＝πr 2；对于C ，g (n )＝(n －2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可判定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg. 3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案 B解析 由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ^，a ^＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选B.4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①回归方程中x 的系数为正，不是负相关；④方程中的x 的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确． 【呈重点、现规律】1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关． 2．求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^、b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.。
人教版高中数学必修三(教案)2.3 变量之间的相关关系(4课时)
第一课时 2.3.1 变量之间的相关关系教学要求：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。
教学难点：变量之间相关关系的理解。
教学过程：一、新课准备：1.粮食产量与施肥量有关系吗？2. 提问：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。
教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（水滴石穿三人行必有我师等）二、讲授新课：1. 问题的提出1.请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。
（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。
）物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。
数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。
但决非唯一因素，还有其它因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。
（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。
但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。
）2．给出相关关系的概念1.相关关系的概念：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。
当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。
相关关系是一种非确定性关系。
（分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系）2.例：商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
（还与商品质量，居民收入，生活环境等有关）3.小结：1.现实生活中相关关系的实例。
2.相关关系的概念。
三.巩固练习1.练习：教材P76 1，2题。
2.分析：人的身高和年龄是一对相关关系。
因为在某一个年龄上，人的身高在取值上带有一定的随机性，如受遗传.营养.体育锻炼.心理素质等因素的影响。
变量间的相关关系学案尖子层
第 1 页 共 2 页2.3变量间的相关关系 一、 三维目标 1. 知识与技能 （1） 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。
（2） 明确事物间的相互关系，认识现实生活中的变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。
2. 过程与方法 收集现实问题体会这种相关关系。
二、 教学重难点 重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。
难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。
三、 教学过程 预习检测 1，什么叫散点图： 叫做散点图。
2，三种关系： （1）。
如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即 （2）。
如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，，变量之间就有（3）。
如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有3，正、负相关的概念。
如果散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内，称为如果散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，称为4，线性相关的概念： 如果所有的样本点都落在 ，变量之间就有线性相关的关系。
四、当堂练习1，下列关系中，是带有随机性相关关系的是① 正方形的边长面积之间的关系；② 水稻产量与施肥量之间的关系③ 人的身高与年龄之间的关系④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系。
2，下列关系不属于相关关系的是。
（ B ）A 人的年龄和身高B 求的表面积与体积。
C ．家庭的收入与支出。
D 。
人的年龄与体积。
3，下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是。
（ D ）。
A ，角度和它的余弦值。
B 。
正方形的边长和面积。
B ．正n 边形的边数和内角和。
D 。
人的年龄和身高。
4， 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是。
（ D ）（2） （3） （4）A ：（1）（2）B ：（1）（3）C ：（2）（4）D ：（2）（3），变量与变量之间的关系有两类：一类是 ，另一类是预习提纲：（1）回归直线的概念（2）回归直线方程教研组长签字：第 2 页共2 页。
高中数学 第2章 统计 2.3 变量间的相关关系(教师用书)教案 新人教A版必修3-新人教A版高一必
2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关学 习 目 标核 心 素 养1．了解变量间的相关关系，会画散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点)2．了解线性回归思想，会求回归直线方程．(难点)1．通过对数据的分析、统计，培养数据分析素养．2．借助变量间相关关系的研究，提升数学运算素养.1．变量间的相关关系 (1)相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．(2)散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图． (3)正相关与负相关①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．2．回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法：求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝i ＝1n (x i－x )(y i－y )i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^是线性回归方程在y 轴上的截距．1．以下两个变量具有相关关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．圆的半径和该圆的面积 C ．正n 边形的边数和它的内角和 D ．居民的收入与存款D [A 、B 、C 中两变量是确定的函数关系．]2．变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如下图，那么其回归方程可能为( )A.y ^x ＋2 B.y ^x ＋2 C.y ^x －2 D.y ^x －2B [由散点图知，变量x ，y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，故只有B 选项符合．]3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理7066686462那么数学成绩与物理成绩之间( ) A ．是函数关系B ．是相关关系，但相关性很弱C ．具有较好的相关关系，且是正相关D ．具有较好的相关关系，且是负相关 C [数学成绩x 和物理成绩y 的散点图如下图．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．]4．设有一个回归方程为y ^x ，那么变量x 每增加1个单位时，y 平均减少________个单位． 1.5[因为y ^x ，所以变量x 每增加1个单位时，y 1－y 2＝[2－1.5(xx )＝－1.5，所以y 平均减少1.5个单位．]相关关系及判断【例1】 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄x (岁) 1 2 3 4 5 6 身高y (cm) 788798108115120(1)画出散点图；(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系． [解] (1)散点图如下图．(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y 与x 具有线性相关关系．相关关系的判断方法(1)两个变量x 和y 具有相关关系的判断方法①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断.(2)判断两个变量x 和y 之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.[跟进训练]1．以下关系中，属于相关关系的是________(填序号)． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．②④[在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]求回归方程1．任意两个统计数据是否均可以作出散点图？ [提示]任意两个统计数据均可以作出散点图．2．任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？[提示]用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否那么求回归方程是无意义的．3．回归系数b ^的含义是什么？[提示](1)b ^代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数． (2)当b ^>0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b ^个单位数；当b ^<0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b ^个单位数． 【例2】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y (分)626875818995102108115122(1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程．思路点拨：画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程． [解] (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110＝x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950求回归直线方程的步骤(1)收集样本数据，设为(x i，y i)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.[跟进训练]2．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)(2)求回归方程．[解](1)散点图如下图．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i 30 40 60 50 70 x i y i 60 160 300 300 560 x 2i4162536 64x ＝5，y ＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380于是可得，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ×5＝17.5. 于是所求的回归方程是y ^x ＋17.5.回归方程的应用响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5 y86542x 和y (1)求x ，y ；(2)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)假设年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．[解] (1)计算可得x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝8＋6＋5＋4＋25＝5.因为线性回归直线过(x ，y )，那么a ^＝y －b ^x ×3)＝9.2， 故y 关于x 的线性回归方程是y ^x ＋9.2. (3)当x ＝4.5时，y ^×4.5＋9.2＝2.9(千元/吨)．利用线性回归方程解题的常见思路及注意点(1)利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据. (2)利用回归方程中系数b ^的意义，分析实际问题.(3)利用回归直线进行预测，此时需关注两点；①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x 与y 成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否那么即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的.[跟进训练]3．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (吨)之间的一组数据为价格x 2 需求量y1210753(1)根据上表数据，求出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)试根据(1)中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？[解] (1)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否那么应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^，b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．假设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.1．判断以下结论的正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系．( ) (2)回归直线方程一定过样本中心点．( )(3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同．( )[答案](1)× (2)√ (3)×2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0C [当b ^＝0时，不具有相关关系，b ^可以大于0，也可以小于0.]3．假设施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．650[当x ＝80时，y ^＝400＋250＝650.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：如果y 与x 是线性相关的，求回归方程．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)[解] 依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b ^x ＝0.81， ∴y ^x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^x ＋0.81.。
新人教版高中数学必修三 2.3：变量间的相关关系 学案
高中二年级（上）数学必修3 第二章：统计——2.3：变量间的相关关系一：知识点讲解（一）：变量间的相关关系相关关系的定义：变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。
常见的两个变量之间的关系分为 和 。
散点图：将样本中n 个数据点()i i y x ，（i ＝1、2、……、n ）描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图。
正相关与负相关：✧ 正相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 。
✧ 负相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 。
（二）：两个变量的线性相关最小二乘法：设x 、y 的一组观察值为()i i y x ，（i ＝1、2、……、n ），且回归直线方程为x b a y ˆˆˆ+=。
当x 取值i x （i ＝1、2、……、n ）时，y 的观察值为i y ，则i iy y ˆ- （i ＝1、2、……、n ）刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点的纵坐标之间的离差（偏离程度），通常用离差的平方和，即Q ＝ 作为总离差，并使之达到 。
回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条。
由于平方又叫二乘方，所以这种使“ ”的方法，叫做最小二乘法。
回归直线方程：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程简称回归方程。
例1：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
1) ( )相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系。
2) ( )“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的学业水平成正相关关系。
3) ( )某同学研究卖出的热饮杯数y （杯）与气温x （℃）之间的关系，得到回归方程767.147352.2ˆ+-=x y，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮。
人教B版高中数学必修3-2.3《变量间的相关关系》参考教案
2.3.2变量间的相关关系教学目标1.明确事物间的相互联系。
认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。
2.通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。
3.知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。
会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。
教学用具学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯教学实践情况一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√”）然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。
”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。
根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。
（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。
）教师总结如下：物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。
数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。
但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）：（影响你的物理成绩的关系图）因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。
但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。
二、引出相关关系的概念教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有？”学生甲：粮食产量与施肥用量的关系；学生乙：人的体重与食肉数量的关系。
从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。
当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。
相关关系是一种非确定性关系。
推荐-新人教版高中数学2.3变量间的相关关系教案必修三
变量间的相关关系的教学设计本节教学设计主要是使用TI92图形计算器，对普通高中课程标准实验教科书数学③第二章《统计》中的“两个变量的线性相关”进行有益的教与学探究。
学生通过对 TI图形计算器的操作，具体形象地利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程。
学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。
与此同时，教师在落实新课程标准的相关理念上作了一些有益的探讨。
教学设计与实践：[教学目标]：1、明确事物间的相互联系。
认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。
2、通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。
3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。
会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。
[教学用具]：学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯[教学实践情况]：一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“ 如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。
”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。
根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。
（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。
）教师总结如下：物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。
数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。
但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）：（影响你的物理成绩的关系图）因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。
但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。
高中数学(23变量间的相关关系)教案设计 新人教A版必修3 教案
2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关整体设计教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．重点难点教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想. 课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？推进新课新知探究提出问题（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断.讨论结果：（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.(2)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.①教学散点图出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：年龄23 27 38 41 45 49 50脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2年龄53 54 56 57 58 60 61脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例思路1例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案：②④例2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.思路2例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价: 品牌所含热量的百分比口味记录A 25 89B 34 89C 20 80D 1978E 26 75F 20 71G 19 65H 24 62I 19 60J 13 52（1）作出这些数据的散点图.(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?解：(1)散点图如下：(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.例2 案例分析：一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表.性别身高/cm 右手一拃长/cm 性别身高/cm 右手一拃长/cm女152 18.5 女153 16.0女156 16.0 女157 20.0女158 17.3 女159 20.0女160 15.0 女160 16.0女160 17.5 女160 17.5女160 19.0 女160 19.0女160 19.0 女160 19.5女161 16.1 女161 18.0 女162 18.2 女162 18.5 女163 20.0 女163 21.5 女164 17.0 女164 18.5 女164 19.0 女164 20.0 女165 15.0 女165 16.0 女165 17.5 女165 19.5 女166 19.0 女167 19.0 女167 19.0 女168 16.0 女168 19.0 女168 19.5 女170 21.0 女170 21.0 女170 21.0 女171 19.0 女171 20.0 女171 21.5 女172 18.5 女173 18.0 女173 22.0 男162 19.0 男164 19.0 男165 21.0 男168 18.0 男168 19.0 男169 17.0 男169 20.0 男170 20.0 男170 21.0 男170 21.5 男170 22.0 男171 21.5 男171 21.5 男171 22.3 男172 21.5 男172 23.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 21.0 男174 22.0 男174 22.0男175 16.0 男175 20.0男175 21.0 男175 21.2男175 22.0 男176 16.0男176 19.0 男176 20.0男176 22.0 男176 22.0男177 21.0 男178 21.0男178 21.0 男178 22.5男178 24.0 男179 21.5男179 21.5 男179 23.0男180 22.5 男181 21.1男181 21.5 男181 23.0男182 18.5 男182 21.5男182 24.0 男183 21.2男185 25.0 男186 22.0男191 21.0 男191 23.0（1）根据上表中的数据,制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.从散点图上可以发现,身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线.同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.同学3：多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出近似的直线,使得在直线两侧的点数尽可能一样多.同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm以上的；然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长,即（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线.同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大的点为（179.2,21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）的直线.同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的. 知能训练一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：零件数x（个）10 20 30 40 50 60 70 80 90 100加工时间y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 画出散点图；关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？答案：（1）散点图如下：（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）115 110 80 135 105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系.课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.作业习题2.3A组3、4(1).设计感想本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类,为下一节课作了铺垫,思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度和学习方法,树立时间观,培养勤奋、刻苦耐劳的精神.。
高中数学必修3第二章第三节《变量间的相关关系》全套教案
2.3.变量间的相关关系2.3.1变量间的相关关系【教学目标】（1）了解变量之间的相关关系。
（2）会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
（3）会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
【教学重点难点】1、变量之间的相关关系。
2、会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
3、会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
【学前准备】：多媒体，预习例题个准确的函数来表示，广告费（自变量x）一定时销售额（因变量y）并没有确定，而是因为受多种因素的影响带有一定的随机性。
2、你能试着总结一下相关关系的定义吗？变量间的相关关系定义：自变婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。
你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。
上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。
散点图.2.3.2两个变量的线性相关【教学目标】（1）了解最小二乘法的思想及回归直线方程的推导过程；（2）通过实例加强对回归直线方程含义的理解。
【教学重难点】重点：利用散点图直观地判断两个变量之间的线性相关关系，了解统计学中，数据处理的经典方法——最小二乘法，掌握回归方程系数公式求回归方程，且进行实际预测。
难点:通过代数的方法刻画“从整体上看，各点与回归直线的距离最小”的几何特征，让学生了解最小二乘法思想，形成回归分析思想。
【学前准备】：多媒体，预习例题学生预分类情况:分类1：分成三组（1）（5），（2）（3（4）（8）， 其中（1）（5）图中的点分布在一条直线上；（3）（6）（7）图中的点大部分的点落在某条直线附近，呈带状分布；（4）（8）图中的点分布比2.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用(千元) 1.0 4.0 6.0 10.0 14.销售额(千元) 19.0 44.0 40.0 52.0 53.（1）画出散点图。
高中数学必修3-2.3变量间的相关关系学案
2.3变量间的相关关系学习目标1．通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。
2．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系3．两个变量具有线性相关关系时，会在数点图中作出线性回归直线，会用线性回归进行预测。
请同学们阅读教材P 84—P 91内容 1．如果散点图中的分布从整体上看我们就称这两个变量之间具有 __ 这条直线中2.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“ ”如何实现这一目标呢？3．小结求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数______________.第二步，求和____________________.第三步，计算____________________.第四步，写出回归方程 ______________.4.利用计算器或计算机，如何求回归方程？5.线性回归直线a x b y +=的几何意义是：x 每增加一个单位，y 就相应 或个单位，而不是 倍。
二、新课导学※ 探索新知新知1：线性相关如果散点图中的点分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系。
新知2：回归直线两个变量具有线性相关关系时，它们的散点图在一条直线附近，则这条直线称为回归直线。
新知3：回归直线方程分析与求法：分析：一是所求的回归直线方程只是“大体上”上接近了回归方程而且方程不唯一，可信度不高：二是没有从几何直观和代数精确上对回归直线作刻画，不能作合理的可靠的数学解释。
求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数；，y x 第二步，求和；，∑∑==n i i n i ii x y x 121第三步，计算;)())((1221121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i ini i i -=--=---=∑∑∑∑====，第四步，写出回归方程 .a bx y +=∧※ 典型例题例1.下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系 （ ）A ．角度和它的余弦值B ．正方形的边长和面积C ．正n 边形的边数和内角度数之和D ．人的年龄与身高例2.下列两个变量中具有相关关系的是（ ）A ．正方形的体积与边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力例 3.由一组10个数据(x i ，y i )算得,10,5==y x ,292,583121==∑∑==ni i n i i i x y x则b = ,a = ,回归方程为_____________________.※ 动手试试练1.下列那些变量是相关关系（ ）A.出租车与行驶里程B.房屋面积与房屋造价C.身高与体重D.铁球的体积大小与其体重练2.工人月工资y 与劳动生产率x 变化的回归方程y=50+80x ，下列判断正确的是（ ） ①劳动生产率为1千克每小时时，工资为130元.②劳动生产率提高1千克每小时时，工资提高80元.③劳动生产率提高1千克每小时时，工资提高130元.④劳动生产率为2千克每小时时，工资为210元.A .①②B .①②④C. ②④ D . ①②③④练3.下列说法中不正确的是（ ）A.两个变量具有线性相关关系时，求出的回归方程才有意义B.散点图能直观的反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.回归直线y=ax+b 一定经过(i x ,i y )(i=1,2,…,n)中的某些点三、总结提升1．通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。
高中数学2.3.1《变量间的相关关系》学案(1)(新人教B版必修3)
变量间的相关关系学案一、学习目标：1、了解变量间的相关关系，能利用散点图直观认识变量间的相关关系，并能初步判定这种相关关系。
2、经历描述两个变量线性相关关系的过程。
了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
3、体会统计思想与确定性思维的差异。
4、体会研究相关性问题在现实生活中的重要性。
二、学习过程知识探究（一）：相关关系思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）正方形的边长与面积；（2）匀速直线运动中速度与路程的关系；（3）商品销售收入与广告支出经费；（4）粮食产量与施肥量；这些问题中两个变量之间的关系哪些是确定性关系，那些是非确定性关系？知识探究（二）：散点图在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：（见课本）以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，在直角坐标系中描出样本数据对应的图形脂肪含量年龄概念：正相关负相关思考2：上面所作的图叫做散点图，从散点图中，我们得到的结论是概念：回归直线思考3：如何求这条回归直线的方程？知识探究（三）：回归直线的方程思考4：设已经得到具有线性相关关系的一组数据：，设其回归方程为，其中a、b是待定系数。
用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？思考5：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，选用哪个数量关系来刻画比较合适？试着写出这个关系式。
公式：b= a=概念：最小二乘法。
例题讲解1、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：气温/℃261813104－1杯数202434385064（1）画散点图；（2）从散点图中发现温度与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数。
为什么与表中不同？如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数；三、达标检测1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（）A、角度和它的余弦值B、正方形边长和面积C、正n边形的边数和顶点角度之和D、人的年龄和身高2、下列说法中正确的是（）A．任何两个变量都具有相关关系B．人的知识与其年龄具有相关关系C．散点图中的各点是分散的没有规律D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的3、变量y与x之间的回归方程（）A．表示y与x之间的函数关系B．表示y和x之间的不确定关系C．反映y和x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合4、线性回归方程ˆy=bx＋a必过（）A、(0，0)点B、(x，0)点C、(0，y)点D、(x，y)点5、设一个回归方程为ˆy=3—1.2x，则变量x增加一个单位时A、y平均增加1.2个单位B、y平均增加3个单位C、y平均减少1.2个单位D、y平均减少3个单位6、对于回归方程ˆy=2.75x+9，当x=4时，y的估计值是，7、某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）预测广告费支出为10万元时的销售额。
人教课标版高中数学必修三《变量间的相关关系》教案-新版
第二章统计2.3 变量间的相关关系一、教学目标1．核心素养通过本节学习，让学生初步形成数据处能理.2．学习目标（1）两个变量之间的相关关系的理解；（2）利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．（2）根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．3．学习重点根据线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.4．学习难点回归思想的建立，对回归直线与观测数据关系的理解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读P84－P91，思考：两个变量的关系有哪些？如何发现两个变量的关系？任务2写出线性回归直线方程的系数公式，明白公式各部分的意义2．预习自测1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A．圆的半径和它的面积B．正方形边长和它的面积C．正n边形的边数和内角和D．人的年龄和身高解：D2．设有一个回归方程为y^＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时，y平均() A．增加1.5个单位B．增加2个单位C．减少1.5个单位D．减少2个单位解：C3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23解：C（二）课堂设计1．知识回顾（1）频率分布表，频率分布直方图，频率分布折线图，密度曲线．（2）中数，众数，平均数，方差，标准差．2．问题探究问题探究一两个变量之间有哪些关系，如何呈现？（★▲）●活动一创设情景，感知相关关系考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（1）商品销售收入与广告支出经费（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.（1）（2）（3）都不是函数关系，因为前者的好坏或多与少还由其它因素来确定. 述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，也即是说自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.●活动二增设反例，深化相关关系的理解下列两个变量间，哪些是函数关系？哪些是相关关系？①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac;②光照时间和果树亩产量；③每亩施用肥料量和粮食产量.它们之间的关系是函数关系的有①，是相关关系的有②③.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.问题探究二 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据:50494541392723年龄28.226.327.525.921.217.89.5脂肪61605857565453年龄34.635.233.530.831.430.229.6脂肪其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数. ●活动一 初识案例，感知两个变量间的关系思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？随着年龄的增加，人体脂及含量在增加.思考2：以x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域两个变量成负相关. ●活动二 再析案例，用直线拟合两变量的关系有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点大致分布在一条直线附近.称这两个变量线性相关.思考3：对于一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线呢？●活动三 回归直线方程的求法在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.回归直线与散点图中各点的位置整体上最接近 .如何求回归直线呢？思考4：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设其回归方程为a bx y +=∧可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？.)(||2a bx y y y y y i i i i i i +=--∧∧∧其中，或可以用21ˆ()ni i i Q y y==-∑2221122()()()n n y bx a y bx a y bx a =--+--++--为了从整体上反映n 个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？根据有关数学原理分析，当1122211()(),()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑时，总体偏差21)ˆ(∑=-=ni i yy Q 最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程中，a ，b 的几何意义分别是什么？因此利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为48.0577.0-=x y ，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为20.9% 问题探究三例1.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【知识点：正相关、负相关】解 D ：由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^>0时，y 与x 正相关，当b ^<0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误.例2.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x ，y )C.若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【知识点：回归方程的简单应用】解：D ∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确；∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确；∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85，∴C 正确.例 3.某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？ 【知识点：回归方程】 解：(1)散点图如图.(2)由表中数据得：x ＝3.5，y ＝3.5 ∴b ^＝0.7，∴a ^＝1.05， ∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示.(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时. 3．课堂总结（1）相关关系与函数关系的区别与联系①函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性的关系.线性相关关系是相关关系的一种特殊性况，它也是一种不确定的关系.②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. ③函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计.④相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系，不仅可以用来处理更为广泛的数学应用问题，还可以将对函数关系的认识上升到一个新的高度.（2）回归直线①回归直线的特征：像平均数可以作为一个变量的数据代表一样，回归直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表.回归直线是样本数据点最大程度的吻合，即散点回归.②线性回归思想：把相关关系（不确定性关系）转化为函数关系（确定性关系）.当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析叫线性回归分析.③求回归直线方程的步骤：第一步：计算平均数x 和y ； 第二步：计算211,nni i i i i x y x ==∑∑；第三步：计算x b y axn x yx n yx x x y y x xbn i i ni ii ni i ni i iˆˆ,)()()(ˆ2121121-=--=--⋅-=∑∑∑∑====； 第四步：写出回归直线方程y bx a =+.(称点),(y x 为样本中心点，样本中心点),(y x 一定位于回归直线上)④得用回归直线方程对总体进行估计：利用回归直线方程对总体进行估计时，虽然这个值只是估计值，不是精确值,具有随机性，但它是根据统计规律得到 4．随堂检测 1.有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和身体健康情况； ④圆的半径与面积； ⑤汽车的重量和每千米耗油量． 其中两个变量成正相关的是（ ）A ．①③B ．②④C ．②⑤D ．④⑤ 【知识点：正相关，负相关】解：C 由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系.2. 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是（ ）A ．直线l 过点(x ，y )B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 【知识点：回归直线】解A. 由样本的中心(x ，y )落在回归直线上可知A 正确；x 和y 的相关系数表示为x 与y 之间的线性相关程度，不表示直线l 的斜率，故B 错；x 和y 的相关系数应在－1到1之间，故C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D 错． 3. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 【知识点：回归直线】 解：B经计算可知，回归方程为9.4x ＋9.1， ∴当x ＝6(万元)时，9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． （三）课后作业 基础型 自主突破1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.( × ) （2）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( √ )（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( √ ) （4）某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.( × ) 【知识点：正相关、负相关概念；回归方程】 解：× √ √ ×2. 在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是( )(1)(2)(3)(4)A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)【知识点：散点图】解：D3.在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的线性回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是()A.①②⑤③④B.③②④⑤①C.②④③①⑤D.②⑤④③①【知识点：散点图,回归直线】解：D4. 下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【知识点：相关关系，函数关系】解：C能力型师生共研5.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图.以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【知识点：相关关系】 解：D6.根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( ) A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0 C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0 【知识点：回归方程】解B ：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0.故a ^>0，b ^<0.7.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x ，y )C.若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【知识点：回归方程】解B ∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确；∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确；∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85，∴C 正确.故选D.8．从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180i i x ==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;（3）若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y bx a =+中,1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,a y bx =-,其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y bx a =+. 【知识点：回归方程】 解析：（1）由题知21,81,1011=====∑∑==n i n i i i y n y x n x n ,80640720212=-=-∑=x n x ni i ,241601841=-=-∑=y x n y x ni i .因此4.083.02ˆ,3.0ˆ-=⨯-=-==x b y a b，故所求的回归方程为4.03.0-=x y （2）由0>b ，故x 与y 是正相关的.（3）代入回归方程中可以预测该项家庭的月储蓄为7.14.073.0=-⨯=y . 探究型 多维突破9.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =，w =81ii w=∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 【知识点：回归方程】解析：（1）由散点图可以判断x d c y +=适合作为年销售y 关于年宜传费用x 的回归方程类型（2）先建立y 关于w 的线性回归方程,由于68168.108)())((ˆ81281==---=∑∑==i ii i iw wy y w wd6.1008.668563ˆˆ=⨯-=-=∴d c,所以y 关于w 的线性回归方程为w y686.100ˆ+=,即y 关于x 的线性回归方程为x y 686.100ˆ+=. （3）由（1）和（2）知,当49=x 时，年销售量y 的预报值为6.57649686.100ˆ=+=y, 32.66492.06.576ˆ=-⨯=z,年利润z 的预报值为 12.206.13)686.100(2.0ˆ++-=-+=x x x x z, 所以当8.626.13==x ,即24.46=x 时，zˆ取得最大值. 自助餐1．已知变量x ，y 呈线性相关关系，线性回归方程为y ＝0.5＋2x ，则变量x ，y 是( )A ．线性正相关关系B ．由回归方程无法判断其正负相关C ．线性负相关关系D ．不存在线性相关关系 【知识点： 相关关系】 解：A2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ).0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+ 【知识点： 回归直线】 解：A3.已知变量x 和y 满足关系y ^＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( )A.x 与y 正相关，x 与z 负相关B.x 与y 正相关，x 与z 正相关C.x 与y 负相关，x 与z 负相关D.x 与y 负相关，x 与z 正相关 【知识点：相关关系】 解 C.4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【知识点： 回归直线】 解B ：由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y=⨯+=（万元）. 5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1【知识点：散点图，回归直线】 解 D6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【知识点：正相关、负相关概念】解D ：由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^>0时，y 与x 正相关，当b ^<0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误.7.已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为y b x a ''=+,则以下结论正确的是( )A.a a b b'>'>ˆ,ˆ B.a a b b '<'>ˆ,ˆ C. ˆˆ,b b a a ''<> D.a a b b '<'<ˆ,ˆ 【知识点：回归直线】 解：C ，画图即可求得8．如图所示，有A ，B ，C ，D ，E,5组数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．【知识点：散点图】 解：D9．工人月工资y (元)与劳动生产率x (千元)的回归方程为y ^＝50＋80x ，当劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高________元． 【知识点：回归直线】解D:回归直线是用来估计总体的，所以我们求的值都是估算值，所以我们得到的结果也是近似的，只要把自变量的值代入回归直线方程即可求得结果为145.83(cm)．10.某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？ 【知识点：回归方程的综合应用】 解 (1)散点图如图.(2)由表中数据得：x ＝3.5，y ＝3.5 ∴b ^＝0.7，∴a ^＝1.05， ∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示.(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时.11．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．12.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，7≈2.646.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -解：（1）99.0646.2255.089.2,89.2))((,28)(,471271≈⨯⨯≈=--=-=∑∑==r y y t t t t t i i i i i（Ⅱ）103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty tb， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y 10.092.0ˆ+=.将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.考点：线性相关与线性回归方 程的求法与应用． 五、数学视野最小二乘法最早称为回归分析法.由著名的英国生物学家、统计学家道尔顿(F .Gallton )——达尔文的表弟所创,早年,道尔顿致力于化学和遗传学领域的研究.他研究父亲的身高与儿子的身高之间的关系时,建立了回归分析法.在科学研究和实际工作中,常常会遇到这样的问题:给定两个变量x ,y 的n 组试验数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),如何从中找出这两个变量间的函数关系的近似解析表达式(也称为经验公式),使得能对x 与y 之间的除了数据外的对应情况作出判断. 这样的问题一般可以分为两类:一类是对x 与y 之间所存在的对应规律一无所知,这时要从试验数据中找出切合实际的近似解析表达式是相当困难的,俗称这类问题为黑箱问题;另一类是依据对问题所作的分析,通过数学建模或者通过整理归纳试验数据,能够判断出x 与y 之间满足或大体上满足某种类型的函数关系式y=f (x ,a ),其中a=(a 1,a 2,…,a n )是n 个待定的参数,这些参数的值可以通过m 组试验数据来确定(一般要求m>n ),这类问题称为灰箱问题.解决灰箱问题的原则通常是使用拟合函数在x i 处的值与试验数据的偏差平方和最小,即[f (x i ,a )-y i ]2取得最小值.这种在方差意义下对试验数据实现最佳拟合的方法称为“最小二乘法”,a 1,a 2,…,a n 称为最小二乘解,y=f (x ,a )称为拟合函数.现在回归分析法已远非道尔顿的本意,已经成为探索变量之间关系最重要的方法,用以找出变量之间关系的具体表现形式.。
人教版高中数学必修三学案：2.3变量间的相关关系导学案(教师用)
课题： 变量的相关关系 课时：第1课时【学习目标】1.正确作出关于两个变量统计数据的散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.2.理解两个变量之间的线性相关，回归直线方程的推导.3.理解回归分析实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系进行研究.,4.能准确求得回归方程并能利用回归方程对两个变量间的相关关系进行估计.第一环节：导入学习（激情导入）1.两个变量的线性相关 (1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. 2.回归方程 (1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数.⎩⎨⎧b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心. (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.( × ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( √ ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( √ )(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.( × )2.已知变量x 和y 满足关系y ^＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( C ) A.x 与y 正相关，x 与z 负相关 B.x 与y 正相关，x 与z 正相关 C.x 与y 负相关，x 与z 负相关 D.x 与y 负相关，x 与z 正相关3．试从下面四个图中的点在散点图上的分布状态，直观上初步判断两个变量之间有线性相关关系的是( C )4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( D ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：父亲身高x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y(cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( C ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝1765．C 计算得，x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，根据回归直线经过样本中心(x ，y )检验知，C符合．（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x )解 (1)散点图如图.(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^＝0.7，∴a ^＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示.(3)将x ＝10代入线性回归方程， 得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时.第三环节：互助学习 第四环节：展示学习第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）。
2.3变量间的相关关系(教、学案)
张喜林制2. 3变量间的相关关系一、教材分析本节知识内容不多，但分析本节内容，至少有下列特点：1）知识的联系面广，应用性强，概念的真正理解有难度，教学既要承前启后，完成统计必修基础知识的构建；也要知道知识的来龙去脉，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，更要抓住本质，正确理解统计推断的结论。
2）通过典型案例进行教学，使知识形成的过程中具有可操作性，易于创设问题情境，引导学生参与，而学生借助解决问题，通过自主思维活动，会产生感悟、发现，能提出问题，思考交流，不仅能正确、全面地理解基础知识和基本方法，而且能促进、发展学生的统计意识、统计思想。
二、教学目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
三、教学重点难点重点：作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
难点：对最小二乘法的理解。
四、学情分析本节是一种对样本数据的处理方法，但侧重的是由样本推断总体，其方法是学生初识的、知识的作用也是学生初见的。
知识量并不大，但涉及的数学方法、数学思想较充分，同时，在教材中留有供发现的点，设有开放性问题，既具有体验数学方法、数学思想的功能，也具有培养学生从具体到抽象能力、锻炼创造性思维能力的作用。
五、教学方法1．自主探究，互动学习2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习课本，初步把握必须的定义。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程〖复习回顾〗标准差的公式为：______________________________________________________〖创设情境〗1、函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系2、在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。
2.3《变量间的相互关系》教案(新人教必修3)
2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
教学过程：案例分析:一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。
为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。
关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。
（3）如果一个学生的身高是188cm ，你能估计他的一拃大概有多长吗？ 解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。
它们之间是线性相关的。
那么，怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线。
同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。
同学3：多取几组点对，确定几条直线方程。
再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。
同学4：我从左端点开始，取两条直线，如下图。
再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。
同学5：我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。
1015202530150155160165170175180185190195同学6：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm 以下的，一部分是身高在170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线。
同学7：我先将所有的点按从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为（161.3，18.2），中间的点为（170.5，20.1），最大的点为（179.2，21.3）。
高中数学 2.3 变量的相关性学案 新人教B版必修3
2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关1.理解两个变量的相关关系的概念.(难点)2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.(重点)3.会求回归直线方程.(重点)4.相关关系与函数关系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 变量间的相关关系阅读教材P73，完成下列问题.1.两个变量的关系将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形.3.正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.图231所示的两个变量不具有相关关系的有________.图231【解析】 ①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x ，y 不具有相关关系.【答案】 ①④教材整理2 两个变量的线性相关 阅读教材P 74～P 76，完成下列问题. 1.最小二乘法设x 、Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx .当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝∑i ＝1n(y i －a－bx i )2作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法.2.回归直线方程的系数计算公式1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)回归方程中，由x 的值得出的y 值是准确值.( ) (2)回归方程一定过样本点的中心.( ) (3)回归方程一定过样本中的某一个点.( )(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4) ×2.过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是( ) A.y ^＝1.75＋5.75x B.y ^＝－1.75＋5.75x C.y ^＝5.75＋1.75xD.y ^＝5.75－1.75x【解析】 求过三点的回归直线方程，目的在于训练求解回归系数的方法，这样既可以训练计算，又可以体会解题思路，关键是能套用公式.代入系数公式得b ^＝1.75，a ^＝5.75.代入直线方程，求得y ^＝5.75＋1.75x .故选C.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型](1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系( )A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高(2)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )图232A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关【精彩点拨】结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断.【尝试解答】(1)A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.(2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系.【答案】(1)D (2)C判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.[再练一题]1.某公司2009～2014年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统计资料如下表所示：B.利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C.利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D.利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系【解析】 由表知，利润中位数是12(16＋18)＝17，且y 随x 的增大而增大，故选C.【答案】 C一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程.【精彩点拨】【尝试解答】 (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系. (2)列表、计算：b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668， a ^＝y －b ^x ＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y ^＝0.668x ＋54.96.用公式求回归方程的一般步骤： (1)列表x i ，y i ，x i y i ；(3)代入公式计算b ^、a ^的值； (4)写出回归方程.[再练一题]2.已知变量x ，y 有如下对应数据：(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程. 【解】 (1)散点图如图所示：(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52， y ＝1＋3＋4＋54＝134， ∑i ＝14x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39.∑i ＝14x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b ^＝39－4×52×13430－4×⎝⎛⎭⎪⎫522＝1310，a ^＝134－1310×52＝0，所以y ^＝1310x 为所求回归直线方程.下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【导学号：25440039】【精彩点拨】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ^，a ^的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的v 的值.【尝试解答】 (1)散点图，如图所示：(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤.回归分析的三个步骤：(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；(2)求线性回归方程，注意运算的正确性；(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.[再练一题]3.某种产品的广告费支出y (百万元)与销售额x (百万元)之间的关系如下表所示.(1)假定y 与x (2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？【解】 (1)设回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ^＝438－412.5660－625＝25.535＝5170，a ^＝y －b ^x ＝5＋8＋9＋114－5170×8＋12＋14＋164＝334－5170×252＝－67，则所求回归直线方程为y ^＝5170x －67. (2)由y ^＝5170x －67≥60，得x ≥4 26051≈84，所以实际销售额不少于84百万元.[探究共研型]探究 1 关系？【提示】 任意两个统计数据均可以作出散点图，对于作出的散点图，如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系.特别地，若所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就具有线性相关关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系.探究2 【提示】 (1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致. (2)将n 个数据点描在平面直角坐标系中.(3)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，可以先观察有哪两个点在直线上. 探究3 回归系数b ^的含义是什么？【提示】 (1)b ^代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数. (2)当b ^＞0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b ^个单位数；当b ^＜0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b ^个单位数.探究4 回归直线方程与直线方程的区别是什么？【提示】 线性回归直线方程中y 的上方加记号“^ ”是与实际值y 相区别，因为线性回归方程中的“y ^”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，y ^的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y ＝y ^＋e (其中e 为随机变量)，预测值y ^与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差决定.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′【精彩点拨】 先由已知条件分别求出b ′，a ′的值，再由b ^，a ^的计算公式分别求解b ^，a ^的值，即可作出比较.【尝试解答】 根据所给数据求出直线方程y ＝b ′x ＋a ′和回归直线方程的系数，并比较大小.由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′.b ′＝2－02－1＝2， a ′＝0－2×1＝－2.求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57， a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′. 【答案】 C求回归直线方程时应注意的问题：(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的.(2)用公式计算a ^、b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^，由a ^＝y ^－b ^x 知回归直线必经过点(x ，y ).(3)利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则x ＝x 0处的估计值为y ^＝bx 0＋a .[再练一题]4.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x ，y )C.若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg【解析】 b ^为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A 正确；B ，C 显然正确；若该大学某女生身高为170 cm ，则可估计其体重为58.79 kg.【答案】 D1.设一个回归方程y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A.y 平均增加1.2个单位 B.y 平均增加3个单位 C.y 平均减少1.2个单位 D.y 平均减少3个单位【解析】 由b ＝1.2>0，故选A. 【答案】 A2.下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A.变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C.回归方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线【解析】 只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线.【答案】 D3.(2014·重庆高考)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4【解析】 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.【答案】 A4.对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示.【导学号：25440040】【解析】 由题意可知x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.即样本中心为(5,50)， 设回归直线方程为y ^＝6.5x ＋b ， ∵回归直线过样本中心(5,50)， ∴50＝6.5×5＋b ^，即b ^＝17.5， ∴回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 【答案】 y ^＝6.5x ＋17.5我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________。
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2. 3变量间的相关关系一、教材分析本节知识内容不多，但分析本节内容，至少有下列特点：1）知识的联系面广，应用性强，概念的真正理解有难度，教学既要承前启后，完成统计必修基础知识的构建；也要知道知识的来龙去脉，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，更要抓住本质，正确理解统计推断的结论。
2）通过典型案例进行教学，使知识形成的过程中具有可操作性，易于创设问题情境，引导学生参与，而学生借助解决问题，通过自主思维活动，会产生感悟、发现，能提出问题，思考交流，不仅能正确、全面地理解基础知识和基本方法，而且能促进、发展学生的统计意识、统计思想。
二、教学目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
三、教学重点难点重点：作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
难点：对最小二乘法的理解。
四、学情分析本节是一种对样本数据的处理方法，但侧重的是由样本推断总体，其方法是学生初识的、知识的作用也是学生初见的。
知识量并不大，但涉及的数学方法、数学思想较充分，同时，在教材中留有供发现的点，设有开放性问题，既具有体验数学方法、数学思想的功能，也具有培养学生从具体到抽象能力、锻炼创造性思维能力的作用。
五、教学方法1．自主探究，互动学习2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习课本，初步把握必须的定义。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程〖复习回顾〗标准差的公式为：______________________________________________________〖创设情境〗1、函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系2、在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。
”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3、“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？〖新知探究〗思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？一、相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。
【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。
思考探究：1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。
吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。
你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。
上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。
二、散点图探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。
思考探究：1、对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？2、为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形称为散点图。
3、观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？阅读课本85~86P，这种相关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点？三、线性相关、回归直线方程和最小二乘法在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
我们所画的回归直线应该使散点图中的各点在整体上尽可能的与其接近。
我们怎么来实现这一目的呢？说一说你的想法。
设所求的直线方程为yˆ=bx+a，其中a、b是待定系数。
则yˆi=bx i+a（i=1，2，…，n）.于是得到各个偏差y i－yˆi=y i－（bx i+a）（i=1，2，…，n）显见，偏差y i－yˆi的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（y n－bx n－a）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记Q=∑=--niiiabxy12)(这样，问题就归结为：当a、b取什么值时Q最小，a、b的值由下面的公式给出：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.,)())((1221121xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii其中x =n1∑=ni i x 1，y =n1∑=ni iy1，a 为回归方程的斜率，b 为截距。
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。
【例题精析】有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到（2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。
解：（4）当x=2时，y=143.063（四）反思总结，当堂检测。
1、求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： （1）计算平均数x ，y ； （2）求a ，b ；（3）写出回归直线方程。
2、回归方程被样本数据惟一确定，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.。
3、对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的。
因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
（课堂实录） （五）发导学案、布置预习。
完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。
教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。
课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
本节课学习了变量间的相互关系和两个变量的线性相关,以及最小二乘法和回归直线的定义,体会了用最小二乘法解决两个变量线性相关的方法,在解决问题中要熟练掌握求回归系数b、a的公式,精确计算.同时,要注意培养学生的观察分析两变量的关系和抽象概括的能力在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!2.3变量间相关关系课前预习学案一、预习目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
二、预习内容1.举例说明函数关系为什么是确定关系？2.一个人的身高与体重是函数关系吗?3. 相关关系的概念：4. 什么叫做散点图？5.回归分析，（1）求回归直线方程的思想方法；（2）回归直线方程的求法三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.二、学习重难点：重点：作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程难点：对最小二乘法的理解。
三、学习过程思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（一）、相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。
【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。
思考探究：1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。
吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。
你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？ （二）、散点图探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。
思考探究：1、对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？2、为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？3、观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？阅读课本85~86P ，这种相关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点？（三）、线性相关、回归直线方程和最小二乘法在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。