动能定理的应用(知识梳理)

动能定理的应用

【学习目标】

1．进一步深化对动能定理的理解。

2．会用动能定理求解变力做功问题。

3．会用动能定理求解单物体或多物体单过程问题以及与其他运动形式的结合问题。

4．知道用动能定理解题的一般步骤。

【要点梳理】

要点一、动能定理的推导

要点诠释：

1．推导过程：

一个运动物体，在有外力对它做功时，动能会发生变化。

设一个质量为m 的物体，原来的速度是1v ，动能是21112

k E mv =

，在与运动方向相同的恒定外力F 的作用下，发生一段位移l ，速度增加到2v ，动能增加到22212

k E mv =。 在这一过程中外力F 对物体所做的功W Fl =。 根据牛顿第二定律F ma =和运动学公式2

221

2v v al -=得到22212v v l a -= 所以22222121()11222

ma v v W Fl mv mv a -===- 或21k k W E E =-

2．关于公式的几点说明

（1）上面我们设外力方向与运动方向相同，导出了关系式21k k W E E =-，这时外力做正功，动能增加。外力方向与运动方向相反时，上式同样适用，这时外力所做的功是负值，动能的变化也是负值；

（2）外力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功。因此，对这种情形，也可以说物体克服阻力所做的功等于动能的减少；

（3）如果物体不只受到一个力，而是受到几个力，上述结论仍旧正确。只是外力所做的功是指各个力所做的功的代数和，即外力所做的总功。

3．动能定理的实质

动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度。

动能定理的实质是反映其它形式的能通过做功而和动能转化之间的关系，只不过在这里其它形式的能并不一定出现，而是以各种性质的力所做的机械功(等式左边)的形式表现出来而已。

要点二、对动能定理的进一步理解

要点诠释：

1．动能定理的计算式为标量式，计算外力对物体做的总功时，应明确各个力所做功的正负，然后求其所有外力做功的代数和；求动能变化时，应明确动能没有负值，动能的变化为末动能减去初动能。

2．位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系。

3．动能定理公式中等号的意义

等号表明合力做的功与物体动能的变化间的三个关系：

（1）数量相等：即通过计算物体动能的变化来求合力的功，进而求得某一力的功。

（2）单位相同：都是焦耳。

（3）因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。

4．动能定理既适用于一个持续的过程，也适用于分段过程的全过程。

5．动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功各种情况均适用。

要点三、应用动能定理的基本步骤

要点诠释：

1．选取研究对象，明确它的运动过程；

2．分析研究对象的受力情况和各力的做功情况； 受哪些力各力是否做功做正功还是负功做多少功

然后求解各个外力做功的代数和

3．明确物体在过程的始末状态的动能E k1和E k2；

4．列出动能定理的方程21k k W E E =-及其他必要的解题方程，进行求解。

要点四、应用动能定理时应注意的问题

要点诠释：

1．有些力在物体运动的全过程中不是始终存在的，因此在求解物体运动过程中外力的总功时，要注意把物体的受力与运动结合分析。

2．动能定理是计算物体位移和速率的简洁公式，当题目中涉及到位移时可优先考虑动能定理。

3．若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，用动能定理解题时可以分段处理，也可取全过程直接列式。

【典型例题】

类型一、用动能定理求变力做功

例1、如图所示，质量为2kg m =的小球，从半径0.5m R =的半圆形轨道上的A 点开始下滑，A 点与圆心O 点在同一水平面上，到达最低点B 的速度2m/s v =。求在弧AB 段阻力对物体所做的功W f 。（取210m/s g =）

【思路点拨】物体在弧AB 段运动过程中受重力、弹力和阻力作用，其中弹力和阻力是变力，但在此过程中弹力对小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做负功。在这一过程中，可用动能定理。

【解析】重力的功。由动能定理有：

所以

【总结升华】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。力做功时可以是连续的，也可以是不连续的，可以是在一条直线上的，也可以是不在一条直线上的。 举一反三

【变式1】在距地面10m 高处，一人以10m/s 的速度水平抛出一个质量为4kg 的物体，物体落地时速度大小为16m/s ，试求：（2

10m/s g =）

（1）人抛出物体的过程中对物体所做的功为多少？

（2）飞行过程中物体克服空气阻力所做的功为多少？

【答案】(1)200J (2)88J

【解析】（1）抛出物体的过程中，只有人做功，这个过程很短暂，人施加的力可以说是一个瞬间的力，

该过程人的功无法用做功公式求解。所以只能用动能定理求解。由动能定理得：

（2）飞行过程，物体除受重力作用外，还有空气阻力做功，由动能定理得： 即：2211=

22

mgh w mv mv '--阻 解得：2211=()88J 22w mgh mv mv '--=阻 【变式2】如图所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F 时，转动半径为R ，当拉力为

4F 时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R ，则外力对物体做功的大小是（ ）

A ．4

FR B ．34FR C ．52FR D ．零 【答案】A

【解析】设当绳的拉力为F 时，小球做匀速圆周运动的线速度为1v ，则有 当绳的拉力为4

F 时，小球做匀速圆周运动的线速度为2v ，则有 由动能定理：

故答案为A 。

类型二、动能定理解单体多过程问题

例2、如图所示，物体从高为h 的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上与斜面顶端水平距离为s 的地方，物体与斜面和水平面间的动摩擦因数均为μ，试证明：h s

μ=. 【解析】设斜面长为1l ，物体在水平面上滑行的位移大小为2l ，下面倾角为θ。两个物体的受力图如下，在斜面上有：

在水平面上：2N mg =

对整个过程根据动能定理列方程则：

展开得：

因为：12cos l l s θ+=

所以：mgh mgs μ=

【总结升华】对这种多过程问题，既可以分段利用动能定理列方程求解，也可以对全过程利用动能定理列方程求解，解题时可根据具体情况选择使用．

举一反三

【变式1】如图所示，光滑1/4圆弧的半径为0.8m ，有一质量为1.0kg 的物体自A 点从静止开始下滑到B 点，然后沿水平面前进4.0m ，到达C 点停止。g 取10m/s 2，求：

（1）物体到达B 点时的速率。

（2）在物体沿水平面运动的过程中摩擦力做的功。

（3）物体与水平面间的动摩擦因数.