菱形的判定定理
初中数学菱形的性质和定理学习技巧
初中数学菱形的性质和定理学习技巧
学习初中数学中菱形的性质和定理时，以下是一些有效的学习技巧：
1.明确定义：首先，确保你清楚菱形的定义：菱形是一个四
边形，其中所有边都相等。
2.掌握基本性质：菱形有一些基本的性质，如所有边都相
等、对角线互相垂直并且平分对方、邻角互补等。
深入理解并牢记这些性质，它们将是你解题的关键。
3.学习判定定理：菱形的判定定理主要包括四边都相等的四
边形是菱形，以及对角线互相垂直的平行四边形是菱形
等。
理解这些定理的条件和结论，并能够灵活运用它们来解决问题。
4.大量练习：通过做大量的练习题来巩固对菱形性质和定理
的理解。
从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，逐步提升自己的解题能力。
5.图形辅助：利用图形工具来辅助学习。
绘制菱形并标记出
重要的元素（如边、对角线、角等），这样可以帮助你更直观地理解菱形的性质和定理。
6.关联与对比：将菱形的性质与矩形、平行四边形等其他四
边形进行对比和关联，找出它们之间的异同点，加深对菱形知识的理解。
7.总结归纳：将学习到的菱形性质和定理进行归纳整理，形
成自己的知识体系。
这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。
8.参与讨论：与同学或老师讨论菱形相关的问题，通过交流
和分享来加深对菱形性质和定理的理解。
9.持续复习：定期复习菱形的性质和定理，确保你能够长期
记忆和应用它们。
在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。
遵循这些学习技巧，你将能够更好地掌握初中数学中菱形的性质和定理，提高解题能力。
华东师大版八年级数学下册19.2.2《菱形的判定定理1》优秀教学案例
1.菱形的定义：引导学生通过观察和分析，总结菱形的定义和性质，如对角线互相垂直平分、四边相等等。
2.菱形的判定定理：引导学生通过实验和观察，发现菱形的判定定理，如对角线互相垂直平分的四边形是菱形等。
3.定理的应用：通过实例讲解，引导学生学会运用菱形的判定定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.学生通过合作交流，培养团队协作精神和沟通能力，提高综合素质。
在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣和积极性。同时，通过创设丰富的教学情境，让学生在实践中感受数学的魅力，培养他们的创新思维和解决问题的能力。在教学过程中，我还将注重培养学生的团队合作意识，让他们在合作中共同进步，提高综合素质。
2.学生通过观察、实验、归纳等方法，培养直观想象能力和数学推理能力。
3.学生通过练习和应用，巩固菱形的性质和判定定理，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣和自信心。
2.学生能够认识数学在生活中的应用价值，培养运用数学解决实际问题的意识。
2.问题情境：创设有趣的问题，如“如何判断一个四边形是否为菱形？”引导学生思考，激发他们的探究精神。
3.几何情境：通过展示几何图形，如矩形、正方形等，引导学生发现菱形的特殊性质，激发他们的观察和分析能力。
（二）问题导向
1.提出问题：在教学过程中，提出引导性问题，引导学生思考和探索菱形的性质和判定方法。
3.评价与反馈：学生之间相互评价，给予反馈，促进学生的相互学习和进步。
（四）反思与评价
1.自我反思：鼓励学生对自己的学习过程进行反思，发现自己的不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予反馈，培养学生的评价能力和团队协作精神。
人教版初二全册完整教案 菱形的判定(2)
菱形的判定（二）教学目的：1、理解并掌握菱形的定义及定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算；2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：菱形的判定定理1、2。
教学难点：定理的证明方法及运用。
教学程序一、复习创情导入我们已经学习了菱形的性质：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）性质定理1，菱形的四条边都相等；性质定理2，菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；其中矩形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）二、授新1、提出问题（1）菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？有哪两个条件？（2）判定定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明。
（3）判定定理2的内容是什么？写出已知、求证，并证明；还有其他方法进行证明吗？（4）例5的证明还有其他方法吗？2、自学质疑：自学课本P91-92页，完成预习题，并提出疑难问题。
3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳（1）能否运用菱形的定义进行菱形的判定？应具备哪两个条件？（2）菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形。
方法指导：有一组邻边相等的四边形是菱形。
（定义）（3）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形。
方法指导：1），定理1，四条都相等的四边形；2），定义，有一组邻边相等的平行四边形；（4）小结：菱形的判定方法，定义：有一组邻边相等的平行四边形；定理1：四条边都相等的四边形；定理2：对角线互相垂直的平行四边形；（5）跟踪练习1；5、尝试练习（1）跟踪练习2----8；（2）例5：已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形。
菱形的判定方法
菱形的判定方法
判定菱形的方法是通过以下几个步骤进行的：
1. 首先，判断图形是否是一个四边形。
四边形有四条直线边和四个角。
如果图形没有四个角或没有四条直线边，则不可能是菱形。
2. 如果图形是四边形，接下来需要判断其四个角是否相等。
如果四个角都相等，则图形是一个菱形。
可以使用角度测量工具来检测每个角的大小。
3. 另外，判断图形的四条边是否相等。
可以使用直尺或测量仪来测量每条边的长度。
如果四条边都相等，则图形也是一个菱形。
注意：菱形是一个特殊的四边形，它的对角线相等且垂直相交。
如果能够确认对角线相等且垂直相交，也可以直接判定图形是一个菱形。
总的来说，判定一个图形是否是菱形需要对其角度和边长进行测量和比较。
如果四个角相等且四条边相等，则图形可以被认定为一个菱形。
菱形的判定定理
菱形的判定定理
总的来说，有三种类型的四边形：
1. 四条边都相等的四边形，这种四边形是菱形。
可以这样证明：由于AB=CD，BC=AD，所以这个四边形是平行四边形。
而由于AB=BC，所以这个平行四边形是菱形，因为它有一组邻边相等。
2. 对角线互相垂直的平行四边形也是菱形。
可以这样证明：由于四边形ABCD是平行四边形，所以它的对角线OA和OC是平分的。
而由于AC垂直于BD，所以BD是AC的垂直平分线。
这样，我们得到AB=BC，所以这个平行四边形是菱形，因为它有一组邻边相等。
3. 有一组邻边相等的平行四边形也是菱形。
可以这样证明：RF是三角形ABD的中位线，所以RF//AD。
同理，GH//AD，RH//BE，FG//BE，所以RF//GH，RH//FG。
因此，这个平行四边形的对角线RFGH是一个平行四边形。
然后我们证明三角形ACD全等于三角形BCE，这样AD=BE，所以RH=RF。
因此，这个平行四边形的对角线是平分的，且每组对边相等，所以它是菱形。
菱形的判定需要满足一些条件，比如一组邻边相等、对角线互相垂直、四条边均相等、对角线互相垂直平分、两条对角线分别平分每组对角等等。
同时，菱形的对角线必须与x轴平行，另一条对角线与y轴平行。
不满足这些条件的几何学菱形在计算机图形学上被视作一般四边形。
初二数学下菱形(提高)知识讲解+巩固练习
菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．(1)求证：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长．【答案与解析】证明：(1)连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为12BE AB，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分. 举一反三：【变式】（春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为142cm ，四边形ABCD 面积是112cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm6. 如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A ＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3B.2C.3D.2二.填空题7. （•江西三模）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为 ．8．如图，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝_____.9．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为FA B CDHE G①②③④⑤cm.______210．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ， ∴PA=PD ， ∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B ．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋142＝18，设菱形边长为a ,则218,62a a ==，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A ；【解析】菱形的高分别是3和332，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF 面积－△BGF 面积＝93152333333244+---=. 二.填空题7.【答案】． ；【解析】∵AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO ，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE ，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等. 9.【答案】23【解析】由题意∠A ＝60°，DE 310.【答案】5；53253； 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为125553322⨯⨯=11.【答案】512；【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF 是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC ， ∴AF ∥BC ， ∵AM ∥FC ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∵AM ∥FC ，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°，∴△AMC 是等边三角形， ∴AM=MC ，∴四边形AMCF 是菱形；（2）∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=EC ，在△ABC 和△MEC 中 ∵，∴△ABC ≌△MEC （SAS ）．14.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，OB ＝OD ∵∠EDO ＝∠FBO, ∠OED ＝∠OFB ∴△OED ≌△OFB∴DE ＝BF 又∵ED ∥BF∴四边形BEDF 是平行四边形 ∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 是菱形. 15．【解析】 解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF ∴AE ＝DF ，DE ＝CF ， ∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60° 在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜222S≤<S<11 / 11。
7菱形的判定
菱形的判定强立新教学目的：1、理解并掌握菱形的定义及定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算；2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：菱形的判定定理1、2。
教学难点：定理的证明方法及运用。
一、复习创情导入我们已经学习了菱形的性质：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）性质定理1，菱形的四条边都相等；性质定理2，菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；其中矩形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）二、授新1、提出问题（1）菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？有哪两个条件？，我们知道了菱形的性质，那想一想如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？用准备好的白纸，小剪刀来动手做一做.方法一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折(如P92的图)，然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片.方法二：如图(P94的图)，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形.(如图1)图1 图2方法三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形.(如图2) 你能说一说按这三种方法做的理由吗？方法一主要是利用了菱形的轴对称性.按方法一剪出如图所示的图形.以BD所在的直线对折时，OA=OC，以AC所在的直线对折时，OB=OD，这时四边形ABCD是平行四边形，又因为两条折痕是互相垂直的，即：AC⊥BD，又OA=OC，所以BD是AC 的中垂线.即AB=BC，因此平行四边形ABCD是菱形.按方法二得到的四边形是菱形的理由是：这个四边形的两组对边分别在纸条的边缘上，它们彼此平行，它是平行四边形；分别以一组邻边为底写出这个平行四边形的面积(都是底乘高)，再由纸条等宽即它们的高相等，立即得到这组邻边相等.按方法三得到的菱形的理由是：如图2，△ABC是以BC为底的等腰三角形，所以AB=AC，以BC为折痕，对折后，得到的三角形BCD仍是等腰三角形，即：BD=DC，又因为AB=BD，DC=AC，所以AB=CD，BD=AC，所以四边形ABDC是平行四边形，又AB=AC，因此，平行四边形ABDC是菱形.菱形的判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质和判定定理教案
课题菱形的性质和判定定理时间教学目标1.掌握菱形的性质判定，并能用定义判定一个四边形是菱形使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力。
2.通过教具的演示培养学生的观察能力并提高学生的学习兴趣。
3.通过把矩形和菱形的定义、性质、判定相互对比，将易混淆的知识点分清楚，并以此培养学生的辨正观点。
重难点重点：菱形的性质定理和判定定理的了解和运用难点：平行四边形，矩形，菱形的性质定理，判定定理的综合应用。
教学方法教学方法观察分析讨论相结合的方法。
（做一个短边可以运动的平行四边形）投影仪、透影胶片角色教师活动学生活动备注教学过程（一）引入新课我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，这时可将事先按课本中做成的一个短边也可以活动的教具进行演示，如，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，引出菱形概念。
（二）讲解新课1.1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.2.菱形的性质菱形的性质教师强调，菱形既然是特殊的平行四边形，因此它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩形类似，也比平行四边形增加了一些特殊的性质。
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角师1：菱形ABCD被对角线分成的四个直角三角形有什么关系？师2：它们的底和高和两条对角线有什么关系？师3：如果设菱形的两条对角线分别为a、b，则菱形的面积是什么？S＝1/2ab1/2ab。
教师指出当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积。
讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：（1）强调菱形是平行四边形。
（2）一组邻边相等。
教学过程例1已知：如图4－41，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。
求证：四边形AEDF是菱形。
菱形的判定
菱形的判定
课标要求
探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
学习目标
教学目标：
知识与技能目标：
探索菱形的判定定理；会用判定定理进行有关的论证和计算
过程与方法目标：
培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力情感与态度目标：
在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辩证唯物主义观点
教学重点：
菱形的判定定理的掌握和灵活运用
教学难点：
菱形的判定定理的灵活运用
教学过程
合作复习
平行四边形的判定？矩形的判定？
新课：
一、探索并证明菱形的判定定理
1、阅读P57和P58内容：总结菱形的判别方法。
结
合图18.2-8左图，简述菱形的两种判别方法。
2、完成P58：练习2
二、会用判定定理进行有关的论证和计算
阅读P57例4：理解每一步依据。
完成P58：练习3 检测题
同步
课堂总结
菱形的判别方法
作业设计
P60:6、10。
人教版八年级数学下《菱形》知识全解
《菱形》知识全解课标要求探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识结构内容解析1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形首先是一个平行四边形，然后增加一个特殊条件：一组邻边相等．菱形的定义既可作为菱形的性质运用，又可作为菱形的判定运用．2．菱形的性质（1）具有平行四边形的所有性质．（2）特有的两条性质（定理）：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的对称轴．（4）菱形的面积计算：S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半．菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的问题可以转化为等腰三角形或直角三角形来解决．3．菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，可作为菱形的判定方法，它是菱形其他判定方法的基础．（2）定理①：四边都相等的四边形是菱形．运用该定理证明时，可以直接证明一个四边形是菱形．（3）定理②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．运用该定理证明时，要先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线互相垂直．4．运用和菱形的性质与判定解决问题．重点难点本课的重点是菱形的性质定理和判定定理的探索与证明．性质和判定定理本身容易理解，但需要学生借助一定的活动去进行观察、归纳、推导与验证．让学生自己体验探究过程，从中收获感悟．在教师的引导下，对知识本身和思想方法上都有实质性的掌握．这个过程到位了，必将很好地为下一过程——“运用性质和判定定理解决问题”打下坚实的基础，达到运用自如．教学重点的解决方法：在探究实验活动以及旧知类比的基础上进行定理的概括的推导．通过观察实验，巧妙设问，发现规律，归纳结论，解决重点．本课的难点是运用菱形的性质和判定方法进行推理、计算和解决问题．在通过探索和证明得到了菱形的性质及判定定理后，直接利用定理解决问题就势在必行．但从主观上讲，学生对刚学会的知识会有生疏感，不会直接用，甚至不敢用，习惯一步推理，对多步推理不熟；从客观上讲，性质和定理本身的数量不止一项，因而问题的解决需要选择相应的性质和定理，特别是判定方法的选择性很强，而且题目的设置往往灵活多变，还综合之前的知识等．这都给问题解决带来了困难．教学难点的解决方法：问题设置从易到难，从单一到综合逐步递进．通过引导思维，结合图形一步一步体现思路，明确方法来解决难点、疑点．教法导引在数学教学过程中，基于学生思维的起点，为了突出教师为主导、学生为主体的教学原则，我们可以运用自主探究法和直观教学法，让学生在实践中学习、掌握知识，达到灵活运用，并对先后知识融会贯通．针对本节课的特点，可以采用“创设情境——探究实践——观察讨论——总结归纳——知识运用”为主线的教学模式，运用实践、观察、分析、讨论相结合的方法．教学中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识，形成技能．在教学过程中注意创设思维情境，在合作交流的气氛下进行师生互动，培养学生的自学能力和创新意识，让学生在教师的指导下自始至终处于一种积极思维，主动探究的学习状态．借助教具和课件演示，以增加教学的直观性，更好的理解菱形的性质与判别，解决教学重点与难点．根据本课内容的特点，建议教师在教学过程中注意以下问题：1．菱形的知识，学生在小学时接触过一些，教学要基于学生对菱形的已有认知上．在引入概念时，应让学生充分的理解到菱形是一个特殊的平行四边形，特殊在有一组邻边相等．教师设置情境，学生自己动手探究，体验到菱形可以由平行四边形平移或等角三角形、直角三角形拼接得到．2．菱形在现实中的实例较多，因而在讲解菱形的性质和判定时，教师可多准备一些生活实例，来对菱形的性质和判定进行应用．既增加了学生的参与感，又巩固了所学的知识．3．教学过程中，应特别重视探究活动，这样既增强了学生的动手能力和参与感，又在教学中有切实的实例，使学生对知识的掌握更轻松、具体．例如菱形性质的探索、判定定理的探索都需要通过具体的折纸、画图等实践来进行探究．4．教学过程中注意学生独立思考和合作交流的有机结合．例如在对性质的讲解中，教师可将学生分组，每组学生分别对菱形进行“边、角、对角线”等方面的研究，然后在组内进行整理、归纳．而在性质或判定的应用中，教师根据题目的层次安排，可引导学生独立分析思路，并独立进行具体的证明．5．注重将新知识与旧知识进行联系与类比．新旧知识的联系与类比有利于学生建立新的知识体系，同时也能在一定程度上培养学生的合情推理能力．菱形的判定方法可以通过类比已学过的矩形的判定方法，进行合情猜想，并加以验证，实现知识的正迁移．学法建议在日常生活中，学生经常会遇到各种几何图形也包括菱形，但学生对这一图形的认识是直观的、肤浅的，因此在教学中要以原有直观感和平行四边形、矩形的相关知识为基础，探索菱形的性质及判别方法，并尝试利用它们解题．新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如菱形的概念得到、菱形性质的发现和推导、菱形面积的算法、菱形判定方法的选择和思路的选取等都可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也能得到不断提高．在本节课的教学中，要帮助学生学会运用实践、观察、分析、比较、验证、归纳、概括等手段，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，领会到成功的喜悦．。
菱形的判定定理
菱形的判定定理菱形的判定定理是指在几何学中判断一个四边形是否为菱形的方法。
一个四边形是菱形的充分必要条件是它四个边相等，且对角线互相垂直。
首先，我们来证明一个四边形如果为菱形，则它的四个边相等。
设四边形ABCD为菱形，连接对角线AC和BD。
由菱形的定义可知，AB=BC=CD=DA。
又因为AC和BD是两条对角线，且根据性质可知，两条互相垂直的线段所构成的四边形是菱形。
所以，我们得出结论，一个四边形如果为菱形，则它的四个边相等。
下面我们来证明另一个四边形如果为菱形，则它的对角线互相垂直。
设四边形ABCD为菱形，连接对角线AC和BD。
由于ABCD为菱形，且AB=BC=CD=DA，所以四个边相等。
又因为对角线AC和BD是连接四个对应顶点的线段，所以通过这两条对角线所构成的两个三角形ABC和CDA都是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可知，对角线AC垂直于边BC，对角线BD 垂直于边AD。
所以，我们得出结论，如果一个四边形为菱形，则它的对角线互相垂直。
综上所述，一个四边形是菱形的充分必要条件是它的四个边相等，且对角线互相垂直。
根据这个定理，我们可以通过测量四边的长度和判断对角线是否垂直来判断一个四边形是否为菱形。
举个例子来说明这个定理的应用。
假设我们有一个四边形ABCD，我们可以使用尺子或其他测量工具来测量四个边的长度。
如果AB=BC=CD=DA，那么这个四边形的四个边相等。
然后，我们可以通过测量对角线AC和BD的长度，并使用直角尺或其他工具来判断它们是否垂直。
如果AC和BD互相垂直，则这个四边形是一个菱形。
菱形的判定定理在几何学中具有重要的应用价值。
它可以帮助我们判断一个四边形是否为菱形，从而解决与菱形相关的几何问题。
在实际应用中，菱形的判定定理可以用于设计建筑、工程测量、制图等领域。
因此，理解和掌握菱形的判定定理对于几何学的学习和实际应用都非常重要。
平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理
平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
两点之间，线段最短。
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离人，叫做这两条平行线之间的距离。
如果直线a平行直线b ，A是a上的任意一点，AB垂直直线b，b是垂足，线段AB的长就是直线a，b之间的距离。
平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，也就是说当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。
矩形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；矩形的4个角都是直角；矩形的对角线相等。
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是举行。
菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；菱形的4条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形好，平行四边形通常只被分成两个两对全等的三角形。
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。
正方形正方形的两条对角线，把这个正方形分成4个全等的等腰直角三角形。
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
菱形的所有判定定理
菱形的所有判定定理菱形是一种几何形状，它有一些特殊的性质和定理。
在本文中，我们将讨论菱形的所有判定定理，并详细解释它们的意义和应用。
一、菱形的定义定理：菱形是一个四边形，它的所有边长相等。
在一个菱形中，对角线相互垂直且平分对方。
二、菱形的角定理：1. 菱形的内角和定理：菱形的内角和为360度。
2. 菱形的对角线交角定理：菱形的对角线交角为90度。
三、菱形的边定理：1. 菱形的边长定理：菱形的四条边长相等。
2. 菱形的边中点连线定理：菱形的边中点连线相互垂直且平分对角线。
四、菱形的对角线定理：1. 菱形的对角线长度定理：菱形的两条对角线长度相等。
2. 菱形的对角线垂直定理：菱形的对角线相互垂直。
五、菱形的面积定理：菱形的面积等于对角线长度的乘积再除以2。
六、菱形的高定理：菱形的高等于任意一边与对角线的乘积再除以对角线的长度。
七、菱形的中线定理：菱形的对角线中线相等且平行于边。
八、菱形的内切圆定理：菱形的内切圆与菱形的四条边相切。
九、菱形的外接圆定理：菱形的外接圆与菱形的四个顶点相切。
十、菱形的外接圆半径定理：菱形的外接圆半径等于对角线的一半。
以上是菱形的所有判定定理。
这些定理不仅可以帮助我们理解菱形的性质，还可以在解决各种几何问题时提供指导。
通过运用这些定理，我们可以计算菱形的边长、对角线长度、面积和高等参数，进一步推导出其他相关的几何性质。
菱形的判定定理是几何学中的重要内容，它们不仅在理论研究中有着广泛的应用，也在实际生活和工程中发挥着重要的作用。
比如，在建筑设计中，我们经常会遇到需要绘制或计算菱形的情况，而这些判定定理可以帮助我们准确地完成这些任务。
总结起来，菱形的判定定理是菱形几何学中的重要内容，它们描述了菱形的各种性质和特点。
通过运用这些定理，我们可以计算菱形的各种参数，解决各种几何问题。
同时，这些定理也在实际生活和工程中发挥着重要作用。
通过学习和理解这些定理，我们可以更好地理解和应用菱形几何学。
八年级数学下册《菱形的性质和判定定理》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：菱形的性质和判定定理的理解与应用。
难点：如何引导学生运用判定定理判断一个四边形是否为菱形，以及在实际问题中灵活运用菱形的性质。
2.重点：培养学生观察、猜想、验证的能力。
难点：如何激发学生的探究兴趣，引导学生主动参与学习过程，培养其几何思维。
3.重点：菱形与平行四边形、矩形、三角形等几何图形的联系与区别。
3.演示与讲解：教师通过直观的演示和详细的讲解，帮助学生理解菱形的性质和判定定理。
4.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在实际操作中运用所学知识，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的观察能力和空间想象力，激发学生对几何学习的兴趣。
2.培养学生合作交流、积极参与的学习态度，提高学生的团队协作能力。
2.提出问题
提问：“我们已经学过很多四边形，如矩形、平行四边形等，那么菱形与这些四边形有什么联系和区别呢？”通过这个问题，激发学生对菱形的探究欲望，为新课的学习打下基础。
3.导入新课
在学生初步感知菱形的特点后，顺势导入新课：“今天我们将学习一种新的四边形——菱形，了解它的性质和判定定理。”
（二）讲授新知，500字
难点：帮助学生建立几何图形之间的联系，提高学生的综合运用能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
通过展示生活中的菱形实例，如菱形装饰、建筑图案等，激发学生对菱形的兴趣，为新课的学习打下基础。
2.自主探究，发现性质
将学生分成小组，引导他们运用手中学具，观察、猜想、验证菱形的性质。在此过程中，教师适时给予指导，帮助学生总结出菱形的性质。
4.能够运用菱形的性质和判定定理解决实际问题，如求菱形的面积、周长等。
几何公式定理：矩形,菱形、正方形
几何公式定理：矩形，菱形、正方形
几何公式定理：矩形
1、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
2、矩形性质定理2矩形的对角线相等
3、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
4、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
几何公式定理：菱形
5、菱形性质定理1菱形的四条边都相等
6、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
7、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)2
8、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
9、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何公式定理：正方形
1、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
3、定理1关于中心对称的两个图形是全等的
4、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
5、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
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平行四边形的判定定理
1 两组对边分别平行；
2 两组对边分别相等；
3 一组对边平行且相等；
4 对角线互相平分；
5 两组对角分别相等
以上五个条件均可判定一个四边形是平行四边形,都是平行四边形的判定定理. 菱形的判定定理
①四条边相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）
③一组邻边相等的平行四边形是菱形
④一组对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
矩形的判定定理
1.有三个角是直角的四边形是矩形
2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3.有一个角为直角的平行四边形是矩形
4对角线相等的平行四边形是矩形
正方形的判定定理
1、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
2、邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。
3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
4、有一个内角是直角的菱形是正方形。
5、对角线相等的菱形是正方形。
6、对角线互相垂直的矩形是正方形。
7、有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形。