动能定理的应用(知识梳理)
高一物理《运动和动能定理》知识点总结
高一物理《运动和动能定理》知识点总结
一、动能的表达式
1．表达式：E k ＝12
m v 2. 2．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J.
3．标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向．
二、动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式：W ＝12m v 22－12
m v 12.如果物体受到几个力的共同作用，W 即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．
3．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况；既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
三．对动能定理的理解
(1)在一个过程中合外力对物体做的功或者外力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化．
(2)W 与ΔE k 的关系：合外力做功是物体动能变化的原因．
①合外力对物体做正功，即W >0，ΔE k >0，表明物体的动能增大；
②合外力对物体做负功，即W <0，ΔE k <0，表明物体的动能减小；
如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体所受合外力不做功．
③如果合外力对物体不做功，则动能不变．
(3)物体动能的改变可由合外力做功来度量．。
高三力学复习十五讲--动能定理的应用
力学复习十二一、动能定理的应用[知识点析]1、用动能定理求变力做的功由于某些力F 的大小或方向变化，所以不能直接由公式W=FScos α计算它们做的功，此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F 做的功。
2、在不同过程中运用动能定理由于物体运动过程中可能包括几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一整体过程，往往对全过程运用动能定理比较简便。
[例题析思][例题1]一列质量为M=5.0×105kg 的火车，在一段平直的轨道上始终以额定功率P 行驶，在300S 内的位移为 2.85×103m ，而速度由8m/s 增加到火车在此轨道上行驶的最大速度17m/s 。
设火车所受阻力f 大小恒定，求1、火车运动中所受阻力f 的大小；2、火车头的额定功率P 的大小。
[解析]火车的初速度和末速度分别用V 0和V t 表示，时间用t 表示，位移用S 表示，根据动能定理有： Pt-fs=2022121mV mV t -火车速度达到最大时，牵引力等于阻力f ，根据瞬时功率的计算公式有：P=fV e 。
N S V V V M f t t 4225202105.2)285030017(2)817(100.5)(2)(⨯=-⨯⨯-⨯⨯=--=N fV P t 541025.417105.2⨯=⨯⨯==[思考1]总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L 的距离，于是立即关闭发动机滑行，设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？[提示]法一：脱节的列车整个运动过程有两个阶段，先做匀加速运动，后关闭发动机滑行做匀减速运动，运用动能定理，从全过程考虑有： FL-K(M-m)gS 1=0-20)(21V m M -对末节车厢根据动能定理有-kmgS 2=0-2021mV ，由于原来列车匀速，故有F=kmg ，则m M ML S S S -=-=∆/21法二：由于脱节后列车比末节车厢多行驶的那段距离内，克服阻力所做的功等于牵引力在L 这段距离内所做的功，所以有：)/()(m M ML S Sg m M K KMgL -=∆∆-=[例题2]如图6-25所示，ABCD 是一条长轨道，其中AB 段是倾角为θ的斜面，CD 段是水平的，BC 是与AB 和CD 都相切的一小段圆弧，其长度可以不计。
第2讲动能定理及其应用
第2讲动能定理及其应用思维诊断(1)动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能．()(2)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化．()(3)动能不变的物体所受合外力一定为零．()(4)做自由落体运动的物体，动能与下落距离的平方成正比．()(5)物体做变速运动时动能一定变化．()考点突破2.动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力．3．合外力对物体做正功，物体的动能增加；合外力对物体做负功，物体的动能减少；合外力对物体不做功，物体的动能不变．4．高中阶段动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系．5．适用范围：直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、各个力同时做功、分段做功均可用动能定理．mv2变式训练1如图所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在桌面上以一定的初速度一起滑行一段距离后停止．现拿走砝码，而持续加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)，若其他条件不变，则木盒滑行的距离()A．不变B．变小C．变大D．变大变小均可能＝Mv＋.显然考点二动能定理的应用1.应用动能定理解题的步骤：2．注意事项：(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学研究方法要简便．(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理没有任何依据．(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解．(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号．[例2]如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功W f；(2)小船经过B点时的速度大小v1；(3)小船经过B点时的加速度大小a.2m1－④点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为＋1－－2m1－＋1－－f m考点三用动能定理处理多过程问题优先考虑应用动能定理的问题(1)不涉及加速度、时间的问题．(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题．(3)变力做功的问题．(4)含有F、l、m、v、W、E k等物理量的力学问题．[例3]如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径R＝2 m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m＝2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数为μ＝0.5，加速阶段AB的长度l＝3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F＝60 N的作用，在B点撤去拉力，取g＝10 m/s2.试问：(1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多少？(2)满足第(1)的条件下，小车能沿着出口平直轨道CD滑行多远的距离？(3)要使小车不脱离轨道，求平直轨道BC段的长度范围．[解析](1)设小车恰好通过最高点的速度为mg＝mv20R①变式训练3如图所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h＝0.8 m，质量为m＝2 kg的小物块M从斜面顶端A处由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g＝10 m/s2，下滑时逆着毛的生长方向．求：(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)．(2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？(3)物块M在斜面上下滑过程中的总路程．示的物理意义．(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题．或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．A．2 m/sB．8 m/s类题拓展质量均为m的两物块A、B以一定的初速度在水平面上只受摩擦力而滑动，如图所示是它们滑动的最大位移x与初速度的平方v20的关系图象，已知v202＝2v201，下列描述中正确的是()A．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是对B做功的2倍B．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是v2H H⎛⎫11质点在轨道最低点时受重力和支持力，根据牛顿第三定律可知，支持力2R，得v＝gR.对质点的下滑过程应用动能定理，，C正确．．甲车的刹车距离随刹车前的车速v变化快，甲车的刹车性能好乙车与地面间的动摩擦因数较大，乙车的刹车性能好．以相同的车速开始刹车，甲车先停下来，甲车的刹车性能好。
动能定理 的应用
v0
动能定理的应用
1、研究匀变速运动 在不涉及加速度和时间的问题中更简便
2、研究非匀变速运动、曲线运动
可以解决牛顿定律与匀变速运动学不能解决的问题。 标量式，研究曲线运动时不用也不能分解。 注意变力功的计算。 3、研究多过程运动（往复运动）
《三维设计》86页，例1 《三维设计》88页，例1、例2
动能定理的应用
以10m/s的速度滑上一个 倾斜角为370的粗糙固定斜面，它们之间的动摩 擦因数为0.5，斜面足够长，求： （1）木块上升的最大高度为多少？ （2）木块能否再滑下来？如果可以，再滑到底 端时速度为多少？
动能定理的应用
1、研究匀变速运动 在不涉及加速度和时间的问题中更简便
动能定理的应用
1、研究匀变速运动 在不涉及加速度和时间的问题中更简便
2、研究非匀变速运动、曲线运动
可以解决牛顿定律与匀变速运动学不能解决的问题。 标量式，研究曲线运动时不用也不能分解。 注意变力功的计算。 3、研究多过程运动（往复运动） 可以对全过程应用动能定理 注意分析不同阶段的合外力做功 注意滑动摩擦力做功的往复性
2、研究非匀变速运动、曲线运动
例：一个质量为1kg的小球在距水平地面高3.2m处 以6m/s的速度水平抛出，求它落地时速度大小。
例：一质量为1t的汽车，以100kw的恒定功率从静止 开始加速启动，运动125m后达到最大速度50m/s， 求汽车加速运动的时间。
例：竖直平面内有一个半径为R的粗糙圆周轨道，一个质 量为m的小球以一定的初速度进入轨道的最低点，第 一次通过轨道最高点时对轨道的压力为4mg。求从最 低点到第一次通过最高点的过程中摩擦力做的功。已 知 v0 11gR 。并分析小球能否再次通过最高点。
6.2 动能定理及应用
6.2 动能定理及应用概念梳理：一、动能1．定义：物体由于运动而具有的能量．2．公式：E k ＝12mv 2，式中v 为瞬时速度． 3．矢标性：动能是标量，没有负值，动能与速度的方向无关．4．动能是状态量，动能的变化是过程量，等于末动能减初动能，即ΔE k ＝12mv 22－12mv 21． 思考：动能一定是正值，动能的变化量为什么会出现负值？正、负表示什么意义？二、动能定理1．内容：合外力做功等于物体动能的变化量．2．表达式：W ＝ΔE k ＝12mv 22－12mv 213．对定理的理解：W >0，物体的动能增加；W <0，物体的动能减小；W ＝0，物体的动能不变．4．适用条件(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动；(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功；(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分别作用．考点精析：考点一 动能定理的基本应用1．应用动能定理解题的步骤(1)选取研究对象，明确并分析运动过程．(2)分析受力及各力做功的情况，求出总功． 受哪些力→各力是否做功→做正功还是负功→做多少功→确定求总功思路→求出总功(3)明确过程初、末状态的动能E k1及E k2.(4)列方程W ＝E k2－E k1，必要时注意分析题目潜在的条件，列辅助方程进行求解．2．应用动能定理的注意事项(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．(2)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表示为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号．(3)应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．(4)动能定理是求解物体位移或速率的简捷公式．当题目中涉及到位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理．【例1】人骑自行车下坡，坡长s＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2.则下玻过程中阻力所做的功是多少？【练习】如图所示，用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s，拉力F跟木箱前进方向的夹角为α，木箱与冰道间的动摩擦因数为μ，求木箱获得的速度．考点二 利用动能定理求变力做功的问题由于功是标量，所以动能定理中合力所做的功既可通过合力来计算(W 总＝F 合s cos α)，也可用每个力做的功来计算(W 总＝W 1＋W 2＋W 3＋…)．这样，原来直接利用功的定义不能计算的变力的功可以利用动能定理方便的求得，它使得一些可能无法进行研究的复杂的力学过程变得易于掌握和理解．【例1】如图所示，质量为m 的小球用长为L 的轻质细线悬于O 点，与O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉，已知OP ＝L 2，在A 点给小球一个水平向左的初速度v 0，发现小球恰能到达跟P 点在同一竖直线上的最高点B .则：(1)小球到达B 点时的速率？(2)若不计空气阻力，则初速度v 0为多少？(3)若初速度v 0＝3gL ，则在小球从A 到B 的过程中克服空气阻力做了多少功？【练习】如图所示，用汽车通过定滑轮拖动水面上的货船，汽车从静止开始把船从B 拖到A ，若滑轮的大小和摩擦不计，船的质量为M ，阻力为船重的k 倍，船在A 处时汽车的速度为v ，其他数据如图所示，则这一过程中汽车对船做的功为多少？(绳的质量不计)【练习】如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的 斜面．设物体在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为 h ，则从A 到C 的过程中弹簧弹力对物体做的功是( )A ．mgh －12mv 2B ．12mv 2－mgh C ．－mgh D ．－(mgh ＋12mv 2)考点三 应用动能定理求解动力学中的多过程问题【例1】如图所示是某公司设计的“2009”玩具轨道，是用透明的薄壁圆管弯成的竖直轨道， 其中引入管道AB 及“200”管道是粗糙的，AB 是与“2009”管道平滑连接的竖直放置的半径为R ＝0.4 m 的14圆管轨道，已知AB 圆管轨道半径与“0” 字型圆形轨道半径相同．“9”管道是由 半径为2R 的光滑14圆弧和半径为R 的光滑34圆弧以及两段光滑的水平管道、一段光滑的竖直 管道组成，“200”管道和“9”管道两者间有一小缝隙P ．现让质量m ＝0.5 kg 的闪光小球(可视 为质点)从距A 点高H ＝2.4 m 处自由下落，并由A 点进入轨道AB ，已知小球到达缝隙P 时 的速率为 v ＝8 m/s ，g 取10 m/s 2．求：(1)小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功；(2)小球通过“9”管道的最高点N 时对轨道的作用力；(3)小球从C 点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移．【练习】某兴趣小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v －t 图象，如图所示(2～10 s 内图象为曲线)．已知在小车运动的过程中，2～14 s 时间内小车的功率保持不变，在14 s 末停止遥控而让小车自由滑行．小车的质量为1.0 kg ，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变．求：(1)小车所受到的阻力大小；(2)小车匀速行驶阶段的功率；(3)小车在整个运动过程中克服阻力所做的功．考点四动能定理在连接体问题中的应用对系统应用动能定理时应注意：(1)要注意动能变化包括系统中所有物体的动能变化．(2)要注意分析系统中各个力的功，特别是物体间相互作用力的功不一定为零．(3)一般既可以选取整个系统为研究对象列方程，也可以选取单个物体列方程．【例1】如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条不可伸长的轻绳绕过K分别与物块A、B相连，A、B的质量分别为m A、m B.开始时系统处于静止状态．现用一水平恒力F拉物块A，使物块B上升．已知当B上升距离为h时，B的速度为v.求此过程中物块A克服摩擦力所做的功．【练习】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m，物体A在水平面上．A由静止释放,当B沿竖直方向下落h时，测得A沿水平面运动的速度为v，这时细绳与水平面的夹角为θ，试分析计算B下降h过程中，A克服地面摩擦力做的功．(滑轮的质量和摩擦均不计)课后练习一．单项选择题1．某人用手将一质量为1 kg 的物体由静止向上提升1 m ，这时物体的速度为2 m/s .则下列说法中不正确的是(g 取10 m/s 2)( )A ．手对物体做功12 JB ．合外力对物体做功12 JC ．合外力对物体做功2 JD ．物体克服重力做功10 J2．如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下从平衡位置P 点缓慢地移到Q 点，此时悬线与竖直方向夹角为θ，则拉力F 做的功为( )A ．mgL cos θB ．mgL (1－cos θ)C ．FL sin θD ．FL cos θ3．在h 高处，以初速度v 0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为( )A ．v 0＋2ghB ．v 0－2ghC ．v 20＋2ghD ．v 20－2gh4．子弹的速度为v ，打穿一块固定的木块后速度刚好变为零．若木块对子弹的阻力为恒力，那么当子弹射入木块的深度为其厚度的一半时，子弹的速度是( )A.v 2B.22vC.v 3D.v 45．刹车距离是衡量汽车安全性能的重要参数之一．如图所示的图线1、2分别为甲、乙两辆汽车在紧急刹车过程中的刹车距离s 与刹车前的车速v 的关系曲线，已知紧急刹车过程中车与地面间是滑动摩擦．据此可知，下列说法中正确的是( )A ．甲车的刹车距离随刹车前的车速v 变化快，甲车的刹车性能好B ．乙车与地面间的动摩擦因数较大，乙车的刹车性能好C ．以相同的车速开始刹车，甲车先停下来，甲车的刹车性能好D ．甲车的刹车距离随刹车前的车速v 变化快，甲车与地面间的动摩擦因数较大6．一个小物块冲上一个固定的粗糙斜面，经过斜面上A 、B 两点，到达斜面上最高点后返回时，又通过了B 、A 两点，如图所示，关于物块上滑时由A 到B 的过程和下滑时由B 到A 的过程，动能的变化量的绝对值ΔE 上和ΔE 下，以及所用时间t 上和t 下相比较，有( )A ．ΔE 上<ΔE 下，t 上<t 下B ．ΔE 上>ΔE 下，t 上>t 下C ．ΔE 上<ΔE 下，t 上>t 下D ．ΔE 上>ΔE 下，t 上<t 下7．汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运动，到t 1秒末关闭发动机做匀减速直线运动，到t 2秒末静止．动摩擦因数不变，其v －t 图象如图所示，图中β<θ.若汽车牵引力做功为W ，平均功率为P ，汽车加速和减速过程中克服摩擦力做功分别为W 1和W2，平均功率大小分别为P 1和P 2，下列结论不正确的是( )A ．W 1＋W 2＝WB ．P ＝P 1＋P 2C ．W 1>W 2D ．P 1＝P 28．如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一个质量为m 的物体，物体与转台间用长L 的绳连接着，此时物体与转台处于相对静止，设物体与转台间的动摩擦因数为μ，现突然制动转台，则下列说法不正确的是( )A ．由于惯性和摩擦力，物体将以O 为圆心、L 为半径做变速圆周运动，直到停止B.若物体在转台上运动一周，物体克服摩擦力做的功为μmg 2πLC ．若物体在转台上运动一周，摩擦力对物体不做功D ．物体在转台上运动Lω24μg π圈后，停止运动 二．双项选择题1．如图所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F 拉位于粗糙面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动．在移动过程中，下列说法正确的是( )A ．F 对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和B ．F 对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和C ．木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能D ．F 对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和2．静止在粗糙水平面上的物块A 受方向始终水平向右、大小先后为F1、F2、F3的拉力作用做直线运动，t＝4 s时停下，其v－t图象如图所示，已知物块A 与水平面间的动摩擦因数处处相同，下列判断正确的是()A．全过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功B．全过程拉力做的功等于零C．一定有F1＋F3＝2F2D．可能有F1＋F3>2F2三．计算题1．如图所示，用汽车通过定滑轮拉动水平平台上的货物，若货物的质量为m，与平台间的动摩擦因数为μ，汽车从静止开始把货物从A拉到B的过程中，汽车从O到达C点处时速度为v，若平台的高度为h，滑轮的大小和摩擦不计，求这一过程中汽车对货物做的功．2．风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右，如图所示．当小球静止在A点时，悬线与竖直方向夹角为α.试求：(1)水平风力的大小；(2)若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？。
【高中物理】动能定理的应用知识点总结，考前必过一遍！
【⾼中物理】动能定理的应⽤知识点总结，考前必过⼀遍！⼀、动能1、定义：物体由于运动⽽具有的能量叫做动能，⽤符号来表⽰。
⽐如运动的汽车、飞机，流动的河⽔、空⽓等，都具有动能。
2、公式：3、动能是⼀个标量，只有⼤⼩没有⽅向，其单位为焦⽿（J）。
4、动能是状态量，对应物体运动的某⼀个时刻。
5、动能具有相对性，对于不同的参考系⽽⾔，物体的运动速度具有不同的瞬时值，也就有不同的动能。
在研究物体的动能时，⼀般都是以地⾯为参考系。
⼆、动能定理动能定理的推导过程：设物体质量为m，初速度为，在与运动⽅向相同的恒⼒作⽤下发⽣⼀段位移s，速度增加到。
在这⼀过程中，⼒F所做的功。
根据⽜顿第⼆定律有，根据匀加速运动的公式，有，由此可得1、动能定理的内容：合外⼒对物体做的总功等于物体动能的改变量。
2、动能定理的物理意义：该定理提出了做功与物体动能改变量之间的定量关系。
3、动能定理的表达式：4、动能定理的理解：（1）是所有外⼒做功的代数和。
可以包含恒⼒功，也可以包含变⼒功；做功的各⼒可以是同时作⽤的，也可以是各⼒在不同阶段做功的和。
应注意分析各⼒做功的正、负。
（2）求各外⼒功时，必须确定各⼒做功所对应的位移段落，逐段累计，并注意重⼒、电场⼒做功与路径⽆关的特点。
（3）下述关系式提供了⼀种判断动能（速度）变化的⽅法。
（4）代⼊公式时，要注意书写格式和各功的正负号，所求的功⼀般都按正号代⼊，如，式中动能增量为物体的末动能减去初动能，不必考虑中间过程。
（5）利⽤动能定理解题时也有其局限性，有时不能利⽤其直接求出速度的⽅向，且只适⽤于单个质点或能看成质点的物体。
5、应⽤动能定理的解题步骤（1）选择过程（哪⼀个物体，由哪⼀位置到哪⼀位置）过程的选取要灵活，既可以选取物体运动的某⼀阶段为研究过程，也可以选取物体运动的全过程为研究过程。
（2）分析过程。
分析各⼒做功情况，求解合⼒所做的功。
如果在选取的研究过程中物体受⼒情况有变化，则⼀定要分段进⾏受⼒分析，求解各个⼒的做功情况。
动能定理及其应用
学案正标题一、考纲要求1.掌握动能的概念，知道动能是标量，会求动能的变化量.2.掌握动能定理，能运用动能定理解答实际问题．二、知识梳理1.动能（1）定义：物体由于运动而具有的能．（2）公式：E k＝，式中v为瞬时速度．（3）矢标性：动能是标量，没有负值，动能与速度的方向无关．（4）动能是状态量，动能的变化是过程量，等于末动能减初动能，即ΔE k＝E k2-E k1．2.动能定理（1）内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．（2）表达式：W＝＝E k2－E k1.（3）物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度．（4）适用条件①动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．②既适用于恒力做功，也适用于变力做功．③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用.三、要点精析1.动能定理的理解（1）动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力的功是引起物体动能变化的原因．（2）动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理．（3）若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式．2.应用动能定理三点注意（1）动能定理说明了合力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能．（2）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．（3）动能定理的表达式是一个标量式，不能在某方向上应用动能定理．3.应用动能定理解题的步骤（1）确定研究对象和研究过程；（2）分析研究对象的受力情况和各力的做功情况；（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)，如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功；（4）写出物体的初、末动能；（5）按照动能定理列式求解．4.应用动能定理解决多过程问题的技巧（1）运用动能定理解决问题时，选择合适的研究过程能使问题得以简化．当物体的运动过程包含几个运动性质不同的子过程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究过程．（2）当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：①重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；②大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．5.分析动能定理与图象结合问题“三步走”四、典型例题1.如图所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力F拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离．在此过程中( )A．外力F做的功等于A和B动能的增量B．B对A的摩擦力所做的功大于A的动能增量C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和【答案】D【解析】A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A 的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B错．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B对地的位移不等，故二者做功不等，C错．对B应用动能定理，W F－W f＝ΔE kB，W F＝ΔE kB＋W f，即外力F对B 做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D对．由上述讨论知B克服摩擦力所做的功与A的动能增量(等于B对A的摩擦力所做的功)不等，故A错．2.如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )A．重力做功2mgRB．机械能减少mgRC．合外力做功mgRD．克服摩擦力做功mgR【答案】D【解析】小球到达B点时，恰好对轨道没有压力，故只受重力作用，根据mg＝得，小球在B点的速度v＝.小球从P点到B点的过程中，重力做功W＝mgR，故选项A错误；减少的机械能ΔE减＝mgR－mv2＝mgR，故选项B错误；合外力做功W合＝mv2＝mgR，故选项C错误；根据动能定理得，mgR－W f＝mv2－0，所以W f＝mgR－mv2＝mgR，故选项D正确．3.静置于水平地面上的物体质量为0.3kg，某时刻物体在竖直拉力作用下开始运动，若取地面为零势能面，物体的机械能E和物体上升的高度h之间的关系如图所示，不计空气阻力，g＝10 m/s2.下列说法正确的是( )A．物体在OA段所受的合外力为7.5 NB．物体在AB段所受拉力为4.5 NC．物体在h＝2 m时的动能为9 JD．物体在h＝6 m时的速度为6m/s【答案】C【解析】E—h图线的斜率表示除重力之外的其他力，在本题中即为竖直拉力，物体在OA段所受的拉力7.5 N，所受的合外力为4.5 N，选项A错误；物体在AB段所受拉力为3 N，选项B错误；物体在h＝2 m时，机械能为15 J，重力势能为6 J，因而动能为9 J，选项C正确．由于物体在AB段受的合外力为0，做匀速运动，故h＝6 m时的速度与h＝2 m时的速度相等，而h＝2 m时的速度为2m/s，选项D错误．4.(多选)利用太阳能驱动的小车，若小车在平直的水泥路上从静止开始加速行驶，经过时间t前进距离s，速度达到最大值v m，在这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，那么这段时间内( )A．小车做匀加速运动B．电动机所做的功为PtC．电动机所做的功为D．电动机所做的功为Fs＋【答案】BD【解析】对小车由牛顿第二定律得－F＝ma，由于小车的速度逐渐增大，故小车加速度逐渐减小，小车做加速度逐渐减小的加速运动，A错误；电动机对小车所做的功W＝Pt，B正确；对小车由动能定理得W－Fs＝，解得W＝Fs＋，C错误，D正确．5.(2015·山东济南一中检测)(多选)放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是( )A．0～6 s内物体的位移大小为30 mB．0～6 s内拉力做的功为70 JC．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等D．滑动摩擦力的大小为5 N【答案】ABC【解析】v－t图象中图线与坐标轴围成的面积表示位移，s6＝30 m，A正确．P－t图象中图线与坐标轴围成的面积表示功，W6＝70 J，B正确．由动能定理知，2～6 s内合外力不做功，C正确.2～6 s内物体做匀速运动，有F＝F f，P＝Fv，得F f＝N，D错误．6.质量为10 kg的物体，在变力F作用下沿x轴做直线运动，力随位移x的变化情况如图所示．物体在x＝0处速度为1 m/s，一切摩擦不计，则物体运动到x＝16 m处时，速度大小为( )A．2m/s B．3 m/sC．4 m/s D．m/s【答案】B【解析】F－x图象与横轴所围的面积表示功，由题图可知，外力做的总功W＝Fx＝40 J，根据动能定理W＝－，得v＝3 m/s.选项B正确．7.物体在恒定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直线滑行直到停止．以a、E k、x和t分别表示物体运动的加速度大小、动能、位移的大小和运动的时间，则以下各图象中，能正确反映这一过程的是( )【答案】C【解析】物体在恒定阻力作用下运动，其加速度随时间不变，随位移不变，选项A、B错误；由动能定理，－F f x＝E k－E k0，解得E k＝E k0－F f x，选项C正确；E k＝E k0－F f x＝E k0－F f(v0t－at2)，E k与时间t不成线性关系，D错误．8.如图所示，光滑水平平台上有一个质量为m的物块，站在地面上的人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h.当人以速度v从平台的边缘处向右匀速前进位移x时，则( )A．在该过程中，物块的运动可能是匀速的B．在该过程中，人对物块做的功为C．在该过程中，人对物块做的功为D．人前进x时，物块的运动速率为【答案】B【解析】设绳子与水平方向的夹角为θ，则物块运动的速度v物＝vcos θ，而cos θ＝，故v物＝＝，可见物块的速度随x的增大而增大，A、D均错误；人对物块的拉力为变力，变力的功可应用动能定理求解，即W＝＝，B正确，C 错误．9.用水平力F拉一物体，使物体在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，t1时刻撤去拉力F，物体做匀减速直线运动，到t2时刻停止，其速度—时间图象如图3所示，且α＞β.若拉力F做的功为W1，平均功率为P1；物体克服摩擦阻力F f做的功为W2，平均功率为P2，则下列选项正确的是( )A．W1＞W2，F＝2F f B．W1＝W2，F＞2F fC．P1＜P2，F＞2F f D．P1＝P2，F＝2F f【答案】B【解析】整个运动过程中，根据动能定理有W1－W2＝0，所以W1＝W2，又P1＝，P2＝，所以P1＞P2；根据牛顿第二定律，施加拉力F时，加速度大小a1＝，撤去拉力F后加速度大小a2＝，v－t图象斜率的绝对值表示加速度的大小，根据题图可知a1＞a2，即＞可得F＞2F f，综上分析，本题答案为B.10.如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一轻质弹簧，其一端固定在斜面下端的挡板上，另一端与质量为m的物体接触(未连接)，物体静止时弹簧被压缩了x0，现用力F缓慢沿斜面向下推动物体，使弹簧在弹性限度内再被压缩2x0后保持物体静止，然后撤去F，物体沿斜面向上运动的最大距离为 4.5x0，则在撤去F后到物体上升到最高点的过程中( )A．物体的动能与重力势能之和不变B．弹簧弹力对物体做的功为2mgx0sin θC．弹簧弹力对物体做的功为4.5mgx0sin θD．物体从开始运动到速度最大的过程中克服重力做的功为2mgx0sin θ【答案】CD【解析】在运动过程中，弹簧的弹性势能转化为物体的动能与重力势能，选项A错误；根据功能关系知，选项B错误，选项C正确；物体在弹簧压缩量为x0处速度最大，这时物体从静止开始沿斜面向上运动了2x0，克服重力做功为2mgx0sin θ，选项D正确．11.A、B两物体在光滑水平面上，分别在相同的水平恒力F作用下，由静止开始通过相同的位移l.若A的质量大于B的质量，则在这一过程中( )A．A获得动能较大B．B获得动能较大C．A、B获得动能一样大D．无法比较A、B获得动能大小【答案】C【解析】由动能定理可知恒力F做功W＝Fl＝mv2－0，因为F、l相同，所以A、B的动能变化相同，C正确．12.(多选)如图所示，质量相等的物体A和物体B与地面的动摩擦因数相等，在力F的作用下，一起沿水平地面向右移动x，则( )A．摩擦力对A、B做功相等B．A、B动能的增量相同C．F对A做的功与F对B做的功相等D．合力对A做的功与合力对B做的功相等【答案】BD【解析】因F斜向下作用在物体A上，A、B受的摩擦力不相同，因此，摩擦力对A、B做的功不相等，A错误；A、B两物体一起运动，速度始终相同，故A、B动能增量一定相等，B 正确；F不作用在B上，不能说F对B做功，C错误；合力对物体做的功等于物体动能的增量，D正确．13.(2015·安庆模拟)在离地面高h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当物块落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( )A．mgh－mv2－mv B．－mv2－mv－mghC．mgh＋mv－mv2D．mgh＋mv2－mv【答案】C【解析】设克服阻力所做的功为WF f，则在该过程中合力所做的功等于mgh－WF f，动能的改变量为mv2－mv，根据动能定理得mgh－WF f＝mv2－mv，因此物体克服空气阻力所做的功WF f＝mgh＋mv－mv2，C正确．14.(2015·郑州高三质检)如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )A．mgh－mv2B．mv2－mghC．－mgh D．－(mgh＋mv2)【答案】A【解析】小球从斜面底端到最高点C的过程中，重力、弹簧弹力做功，C点为最高点，即v C ＝0，由动能定理得：－mgh＋W弹＝0－mv2，W弹＝mgh－mv2，故A正确．15.(2015·浙江十校联考)用水平力F拉一物体，使物体在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，t1时刻撤去拉力F，物体做匀减速直线运动，到t2时刻停止，其速度—时间图象如右图所示，且α＞β，若拉力F做的功为W1，平均功率为P1；物体克服摩擦阻力F f做的功为W2，平均功率为P2，则下列选项正确的是( )A．W1＞W2，F＝2F f B．W1＝W2，F＞2F fC．P1＜P2，F＞2F f D．P1＝P2，F＝2F f【答案】B【解析】由动能定理可得W1－W2＝0，解得W1＝W2.由图象可知，撤去拉力F后运动时间大于水平力F作用时间，所以F＞2F f，选项A、D错误，B正确；由于摩擦阻力作用时间一定大于水平力F作用时间，所以P1＞P2，选项C错误．16.如图所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为F N.重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为( )A．R(F N－3mg) B．R(3mg－F N)C．R(F N－mg) D．R(F N－2mg)【答案】A【解析】质点到达最低点B时，它对容器的正压力为F N，根据牛顿第二定律有F N－mg＝m，根据动能定理，质点自A滑到B的过程中有W f＋mgR＝mv2，故摩擦力对其所做的功W f ＝RF N－mgR，故A正确．17.质量均为m的两物块A、B以一定的初速度在水平面上只受摩擦力而滑动，如图所示是它们滑动的最大位移x与初速度的平方的关系图象，已知＝2，下列描述中正确的是( )A．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是对B做功的2倍B．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是对B做功的C．若A、B滑行的最大位移相等，则滑动摩擦力对它们做的功相等D．若A、B滑行的最大位移相等，则滑动摩擦力对B做的功是对A做功的2倍【答案】D【解析】由于两物块质量均为m，若A、B滑行的初速度相等，则初动能相等，由动能定理得－WF f＝0－，即滑动摩擦力做的功相等，A、B错误；若A、B滑行的最大位移相等，由题意可知＝2，B的初动能是A的初动能的2倍，滑动摩擦力对B做的功是对A做功的2倍，C错误，D正确．18.(多选)如图所示，一个质量为m＝1 kg的带孔小球穿在固定的粗糙水平长横杆上滑行，小球与横杆间的动摩擦因数为μ＝0.6.某时刻小球获得一个水平向右的瞬时速度v0＝15 m/s，同时小球受到一个竖直向上的作用力F，F与速度的平方成正比，比例常数为k＝0.4 kg/m，重力加速度为g＝10 m/s2，则小球运动的整个过程中( )A．作用力F对小球做功为0B．作用力F对小球做功为－112.5 JC．摩擦力对小球做功为－112.5 JD．摩擦力对小球做功为－100 J【答案】AD【解析】小球受到的重力G＝mg＝10 N，开始时受到的作用力F＝kv＝90 N＞mg，还受到水平向左的滑动摩擦力F f＝μF N，而F N＝F－mg＝kv－mg，则小球开始向右做加速度减小的减速运动，小球速度减小到某一速度v1时会出现F＝G，此时小球对横杆的压力等于0，小球所受摩擦力等于0，此时小球做匀速运动，小球匀速运动时F＝G，即kv＝mg，代入数据解得v1＝5 m/s，小球从v0到v1的过程中，设摩擦力对小球所做的功为W f，对小球应用动能定理有W f＝－，解得W f＝－100 J，C错误，D正确；因为作用力F与小球速度始终垂直，因此对小球不做功，选项A正确，B错误．19.一人乘竖直电梯从1楼到12楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则下列说法正确的是( )A．电梯对人做功情况是：加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B．电梯对人做功情况是：加速和匀速时做正功，减速时做负功C．电梯对人做的功等于人动能的增加量D．电梯对人做的功和重力对人做的功的代数和等于人动能的增加量【答案】D【解析】电梯向上加速、匀速、再减速运动的过程中，电梯对人的作用力始终向上，故电梯始终对人做正功，A、B均错误；由动能定理可知，电梯对人做的功和重力对人做的功的代数和等于人动能的增加量，故C错误，D正确．20.一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x2应为(不计空气阻力的影响) ( )A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m【答案】A【解析】急刹车后，车只受摩擦阻力F f的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．则有－F f x1＝0－①－F f x2＝0－②②式除以①式得.故汽车滑行距离x2＝x1＝()2×3.6 m＝6.4 m21.在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动．某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L，斜面倾角为α，人的质量为m，滑沙板质量不计，重力加速度为g.则( )A．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v0B．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为5v0C．人沿沙坡下滑时所受阻力F f＝mgsin α－2mv/LD．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mgv0【答案】C【解析】某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，由动能定理可得，mgLsin α－F f L＝m(2v0)2.若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，由动能定理得，mgLsin α－F f L＝－，联立解得v＝v0，选项A、B错误；由mgLsin α－F f L＝m(2v0)2解得人沿沙坡下滑时所受阻力F f＝mgsin α－2mv/L，选项C正确；人在下滑过程中重力功率的最大值为mg·2v0·sin α＝2mgv0sin α，选项D 错误.22.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是( )A．mgR B．mgR C．mgR D．mgR【答案】C【解析】小球通过最低点时，绳的张力为F＝7mg ①由牛顿第二定律可知：F－mg＝②小球恰好能通过最高点，则在最高点时绳子拉力为零，由牛顿第二定律可知：mg＝③小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得：－2mgR＋W f＝－④由①②③④可得W f＝－mgR，所以小球克服空气阻力所做的功为mgR，故C正确，A、B、D错误．23.如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为h A、h B、h C，则( )A．h A＝h B＝h C B．h A＝h B＜h CC．h A＝h B＞h C D．h A＝h C＞h B【答案】D【解析】A球和C球上升到最高点时速度均为零，而B球上升到最高点时仍有水平方向的速度，即仍有动能．对A、C球的方程为mgh＝，得h＝对B球的方程为mgh′＋＝，且≠0所以h′＝＜h，故D正确．24.(2015·郑州三模)(多选)如图所示，竖直平面内有一个半径为R的半圆形轨道OQP，其中Q 是半圆形轨道的中点，半圆形轨道与水平轨道OE在O点相切，质量为m的小球沿水平轨道运动，通过O点进入半圆形轨道，恰好能够通过最高点P，然后落到水平轨道上，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )A．小球落地时的动能为2.5mgRB．小球落地点离O点的距离为2RC．小球运动到半圆形轨道最高点P时，向心力恰好为零D．小球到达Q点的速度大小为【答案】ABD【解析】小球恰好通过P点，mg＝m得v0＝.根据动能定理mg·2R＝mv2－得mv2＝2.5mgR，A正确．由平拋运动知识得t＝，落地点与O点距离x＝v0t＝2R，B正确．P处小球重力提供向心力，C错误．从Q到P由动能定理－mgR＝m()2－得v Q＝，D正确．25.(2015·大连检测)如图所示，小球以初速度v0从A点沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，水平轨道与倾斜轨道之间用平滑圆弧连接(图中没画出)．则经过A点速度v的大小为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由动能定理得，小球由A到B过程－mgh＋W Ff＝0－，小球由B到A过程有mgh＋W Ff＝－0，联立解得v＝，B正确．26.如图所示为汽车在水平路面上启动过程中的速度图象，Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，则下述说法正确的是( )A．0～t1时间内汽车做匀加速运动且功率恒定B．t1～t2时间内汽车牵引力做功为－C．t1～t2时间内的平均速度为(v1＋v2)D．在全过程中t1时刻的牵引力及其功率都是最大值，t2～t3时间内牵引力最小【答案】D【解析】由题图可知，在0～t1时间内，v－t图象为倾斜的直线，故汽车做匀加速运动，牵引力恒定，由P＝Fv可知，汽车牵引力的功率均匀增大，选项A错误；在t1～t2时间内，根据动能定理有W F－W f＝－，因此牵引力做的功大于－，选项B 错误；在t1～t2时间内，若v－t图象为直线，则平均速度为 (v1＋v2)，而题图所示v－t图象为曲线，故这段时间内的平均速度≠ (v 1＋v2)，选项C错误；全过程中，t1时刻牵引力最大，功率达到额定功率，也最大，之后，功率不变，牵引力减小，直至F＝f，此后汽车做匀速运动，故选项D正确．27.(2015·山西太原一模)将小球以10 m/s的初速度从地面竖直向上抛出，取地面为零势能面，小球在上升过程中的动能E k、重力势能E p与上升高度h间的关系分别如图中两直线所示．取g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )A．小球的质量为0.2 kgB．小球受到的阻力(不包括重力)大小为0.20 NC．小球动能与重力势能相等时的高度为mD．小球上升到2 m时，动能与重力势能之差为0.5 J【答案】D【解析】在最高点，E p＝mgh得m＝0.1 kg，A项错误；由除重力以外其他力做功W其＝ΔE 可知：－fh＝E高－E低，E为机械能，解得f＝0.25 N，B项错误；设小球动能和重力势能相等时的高度为H，此时有mgH＝，由动能定理：－fH－mgH＝－得H＝m，故C项错；当上升h′＝2 m时，由动能定理，－fh′－mgh′＝E k2－得E k2＝2.5 J，E p2＝mgh′＝2 J，所以动能与重力势能之差为0.5 J，故D项正确．28.小孩玩冰壶游戏，如图所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求：（1）冰壶在A点的速率v A；（2）冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F.【答案】（1）（2）【解析】（1）冰壶从A点运动至B点的过程中，只有滑动摩擦力对其做负功，由动能定理得－μmgL＝0－解得v A＝（2）冰壶从O点运动至A点的过程中，水平推力F和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理得(F－μmg)x＝解得F＝29.如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.求：（1）小球到达B点时的速率；（2）若不计空气阻力，则初速度v0为多少；（3）若初速度v0＝3，则小球在从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功．【答案】（1）（2）（3） mgL【解析】（1）小球恰能到达最高点B，有mg＝m，得v B＝.（2）若不计空气阻力，从A→B由动能定理得－mg(L＋)＝－解得v0＝.a（3）由动能定理得－mg(L＋)－W f＝－解得W f＝mgL.30.随着中国首艘航母“辽宁号”的下水，同学们对舰载机的起降产生了浓厚的兴趣．下面是小聪编制的一道舰载机降落的题目，请你阅读后求解．（1）假设质量为m的舰载机关闭发动机后在水平地面跑道上降落，触地瞬间的速度为v0(水平)，在跑道上滑行的v－t图象如图所示．求舰载机滑行的最大距离和滑行时受到的平均阻力大小；（2）航母可以通过设置阻拦索来增大对舰载机的阻力．现让该舰载机关闭发动机后在静止于海面上的航母水平甲板上降落，若它接触甲板瞬间的速度仍为v0(水平)，在甲板上的运动可以看做匀变速直线运动，在甲板上滑行的最大距离是在水平地面跑道上滑行的最大距离的.求该舰载机在航母上滑行时受到的平均阻力大小(结果用m、v0、t0表示)．【答案】（1） v0t0（2）【解析】（1）由题图，根据匀变速运动规律可得最大距离为x＝v0t0由动能定理有－F f x＝0－解得阻力F f＝（2）最大距离x′＝x＝v0t0由动能定理有－x′＝0－联立解得＝31.如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O点为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高．质量m＝1 kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O点等高的D点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数μ；（2）若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值；（3）若滑块离开C点的速度大小为4 m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上所经历的时间t.【答案】（1）0.375 （2）2 m/s （3）0.2 s【解析】（1）滑块从A点到D点的过程中，根据动能定理有mg(2R－R)－μmgcos 37°·＝0－0解得：μ＝tan 37°＝0.375（2）若使滑块能到达C点，根据牛顿第二定律有。
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、动能定理的基本概念在物理学中，动能定理是一个非常重要的概念。
它描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
动能，简单来说，就是物体由于运动而具有的能量。
其表达式为：＄E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
而动能定理指出：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
数学表达式为：＄W ＝＼Delta E_k$，其中$W$是合外力做的功，＄＼Delta E_k$是动能的变化量。
理解动能定理的关键在于明白做功会导致能量的转化。
当力对物体做功时，物体的动能可能增加，也可能减少，具体取决于力做功的正负。
二、动能定理的推导为了更好地理解动能定理，我们来进行简单的推导。
假设一个质量为$m$的物体，在恒力$F$的作用下，沿着直线运动，位移为$s$，力与位移的夹角为$＼theta$。
根据功的定义，力$F$做的功$W$为：＄W ＝ Fs\cos\theta$根据牛顿第二定律，＄F ＝ ma$物体的加速度为$a$，初速度为$v_0$，末速度为$v$，根据运动学公式：＄v^2 v_0^2 ＝ 2as$将$F ＝ ma$和$v^2 v_0^2 ＝ 2as$代入$W ＝ Fs\cos\theta$中，得到：＼＼begin{align}W&＝mas\cos\theta\＼＆＝m\frac{v^2 v_0^2}｛2}＼cos\theta\＼＆＝＼frac{1}｛2}mv^2 ＼frac{1}｛2}mv_0^2＼end{align}＼这就证明了合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量，即动能定理。
三、动能定理的应用场景动能定理在解决物理问题时有广泛的应用，以下是一些常见的场景：1、单物体直线运动对于一个在直线上运动的物体，已知其受力情况和初末速度，我们可以利用动能定理来求位移或者力的大小。
例如，一个质量为$2kg$的物体在水平拉力作用下，从静止开始运动，经过$5m$后速度达到$4m/s$，已知摩擦力为$5N$，求拉力的大小。
动能定理和动量定理的应用
动能定理和动量定理的应用一、动能定理的应用1.动能定理的基本概念：动能定理指出，一个物体的动能变化等于它所受的合外力做的功。
2.动能定理的表达式：ΔE_k = W_net，其中ΔE_k表示物体动能的变化，W_net表示合外力做的功。
3.动能定理在实际问题中的应用：a.计算物体在力的作用下从一个位置移动到另一个位置时动能的变化。
b.分析物体在斜面上滑动时的动能变化，考虑重力势能和摩擦力的影响。
c.研究弹性碰撞和非弹性碰撞中动能的转移和变化。
二、动量定理的应用1.动量定理的基本概念：动量定理指出，一个物体的动量变化等于它所受的合外力作用时间的乘积。
2.动量定理的表达式：Δp = F_net * t，其中Δp表示物体动量的变化，F_net表示合外力，t表示作用时间。
3.动量定理在实际问题中的应用：a.计算物体在力的作用下速度的变化，即动量的变化。
b.分析物体在碰撞过程中的动量守恒，即碰撞前后物体总动量的保持不变。
c.研究爆炸、火箭发射等高速运动物体的动量变化和力的作用。
三、动能定理和动量定理的相互关系1.在某些情况下，动能定理和动量定理可以相互转化应用。
2.动能定理主要关注物体的动能变化，而动量定理主要关注物体的动量变化。
3.在实际物理问题中，根据具体情况选择合适的定理进行分析。
四、注意事项1.在应用动能定理和动量定理时，要正确选择研究对象和研究过程。
2.注意区分合外力和系统内力的作用，以及各种力的方向和大小。
3.在计算功和动量时，要注意单位的转换和数值的精确性。
4.理解动能定理和动量定理的适用范围和条件，避免盲目套用公式。
习题及方法：1.习题：一个物体从静止开始沿着光滑的斜面下滑，斜面与水平面的夹角为30°，物体的质量为2kg，斜面长为10m。
求物体滑到斜面底端时的动能。
a.首先，计算物体下滑过程中的重力势能变化ΔE_p = mgh，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为高度变化。
ΔE_p = 2kg * 9.8m/s^2 * 10m * sin(30°) = 98Jb.根据动能定理，物体动能的变化等于重力势能的变化，即ΔE_k =ΔE_p。
动能定理的应用
动能定理的应用动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体运动的动能和力的关系。
本文将探讨动能定理的应用，包括在机械工程、航空航天、交通运输和体育运动等领域的实际运用。
一、机械工程中的应用动能定理在机械工程领域具有广泛的应用。
以汽车制造为例，通过动能定理我们可以计算汽车在不同速度下的动能，从而评估汽车的性能。
此外，动能定理还可以应用于机器的动力学分析和设计中，帮助工程师优化机器的运行效率。
二、航空航天中的应用在航空航天工程中，动能定理在飞行器的设计和控制中起着重要作用。
例如，通过动能定理可以计算飞机在起飞和降落过程中所需的最小速度，这对飞行安全至关重要。
此外，动能定理还可以用于计算火箭的离地速度，帮助航天工程师设计和控制火箭的发射。
三、交通运输中的应用交通运输领域也可以应用动能定理进行分析和优化。
以高速列车为例，通过动能定理可以计算列车在不同速度下所具有的动能，从而评估列车的动力性能。
此外，动能定理还可以用于计算汽车刹车距离和轮船的制动距离，有助于提高交通运输的安全性。
四、体育运动中的应用动能定理在体育运动中也有广泛的应用。
以田径运动为例，通过动能定理可以计算运动员在起跑和冲刺过程中所具有的动能，从而帮助运动员提高速度和成绩。
此外，动能定理还可以用于计算篮球或足球运动中球的运动轨迹，帮助教练和运动员制定更加有效的战术。
综上所述，动能定理在机械工程、航空航天、交通运输和体育运动等领域都有着广泛的应用。
它不仅帮助工程师和科学家进行设计和分析，还能够促进技术的发展和运动成绩的提高。
随着科学技术的进步，动能定理的应用将会越来越广泛，为各行各业带来更多的创新和突破。
《动能定理》 知识清单
《动能定理》知识清单一、什么是动能定理动能定理是物理学中一个非常重要的定理，它描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
简单来说，动能定理指出：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
用公式表达为：W 合＝ΔEk ，其中 W 合表示合外力对物体做的功，ΔEk 表示物体动能的变化量。
动能是物体由于运动而具有的能量，它的大小与物体的质量和速度有关，表达式为 Ek ＝ 1/2mv²，其中 m 是物体的质量，v 是物体的速度。
二、动能定理的推导我们从牛顿第二定律 F ＝ ma 开始推导。
假设一个物体在恒力 F 的作用下，沿着直线运动，发生的位移为 s ，力与位移的夹角为θ 。
根据功的定义，力 F 做的功 W ＝Fs cosθ 。
根据运动学公式 v² v₀²＝ 2as （其中 v 是末速度，v₀是初速度，a 是加速度），又因为 a ＝ F/m ，所以 s ＝（v² v₀²) ／ 2a ＝（v²v₀²)m ／ 2F 。
将 s 代入功的表达式，得到 W ＝ F ×（v² v₀²)m ／ 2F ＝ 1/2mv²1/2mv₀²。
而 1/2mv²是末动能，1/2mv₀²是初动能，所以合外力对物体做的功等于物体动能的变化量，即 W 合＝ΔEk 。
三、动能定理的理解1、功和动能的关系功是能量转化的量度，合外力做功引起动能的变化。
做正功，动能增加；做负功，动能减少。
2、合外力的理解合外力是指作用在物体上所有力的矢量和。
3、动能定理的适用范围动能定理适用于单个物体，也适用于多个物体组成的系统。
它既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
4、动能定理的优越性相比牛顿运动定律和运动学公式的组合，动能定理往往能更简洁地解决问题，尤其是在涉及变力做功或多过程问题时。
动能定理及其应用(上课用)
【例 4】如图 7 所示，倾角为 37°的粗糙斜面 AB 底端与半径 R＝0．4 m 的光滑半圆轨道 BC 平滑相连，O 点为轨道圆心，BC 为圆轨道直 径且处于竖直方向，A、C 两点等高．质量 m ＝1 kg 的滑块从 A 点由静止开始下滑，恰能滑 到与 O 点等高的 D 点，g 取 10 m/s2，sin 37° ＝0．6，cos 37°＝0．8． (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ； (2)若使滑块能到达 C 点，求滑块从 A 点沿斜面 滑下时的初速度 v0 的最小值；
总结升华
图象所围“面积”的意义
(1)v-t 图：由公式 x＝vt 可知，v-t 图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移。
(2)a-t 图：由公式 Δv＝at 可知，a-t 图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的
变化量。
(3)F-x 图：由公式 W＝Fx 可知，F-x 图线与坐标轴围成的面积表示力所做的
Δv1＝0.50 m/s. 同理可得前2 s内速度变化Δv2＝1.5 m/s. 且Δv2＝v2－v0得v2＝1.5 m/s.
(3)由 a -t 图象可知 11～30 s 内速率最大，其速率等于 0～ 11 s 内 a -t 图线下的面积 vm＝10 m/s.此时电梯做匀速直线运 动，拉力 F 等于重力为 mg.则有
A．物体与水平面间的动摩擦因数约为 0.35 B．减速过程中拉力对物体所做的功约为 13 J C．匀速运动时的速度约为 6 m/s D．减速运动的时间约为 1.7 s
(1)F-s 图象的面积表示什么？ 提示：F 做的功。 (2)开始物体在粗糙水平面上匀速运动，F 和摩擦力大小关系如何？
提示：大小相等，是平衡力。
【解析】 (1)由a t图象可知，电梯拉力最大为F1时对应的加速度a1＝1 m/s2，拉力最小为F2时对应的加速度a2＝－1 m/s2.
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、什么是动能定理在物理学中，动能定理是一个非常重要的概念。
动能定理表述为：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
用数学表达式可以写成：＄W_{合} ＝＼Delta E_{k}＄，其中$W_{合}＄表示合外力做的功，＄＼Delta E_{k}＄表示动能的变化量。
动能的表达式为$E_{k} ＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
二、动能定理的推导为了更好地理解动能定理，我们来推导一下。
假设一个质量为$m$的物体，在恒力$F$的作用下，沿着直线运动了一段距离$s$，力的方向与运动方向相同，物体的初速度为$v_{1}＄，末速度为$v_{2}＄。
根据牛顿第二定律$F ＝ ma$，其中$a$是加速度。
而根据运动学公式$v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2} ＝ 2as$，可以得到$s ＝＼frac{v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2}｝｛2a}＄。
力$F$做的功$W ＝ Fs ＝ ma ＼times ＼frac{v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2}｝｛2a} ＝＼frac{1}｛2}mv_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}mv_{1}＾｛2}＄这就证明了合外力做的功等于物体动能的变化量。
三、动能定理的应用场景1、单物体直线运动当一个物体在直线上受到多个力的作用时，动能定理可以帮助我们简便地求解问题。
例如，一个物体在粗糙水平面上受到拉力和摩擦力的作用，已知初速度、拉力大小、摩擦力大小和运动距离，就可以通过动能定理求出末速度。
2、多物体系统对于多个物体组成的系统，当系统内的物体之间有相互作用的力时，动能定理可以用于分析整个系统的能量变化。
3、曲线运动即使物体做曲线运动，动能定理依然适用。
我们可以将力在曲线轨迹上的做功进行累加，从而计算动能的变化。
四、应用动能定理解题的一般步骤1、确定研究对象明确我们要研究的是单个物体还是多个物体组成的系统。
动能定理的应用
下降：
1 3 2 mgh fh m( v) 0 2 4 7 f mg 25
思考：可否全程列式？
多过程问题
（2）若物体与地面碰撞中无机械能损失， 求物体运动的总路程。
分析：物体最终必静止于地面
1 2 全程列式： f S总 0 mv 2
0
t t1 t2
a t1
t2
t
v1 匀加速阶段： t1 a 恒定功率阶段：
1 2 1 2 .甲、乙两个物体某一初速度在分别在粗糙的水平 面上滑行，已知m甲＞m乙，判断在下列情况下，谁 滑的远？ ① Ek0 、 f相同， ② Ek0 、 μ相同，③ v0 、 f相同， ④v0、μ相同 N 解题思路： Wf Ek ① Ek0、f 一定： f S 0 Ek 0
O
1 2 1 2 mg 2 R W f mv2 mv1 2 2
R
变力做功
三. 求变力做功问题 （瞬间力做功问题）
1.一学生用100N的力将静置于地面的质量为 0.5kg的球以8m/s的初速沿水平方向踢出20m远， 则该学生对球做的功是（ ） B A. 200J B. 16J C. 1000J D. 无法确定
f
mg
思考：如何求时间和其余物理量的关系？
（与机车相联系的问题）
3.质量为m的汽车发动机的功率恒为P，摩擦 阻力恒为f，牵引力为F．汽车由静止开始，经 过时间t行驶了位移s时，速度达到最大值vm， 则发动机所做的功为( ABCD ) A．Pt
mP 2 Ps D． 2 f 2 v m
B．fvmt E．Fs
动能定理的应用
1、常规题（匀变速直线运动） 2、求变力做功问题 3、求解曲线运动问题 4、多过程问题
动能定理及其应用
A.5.7 m C.6.5 m
B.4.7 m D.5.5 m
解析：B 小物块在斜面上受力如图所示，从A点开始沿ABC路径运动到C点停止过程 中，由动能定理可得Fx0cos θ＋mgx0sin θ－Ffx0－μmgx＝0，Ff＝μFN，FN＋Fsin θ＝mgcos θ，代入数据解得x＝4.7 m，故选项B正确。
核心考点 互动探究
考点一 对动能定理的理解及应用(基础考点) 精讲导学——深化认知 1．公式W合＝ΔEk中“＝”体现的三个关系
2．标量性：动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能。
对点训练——提升能力 1．(对动能的理解)如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运 动至具有某一速度。木箱获得的动能一定( A ) A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功 C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功 解析：A 由题意知，W拉－W克摩＝ΔEk，则W拉>ΔEk，A项正确，B项错误；W克摩与 ΔEk的大小关系不确定，C、D项错误。
解析：CD 电梯上升的过程中，对物体做功的有重力 mg、支持力 FN，这两个力的总 功(即合力做的功)才等于物体动能的增量，即 W 合＝W－mgH＝12mv22－12mv12，其中 W 为支 持力做的功，A、B 错误，C 正确；对电梯，无论有几个力对它做功，由动能定理可知， 其合力做的功一定等于其动能的增量，即12Mv22－12Mv12，D 正确。
2.(动能定理的理解)(多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为 m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增大到v2时，上 升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( CD )
A.对物体，动能定理的表达式为 W＝12mv22－12mv12，其中 W 为支持力做的功 B.对物体，动能定理的表达式为 W 合＝0，其中 W 合为合力做的功 C.对物体，动能定理的表达式为 W－mgH＝12mv22－12mv12，其中 W 为支持力做的功 D.对电梯，其所受的合力做功为12Mv22－12Mv12
动能定理的应用
动能定理的应用动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体动能的变化与力的做功之间的关系。
本文将探讨动能定理在不同领域的应用，并阐述其在解决实际问题中的重要性。
一、机械领域中的应用在机械领域中，动能定理常常用于分析物体的运动状态和能量转化过程。
例如，当一个物体在恒定力的作用下沿直线运动时，可以利用动能定理计算物体在某一时刻的速度。
假设一个物体的质量为m，初速度为v1，末速度为v2，力的大小为F，物体在这一过程中所做的功W可以表示为：W = (1/2) * m * (v2^2 - v1^2)由动能定理得知，功与动能的变化有着直接的关系。
因此，我们可以利用此公式计算物体在不同速度下的能量转化情况，从而预测物体的运动状态以及所需的施力大小。
二、热力学领域中的应用在热力学领域中，动能定理的应用更为广泛。
在理想气体的绝热过程中，动能定理可以用来推导绝热指数与气体性质之间的关系。
绝热指数可以反映气体分子的热运动情况，它与气体的压强、温度和体积有关。
通过应用动能定理，我们可以得到绝热指数γ与气体内能U之间的关系式：γ = (Cp/Cv)其中，Cp表示气体在定压条件下的摩尔热容，Cv表示气体在定容条件下的摩尔热容。
该关系式对于研究理想气体的热力学性质具有重要意义，有助于我们深入理解气体的热力学行为。
三、光学领域中的应用在光学领域中，动能定理可以用于分析光的衍射和干涉现象。
例如，当光通过一个狭缝进行衍射时，可以利用动能定理计算光的衍射角度和干涉条纹的位置。
假设入射光的波长为λ，狭缝的宽度为d，衍射角度为θ，我们可以利用动能定理推导得到以下关系：sin(θ) = λ / d这个关系式被广泛应用于光的干涉与衍射实验中，帮助我们理解和解释光的行为。
综上所述，动能定理在机械、热力学和光学等领域中都有重要的应用。
它不仅可以帮助我们分析物体的运动状态和能量转化情况，还可以解释和预测物质及能量的行为。
因此，深入理解和应用动能定理对于探索自然界的规律和解决实际问题具有重要的意义。
动能定理在实际问题中的应用
动能定理是物理学中的一个重要定理，描述了物体的动能与力的关系。
在实际问题中，动能定理可以应用于以下几个方面：
碰撞问题：动能定理可以用来分析碰撞过程中物体的速度变化和能量转化。
例如，可以用动能定理来计算两个物体碰撞前后的速度变化和动能损失。
物体运动的加速度问题：动能定理可以用来分析物体在外力作用下的加速度变化。
通过比较物体的初末动能，可以求解物体的加速度或力的大小。
机械能守恒问题：动能定理可以与势能定理相结合，应用于机械能守恒的问题。
例如，当物体在重力作用下从高处自由落体时，动能定理可以与势能定理相结合，推导出落体物体的速度与高度的关系。
动力学分析问题：动能定理可以用来分析物体受到的复杂力的作用下的运动情况。
通过计算物体的动能和力的关系，可以推导出物体的运动方程，进而预测物体的运动轨迹和速度变化。
总之，动能定理在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们理解物体的运动规律和能量转化过程，提供了分析和解决问题的工具。
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动能定理的应用【学习目标】1．进一步深化对动能定理的理解。
2．会用动能定理求解变力做功问题。
3．会用动能定理求解单物体或多物体单过程问题以及与其他运动形式的结合问题。
4．知道用动能定理解题的一般步骤。
【要点梳理】要点一、动能定理的推导要点诠释：1．推导过程：一个运动物体，在有外力对它做功时，动能会发生变化。
设一个质量为m 的物体，原来的速度是1v ，动能是21112k E mv =，在与运动方向相同的恒定外力F 的作用下，发生一段位移l ，速度增加到2v ，动能增加到22212k E mv =。
在这一过程中外力F 对物体所做的功W Fl =。
根据牛顿第二定律F ma =和运动学公式22212v v al -=得到22212v v l a -= 所以22222121()11222ma v v W Fl mv mv a -===- 或21k k W E E =-2．关于公式的几点说明（1）上面我们设外力方向与运动方向相同，导出了关系式21k k W E E =-，这时外力做正功，动能增加。
外力方向与运动方向相反时，上式同样适用，这时外力所做的功是负值，动能的变化也是负值；（2）外力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功。
因此，对这种情形，也可以说物体克服阻力所做的功等于动能的减少；（3）如果物体不只受到一个力，而是受到几个力，上述结论仍旧正确。
只是外力所做的功是指各个力所做的功的代数和，即外力所做的总功。
3．动能定理的实质动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度。
动能定理的实质是反映其它形式的能通过做功而和动能转化之间的关系，只不过在这里其它形式的能并不一定出现，而是以各种性质的力所做的机械功(等式左边)的形式表现出来而已。
要点二、对动能定理的进一步理解要点诠释：1．动能定理的计算式为标量式，计算外力对物体做的总功时，应明确各个力所做功的正负，然后求其所有外力做功的代数和；求动能变化时，应明确动能没有负值，动能的变化为末动能减去初动能。
2．位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系。
3．动能定理公式中等号的意义等号表明合力做的功与物体动能的变化间的三个关系：（1）数量相等：即通过计算物体动能的变化来求合力的功，进而求得某一力的功。
（2）单位相同：都是焦耳。
（3）因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。
4．动能定理既适用于一个持续的过程，也适用于分段过程的全过程。
5．动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功各种情况均适用。
要点三、应用动能定理的基本步骤要点诠释：1．选取研究对象，明确它的运动过程；2．分析研究对象的受力情况和各力的做功情况； 受哪些力各力是否做功做正功还是负功做多少功然后求解各个外力做功的代数和3．明确物体在过程的始末状态的动能E k1和E k2；4．列出动能定理的方程21k k W E E =-及其他必要的解题方程，进行求解。
要点四、应用动能定理时应注意的问题要点诠释：1．有些力在物体运动的全过程中不是始终存在的，因此在求解物体运动过程中外力的总功时，要注意把物体的受力与运动结合分析。
2．动能定理是计算物体位移和速率的简洁公式，当题目中涉及到位移时可优先考虑动能定理。
3．若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，用动能定理解题时可以分段处理，也可取全过程直接列式。
【典型例题】类型一、用动能定理求变力做功例1、如图所示，质量为2kg m =的小球，从半径0.5m R =的半圆形轨道上的A 点开始下滑，A 点与圆心O 点在同一水平面上，到达最低点B 的速度2m/s v =。
求在弧AB 段阻力对物体所做的功W f 。
（取210m/s g =）【思路点拨】物体在弧AB 段运动过程中受重力、弹力和阻力作用，其中弹力和阻力是变力，但在此过程中弹力对小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做负功。
在这一过程中，可用动能定理。
【解析】重力的功。
由动能定理有：所以【总结升华】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
力做功时可以是连续的，也可以是不连续的，可以是在一条直线上的，也可以是不在一条直线上的。
举一反三【变式1】在距地面10m 高处，一人以10m/s 的速度水平抛出一个质量为4kg 的物体，物体落地时速度大小为16m/s ，试求：（210m/s g =）（1）人抛出物体的过程中对物体所做的功为多少？（2）飞行过程中物体克服空气阻力所做的功为多少？【答案】(1)200J (2)88J【解析】（1）抛出物体的过程中，只有人做功，这个过程很短暂，人施加的力可以说是一个瞬间的力，该过程人的功无法用做功公式求解。
所以只能用动能定理求解。
由动能定理得：（2）飞行过程，物体除受重力作用外，还有空气阻力做功，由动能定理得： 即：2211=22mgh w mv mv '--阻 解得：2211=()88J 22w mgh mv mv '--=阻 【变式2】如图所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F 时，转动半径为R ，当拉力为4F 时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R ，则外力对物体做功的大小是（ ）A ．4FR B ．34FR C ．52FR D ．零 【答案】A【解析】设当绳的拉力为F 时，小球做匀速圆周运动的线速度为1v ，则有 当绳的拉力为4F 时，小球做匀速圆周运动的线速度为2v ，则有 由动能定理：故答案为A 。
类型二、动能定理解单体多过程问题例2、如图所示，物体从高为h 的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上与斜面顶端水平距离为s 的地方，物体与斜面和水平面间的动摩擦因数均为μ，试证明：h sμ=. 【解析】设斜面长为1l ，物体在水平面上滑行的位移大小为2l ，下面倾角为θ。
两个物体的受力图如下，在斜面上有：在水平面上：2N mg =对整个过程根据动能定理列方程则：展开得：因为：12cos l l s θ+=所以：mgh mgs μ=【总结升华】对这种多过程问题，既可以分段利用动能定理列方程求解，也可以对全过程利用动能定理列方程求解，解题时可根据具体情况选择使用．举一反三【变式1】如图所示，光滑1/4圆弧的半径为0.8m ，有一质量为1.0kg 的物体自A 点从静止开始下滑到B 点，然后沿水平面前进4.0m ，到达C 点停止。
g 取10m/s 2，求：（1）物体到达B 点时的速率。
（2）在物体沿水平面运动的过程中摩擦力做的功。
（3）物体与水平面间的动摩擦因数.【答案】（1）4m/s B v =（2）8J f w =-（3）0.4μ=【解析】（1）物体在AB 过程中，只有重力做功，由动能定理：解得：4m/s B v ==（2）在水平面上，只有摩擦力做功，由动能定理：解得：8J f w =-（3）由做功公式：f w mgs μ=-【变式2】如图所示，一质量为2 kg 的铅球从离地面2 m 高处自由下落，陷入沙坑2 cm 深处，求沙子对铅球的平均阻力．【思路点拨】多过程问题要注意各个过程中的受力情况的变化。
【解析】解法一：铅球的运动分为自由下落和陷入沙坑减速运动两个过程，根据动能定理，分段列式． 设铅球自由下落到沙面时的速度为v ，则设铅球在沙中受到的平均阻力为F ，则代入数据解得F ＝2020 N ．解法二：全程列式：全过程中重力做功mg(H+h)，进入沙中阻力做功-Fh ，全程来看动能变化为零，则由得 ()0m g H h F h +-=． 解得【变式3】质量为m=1.5kg 的物块（可视为质点）在水平恒力F 作用下，从水平面上A 点由静止开始运动，运动一段距离后撤去该力，物块继续滑行t=2.0s 停止在B 点。
已知A 、B 两点间的距离为S=5.0m ，物块与水平面间的摩擦因数μ=0.2，求恒力F 。
（210m /s g =）【思路点拨】本题用运动学和动能定理求解。
【答案】15F N = 【解析】设撤去力F 前物块位移为S 1，撤去F 时物块的速度为v 。
物块所受的摩擦力f mg μ=， 由运动学公式可得：即S 1=1m对整个过程用动能定理：【总结升华】本题可以有多种解法，运用动能定理较为简单。
例3、如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m ，滑块与斜面间的动摩擦因数μ，从距挡板为0s 的位置以0v 的速度沿斜面向上滑行。
设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与挡板碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长。
求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s 。
【思路点拨】由于重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，物体虽经多次往复运动，最终将停止在挡板处。
整个过程中只有重力与摩擦力对物体做功。
【解析】摩擦力一直做负功，其绝对值等于摩擦力与路程的乘积， 由动能定理得2001sin cos 02mgs mg s mv θμθ-⋅=- 解得2002sin 2cos v gs s g θμθ+=【总结升华】动能定理只涉及初、末状态而不涉及过程中的每一个细节，因此对于做往复运动的物体运用动能定理解题往往比较简便，本题也可用牛顿运动定律结合运动学公式一步步求解，但十分繁琐。
举一反三【变式1】如图所示质量为m 的物体置于光滑水平面，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力F 作用下，以恒定速率0v 竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角045α=的过程中，绳中张力对物体做的功为________。
【解析】当绳与水平方向夹角045α=时，物体的速度为00cos v v α==选物体为研究对象，研究物体由静止开始到绳与水平方向夹角为α的过程，根据动能定理可知，绳中张力对物体做的功等于物体动能的增加。
即22012W mv mv == 【变式2】在水平恒力F 作用下，物体沿光滑曲面从高为1h 的A 处运动到高为2h 的B 处，若在A 处的速度为A v ，B 处速度为B v ，则AB 的水平距离为多大？【思路点拨】用牛顿定律遇到困难，使用动能定理。
【解析】A 到B 过程中，物体受水平恒力F ，支持力N 和重力mg 的作用。
三个力做功分别为Fs 、0和21()mg h h --，所以动能定理写为：解得：22211()()2B A m s g h h v v F ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦【总结升华】从此例可以看出，以我们现在的知识水平，牛顿定律无能为力的问题，动能定理可以很方便地解决，其关键就在于动能定理不计运动过程中瞬时细节。
类型三、动能定理解多体问题例4、如图所示，用细绳连接的A 、B 两物体质量相等， A 位于倾角为30°的斜面上，细绳跨过定滑轮后使A 、B 均保持静止，然后释放，设A 与斜面间的滑动摩擦力为A 受重力的0.3倍，不计滑轮质量和摩擦，求B 下降1m 时的速度多大。